2024年人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義：一元二次方程應(yīng)用題一

第06課一元二次方程應(yīng)用題（1）

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1、掌握列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、歹h解、檢、答.

2、能利用一元二次方程解決問(wèn)題：

①傳播類(lèi)問(wèn)題；

②平均增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題

③其他增長(zhǎng)率問(wèn)題

④握手問(wèn)題與送禮問(wèn)題

⑤面積類(lèi)問(wèn)題（內(nèi)挖型、外擴(kuò)型、開(kāi)路型、建舍型）.

3、能理找出等量關(guān)系，理解解列等量關(guān)系的過(guò)程。

根知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)傳播類(lèi)問(wèn)題

1、傳播類(lèi)問(wèn)題

一個(gè)人傳染X人

傳染源

第一輪新傳染人數(shù)第一輪傳染后總感染人數(shù)第二輪新傳染人數(shù)第二輪傳染后總感染人數(shù)

〃%+〃+〃(〃%+〃)

=(〃%+〃)+xdax+a)

aaxax+ax(ax+a)=(〃%+〃)(1+1)

=〃(x+l)(l+x)

=〃(l+x)2

【解釋】

若傳染源的數(shù)量為a,每輪傳染的數(shù)量為x,則經(jīng)過(guò)一輪傳染后感染的總數(shù)量為a±ax7

則經(jīng)過(guò)兩輪傳染后感染的總數(shù)量為a+ax+a（a+ax）整理后的結(jié)果為如處.若經(jīng)過(guò)兩輪傳染后感染的總數(shù)量

為b,則所列方程為a(l+x)2=b.

【注意】

傳播類(lèi)問(wèn)題所列方程

1.開(kāi)始數(shù)量為L(zhǎng)每輪感染的數(shù)量為x,經(jīng)n輪傳染后的數(shù)量為b,則所列方程為(1+x)』.

2.開(kāi)始數(shù)量為a,每輪感染的數(shù)量為x,經(jīng)n輪傳染后的數(shù)量為b,則所列方程為a(l+x)n=b.

知識(shí)點(diǎn)02平均增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題

設(shè)平均增長(zhǎng)率為X

終止量為b

起

起始量與增長(zhǎng)2次與

始增長(zhǎng)1次增長(zhǎng)2次三者總和

增長(zhǎng)2次之差增長(zhǎng)1次之差

量

a〃(1+X)a(1+x)(l+%)=a(l+x)2a+a(l+x)+a(l+x)2ci(l+x)2—a

設(shè)平均降低率為X

終止量為b

起

起始量與降低2次與

始降低1次降低2次三者總和

降低2次之差降低1次之差

量

aa(l-x)a(l-x)(l-x)=a(l-x)2a+ci(l—x)+ci(l—x)2a—ci(l—x)2a(l—x)一—%)2

【解釋】

①若開(kāi)始的數(shù)量為a,增長(zhǎng)率為x,則經(jīng)過(guò)一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(l+x),經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)后的總數(shù)量為a(l+xB若經(jīng)

過(guò)兩次增長(zhǎng)后的數(shù)量為b,則可列方程a(l+x)2=b.

②若開(kāi)始的數(shù)量為a,降低率為x,則經(jīng)過(guò)一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1—x),經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)后的總數(shù)量為a(l—xB若

經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)后的數(shù)量為b,則可列方程a(l—x)2=b.

【注意】

增長(zhǎng)率(或降低率)問(wèn)題的規(guī)律

1.增長(zhǎng)率問(wèn)題:設(shè)基數(shù)為a,平均增長(zhǎng)率為x,則一次增長(zhǎng)后的值為a(l+x),兩次增長(zhǎng)后的值為a(l+xB依次類(lèi)推,n

次增長(zhǎng)后的值為a(l+x)n.

2.降低率問(wèn)題:設(shè)基數(shù)為a,平均降低率為x,則一次降低后的值為皿。兩次降低后的值為a(l-xB依次類(lèi)推,n

次降低后的值為a(l-x)n.

知識(shí)點(diǎn)03其他增長(zhǎng)率問(wèn)題

1、轉(zhuǎn)發(fā)消息類(lèi)

A收到一條微信，轉(zhuǎn)發(fā)給x人，要求這些收到微信的人繼續(xù)轉(zhuǎn)發(fā)給x人，此時(shí)共有b個(gè)人收到微信。

一開(kāi)始，第一次轉(zhuǎn)發(fā)后第二次轉(zhuǎn)發(fā)后

第一次轉(zhuǎn)發(fā)次數(shù)第二次轉(zhuǎn)發(fā)次數(shù)

收到微信的人數(shù)收到微信的總?cè)藬?shù)收到微信的總?cè)藬?shù)

1X1+X(1+x)x1+%+%2

【解釋】

A收到消息后，轉(zhuǎn)發(fā)給x個(gè)人，此時(shí)，一共有1+X個(gè)人收到消息，第二次轉(zhuǎn)發(fā)給(1+X)X個(gè)人，止匕時(shí),

一共有1+X+V個(gè)人收到消息。

【注意】

轉(zhuǎn)發(fā)消息類(lèi)問(wèn)題與傳染問(wèn)題類(lèi)型不同的是，收到消息的人，只轉(zhuǎn)發(fā)工次，轉(zhuǎn)發(fā)給X個(gè)人后，再不轉(zhuǎn)發(fā);

而傳染問(wèn)題，每個(gè)被感染的人，每一輪傳播都會(huì)傳染給X個(gè)人。

2、長(zhǎng)枝干類(lèi)

1個(gè)主干長(zhǎng)X個(gè)枝干，每個(gè)枝干長(zhǎng)x個(gè)小枝干，共有b個(gè)分支,

則l+X+%2=b

知識(shí)點(diǎn)04握手問(wèn)題和送禮問(wèn)題

手問(wèn)題

設(shè)有X個(gè)人互相握手，每個(gè)人都站起來(lái)和其他(x-1)個(gè)人握手，每個(gè)人都站起來(lái)和其他人握手之后，一共

握手x(x-1)次，但任意兩人之間都握手2次，實(shí)際每?jī)扇酥g只需要握手一次，設(shè)握手總次數(shù)為b,則

；x(x-1)=Z?：

2、送禮問(wèn)題

設(shè)有X個(gè)人互相送卡片，每個(gè)人都給其余(X-1)個(gè)人送一張卡片，每個(gè)人都給其他人送卡片之后，一共送

了x(x-l)

如圖所示的陰影部分矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,空白部分寬

均為x,則矩形ABCD的面積可表示為

(a+2x)(b+2x).

如圖所示矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,在矩形中挖四條等寬的

小路，路寬均為x,則剩余部分(綠色陰影)面積可表

示為(a-2x)()一2x).

①如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個(gè)菜園ABCD,

籬笆總長(zhǎng)為a,設(shè)垂直于墻面的邊CD長(zhǎng)為x,則矩形

BC邊的長(zhǎng)為(a-2x),矩形ABCD的面積為

-2x)；

②如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個(gè)菜園ABCD,

中間還有一道籬笆EF,籬笆總長(zhǎng)為a,設(shè)垂直于墻面

的邊CD長(zhǎng)為x,則矩形BC邊的長(zhǎng)為(a-3x)，矩形

ABCD的面積為式a-3x)；

③如圖，靠著一面墻MN用籬笆建一個(gè)菜園ABCD,

并開(kāi)一個(gè)寬度為b的門(mén)，籬笆總長(zhǎng)為a,設(shè)垂直于墻面

的邊CD長(zhǎng)為x,則矩形BC邊的長(zhǎng)為(。+人—2x),

矩形ABCD的面積為x(a+匕-2x)；

B能力拓展

考法01傳播問(wèn)題

【例題1】肆虐的冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過(guò)兩輪傳染

將會(huì)有225人感染，若設(shè)1人平均感染x人，依題意可列方程()

A.l+x=225B.l+x?=225

C.(1+x)2=225D.1+(1+x2)=225

【答案】C

【解析】

【分析】

此題可設(shè)1人平均感染x人，則第一輪共感染(x+1)人，第二輪共感染Mx+D+x+l=(x+l)(x+l)人，根據(jù)題意

列方程即可.

【詳解】

解：設(shè)1人平均感染無(wú)人，

依題意可列方程：(1+以=225.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程的解，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

【即學(xué)即練1］有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均

一個(gè)人傳染的人數(shù)是()

A.14B.11C.10D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意可得l+x+x(l+x)=144,然后求解即可.

【詳解】

解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了尤個(gè)人，由題意可得：

1+X+X(1+X)=144,

解得：玉=11,%=-13(舍去)，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練2】2020年3月，新冠肺炎疫情在中國(guó)已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開(kāi)始持續(xù)蔓延，這是對(duì)

人類(lèi)的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，

經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，求：

(1)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

(2)如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？

【答案】(1)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了15個(gè)人；(2)按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有4096

人患病.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有256人患病，即可得出

關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)經(jīng)過(guò)三輪傳染后患病人數(shù)=經(jīng)過(guò)兩輪傳染后患病人數(shù)x(1+15),即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，

依題意，得：1+x+x(1+x)=256,

解得：X7=15,尤2=-17(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了15個(gè)人.

(2)256x(1+15)=4096(人).

答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有4096人患病.

【點(diǎn)睛】

此題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

考法02平均變化率

［例題2］某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計(jì)2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均

增長(zhǎng)率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x,則可列方程為()

A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(l+2x)=100D.80(1+x2)=100

【答案】A

【解析】

【分析】

利用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量x(1+增長(zhǎng)率)，設(shè)平均每次增長(zhǎng)的百分率為x,根據(jù)“從80噸增加到100噸”,

即可得出方程.

【詳解】

由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，則2017年蔬菜產(chǎn)量為80(1+x)噸，

2018年蔬菜產(chǎn)量為80(1+x)(1+x)噸，預(yù)計(jì)2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，

即：80(1+x)2=100,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用（增長(zhǎng)率問(wèn)題）.解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年

的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程.

【即學(xué)即練1】某市從2017年開(kāi)始大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市2017年“竹文化”旅游收入約

為2億元.預(yù)計(jì)2019“竹文化”旅游收入達(dá)到2.88億元，據(jù)此估計(jì)該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入

的年平均增長(zhǎng)率約為（）

A.2%B.4.4%C.20%D.44%

【答案】C

【解析】

【詳解】

分析：設(shè)該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2017年及2019年“竹文化”旅

游收入總額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

詳解：設(shè)該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意得：2（1+x）2=2.88,

解得：xi=0.2=20%,X2--2.2（不合題意,舍去）.

答：該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長(zhǎng)率約為20%.

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練2】某鋼鐵廠一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進(jìn)操作技術(shù)，使得第一季度共生產(chǎn)鋼

鐵1850噸，問(wèn)二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？若設(shè)二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率為無(wú)，則可得方程

（）

A.560(1+x)2=1850B.560+560(1+x)2=1850

C.560(l+x)+560(l+x)2=1850D.560+560(1+尤)+560(1+無(wú)產(chǎn)=1850

【答案】D

【解析】

【詳解】

第一個(gè)月是560,第二個(gè)月是560(1+x),第三月是560(1+無(wú))2

,所以第一季度總計(jì)560+560(1+x)+560(1+x)2=1850,選D.

【即學(xué)即練3】某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國(guó)家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在

售價(jià)每盒16元，則該藥品平均每次降價(jià)的百分率是.

【答案】20%

【解析】

【詳解】

解：設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率是x,根據(jù)題意得25x(1-x)(1-x)=16,

整理得25(1-4=16，

解得x=0.2或1.8(不合題意，舍去)；

即該藥品平均每次降價(jià)的百分率是20%.

考法03枝干問(wèn)題

【例題3】某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又

長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43,則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43,即可得出關(guān)于x的一元二次

方程，解之取其正值即可得出結(jié)論

【詳解】

設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出X個(gè)小分支，

依題意，得：l+x+x'43,

解得：士=-7（舍去），々=6.

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程

【即學(xué)即練1】某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小

分支的總數(shù)是13,則每個(gè)支干長(zhǎng)出（）

A.2根小分支B.3根小分支C.4根小分支D.5根小分支

【答案】B

【解析】

【分析】

先設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)分支，則每個(gè)分支又長(zhǎng)出尤個(gè)小分支，尤個(gè)分支共長(zhǎng)出N個(gè)小分支；再根據(jù)主干有1

個(gè)，分支有無(wú)個(gè)，小分支有N個(gè)，列出方程；然后根據(jù)一元二次方程的解法求出符合題意的無(wú)的值即可.

【詳解】

設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出彳個(gè)分支，

根據(jù)題意得

l+x+x*x=13,

整理得x2+x-12=0,

解得x/=3,尤2=-4（不符合題意舍去）,

即每個(gè)支干長(zhǎng)出3個(gè)分支.

故應(yīng)選B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量

關(guān)系，列出方程，再求解.

【即學(xué)即練2】某樹(shù)主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目小分支，主干、枝干和小分支總數(shù)

共57根，則主干長(zhǎng)出枝干的根數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

分別設(shè)出枝干和小分支的數(shù)目，列出方程，解方程即可得出答案.

【詳解】

設(shè)枝干有x根，則小分支有V根

根據(jù)題意可得：X2+.X+1=57

解得：x=7或x=-8（不合題意，舍去）

故答案選擇A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題目意思列出方程.

考法04握手問(wèn)題與送禮問(wèn)題

【例題4】“鳳鳴”文學(xué)社在學(xué)校舉行的圖書(shū)共享儀式上互贈(zèng)圖書(shū)，每個(gè)同學(xué)都把自己的圖書(shū)向本組其他成員

贈(zèng)送一本，某組共互贈(zèng)了210本圖書(shū)，如果設(shè)該組共有x名同學(xué)，那么依題意，可列出的方程是（

A.x(x+1)=210B.x(x-1)=210

C.2x(x-1)=210D.；x(x-1)=210

【答案】B

【解析】

【詳解】

設(shè)全組共有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)送出的圖書(shū)是(XT)本；

則總共送出的圖書(shū)為X(x-l)；

又知實(shí)際互贈(zèng)了210本圖書(shū)，

則x(x-l)=210.

故選：B.

【即學(xué)即練1】今年“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證

群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到90個(gè)紅包，則該

群一共有()

A.9人B.10人C.11人D.12人

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題解析：設(shè)這個(gè)QQ群共有x人，

依題意有x(x-1)=90,

解得：x=-9(舍去)或x=10,

.??這個(gè)QQ群共有10人.

故選B.

【即學(xué)即練2】某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽36場(chǎng)，則參加此次

比賽的球隊(duì)數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)球賽問(wèn)題模型列出方程即可求解.

【詳解】

解：設(shè)參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)為x隊(duì)，根據(jù)題意得:

yx（x-1）=36,

化簡(jiǎn)，得x2-x-72=0,

解得xi=9,x2=-8（舍去），

答：參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是9隊(duì).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題中的球賽問(wèn)題.

【即學(xué)即練3】在某次聚會(huì)上，每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0次，設(shè)有二人參加這次聚會(huì)，則列

出方程正確的是（）

A.<%-1)=10B."一憶］。

2

C.x(x+l)=10D,^^=10

2

【答案】B

【解析】

【詳解】

分析：如果有X人參加了聚會(huì)，則每個(gè)人需要握手（X-1）次，X人共需握手X（X-1）次；而每?jī)蓚€(gè)人都握

了一次手，因此要將重復(fù)計(jì)算的部分除去，即一共握手：x（xT）次;已知“所有人共握手10次”，據(jù)此可

2

列出關(guān)于x的方程.

解答：解：設(shè)X人參加這次聚會(huì)，則每個(gè)人需握手：X-1（次）；

依題意，可列方程為：@二D=10；

2

故選B.

考法05面積問(wèn)題

［例題5］原定于2020年10月在昆明舉辦的世界生物多樣性大會(huì)第15次締約方大會(huì)，因疫情推遲到2021

年5月舉辦，為喜迎“COP15”，某校團(tuán)委舉辦了以“COP15”為主題的學(xué)生繪畫(huà)展覽，為美化畫(huà)面，要在長(zhǎng)為

30cm、寬為20cm的矩形畫(huà)面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫(huà)面面積相等（如圖），

若設(shè)彩紙的寬度為xcm,根據(jù)題意可列方程（）

COP1S2021

CHINA

A.(30+2x)(20+2x)=1200B.(30+x)(20+x)=1200

C.(30-2A-)(20-2X)=600D.(30+x)(20+x)=600

【答案】A

【解析】

【分析】

由彩紙的面積恰好與原畫(huà)面面積相等，即可得出關(guān)于x的一元二次方程;

【詳解】

依題意得：(30+2X)(20+2X)=30X20X2,

即（30+2x）（20+2x）=1200；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確列式是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練1】如圖所示，在一幅矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條相同寬度的邊框，制成一幅長(zhǎng)為80cm,寬為50cm

的掛圖，設(shè)邊框的寬為疣/，如果風(fēng)景畫(huà)的面積是2800c/,下列方程符合題意的是（）

A.(50+x)(80+x)=2800B.(50+2x)(80+2尤)=2800

C.(50-x)(80-尤)=2800D.(50-2x)(80-2x)=2800

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圖求出風(fēng)景畫(huà)的長(zhǎng)、寬，再利用矩形的面積公式即可得出答案.

【詳解】

由題意得：風(fēng)景畫(huà)的長(zhǎng)為：（80-2x）cm,寬為：（50-2x）cm

利用矩形的面積公式得：（80-2x）（50-2%）=2800

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的幾何應(yīng)用，依據(jù)題意求出風(fēng)景畫(huà)的長(zhǎng)、寬是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練2】如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為32m,寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余

的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2.若設(shè)道路的寬為無(wú)m,則下面所列方程正確的是(

32m

A.(32-2x)(20-x)=570B.32r+2x20尤=32x20-570

C.(32-x)(20-x)=32x20-570D.32x+2x20x-2尤2=570

【答案】A

【解析】

【詳解】

解：設(shè)道路的寬為xm,根據(jù)題意得：

(32-2x)(20-x)=570,

故選：A

【即學(xué)即練3】如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為30m,寬為20m的矩形花園，現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道，剩余的地

方種植花草.如圖所示，要使種植花草的面積為532m2,那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為米.

【答案】1.

【解析】

【詳解】

試題分析：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得(30-2x)(20-x)=532,

整理，得x2-35x+34=0.

解得，X1=1,X2=34.

V34>30(不合題意，舍去)，

x=l.

答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米.

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.

【即學(xué)即練4】如圖，要利用一面墻(墻長(zhǎng)為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)

大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB,BC各為多少米？

BC

【答案】羊圈的邊長(zhǎng)AB,BC分別是20米、20米.

【解析】

【詳解】

解:設(shè)的長(zhǎng)度為x米，則的長(zhǎng)度為(100-4%)米.

根據(jù)題意得(100-4x)x=400,

解得尤7=20,X2-5.

則100-4x=20或100-4x=80.

V80>25,

/.X2—5舍去.

gpAB=20,BC=2Q.

故羊圈的邊長(zhǎng)AB,BC分別是20米、20米.

【即學(xué)即練5】如圖，一農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)

的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門(mén)，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多

少時(shí)，豬舍面積為80m2?

住房畸

【答案】所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為8m時(shí)，豬舍面積為80m2

【解析】

解:設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm,可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為（25-2x+l）m,

由題意得x（25-2x+l）=80,

化簡(jiǎn)，得爐-13元+40=0,解得：％=5,無(wú)2=8,

當(dāng)x=5時(shí)，25—2x+l=25—2x5+l=16>12（舍去），

當(dāng)x=8時(shí)，25-2x+l=25-2x8+1=10<12,

答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為8m.

【即學(xué)即練6】一幅長(zhǎng)20c"、寬12c機(jī)的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：

2.設(shè)豎彩條的寬度為xaw,圖案中三條彩條所占面積為

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

2

（2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的（，求橫、豎彩條的寬度.

t

12

【答案】（1）y=-3/+54x；（2）橫彩條的寬度為3cm,豎彩條的寬度為2c%

【解析】

3

(1)根據(jù)題意可知，橫彩條的寬度為］xcm,

33

/.y=20x—x+2x12*x-2x—x*x=-3x2+54x,

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x2+54x；

2

(2)根據(jù)題意，得：-3X2+54X==X20X12,

整理，得：x2-18x+32=0,

解得：xi=2,X2=16(舍)，

.3

??x-3，

2

答：橫彩條的寬度為3cm,豎彩條的寬度為2cm.

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式；一元二次方程的應(yīng)用.

【即學(xué)即練7】如圖，某農(nóng)戶(hù)準(zhǔn)備建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，若墻長(zhǎng)為18m,另三邊用竹籬

笆圍成，籬笆總長(zhǎng)35m,圍成長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)四周不能有空隙.

(1)要圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為150m2,則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？

(2)圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積能否達(dá)到200m2?請(qǐng)說(shuō)明理由.

sl---------1c

【答案】(1)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是10m,長(zhǎng)為15m；(2)圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到200m2,見(jiàn)解析

【解析】

解：(1)設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm,根據(jù)題意得：

尤（35-2x）=150,

解得：x/=10,X2—1.5,

當(dāng)尤/=10時(shí)，35-2尤=15<18,

當(dāng)檢=7.5時(shí)35-2x=20>18,（舍去）,

則養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是10m,長(zhǎng)為15m.

(2)設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm,根據(jù)題意得：

無(wú)(35-2元)=200,

整理得：2N-35x+200=0,

△=(-35)2-4x2x200=1225-1600=-375<0,

因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)根，

所以圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到200m2.

航分層堤分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)X滿(mǎn)足的方

程為()

A.1+x+x(1+x)=100B.x(1+x)=100

C.l+x+x2=100D.x2=100

【答案】A

【解析】

【分析】

每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，即經(jīng)過(guò)第一輪有(x+1)人感染，則經(jīng)過(guò)第二輪有[(x+D+x(x+1)]

人得了流感，根據(jù)兩次一共有100患了流感即可列出方程.

【詳解】

解：由題可知1+x+x(1+x)=100,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題，認(rèn)真審題,找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2.如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形.為便于管理，要在中間開(kāi)辟一

橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)

題意，列方程為()

A.35x20-35x-20x+2x2=600B.35x20-35x-2x20.r=600

C.(35-2X)(20-x)=600D.(35-%)(20-2x)=600

【答案】C

【解析】

【分析】

把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個(gè)矩形，根據(jù)種植的面積為600列出方程即可.

【詳解】

解:如圖，設(shè)小道的寬為初1,

則種植部分的長(zhǎng)為(35-,寬為(20-力利

由題意得：(35-2x)(20-x)=600.

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查一元二次方程的應(yīng)用；利用平移的知識(shí)得到種植面積的形狀是解決本題的突破點(diǎn)；得到種植面積的長(zhǎng)

與寬是解決本題的關(guān)鍵.

3.一棵樹(shù)主干長(zhǎng)出若干個(gè)枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出枝干數(shù)兩倍的小分支，主干、枝干和小分支共56個(gè)，則主

干長(zhǎng)出的枝干數(shù)是（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)主干長(zhǎng)出x根枝干，根據(jù)主干、枝干和小分支總數(shù)共56根，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其

正值即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)主干長(zhǎng)出x根枝干，

依題意，得：l+x+2x2=56,

解得：Xl=5,X2=-y（不合題意，舍去）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

4.在一幅長(zhǎng)60dm寬40dm的慶祝建國(guó)70周年宣傳海報(bào)四周鑲上相同寬度的金色紙片制成一幅矩形掛圖.要

使整個(gè)掛圖的面積為2800加2,設(shè)紙邊的寬為x而，則可列出方程為（）

A.x2+100x-400=0B.x2-100%-400=0

C.x2+50x-100=0D.x2-50x-100=0

【答案】C

【解析】

【分析】

如果設(shè)紙邊的寬為XCTM,那么掛圖的長(zhǎng)和寬應(yīng)該為（40+2x）和（60+2x）,根據(jù)總面積即可列出方程.

【詳解】

解：設(shè)紙邊的寬為比拼，那么掛圖的長(zhǎng)和寬應(yīng)該為（60+2%）和（40+2x）,

根據(jù)題意可得出方程為：（60+2x）（40+2x）=2800,

整理得：尤2+50、-100=0,

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知面積的公式.

5.國(guó)家實(shí)施”精準(zhǔn)扶貧“政策以來(lái)，很多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬(wàn)人,

通過(guò)社會(huì)各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬(wàn)人.設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平

均下降率為x,根據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1）2=1A9（l+2x）=lD.9（l+x）z=l

【答案】B

【解析】

【分析】

等量關(guān)系為：2016年貧困人口x(l-下降率y=2018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可.

【詳解】

解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,根據(jù)題意得：

9(1-蛾=1,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

6.某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，已知第一季度的總營(yíng)業(yè)額共1000萬(wàn)元，如果平均每月增長(zhǎng)率為x,

則由題意列方程應(yīng)為()

A.200(1+x)2=1000

B.200+200x2%=1000

C.200+200x3尤=1000

D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題公式即可解決此題，二月為200(1+x),三月為200(1+x)2,三個(gè)月相加即得第一季度的

營(yíng)業(yè)額.

【詳解】

解：：一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，平均每月增長(zhǎng)率為x,

.??二月份的營(yíng)業(yè)額為200x(1+尤),

，三月份的營(yíng)業(yè)額為200x(1+x)x(1+x)=200x(1+x)2,

可歹！J方程為200+200X(1+x)+200x(1+x)2=1000,

BP200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000.

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查增長(zhǎng)率問(wèn)題類(lèi)一元二次方程的應(yīng)用，注意：第一季度指一、二、三月的總和.

7.圣誕節(jié)時(shí)，某班一個(gè)小組有x人，他們每?jī)扇酥g互送賀卡一張，已知全組共送賀卡110張，則可列方

程為.

【答案】x(x-1)=110

【解析】

【分析】

設(shè)這個(gè)小組有X人，要求他們之間互送賀卡，即除自己外，每個(gè)人都要求送其他的人一張賀卡，即每個(gè)人要

送X—1張賀卡，所以全組共送x(x—1)張，又知全組共送賀卡110張，由送賀卡數(shù)相等為等量關(guān)系，列

出方程即可.

【詳解】

設(shè)這個(gè)小組有無(wú)人，則每人應(yīng)送出廠1張賀卡，由題意得：

x(x-l)=110,

故答案為X(尤T)=H0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.

8.某小區(qū)2010年屋頂綠化面積為2000平方米，計(jì)劃2012年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米.如果每年

屋頂綠化面積的增長(zhǎng)率相同，那么這個(gè)增長(zhǎng)率是.

【答案】20%

【解析】

【詳解】

分析：本題需先設(shè)出這個(gè)增長(zhǎng)率是x,再根據(jù)已知條件找出等量關(guān)系列出方程，求出x的值，即可得出答案.

解答：解：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率是X,根據(jù)題意得：

2000x（1+x）2=2880

解得:xi=20%,X2=-220%（舍去）

故答案為20%.

9.某商品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，銷(xiāo)售單價(jià)由原來(lái)的125元降到80元，則平均每次降價(jià)的百分率為.

【答案】20%

【解析】

【分析】

解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：商品原來(lái)價(jià)格X（1-每次降價(jià)的百分率）2=現(xiàn)在價(jià)格，設(shè)出未知數(shù)，列方程解

答即可.

【詳解】

設(shè)這種商品平均每次降價(jià)的百分率為無(wú)，根據(jù)題意列方程得：

125（l-x）2=80

解得：%7=0.2=20%,&=1.8（不合題意，舍去）

故答案為20%.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

10.在一次酒會(huì)上，每?jī)扇硕贾慌鲆淮伪绻还才霰?5次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為.

【答案】11

【解析】

【分析】

設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為X人，根據(jù)每?jī)扇硕贾慌鲆淮伪乙还才霰?5次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，

解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為x人，

根據(jù)題意得：|x（x-1）=55,

整理，得：x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10（不合題意，舍去）.

答：參加酒會(huì)的人數(shù)為11人.

故答案為H.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

11.2020年1月份以來(lái)，新型冠狀病毒肺炎在我國(guó)蔓延，假如有一人感染新型冠狀病毒肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳

染后共有64人患病.

（1）求每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)健康的人；

（2）如果不及時(shí)控制，第三輪傳染將又有多少個(gè)健康的人患??？

【答案】（1）每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了7個(gè)健康的人；（2）第三輪傳染將又有448個(gè)健康的人患病.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患病，即可得出

關(guān)于X的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

(2)利用經(jīng)過(guò)兩輪傳染后的人數(shù)乘以每輪平均傳染人數(shù)，即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)健康的人.

依題意，得l+x+(l+無(wú))x=64,

解得再=7,3=-9(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了7個(gè)健康的人.

(2)64x7=448(個(gè)).

答：第三輪傳染將又有448個(gè)健康的人患病.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

12.某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是

361萬(wàn)元.假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同.

(1)求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；

(2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本.

【答案】(1)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；(2)預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x,根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程,

解之取其較小值即可得出結(jié)論；

(2)由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本x(1-下降率)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為X,

根據(jù)題意得：400(1-x)2=361,

解得：xi=0.05=5%,X2=1.95(不合題意，舍去).

答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；

(2)361x(1-5%)=342.95(萬(wàn)元)，

答：預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元.

題組B能力提升練

1.如圖，斯是一面長(zhǎng)18米的墻，用總長(zhǎng)為32米的木柵欄(圖中的虛線(xiàn))圍一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD,中間用

柵欄隔成同樣三塊.若要圍成的矩形面積為60平方米，則的長(zhǎng)為米.

IIII

IIII

■…一I…一1一…:

AR

【答案】12

【解析】

【分析】

由與墻頭垂直的邊AD長(zhǎng)為x米，四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得AB的長(zhǎng)；根據(jù)題意

可得方程x(32-4x)=60,解此方程即可求得x的值，又由AB=32-4x(米)，即可求得AB的值，注意EF

是一面長(zhǎng)18米的墻，即ABC18米.

【詳解】

解：：與墻頭垂直的邊AD長(zhǎng)為x米，四邊形ABCD是矩形，

DMPC

IIII

IIII

i…一

ANOB

.\BC=MN=PQ=x米,

AB=32-AD-MN-PQ-BC=32-4x（:米），

根據(jù)題意得：x（32-4x）=60,

解得：x=3或x=5,

當(dāng)x=3時(shí)，AB=32-4x=20>18（舍去）；

當(dāng)x=5時(shí)，AB=32-4x=12（米），

.4.AB的長(zhǎng)為12米.

故答案為12.

【點(diǎn)睛】

考查了一元二次方程的應(yīng)用中的圍墻問(wèn)題，正確列出一元二次方程，并注意解要符合實(shí)際意義.

2.某小區(qū)有一塊長(zhǎng)21米，寬8米的矩形空地，如圖所示.社區(qū)計(jì)劃在其中修建兩塊完全相同的矩形綠地,

并且兩塊綠地之間及四周都留有寬度為x米的人行通道.如果這兩塊綠地的面積之和為60平方米，人行通

道的寬度應(yīng)是多少米？

21m

【答案】人行道的寬度為2米

【解析】

【分析】

21

人行道的寬度為x米，則每塊矩形綠地的長(zhǎng)度為：3丁米，寬度為：（8-2x）米，根據(jù)兩塊綠地的面積之

和為60平方米，列方程求解即可.

【詳解】

解:根據(jù)題意，得（21-3力（8-2力=60,

整理得％2_口%+18=0.

解得玉=2,x2=9.

x=9不符合題意，舍去,

x=2.

答：人行通道的寬度是2米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程法應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系.

3.如圖是寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形耕地，要修筑同樣寬的三條道路(互相垂直)，把耕地分成六塊大小相

等的試驗(yàn)地，要使試驗(yàn)地的面積為570m2,問(wèn)：道路寬為多少米？

TI■■

2101■■

<-----32------>

【答案】1米

【解析】

【分析】

設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)道路寬為x米，依題意得：

(32-2x)(20—x)=570

解得占=1,々=35(不合題意，舍去)

答：道路寬為1米.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，掌握實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

4.某扶貧單位為了提高貧困戶(hù)的經(jīng)濟(jì)收入，購(gòu)買(mǎi)了33m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶(hù)靠墻(墻長(zhǎng)

15m)圍建一個(gè)中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)(如圖所示)，

(1)若要建的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積為90m2,求雞場(chǎng)的長(zhǎng)(AB)和寬(BC)；

(2)該扶貧單位想要建一個(gè)lOOitf的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，這一想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

z)|IF|C

AEB

【答案】(1)雞場(chǎng)的長(zhǎng)(AB)為15m,寬(BC)為6m；(2)不能，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)BC=xm,則AB=(33-3x)m,根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積為90m2,即可得出關(guān)于x

的一元二次方程，解之即可求出x的值，分別代入(33-3x)中，取使得(33-3x)小于等于15的值即可得

出結(jié)論；

(2)不能，理由如下，設(shè)BC=ym,則AB=(33-3y)m,同(1)可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判

別式A=-lll<0,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)設(shè)BC=