2025中考數(shù)學專項復習：一次函數(shù)綜合最值問題“將軍飲馬、胡不歸”（含答案）

一次函數(shù)綜合最值問題“將軍飲馬、胡不

歸”2025中考數(shù)學專項復習含答案

一次函數(shù)綜合最值問題“將軍飲馬、胡不歸”

一、解答題

題目jJ已知一次函數(shù)u=4fcr+5k+1_(A;A0).

圖1圖2

(1)無論k為何值,函數(shù)圖象必過定點，求該定點的坐標；

⑵如圖1,當k=—］時，一次函數(shù)V=4fcz；+5A:+詈的圖象交立軸，夕軸于4B兩點，點Q是直線aV

—x+1上一點,若S^IBQ—6,求Q點的坐標；

⑶如圖2,在⑵的條件下，直線6夕=0+1交48于點「，。點在力軸負半軸上，且強，動點”

的坐標為(a,a),求CM+MP的最小值.

（1）無論A：為何值，函數(shù)圖象必過定點，則該定點的坐標;

（2）如圖1,當k=―時，該直線交c軸，"軸于4B兩點，直線l2：y—x+1交AB于點P,點T是。上一

點，若ABT~9,求T點的坐標；

（3）如圖2,在第2問的條件下，已知。點在該直線上,橫坐標為1,C點在,軸負半軸，NABC=45°,點M

是工軸上一動點,連接BA7,并將線段BA/繞點M順時針旋轉90°得到MQ,

①求點。的坐標；

②CQ+Q。的最小值為

題目區(qū)如圖，一次函數(shù)u=+2的圖象分別與C軸、g軸交于點A、5,以線段AB為邊在第二象限內作

等腰R力△ABC,/BAC=90°.（可能用到的公式:若A（g,明），B（g，3），①AB中點坐標為

（夸，中:②=?+（%—仇戶

（1）求線段AB的長；

（2）過B、。兩點的直線對應的函數(shù)表達式.

（3）點。是BC中點,在直線AB上是否存在一點P,使得PC+PD有最小值？若存在，則求出此最小值；

若不存在,則說明理由.

航目⑷已知一次函數(shù)沙=fcr+b（A;WO）與2軸交于點人⑶。）,且過點（7,8）,回答下列問題.

（1）求該一次函數(shù)解析式；

（2）一次函數(shù)的解析式也稱作該直線的斜截式方程，如解析式y(tǒng)^kx+b我們只需要將y向右移項就可以

得到for—夕+b=0,將名前的系數(shù)k替代為未知數(shù)4將y前的系數(shù)1替代為未知數(shù)將常數(shù)項b替代為

未知數(shù)。，即可得到方程Ar+By+C=0,該二元一次方程也稱為直線的一般方程（其中A一般為非負整

數(shù)，且4、B不能同時為0）.一般地，在平面直角坐標系中，我們求點到直線間的距離，可用下面的公式求

解：

點P（g，u。）到直線Ax+By+C^0的距離（d）公式是：d=坐+"°|

VA2+B2

如:求:點P（l,1）到直線y=—9+等的距離.

題目⑸如圖，一次函數(shù)g=+b的圖象交力軸于點A,04=4,與正比例函數(shù)g=3/的圖象交于點_B,B

點的橫坐標為1.

(1)求一次函數(shù)沙—kx+b的解析式；

(2)若點。在y軸上,且滿足S"=^S^OB，求點。的坐標；

⑶若點0(4,—2),點P是沙軸上的一個動點，連接BD,PB,PD,是否存在點P,使得LPBD的周長有最

小值？若存在，請直接寫出周長的最小值.

題目因在平面直角坐標系xoy中，一次函數(shù)沙=菖2+3的圖像分別與2軸、夕軸交于A、B兩點，點C為①

軸正半軸上的一個動點，設點。的橫坐標為九

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)點。為平面直角坐標系cog中一點，且與點A、B、。構成平行四邊形ABCD.

①若平行四邊形ABCD是矩形，求t的值；

②在點。運動的過程中，點。的縱坐標是否發(fā)生變化,若不變，求出點。的縱坐標；若變化，說明理由;

③當t為何值時,BC+BD的值最小,請直接寫出此時t的值及BC+BD的最小值.

（題目|7）已知，一次函數(shù)g=（2-t）加+4與9=一。+1）加一2的圖像相交于點P,分別與y軸相交于點A,B.

其中土為常數(shù)，tr2且力力一1.

歹個

4-

3-

2-

1-

?_________??1_____________________?_______????

-4-3-2-101234x

-1■

-2-

⑴求線段的長；

（2）試探索的面積是否是一個定值？若是，求出的面積;若不是，請說明理由;

（3）當t為何值時,△ABP的周長最小，并求出周長的最小值.

mi8〕如圖1,已知一次函數(shù)9=2+3與2軸，沙軸分別交于B點，人點，立正半軸上有一點C,AACO=

60°,以A,B,。為頂點作平行四邊形ABCD.

圖1

(1)求。點坐標.

(2)如圖2,將直線AB沿y軸翻折,翻折后的直線交CD于E點、，在y軸上有一個動點P,x軸上有一動點

Q,當DP+PQ+QE取得最小值時,求此時(DP+PQ+QE)2的值.

圖2

⑶如圖3,將△A。。向左平移使得點。與坐標原點。重合，A的對應點為A,O的對應點為O',將△A。

O繞點O順時針旋轉,旋轉角為a(0°4a4180°)，在旋轉過程中，直線AB與直線、月。交于“，G兩

點，在旋轉過程中，△WMG能否成為等腰三角形，若能，求出所滿足條件的a,若不能，請說明理由.

圖3

題目ID

(1)問題解決:如圖1,在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)沙=:2+1與2軸交于點A,與y軸交于點B,

以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC,乙氏4。=90°,點A、B、。的坐標分別為、、

(2)綜合運用:①如圖2,在平面直角坐標系必。V中，點A坐標(0,-6),點B坐標(8,0),過點B作，軸垂線

Z,點P是，上一動點，點。是在一次函數(shù)9=—22+2圖像上一動點，若△APD是以點。為直角頂點的等腰

直角三角形，請求出點。的坐標.

②如圖2,在⑵的條件中，若M為x軸上一動點，連接4A1,把AM繞M點逆時針旋轉90°至線段

NM,ON+AN的最小值是.

7

題目也已知一次函數(shù)y^kx+3V2的圖象與2軸交于點4與？/軸交于點區(qū)點河的坐標為(0,館)，其中

0<m<3V2.

(1)若點A(-3V2,0),過點。作QP_LAM,連接BP并延長與，軸交于點C,

①求k的值；

e七fBP_OM

。求?：~PC~OC'

⑵若點4(—2,0),求，^4河+BM■的最小值.

（1）則點A的坐標為，點B的坐標為；

（2）如圖2,點P為夕軸上的動點，以點P為圓心，PB長為半徑畫弧,與BA的延長線交于點E，連接PE,已

知PB=PE,求證：ZBPE=2ZOAB；

（3）在（2）的條件下，如圖3,連接PA,以PA為腰作等腰三角形PAQ,其中PA=PQ,/APQ=2AOAB.

連接OQ.

①則圖中（不添加其他輔助線）與NEPA相等的角有；（都寫出來）

②試求線段OQ長的最小值.

［題目|12）如圖一次函數(shù)協(xié)=%巡+3的圖象與坐標軸相交于點人（一2,0）和點_8,與反比例函數(shù)%=*（，＞

0）的圖象相交于點。（2,巾）.

（1）求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

⑵若點P是反比例函數(shù)圖象上的一點，連接CP并延長，交°軸正半軸于點。，若PD-.CP=1:2時，求

△COP的面積；

（3）在（2）的條件下,在y軸上是否存在點Q,使PQ+CQ的值最小，若存在請直接寫出PQ+CQ的最小

值，若不存在請說明理由.

10

題目【定義】斜率，表示一條直線相對于橫軸的傾斜程度.當直線Z的斜率存在時，對于一次函數(shù)?

+6/W0),k即為該函數(shù)圖象(直線)的斜率.當直線過點31,陰)、(出，S)時，斜率％=義匚近，特別的，若

/2一

兩條直線，2，則它們的斜率之積阮也=T，反過來，若兩條直線的斜率之積阮?心=—1,則直線Zj±12

【運用】請根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)已知平面直角坐標系中，點41,3)、B(m,—5)、C(3,n)在斜率為2的同一條直線上，求m、n的值；

(2)在(1)的條件下，點P為？/軸上一個動點，當/4PC為直角時,求點P的坐標；

(3)在平面直角坐標系中另有兩點0(3,2)、E(T,—6),連接DA并延長至點G,使DA=AG,連接GE交

直線48于點F,河為線段況4上的一個動點，求OM+咯的最小值.

5

->

oX

備用圖備用圖

11

題目口&］如圖，矩形OABC的頂點4C分別在2、y軸的正半軸上,點B的坐標為(273,4),一次函數(shù)y=

—空7+b的圖象與邊OC、AB,x軸分別交于點D、E、F,2DFO=30°,并且滿足OD=BE,點M是線

段。F上的一個動點.

⑴求6的值；

(2)連接OM,若AO。河的面積與四邊形的面積之比為1:3,求點河的坐標；

(3)求(W+小施的最小值.

12

題目五如圖1,一次函數(shù)9=1^一6的圖象與坐標軸交于點4B,BC平分/。氏4交工軸與點C,CD，

AB,垂足為D.

(1)求點A,_B的坐標；

(2)求CD所在直線的解析式；

(3)如圖2,點石是線段上的一點，點F是線段上的一點，求EF+OF的最小值.

13

題目313如圖，一次函數(shù)g=far+6的圖象與c軸交于點A,與9軸交于點B(0,2),與正比例函數(shù)沙=得工的

圖象交于點。(4,c).

⑴求％和b的值.

(2)如圖1,點P是夕軸上一個動點，當|凡4—PC\最大時，求點P的坐標.

⑶如圖2,設動點D,E都在①軸上運動，且DE=2,分別連結BD,CE,當四邊形BDEC的周長取最小值

時直接寫出點。和E的坐標.

題目K在平面直角坐標系中，一次函數(shù)9=—言。+4的圖象與c軸和？/軸分別交于A、B兩點.動點P從

點A出發(fā),在線段49上以每秒1個單位長度的速度向點。作勻速運動，到達點O即停止運動.其中A、

Q兩點關于點P對稱，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN.設運動時間為秒.如圖①.

⑴當力=2秒時，OQ的長度為；

（2）設MN、PN分別與直線y=一白+4交于點C、。，求證：=NC；

⑶在運動過程中，設正方形PQMN的對角線交于點E,A1P與Q。交于點F,如圖2,求OF+EN的最小

值.

??

題目|18］已知一次函數(shù)u=+5k+粵(k片0),

(1)無論k為何值,函數(shù)圖像必過定點,求該點的坐標；

(2)如圖1,當k——時，該直線交立軸，v軸于4,B兩點，直線l2:y=a;+1交AB于點P,點Q是上一

點，若SD4BQ=6,求Q點的坐標；

(3)如圖2,在第2問的條件下，已知。點在該直線上,橫坐標為LC點在/軸負半軸，E)ABO=45°，動點

河的坐標為(％(1),求。河+皿。的最小值.

圖1圖2

題目叵J如圖,在平面直角坐標系中，一次函數(shù)9=心工+6的圖像經過點4—2,0）,B（0，-2-）、過。（1，0）

作平行于y軸的直線Z;

（1）求一次函數(shù)g=fcr+b的表達式；

（2）若P為y軸上的一個動點，連接,則yFB+PD的最小值為.

（3）M（s,t）為直線，上的一個動點，若平面內存在點N,使得A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，則求M,

N點的坐標；

（備用圖）

17

^^(國3規(guī)定:把一次函數(shù)9—kx+b的一次項系數(shù)和常數(shù)項互換得y=+%,我們稱y—kx+b^Wy—bx

+%(其中加6/0,且同/歷［))為互助一次函數(shù)，例如：y=—2x+3和沙=3±—2就是互助一次函數(shù).如圖

1所示，一次函數(shù)沙=fcr+b和它的互助一次函數(shù)的圖象交于點P，與，軸、。軸分別交于點4B

和點C,。.

⑴如圖1所示，當k=—l,b=5時，直接寫出點P的坐標是.

⑵如圖2所示，已知點M(—1,L5),N(-2,0).試探究隨著鼠b值的變化，MP+NP的值是否發(fā)生變化,

若不變，求出皿尸+AP的值;若變化，求出使皿尸+AP取最小值時點P的坐標.

題目21］規(guī)定:把一次函數(shù)"—kx-\-b的一次項系數(shù)和常數(shù)項互換得"=b力+k,我們稱y—kx-\-b^\y—bx

+k(其中k?bW0,且IMW|b|)為互助一次函數(shù)，例如g=―|~力+2和g=2］一卷就是互助一次函數(shù).如

圖，一次函數(shù)g=fcc+b和它的互助一次函數(shù)的圖象。必交于P點，。,給與立軸，。軸分別交于AB點和

C,。點.

(1)如圖⑴，當k=—1,6=3時，請回答下列問題：

②Q是射線CP上一點(與。點不重合)，其橫坐標為求四邊形OCQB的面積S與m之間的函數(shù)關系

式,并求當&BCQ與XACP面積相等時m的值；

(2)如圖(2),已知點M(-l,2),N(—2,0).試探究隨著瓦6值的變化，皿P+NP的值是否發(fā)生變化？若不

變，求出MP+NP的值;若變化，求出使A1P+NP取最小值時的P點坐標.

?M

如圖1,等腰直角三角形ABC中，乙4cB=90°,CB=CA,直線DE經過點。，過A作AD

±DE于點D,過B作BEYDE于點H,則△BEC第△CD4我們稱這種全等模型為“K型全等”.

（不需要證明）

【模型應用】若一次函數(shù)y=A:a?+4（A:片0）的圖像與x軸、夕軸分別交于B兩點.

⑴如圖2,當％=—1時，若點B到經過原點的直線I的距離BE的長為3,求點A到直線I的距離

AD的長；

圖2

（2）如圖3,當k=—4時，點M在第一象限內，若是等腰直角三角形，求點

O

M的坐標；

圖3

（3）當k的取值變化時，點A隨之在，軸上運動,將線段BA繞點B逆時針旋轉90°得到BQ,連接

OQ,求OQ長的最小值.

20

一次函數(shù)綜合最值問題“將軍飲馬、胡不歸”

一、解答題

題目jJ已知一次函數(shù)u=4fcr+5k+^（A;A0）.

圖2

（1）無論k為何值,函數(shù)圖象必過定點，求該定點的坐標；

⑵如圖1,當k=—］時，一次函數(shù)沙=4?+5^+號的圖象交多軸，沙軸于4、3兩點，點曜是直線冊y

=c+1上一點,若S^IBQ—6,求Q點的坐標；

⑶如圖2,在⑵的條件下，直線69=2+1交48于點？，。點在①軸負半軸上，且甲，動點”

O

的坐標為（a,a）,求CM+MP的最小值.

【答案】⑴（號，普）

⑵（3,4）或（—1,0）

⑶可

【分析】（1）整理得y=（4a;+5）k+5（k豐0）,根據(jù)題意，得當4a?+5=0,求解得函數(shù)圖象必過定點

（一旦世〉

14,2八

（2）確定解析式V=如2+5A:+苧為y=-2z+4,點人坐標為（2,0）,點B坐標為（0,4）;設點Q坐標為

（m,m+l）,分情況討論:①當點。位于4B右側時，根據(jù)題意得S^QQ+S^OQ^S^OB+S^ABQ,^方程解得

館=3,點Q坐標為（3,4）;②當點。位于左側時，過點Q作QN//0軸，交AB于點N,點N的縱坐標為

（小+1）,QN=_^（m-1），于是S^AQN+SgQN=y義［―|-（m一1）］x4=6,解得m=-l,m+1=

0,Q坐標為（-1,0）;

⑶聯(lián)立得卜=一?j4,得pq⑵，設eg,。），由s41so=空，求得C的坐標為（-4,0），點M在直線9=

。上，點。關于直線沙=2對稱的點F的坐標為（0,—，連接MF,PF,則MF=MC,CM+MP=FM+

MP>PF,作PG_Lg軸，垂足為G,在放APGF中，PF=邛里，所以CM+MD的最小值為邛

【詳解】（1）解:整理得g=（4/+5）fc+普（卜#0）

不論k取何值時，上式都成立

/.當4/+5=0,即/=—^-時,g=-y-

?,.無論k為何值，函數(shù)圖象必過定點(一亳考)；

(2)當k―—時，一次函數(shù)g=4kc+5k+整為y=—2x+4,

當力=0時，y=4;當g=0時，-2c+4=0,6=2;

???點A坐標為(2,0);點B坐標為(0,4);

丁點。在直線L：g=力+1上，

設點Q坐標為(m,m+1);

①如圖，當點Q位于右側時，根據(jù)題意得S,OQ+S的Q=SMOB+

S^ABQ.

：.-1-x2(m+l)+yX4m=yX2x4+6.

解得？n=3.

點Q坐標為(3,4)；

②如圖，當點Q位于AB左側時，此時5曲=6,

過點。作QN〃力軸，交AB于點N,則點N的縱坐標為(山+1),

由y——2x+4,得？n+1=—2力+4,T=--—(m—3),

/.QN——^-(m—3)—m=--^-(m—1).

x

?**S“BQ=]QN.\yB-yA\=y[—|-(m-l)]x4=6,

解得m=—l,m+1=0,

Q恰好位于c軸上，此時Q坐標為(一1,0);

綜上所述：若$^均=6,。點的坐標為(3,4)或(-1,0);

⑶由⑵可得直線AB:y=-2x+4,聯(lián)立得[y=—?'+4,

〔沙=，+1

解得[工=；

5=2

.??^(1,2)

?.?點。在c軸的負半軸，設C(c,0)

則AC=2—c,

???OB=4，S/W

制(2-c)x4=^

解得c=_.

O

???點C的坐標為(—

，?,動點"的坐標為(Q,Q).

???點在直線g=力上.

?,.點。關于直線0=]對稱的點F的坐標為(°，一日)，

連接MF,PF,則MF=MC,CM+MP=FM+MP>PF

則PF為C/0+M尸的最小值；

作軸，垂足為G,

在RtNPGF中，PF=VPG2+FG2=，仔+（2+

.?.CM+MD的最小值為上駛.

【點睛】本題考查一次函數(shù)，圖象交點求解，軸對稱；結合題設條件，作線段的等量轉移，構造直角三角形求

解線段是解題的關鍵.

（1）無論k為何值,函數(shù)圖象必過定點,則該定點的坐標______;

⑵如圖1,當k=—/時，該直線交c軸，g軸于4B兩點，直線近。=。+1交AB于點P，點T是，2上一

點，若SAABT=9,求T點的坐標；

（3）如圖2,在第2問的條件下，已知。點在該直線上，橫坐標為1,。點在①軸負半軸，/ABC=45°,點M

是c軸上一動點,連接BA7,并將線段繞點"■順時針旋轉90°得到MQ,

①求點。的坐標；

②CQ+QD的最小值為.

【答案】⑴（號，*

（2）7點的坐標為（4,5）或（-2,-1）;

⑶（甘，。），亨

【分析】（1）將一次函數(shù)變形4fcr—g=—5k—3,根據(jù)圖像過定點，得到與%值無關，求出％,進而求出定點

坐標；

（2）求出直線解析式，設點T坐標為+分點T在AB兩側分類討論即可；

⑶先根據(jù)題意，求出點。坐標,根據(jù)將線段BM繞點、M順時針旋轉90°得至MQ,得至U點Q所在直線解析

式，求出點。對稱點。，連接求出。。的長即可.

【詳解】（1）解：一次函數(shù)o=4fac+5k+?=%（4a;+5）+5"，

???4。+5=0時，g=5，

解得：/=一,,。=獸

/.無論k為何值，函數(shù)g=4%力+5k+萼（kW0）圖像必過定點（一|-,雪）；

（2）當k=―會時，一次函數(shù)y=4far+5fc+粵為y=—2x+4,

當力=0時，。=4;當g=0,時，一2/+4=0,T=2;

???點A坐標為(2,0);點8坐標為(0,4)；

???點T在直線，2：9=力+1上，

設點T坐標為(m,m+1);

①如圖，當點T位于AB右側時，連接OT,

=S^ABT

根據(jù)題意得S^AOT+S^30T

yX2x(m+l)+yX4m=yX2x4+9

解得m=4,

???點T坐標為(4,5);

②如圖，當點T位于AB左側時，

根據(jù)題意得SAAOT+S^QOT+S^AOB~SAABT

yx2x(-m-1)+yx4x(-m)+yx2x4=9

解得m=-2,

.?.點T坐標為(-2,—1);

綜上所述：若隈方=9,T點的坐標為(4,5)或(一2,—1);

(3)如圖，將△Q4B沿直線4B翻折,得到4NAB,將/\OCB沿直線3。翻

折，得至I/XHCB，延長H。、M4交于點E,則四邊形BHEN為正方形，

：.BN=BH=HE=NE=OB=4,

NA=OA=2,AE=NE—AN=2,

設OC=n，則HC=n,CE=4—n,

在Rt^ACE中，2?+(4—n)2=(2+n)2,

解得九=春，

o

所以點c坐標為(—"，o),

②解：???。點在直線上g=—2/+4上，橫坐標為1,

/.y=-2X1+4=2,

所以點。坐標為(1,2);

設動點河的坐標為(a,0),

如圖所示，過點。作力軸，

???將線段W繞點加順時針旋轉90°得至UMQ,

：.BM=QM,ABMQ=90°,

??.ZOMB+ZQMH=90°

又/BOM=ZMHQ=90°,

??.AOMB+AMBO=90°,

???/QMH=/MBO,

???/\QMH^/\AMBO,

：.QH=OMfMH=OB=4

/.Q(Q+4,Q)

???點Q在直線g=力-4上運動，

如圖所示，設直線g=C一4與力軸交于點K,與g軸交與點G,則K(4,0),

4

???歐=告+4=*

oo

作C'KA.2軸，且C'K=CK=號，

則△CC'K是等腰直角三角形，KG，。。，

則C,。關于y=，-4的對稱，則C'Q+QD^CQ+QD>C'D,

此時如圖所示，則。（4,學）

CD=J（4—10+（號+2?=

故答案為：乂耍.

O

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與面積問題，求一次函數(shù)點的坐標，根據(jù)點的特點確定函數(shù)解析式，將軍飲馬

問題，半角模型等知識，綜合性強，難度較大.解題的關鍵是要深刻理解函數(shù)的意義，能從復雜的圖形中確

定相應的解題模型.

題目另如圖，一次函數(shù)v+2的圖象分別與立軸、沙軸交于點4B,以線段4B為邊在第二象限內作

等腰放△ABC,ZBAC=90°.（可能用到的公式:若人（0，m），B（x2,紡），①AB中點坐標為

（&；刈，叱％）；②AB=◎>+（%—?。?/p>

（1）求線段的長；

（2）過B、C兩點的直線對應的函數(shù)表達式.

（3）點。是BC中點,在直線AB上是否存在一點P,使得PC+PD有最小值？若存在，則求出此最小值；

若不存在,則說明理由.

【答案】⑴AB=2瓶

（2）y=~x+2

o

（3）存在，最小值是5V2

【分析】（1）求出點A、B的坐標，再根據(jù)勾股定理求解即可；

⑵先證明△ACF第△BA。,得出點。坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（3）作點。關于AB的對稱點“，連接MD交直線于點P,則此時PC+有最小值，即為MD的長,

根據(jù)中點坐標公式分別求出點。、”的坐標，再根據(jù)兩點距離公式求解.

【詳解】（1）對于夕=看2+2,令劣=0,則夕=2,

令y=0,則￡±+2=0,解得立=一4,

.??4—4,0）,5（0⑵，

AAB=A/22+42=2V5;

⑵作CF_L6軸于點F,如圖，則NCFA=AAOB=90°,

???^^Rt/XABC,ZBAC=90°,

AAC=AB,ZACF=90°-ACAF=ABAO,

：.AACF^ABAO,

I.CF=04=4,AR=BO=2,

*，?C(—6,4),

設直線BC的解析式為g=mx+n,

則「61+九=4,解得卜=T,

6=2辰=2

直線BC的解析式為y=~x+2;

O

(3)v。是BC中點，

.?.點。的坐標是(一3,3),

作點。關于AB的對稱點M,連接MD交直線AB于點P,則此時PC+PD

有最小值，且PC+PD=PD+PM=MD,即PC+PD的最小值是AiD的

長，

?.?ZCAB=90°,

力、河三點共線，且A是CM中點，

設M(p,q),則=—4,節(jié)2=0,

解得p=-2,q=-4,

Af(—2,—4),

故PC+PD存在最小值,是5V2.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質、利用軸對稱的性質求線段

和的最小值以及兩點間的距離公式等知識，具有一定的綜合性，熟練掌握相關知識、明確求解的方法是解

題關鍵.

題目@已知一次函數(shù)沙=krr+b(k20)與，軸交于點4(3,0)，且過點(7,8),回答下列問題.

(1)求該一次函數(shù)解析式；

(2)一次函數(shù)的解析式也稱作該直線的斜截式方程,如解析式y(tǒng)^kx+b我們只需要將y向右移項就可以

得到版一夕+b=0,將，前的系數(shù)k替代為未知數(shù)4將9前的系數(shù)1替代為未知數(shù)6,將常數(shù)項b替代為

未知數(shù)C,即可得到方程Ar+53+。=0,該二元一次方程也稱為直線的一般方程(其中A一般為非負整

數(shù),且力、B不能同時為0).一般地，在平面直角坐標系中，我們求點到直線間的距離，可用下面的公式求

解：

點P(如如到直線Ax+By+C=0的距離(d)公式是：d=/3+即+0

VA2+B2

如：求：點P(l,1)到直線y——9c+的距禺.

解:先將該解析式整理為一般方程：

(1)移項一-9r—?/+-1-=0

o/

(〃)將A化為非負整數(shù)即得一般式方程：2/+69-9=0

2xl6xl

由點到直線的距離公式，得d=l+^l=s=嚕

V2WV4020

①根據(jù)平行線的性質，我們利用點到直線的距離公式，也可以求兩平行線間的距離.

已知(1)中的解析式代表的直線與直線2c—夕+9=0平行，試求這兩條直線間距離；

②已知一動點F(t2,t)(t為未知實數(shù))，記％為點P到直線3c—49+7=0的距離(點P不在該直線上)，求

h的最小值.

【答案】(1)夕=2c—6;

⑵①3居;②圣.

15

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出該一次函數(shù)解析式；

⑵根據(jù)平行線間距離處處相等可知，點人到直線2/—9+9=0的距離即為兩條平行線間距離，再利用點

到直線的距離公式，即可求出這兩條直線間距離；

(3)利用點到直線的距離公式，得到h='T+7I，令館=3^—4t+7,利用二次函數(shù)的性質，求得最小

5

值,進而即可求出九的最小值.

［詳解】⑴解：:一次函數(shù)y=kx+b(kW0)與力軸交于點4(3,0),且過點(7,8),

(3k+b=0解得.9=2

J17k+6=8,牛于.訕=_6，

該一次函數(shù)解析式為夕=2/一6;

(2)解:①T一次函數(shù)解析式為g=26一6,

整理得：2/一g—6=0,

??,點A(3,0)在直線g=26一6,

???點A到直線2力一g+9=0的距離即為兩條平行線間距離，

將點A代入距離公式，得：d=憶0坦:萃=3日

/2+(—V5

這兩條直線間距離為3/5;

令m=31-4t+7=3”制+號，

當t="|■時，7rl有最小值為與＞0,

oJ

h的最小值為=與~

515

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質等知識，讀懂題意，掌握點到直線的距

離公式是解題關鍵.

題目可如圖，一次函數(shù)"=for+6的圖象交力軸于點A,OA=4,與正比例函數(shù)g=3/的圖象交于點_B,B

點的橫坐標為1.

yjk

OfX

y=kx+b

(1)求一次函數(shù)y—kx-\-b的解析式；

(2)若點。在U軸上,且滿足S^BOC=，求點。的坐標；

⑶若點。(4,—2),點P是沙軸上的一個動點，連接BD,PB,PD,是否存在點P,使得4PBD的周長有最

小值？若存在，請直接寫出△PBD周長的最小值.

【答案]⑴y=_/+4

(2)0(0,6)或。(0,—6)

(3)存在，5V2+V34

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；

(2)設點。的坐標為(0,4),則OC—|t|,再根據(jù)點B的坐標，得出\xB\=1,|沙』=3,再根據(jù)三角形的面積公

式，得出心。。二皿產二號下田產三筍=6,再根據(jù)題意，列出方程，解出即可得出答案；

⑶根據(jù)兩點間的距離公式，得出6。=俯，再根據(jù)三角形的周長，得出要使△PBD周長的最小值，只需

求的最小值，作點B關于9軸的對稱點M■，則M的坐標為(一1,3),連接DM，根據(jù)線段最短，得

出DM為PB+PD的最小值，再根據(jù)兩點間的距離公式，計算得出DM=5V2,再根據(jù)三角形的周長公式,

計算即可.

【詳解】(1)解：:點"8是g=3/的圖象上的點，橫坐標為1,

???點石坐標為(1,3).

???OA=4,

?,?點4坐標為(4,0).

將4,B兩點坐標分別代入g=far+b,

p/0=4k+b

仔(3=k+b'

解得仁丁

:.一次函數(shù)的解析式為“=—c+4;

(2)解:設點C的坐標為(0工)，則OC=\t\,

???5(1,3),

|遍=1,|調=3,

?：OA—4：,

_|t|xl_|t|_4x3_R

??DABOC—2一~2'^^03~2一0，

?*S^BOC=，

.4=]x6,

r.|4=6,

；.t=6或力——6,

.?.0(0,6)或。(0,—6)；

(3)解:存在點P,使得中打。的周長有最小值，理由如下：

V5(1,3),￡)(4,-2),

BD=V(l-4)2+(3+2)2=V34,

?//\PBD的周長=PB+PD+BD,

要求△PBD周長的最小值，只需求PB+PD的最小值.

如圖，作點B關于y軸的對稱點Al,則M的坐標為（一1,3）,連接DM,

則PB+PD^DW,即DM為PB+PD的最小值.

DM=V（-l-4）2+（3+2）2=V50=5V2,

4PBD周長的最小值為:PB+PD+BD=5V2+V34.

【點睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式、坐標與圖形、兩點間的距離、點關于坐標軸的軸對稱點、線段最短，

解本題的關鍵在熟練掌握兩點之間的距離公式.

題目回在平面直角坐標系砌;中，一次函數(shù)V=*E+3的圖像分別與2軸、夕軸交于4B兩點，點。為2

軸正半軸上的一個動點，設點。的橫坐標為九

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）點。為平面直角坐標系cog中一點，且與點A、B、。構成平行四邊形ABCD.

①若平行四邊形ABCD是矩形，求t的值；

②在點。運動的過程中，點。的縱坐標是否發(fā)生變化,若不變，求出點。的縱坐標；若變化，說明理由;

③當t為何值時,BC+BD的值最小,請直接寫出此時t的值及BC+BD的最小值.

【答案】⑴4-4,0）,B（0,3）

（2）①,;②點。的縱坐標不變，是一3;③t=2時，BC+BD最小值為9

【分析】（1）根據(jù)坐標軸上點的特點直接代值求解即可；

⑵①矩形可知90°,證明相似三角形后直接通過邊的關系列方程求解即可；

②根據(jù)平行四邊形的平移規(guī)律直接寫出。點縱坐標即可；

③求最短路徑的題，與造橋選址類似，平移后三點共線即為最小值.

【詳解】（1）沙=日c+3中，令0=0,則g=3

令g=0,則x=-4

AA(-4,0),B(0,3)

(2)①若平行四邊形ABCD是矩形

—

則8。-LAB

???AO_LBO

：./XABO-^BCOO46A

.OB_PC

"~OA~~OB

vA(-4,0),B(0,3)D

-4-

:.OA=4,OB=3

:.OC—t=-7-;

4

②點。的縱坐標不變，

4B、。構成平行四邊形ABCD.

4—4,0)/。3),?！?0)

AA向上平移3個單位長度得到8,則。向下平移3個單位長度得到D

.?.￡)點縱坐標為-3.

③將NBCD平移至AC'BA

。'(—t,6),D(t—4,—3)

(BC+BZ?)min=DC—y/(—t—1-\-4)2+(6+3)2=yj(2t—4)2+81,

當力=2時，(8O+BO)min=V§T=9

246X

【點睛】此題考查一次函數(shù)與相似三角形的綜合題型，解題關鍵是找到相似的三角形，得到邊長之間的數(shù)量

關系，難點是判斷此題為造橋選址的同類型題.

(題目|7［已知，一次函數(shù)y=(2-+4與9=一(土+1)，一2的圖像相交于點P,分別與y軸相交于點A.B.

其中t為常數(shù)，tW2且t片一1.

y

4

-4-3-2-10

(1)求線段AB的長；

(2)試探索4ABP的面積是否是一個定值？若是，求出AABP的面積;若不是，請說明理由；

(3)當t為何值時，AABP的周長最小,并求出周長的最小值.

【答案】⑴6

⑵是，6

(3)t=J,A4BP周長最小值為2，m+6

【分析】⑴分別令劣=0,求出v值，得到A和B的坐標，從而可得48的長;

(2)求出點P坐標，利用三角形面積公式求出△4BP的面積即可;

(3)畫出圖形，分析得出要&ABP的周長最小，則要AP+BP最小，作點人關于直線/=一2對稱的點A

(-4,4),連接AB,找到此時點P的位置，求出直線4B的表達式，可得點P坐標，可得t值,再根據(jù)點的坐

標求出周長的最小值.

【詳解】(1)解:在g=(2—t)x+4中，

令6=0,則g=4,

在y=—(t+1)%一2中，

令力=0,則y=-2,

.-.A(0,4),B(0,-2),

??.AB=4—(—2)=6;

(2)???圖像相交于點P,

令(2—t)x+4=—(t+1)⑦一2,

解得：x=—2，代入g=(2—t)x+4中，

y——2(2—t)+4=2%,

P(—2,2力),

*e?S4ABp=]x\xP\xAB=x|—2|x6=6;

⑶如圖，???P(—2,2。，

???點P在直線1=—2上，

若要△ABP的周長最小，而AB=6,

???當AP+BP最小即可，

作點Z關于直線力=-2對稱的點A(—4,4),連接48,與直線力=-2交于點P,

此時AP+BP,設直線AB的表達式為y=kx+bf

則匕—*6,解得:上小，

「2=6[b^-2

直線_A'_B的表達式為y=—一2,

令x=-2，則沙=1,即P(-2,1),

則2i=1,解得:t=/，

此時AP=V22+32=V13,BP=V22+32=V13,

/\ABP的周長最小值為PA+PB+AB=2V13+6.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合，最短路徑問題，勾股定理，解題的關鍵是注意⑶