整式的運(yùn)算與因式分解（講練）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)

2023耳中考敏老總復(fù)習(xí)一裕耕依惻（）

第一單克極易式

考版02卷式的運(yùn)算房出式名、解（釬秣）

廠一復(fù)習(xí)目標(biāo)

熱身練習(xí)

__________________________/--，---------------------

整式的運(yùn)算與因式分解］I基礎(chǔ)梳理

考點(diǎn)一整式及其加減運(yùn)算

［考點(diǎn)二、鬲的運(yùn)算

------------考點(diǎn)三、整式的乘除及化簡(jiǎn)求值

深度講練考點(diǎn)四、乘法公式及應(yīng)用

［考點(diǎn)五、因式分解

考點(diǎn)六、數(shù)字與圖形的變化規(guī)律

0

1、能并用代數(shù)式表示，會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定問題找到所需要的公式，并會(huì)代入具體的值進(jìn)行計(jì)算.

2、掌握同類項(xiàng)及合并同類項(xiàng)的概念，并能熟練進(jìn)行合并；掌握同類項(xiàng)的有關(guān)應(yīng)用.

3、掌握去括號(hào)與添括號(hào)法則，充分注意變號(hào)法則的應(yīng)用；會(huì)用整式的加減運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)

及求值.

4、同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算性質(zhì)的過程，感受早的意義，發(fā)展推理能力和表達(dá)能力，提高計(jì)算能力.

5、了解整式乘法的有關(guān)法則，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加、減、乘、除運(yùn)算以及化簡(jiǎn)求值問題.

6、會(huì)推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；會(huì)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解.

7.會(huì)用提取公因式法、公式法（直接用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）.

1.（2022?嘉興）計(jì)算/.0=（）

A.aB.3aC.2a2D.a3

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即可解決問題.

【解答】解：原式=/2=/.

故選：D.

2.(2022?臺(tái)州)下列運(yùn)算正確的是()

A.a1-a3=a5B.(a2)3=a,C.(a2b)3-a2b3D.a6-i-a3=a2

【分析】根據(jù)同底數(shù)的幕的乘除，幕的乘方與積的乘方法則逐項(xiàng)判斷.

【解答】解：a2-a3=a5,故/正確，符合題意；

(。2)3=/,故8錯(cuò)誤，不符合題意；

(a26)3=a6b3,故C錯(cuò)誤，不符合題意；

a6^a3=a3,故D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

3.(2022春?余杭區(qū)期中)已知9,=25〉=15,那么代數(shù)式(x-l)(y-l)+孫+3的值是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】先關(guān)鍵已知條件得到x+y=2xy,在整體代入到整理后的代數(shù)式即可.

【解答】解：；9'=25y=15,

9xy=15v,25砂=153

.?.15X+〉=(9X25甲=(3x5)2力

:.x+y=2xy,

(x-l)(j-l)+xy+3

=xy-{x+y')+\+xy+3

=2xy-(x+y)+4

=4.

故選：A.

4.(2022?金華模擬)把一根起點(diǎn)為0的數(shù)軸彎折成如圖所示的樣子，虛線最下面第1個(gè)數(shù)字是0,往上第

2個(gè)數(shù)字是6,第3個(gè)數(shù)字是21,…，則第10個(gè)數(shù)字是()

012345

A.378B.372C.482D.389

【分析】觀察根據(jù)排列的規(guī)律得到第1個(gè)數(shù)字為0,第2個(gè)數(shù)字為0加6個(gè)數(shù)即為6,第3個(gè)數(shù)字為從6開

始加15個(gè)數(shù)得到21,第4個(gè)數(shù)字為從21開始加24個(gè)數(shù)即45,…，由此得到后面加的數(shù)比前一個(gè)加的數(shù)

多9,由止匕得至U第"個(gè)數(shù)字為0+6+(6+9xl)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(〃-2)](〃>2),

然后得到結(jié)論.

【解答】解：???第1個(gè)數(shù)字為0,

第2個(gè)數(shù)字為0+6=6,

第3個(gè)數(shù)字為0+6+15=21=0+6+(6+9x1)

第4個(gè)數(shù)字為0+6+15+24=45=0+6+(6+9*1)+(6+9*2),

第5個(gè)數(shù)字為0+6+15+24+33=78=0+6+(6+9xl)+(6+9x2)+(6+9x3),......,

第"個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)字為0+6+(6+9x1)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(〃_2)](〃>2),

.,.第10個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)字為0+6+(6+9x1)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(10-2)]=378,

故選：A.

5.(2021?勤州區(qū)模擬)如圖，在矩形/BCD中，將兩種直角邊長(zhǎng)分別為。和6(。>6)的等腰直角三角形按

設(shè)圖1,圖2兩種方式放置(圖1,圖2中兩張等腰直角三角形紙片均有重疊部分)，矩形未被這兩張等腰

直角三角形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1陰影部分的面積為圖2中陰影部分的面積為邑.當(dāng)

AD=S,NB=10時(shí)，百-邑的值為()

圖1圖2

A.a+b—9B.a+b—7C.a+b—6D.a+b—5

【分析】延長(zhǎng)尸G交/。于點(diǎn)E,過G作GHLND于“，延長(zhǎng)/K交CD于點(diǎn)N,過K作KCCD于Z,

先根據(jù)題意表示出M、GH、MN和KZ的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出岳和邑，再計(jì)算月-邑即可得出答案.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)PG交/D于點(diǎn)￡,過G作GHLND于〃，延長(zhǎng)瓜交CO于點(diǎn)N,過K作KZJ.CD

于￡,

■■■ADQF=ZDFQ=ZAEP=NAPE=45°,

AGEb為等腰直角三角形，

???GHLAD,

EH=HF=GH,

■：AD=8,AS=10,

:.EF=a+b-8,GH=^(a+b-8),

同理：MN=a+b-lO,KL=^(a+b-lQ),

,22

.?..S1=8xl0-1a-1z7+i-(a+/7-8)xi-(a+/)-8)

=80--a2--b2+-(a+b-^2,

224

22

S2=8x10-1a-1z>+1(t7+Z>-10)xl(a+Z)-10)

=80-：/一;/+；(a+6—10)2,

：.s{-s2

=80--a2--Z>2+-(a+/>-8)2-[80--a2--^2+H：a+Z7-10)2]

224224

=80一家-；62+3+6-8)2-80+好+32-卜+6-10)2

1,1,

=-(a+&-8)2--(a+Z7-10)2

44

=-[(a+/)-8)+(a+/>-10)][(a+Z)-8)-(a+/>-10)]

4

=；(2a+26-18)x2

=；x2(a+b-9)x2

=a+Z?—9，

故選：A.

6.(2022?富陽區(qū)二模)計(jì)算4q+2a-3a的結(jié)果等于_3Q_.

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則計(jì)算即可.合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù),

字母和字母的指數(shù)不變.

【解答】解：4a+2a-3a

=(4+2—3)。

=3a.

故答案為：3a.

7.(2022?椒江區(qū)二模)若/一2%—3=0,則3%2一6%-6=3.

【分析】根據(jù)題意得：/_2%=3,整體代入求值即可.

【解答】解：???——2x—3=0,

/.x2-2x=3,

原式=3C?_2x)_6

=3x3—6

=9-6

=3.

故答案為：3.

8.(2022?余杭區(qū)一模)已知(a+b)2=64,a1+Z>2=34,則仍的值為15

【分析】利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案.

【解答】解：（?+b）2=64,

/./+/+2ab=64,

?.?/+〃=34,

34+2ab=64，

ab=15，

故答案為：15.

9.（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)正整數(shù)"，記lx2x...x〃="！若M=l!x2!x...x6!,則M的正因數(shù)中

共有完全立方數(shù)為10個(gè).

【分析】先把M分解成=212x35x52的形式，然后分別討論2%35,52,含有的立方數(shù)約數(shù)，最后求解.

【解答］解：M=\!x2!x3!x4!x5!x6!=212x35x52,

???一個(gè)完全立方數(shù)〃（幾屬于M）應(yīng)該具有的形式為〃=23*33丁53z（x,y,Z均為自然數(shù)），且3/12,3%5,

3z,,2，

故這樣的〃有5x2x1=10個(gè),

故答案為10.

10.（2022?麗水二模）如圖1,將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形紙片剪去兩個(gè)全等小長(zhǎng)方形，得到圖2,再將剪

下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖3）,若圖3的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為3。，則6的值為一《一

圖3

【分析】根據(jù)圖形給出的已知條件列出算式，進(jìn)行整式加減即可得結(jié)論.

【解答】解：觀察圖形可得:

圖3的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)30=2（10-6）+2（10-36），

解得6=2.

4

故答案為：

4

11.(2022?溫州校級(jí)模擬)計(jì)算：(1)V9-(^+l)0+(1)-'-2cos60°；

化簡(jiǎn)：(2)(x-2)(x+2)+x(l-x).

【分析】(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算算術(shù)平方根、零指數(shù)毫、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、特殊角余弦值,

再計(jì)算加減.

(2)根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法.

【解答】解：(1)V9-(^+l)°+(1)-1-2cos60°

=3-l+2-2x-

2

=3-l+2-l

=3.

(2)(x-2)(x+2)+x(l-x)

——4+x—%?

=x-4.

12.(2022?蕭山區(qū)二模)化簡(jiǎn)：(x+2>-(x+l)(尤-1).

方方的解答如下：

(X+2)2-(X+1)(X-1)=X2+4-X2-1=3.

方方的解答正確嗎？如果不正確，請(qǐng)寫出正確的解答過程.

【分析】利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：方方的解答不正確，

正確的解答過程如下：

(x+2)2—(x+1)(%—1)

=x2+4.v+4—(x2-1)

=x2+4%+4-x2+1

=4x+5.

13.(2022?永嘉縣三模)(1)計(jì)算：V4+1-3|-(V5)°+(-2)x3.

(2)化簡(jiǎn)：(加一”)(2加+3〃)—工冽(2加+8〃).

【分析】(1)先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

【解答】解：(1)原式=2+3-1-6

=-2；

(2)MS,=2m2+3mn-2mn—3n2-m2—4mn

=m2-3mn-3n2.

14.(2021?余杭區(qū)模擬)給出三個(gè)多項(xiàng)式：①/+3M一262,②/一3a6,③仍+6/.請(qǐng)任請(qǐng)選擇兩個(gè)多

項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果分解因式.

【分析】任選兩式利用整式的加減運(yùn)算合并同類項(xiàng)，再利用公式法分解因式即可.

21222

【解答】解：①+②得：a+3ab-2b+b-3ab=a-b=(a+b\a-b).

①+③得：a2+3ab-2b2+ab+6b2=/+4ab+4b2=(a+2b)2.

②+③得：b~-hab+ab+6b2=1b1-lab=b(Jb-2a).

15.(2019?拱墅區(qū)校級(jí)模擬)已知a,6互為相反數(shù)，

(1)計(jì)算：a+b,a1-b2,a3+b3,a4-b4,......的值.

(2)用數(shù)學(xué)式子寫出(1)中的規(guī)律，并證明.

【分析】(1)用平方差公式計(jì)算用降次的方法將/+/化為g+6)(/一必+/)的形式求

解；

(2)總結(jié)代數(shù)式的規(guī)律為a"+(-1)向6"=0,然后分〃為奇偶數(shù)討論證明即可.

【解答】(1)-：a=-b,

:.a+b=0,

a2-b2=(a+b)(a-b)=0,

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=0,

a4-b4=(a2-b1)(a2+/)=(Q+b)(a-b)(a2+b2)=0

(2)通過上面的計(jì)算可得：陵+(-1)"b=0

證明：①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

a"+(-iy+'b"^an+b",

■：由楊輝三角知優(yōu)+6"總可以表示為(a+6)乘以一個(gè)整式的積的形式,

a"+b"=0,

②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2加，7M為整數(shù)，

a"+㈠嚴(yán)，=a"_6”

=a2m-b2m

=(，')2-3m)2

=(am-bm)(am+bm)

而(a'"+，)也是最終總可以表示為(a+6)和一個(gè)整式的乘積,

:.^a=-b,a"+(T)”“=0成立.

1.整式的概念及整式的加減

(2)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)

式.一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù),單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式

的系數(shù).

(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式,多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式

的次數(shù),不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

(4)同類項(xiàng)以及合并同類項(xiàng)法則：多項(xiàng)式中，所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng),叫做同類

項(xiàng).合并同類項(xiàng)的法則是：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

2.整式的乘除

(1)幕的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)同底數(shù)幕相乘：am?an=am+n(m,n都是整數(shù)，a#0).

(2)幕的乘方：〃都是整數(shù)，aWO).

(3)積的乘方：(")"=??b"(n是整數(shù),a#0,6W0).

(4)同底數(shù)幕相除：d"+a"=a"「"(m,n都是整數(shù)，。/0).

(2)整式乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，

作為積的因式.

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m(a+6)=7力。+mb.

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：(。+6)-+m=改+/+式+4.

(3)乘法公式：

①平方差公式：(a-\-b')(g—b}=a2—b2.②完全平方公式：(a+b')2=a2+2<7Z>+Z>2.

(4)整式除法：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相除,作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指

數(shù)作為商的一個(gè)因式.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加.

3.因式分解

(1)因式分解的概念：

把，一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做因式分解.因式分解與整式的乘法是互逆變形.

(2)因式分解的基本方法：

①提取公因式法：ma-\-mb-\-mc=m(g-\-b-\-c).

②公式法：運(yùn)用平方差公式：a2—b2=+.

運(yùn)用完全平方公式：a2+2ab+b2—(a±b)2.

(3)因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式.

②如果各項(xiàng)沒有公因式，那么盡可能嘗試用公式法來分解；如果項(xiàng)數(shù)較多，要分組分解.

③分解因式必須分解到不能再分解為止，每個(gè)因式的內(nèi)部不再有括號(hào)，且同類項(xiàng)合并完畢，若有相同因式

需寫成幕的形式.

④意題中因式分解要求的范圍，如在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x4-9=(x2+3)(x2-3)；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因

式，X，-9=(/+3)(x+3)(x—3)，題目不作說明的，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

考點(diǎn)一卷W4共加滿運(yùn)算

例1.(2022秋?金東區(qū)期中)先化簡(jiǎn)，再求值.

(1)(3a2-7a)+2(a2-3a+2),其中。=1.

(2)3孫(3丹-2孫2)-4(xy2-x2y),其中x=-4,y=l.

【分析】(1)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x,y的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)(3a2-7a)+2(a2-3a+2)

=3a2-7a+2q2-6a+4

=5a2-13a+4,

當(dāng)a=l時(shí)，原式=5X12-13X1+4

=5-13+4

=-4；

(2)3xy2+C3x2y-2xy2)-4(xy2-x2y)

=3xy2+3x2y-Ixy2-

=-3盯2+71,

當(dāng)x=-4,y=l時(shí)，原式=-3X(-4)X12+7X(-4)2X1

=12X1+7X16X1

=12+112

=124.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中)下列說法正確的是()

A.q是代數(shù)式，1不是代數(shù)式

B.—生罌的系數(shù)—需，次數(shù)是4

C.孫的系數(shù)是0

D.。、6兩數(shù)差的平方與°、6兩數(shù)的積的4倍的和表示為(a-b)2+Aab

【分析】根據(jù)代數(shù)式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念及單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)的定義解答.

【解答】解：/、。是代數(shù)式，1也是代數(shù)式，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、單項(xiàng)式-出察的系數(shù)是-普，次數(shù)是3,原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、xy的系數(shù)是1,原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、a、b兩數(shù)差的平方與a、6兩數(shù)的積的4倍的和表示為(a-b)2+4ab,原說法正確，故此選項(xiàng)符合

題意.

故選：D.

2.(2022秋?拱墅區(qū)期中)代數(shù)式2(4b-1)去括號(hào)后得()

A.a-Sb-1B.a-8b+lC.a-Sb-2D.a-8/)+2

【分析】直接利用去括號(hào)法則化簡(jiǎn)判斷得出答案.

［解答］解：a-2(4/j-1)=a-86+2,

故選：D.

3.(2022秋?金東區(qū)期中)已知-5%，3和9/y是同類項(xiàng)，則冽-〃的值是()

A.-1B.-5C.1D.5

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，求出加、〃的值，再代入計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)?57>3和9壯〃是同類項(xiàng)，

所以m=2,〃=3,

所以m-n=2-3=-1,

故選：A.

4.(2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中)化簡(jiǎn)：

(1)3加2-2H2+2(/-〃2)

(2)xy+2y2+(x2-3xy-2y2)-2(x2-xy)

【分析】(1)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可；

(2)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：(1)3加2-2層+2(加2-加2)

=3冽2-2n2+2m2-2n2

=5冽2-4〃2；

(2)xy+2y2+(x2-3孫-2y2)-2(x2-盯)

=xy+2y2+x2-3xy-2j2-2x2+2xy

=-x2.

5.(2022秋?拱墅區(qū)期中)求值：

(1)當(dāng)。=-2時(shí)，求4/-3a-(2a^+a_1)+2(2-Q2-4Q)的值；

1Q111

(2)當(dāng)|x-1|+S+2)2=0時(shí)，求一分3?2_豺+分3y2+甘砂73y-5+X3J的值.

【分析】(1)首先利用去括號(hào)法則去括號(hào)，注意括號(hào)前面是負(fù)號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)和負(fù)號(hào)后，括號(hào)里的每一

項(xiàng)都要改變符號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后把。的值代入計(jì)算即可.

(2)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求出a、b的值，然后將代數(shù)式化簡(jiǎn)再代值計(jì)算.

【解答】解：(1)442-3a~(1a~+a-1)+2(2-a2-4a)

=4a2-3。-2a2-a+1+4-2a2-8a

-12〃+5,

將。=-2代入得：

原式=-12X（-2）+5=29；

（2）V|x-1|+。+2）2=0,

.*.%-1=0,尹2=0,

??%=1,y~~2,

132913711Q3

-尹丁尹+尹丁+~4xy-x?-5+x?

1u

=-^xy-5,

當(dāng)x=\,y=-2時(shí)，

原式=*X1X（-2）-5

=-1-5

=-6.

考點(diǎn)二、果的運(yùn)算

例2.（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期中）（1）若10A=3,10丫=2,求代數(shù)式用戶制的值.

（2）已知:3加+2〃-6=0,求8那的值.

【分析】（1）直接利用同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則將原式變形求出答案；

（2）直接利用同底數(shù)嘉的乘法運(yùn)算法則將原式變形求出答案.

【解答】解：⑴V10^=3,10y=2,

二代數(shù)式l（）3x+4v=（10、）3X（10v）4

=33X24

=432；

(2)?；3加+2〃-6=0,

3加+2〃=6,

.?.8加?4〃=23m?*n=23W+2W=26=64.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?拱墅區(qū)期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a*a2=a2B.2a+3b=5ab

C.a6-a2=a4D.(-2a2)3=-8a6

【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)幕的乘法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：A.a-a2=a\故N不符合題意；

B、2a與"不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故8不符合題意；

。、法與不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故C不符合題意；

D、(-2a2)3=-8a6,故。符合題意；

故選：D.

2.(2022春?鹿城區(qū)校級(jí)期中)(—3)2。2小(—抒。22的值為()

1

A.1B.-1C.D.-3

【分析】利用積的乘方的法則進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(—3)2021X(-，。22

=(-3)2021X(-1)2021X(-1)

=[(-3)X(-1)]2021X(-1)

=仔021x(_1)

1

=1X(-R

1

=一子

故選：C.

3.(2022春?海曙區(qū)校級(jí)期中)已知1/=2,1(F=3,則lO2^》等于()

A.36B.72C.108D.24

【分析】利用同底數(shù)幕的乘法的法則及幕的乘方的法則對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即

可.

【解答】解：當(dāng)ICnZ,10丫=3時(shí)，

JQ2X+3J>

=IO2XXIO3^

=(11)2X(1。)3

=22X33

=4X27

=108.

故選：C.

4.(2022?金華校級(jí)開學(xué))已知/”=4,人4"=36,則°”?必"的值為土芋.

【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算以及幕的乘方運(yùn)算即可求出答案.

【解答】解：當(dāng)。2"=4,盧=36時(shí),

(an)2=4,(b2n)2=36,

an=+2,b2n=±6

：.anb2n=(±2)X(±6)=±12,

故答案為:±12.

11

5.(2022春?竦州市期末)已知10。=20,1006=50,則［a+2+.的值是2.

【分析】利用幕的乘方的法則對(duì)已知條件進(jìn)行整理，再代入所求的式子進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：：10"=20,10()6=50,

A10a=20,102*=50,

/.10°X1026=20X50,

10?+2*=103,

??a+2b=3,

?,?原式=2(a+2b)2

_3,1

=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)三、餐般的來除女也前忒值

例3.(2022春?江干區(qū)校級(jí)期中)(1)填空：

①/?丁+d*x—2。；

②(3x2y)24-(-9X4J)=-v.

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：(2x+l)(x-2)-(x+1)(x-1),其中x=2.

【分析】(1)①先算同底數(shù)的幕相乘，再分別同類項(xiàng);

②先算積的乘方和幕的乘方，再算單項(xiàng)式的除法；

(2)先展開，再分別同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)后將x=2代入即可.

【解答】解：(1)①/?X3+X4?X=X5+X5=2X5；

22

②(3xy)4-(-9XR)=9%知2+(_先如)=-yf

故答案為：①2%5；(2)-y；

⑵原式=2/-4x+x-2-(x2-1)

=2/-4x+x-2-f+i

=x2-3x-1,

當(dāng)x=2時(shí),

原式=22-3X2-1

=4-6-1

=-3.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中)下列計(jì)算正確的是()

A.3tz2-a2=3B.(-3a+b)(3a+b)=9a2-b1

C.(a+l)(a-2)—a2+a—2D.(-2a2)3--Sa6

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、平方差公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則及積的乘方與幕的乘方逐一計(jì)算即可.

【解答】解：A.3a2-a2=2a2,此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；

B.(~3a+b)(3a+b)=b2-9a2,此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；

C.(a+l)(a-2)=a2-(Z-2,此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；

D.(-2?2)3=-8a6,此選項(xiàng)計(jì)算正確；

故選：D.

2.(2022春?杭州期中)已知。=(-2)°,6=(-2尸,則a與b的大小關(guān)系為()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a...b

【分析】直接利用零指數(shù)幕的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?5=(-2)°=1,/7=(-2)-'=-1,

a>b.

故選：A.

二.填空題（共2小題）

3.（2022春?竦州市期中）已知2"=3,8=6,22A3匕的值為1$.

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的除法和嘉的乘方公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再整體代入計(jì)算便可.

【解答】解：22a-3b=（2a）24-（23=32-86=9-6=1.5,

故答案為：1.5.

4.（2022?永康市模擬）現(xiàn)有/,B,C三種型號(hào)的紙片若干張，大小如圖所示.從中取出一些紙片進(jìn)行無

空隙、無重疊拼接，拼成一個(gè)長(zhǎng)寬分別為11和5的新矩形，在各種拼法中，3型紙片最多用了7張.

【分析】根據(jù)各種卡片的面積，張數(shù)與面積之間的關(guān)系列出方程，根據(jù)方程的正整數(shù)解得出答案.

【解答】解：設(shè)拼成一個(gè)長(zhǎng)寬分別為11和5的新矩形，需要/,B,。三種型號(hào)的紙片。張、6張、c張,

由題意得，

4。+66+9。=11x5，

又，：a、b、。為正整數(shù)，若使b最大，則。、。最小,

.,.當(dāng)。=1,。=1時(shí)，6最大，b=7,拼圖如圖所不：

故答案為：7.

ABBB

BCBBB

三.解答題（共2小題）

5.（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）（1）計(jì)算：|-21-百+2022°-2?；

（2）化簡(jiǎn)：（2。-1）2—4。（。一3）.

【分析】（1）利用絕對(duì)值的定義、零指數(shù)幕、算術(shù)平方根、乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可;

（2）利用完全平方公式，合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)整理多項(xiàng)式.

【解答】解：（1）原式=2-3+1-4

=-4；

(2)原式=4/-4。+1-4。2+12。

=8(2+1.

6.(2022?義烏市模擬)化簡(jiǎn)并計(jì)算：(1-2x)2-(2x+1)(2尤-1)-(3+2x)(1-2尤)，其中x=g.

【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1-2尤了一(2x+1)(2尤一1)-(3+2x)(1-2x)

=1-4x+4x2-4x2+1-3+4x+4x2

=4X2-1,

當(dāng)x=g時(shí)，原式=4x(g)2-i

=4x--l

4

=1-1

=0.

考點(diǎn)8、乘位公成用

例4.(2022春?蘭溪市期中)已知：x+y=6,xy=3.求下列各式的值：

(1)x2+4xy+y2

(2)x4+/

【分析】(1)利用完全平方公式變形可得答案；

(2)首先求出，+產(chǎn)=30,再根據(jù)完全平方公式變形可得答案.

【解答】解：(1)9：x+y=6,初=3,

.*.x2+4A7-b72

=x2+2xy+y2+2xy

=(x+y)2+2xy

=36+6

=42；

(2)?69xy~~3,

.\x2+y2=(x+y)2-2盯=36-6=30,

.*.x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2

900-2X9

=900-18

=882.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?長(zhǎng)興縣開學(xué)）已知：a+b=5,a-b=\,貝!J/-y=（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】把所求式子變形為（a+b）（a-b）,再整體代入即可.

【解答】解：??Z+b=5,a-b=\,

?'.a2-b2=（a+b）Qa-b）=5X1=5,

故選：A.

2.（2022春?南沼區(qū)期末）若多項(xiàng)式9/+冽x+1是完全平方式，則符合條件的所有冽的值為（）

A.±6B.-6C.6D.±18

【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=（3x）2+mx+l2=（3x±l）2,

所以冽=2X3X1=6或冽=2X3X（-1）=-6,

因此m=±6,

故選：A.

3.（2022春?紹興期末）如圖，有甲、乙、丙三種紙片各若干張，其中甲、乙分別站邊長(zhǎng)為或b的正方形,

丙是長(zhǎng)為從寬為〃的長(zhǎng)方形.若同時(shí)用甲、乙、丙紙片分別為4張、9張、12張拼成正方形，則拼成

的正方形的邊長(zhǎng)為（）

a

A.a+2bB.a+3bC.2a+3bD.3a+2b

【分析】先求出拼成后的正方形的面積，然后根據(jù)正方形的面積即可求出正方形的邊長(zhǎng).

【解答】解：由題意可知拼成的正方形面積為：4^+12仍+9后，

???正方形的邊長(zhǎng)為：V4a2+12ab+9按=J（2a+3b）2=2a+3b,

故選：C.

4.（2022春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如果q-b=4,ab=\,貝I」（2o+2b+l）（2a+2b-l）=79

【分析】利用平方差公式計(jì)算（2。+26+1）（2。+26-1）=（2a+26）2-1=4（層+2仍+后）-1,由已知

得(a-6)2=16,再由ab=l得出"2+62=18,代入求值的代數(shù)式計(jì)算即可.

【解答】解：：a-b=4,

(a-b)2=16,

.".a2-2ab+b1=16,

"：ab=\,

a2+b2=16+2ab=18,

(2a+26+l)(2a+26-1)

=(2a+2Z))2-1

=4(。2+2仍+廬)-1

=4(18+2)-1

=79.

5.(2022?金華模擬)以下小明化簡(jiǎn)代數(shù)式(a+b)2-2Ca+b)(a-6)+(a-b)2的過程：

2

解：原式二次+廬_2(a-扭)+°2-廬①

=a2+b2-2a2-2b2+a2-b2(2)

=-2b2③

(1)解答過程中哪幾步錯(cuò)誤？原因是什么？

(2)寫出正確解答過程.

【分析】(1)觀察小明解答過程，找出出錯(cuò)的步驟即可；

(2)寫出正確的解答過程即可.

【解答】解：(1)解答過程中第①步錯(cuò)，完全平方公式運(yùn)用出錯(cuò)；第②步錯(cuò)，去括號(hào)出錯(cuò)；

(2)原式=。2+2。6+方2_2_抉)+。2_2ab+1)2

=a2+2ab+b2-2a2+2b2+a2-lab+b1

=4b2.

6.(2022春?上虞區(qū)期末)圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2b,寬為2a的長(zhǎng)方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成

一個(gè)正方形.解答下列問題.

(1)圖2中陰影部分的面積可表示為(b-a)2；對(duì)于(b-a)2,(6+a)ab,這三者間的等量

關(guān)系為(b-a)2=(6+a)2-4ab.

(2)利用⑴中所得到的結(jié)論計(jì)算：若》+尸-3,9=-番則x-v=±4.

(3)觀察圖3,從圖中你能得到怎樣的一個(gè)代數(shù)恒等式？再根據(jù)你所得到的這個(gè)代數(shù)恒等式探究：若

771

冽2+4冽〃+3層=0(幾W0),試求一的值.

n

【分析】(1)根據(jù)拼圖以及各部分面積之間的關(guān)系可得答案；

(2)由(1)的關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)由面積之間的關(guān)系可得(〃+3b)(a+b)=a1+^ab+3b1\由加2+4加撲+3/=?？傻?加+幾)(加+3〃)=

0,即用+幾=0或加+3〃=0,進(jìn)而求出答案.

【解答】解：(1)陰影部分是邊長(zhǎng)為人-4的正方形，因此面積為(6-〃)2,

根據(jù)拼圖以及面積之間的關(guān)系可得，(6-a)2,(b+a)2,ab,這三者間的等量關(guān)系為(b-a)2="+〃)

2-4仍，

故答案為：Qb-a)2；(b-a)2=(b+a)2-4ab；

(2)由(1)可得，

(x-y)2=(x+y)2-4^7=9+7=16,

??x~y~~±4,

故答案為：±4；

(3)整個(gè)長(zhǎng)方形是長(zhǎng)為a+36,寬為a+b,因此面積為(a+36)(〃+b),整個(gè)長(zhǎng)方形的面積也可看作8個(gè)

部分的面積和，即。2+4。6+3層，

因此有(a+3b)(a+b)=a2Uab+3b2；

m2+4mn+3n2=0(加WO),BPQm+n)(加+3〃)=0,

m+n=0或m+3?=0,

mm

：.-=-l或一=-3.

nn

例5.(2022春?新昌縣期末)將下列每個(gè)多項(xiàng)式與因式分解適用的方法連線:

多項(xiàng)式方法

J］甲：提取公因式用二)

(^>2+66+9^

~~2)0運(yùn)用平方差公式］)

?4d_］2x+9二)___

堂用完

【分析】(1)原式提公因式可分解因式；

(2)原式利用完全平方公式分解即可；

(3)原式利用平方差公式分解即可；

(4)原式利用完全平方公式分解即可；

(5)原式提公因式可分解因式.

【解答】解：(l)2a2-2a=2a(a-1),提公因式法；

②廬+66+9=(6+3)2,運(yùn)用完全平方公式；

③4-C2=(2+C)(2-C),運(yùn)用平方差公式；

④4x2-⑵+9=(2x-3)2,運(yùn)用完全平方公式；

⑤2(a-b~)2-a+b—(a-b){la-2b-1),提公因式法；

多項(xiàng)式方法

【變式訓(xùn)練】

1.(2022春?杭州期中)因式分解：/-9=(“+3)(。-3):a2b-6ab+9b=fe(g-3)2

【分析】根據(jù)因式分解的方法依次進(jìn)行因式分解即可.

【解答】解：“2-9=(Q+3)(a-3)；

c^b-6ab+9b=b(層-6a+9)=b(q-3)2,

故答案為：(a+3)(a-3),b(a-3)2.

2.(2022春?柯橋區(qū)期末)計(jì)算：20232-2022?=4045.

【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解便可簡(jiǎn)便運(yùn)算.

【解答】解：原式=(2023+2022)X(2023-2022)

=4045.

故答案為：4045.

3.(2022春?麗水期末)已知正數(shù)a,b,c,滿足q-b=b-c=Lab+ac+bc=4.

(1)a-c=2；

(2)如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長(zhǎng)分別為c,c+1,c+2,若這三張正方形紙片的面積之和為S,

【分析】(1)由等式a-b=b-c=l,得出a比b大1,b比。大1,由此得出。比。大2.

(2)根據(jù)a-6=6-c=l,得出a=c+2,b=c+\,將其代入仍+ac+bc=4得出3c?+6c-2=0,通過計(jì)算

3張正方形紙片的面積和S,化簡(jiǎn)后得出S=302+6C+5,用整體代入法把3—+6C=2代入得出S的值.

【解答】解：(1)a-b=b-c=\,

，b=c+l,

a-6=1,

?'?a~(c+1)=1

得出a-c=2.

故答案為：2.

(2)由(1)知，a=c+2,b=c+\,

把a(bǔ)=c+2,b=c+l代入ab+ac+bc=4得，

(c+2)(c+1)+(c+2)c+(c+1)。=4,

C2+2C+C+2+C2+2C+C2+C=4,

3C2+6C-2=0,

這三張正方形紙片的面積之和S=c2+(c+1)2+(c+2)2

=c2+(C2+2C+1)+(C2+4C+4)

=3C2+6C+5,

把3C2+6C—2代入，

S=2+5=7.

故答案為：7.

4.(2022?長(zhǎng)興縣開學(xué))分解因式：

(1)ab-26；

(2)(a-Z>)2-6(a-b)+9.

【分析】(1)運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解.

(2)逆用完全平方公式進(jìn)行因式分解.

【解答】解：(1)ab-2b=b(a-2).

(2)(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b-3)

5.(2022春?杭州期中)給出三個(gè)多項(xiàng)式：①次+3必-2廬，②廬-3",(3)ab+6b2.

(1)請(qǐng)任選擇兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；

(2)當(dāng)。=4,6=-7時(shí)，求第(1)問所得的代數(shù)式的值.

【分析】(1)選擇①③，相加得那+4仍+4必然后運(yùn)用公式法因式分解即可；

(2)將a=4,6=-7代入(1)計(jì)算即可.

【解答】解：(1)選擇①③(答案不唯一)，

a2+3ab-2b2+ab+6b2.

=a2+4ab+4b2

—(a+2b)2；

(2)當(dāng)a=4,b=-7,

原式=(4-14)2=100.

考點(diǎn)火、數(shù)生易畫形的受化規(guī)律

例6.(2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中)完成下列填空:

⑴已知。尸石另+*等。2=萬另+?率03=荻餐+"=告……，依據(jù)上述規(guī)律，則。99

1199

=-----------+—=-----.

—99x100x10199——9800—

（2）有若干張邊長(zhǎng)都是2的四邊形紙片和三角形紙片，從中取一些紙片按如圖所示的順序拼接起來（排

在第一位的是四邊形），可以組成一個(gè)大的平行四邊形或一個(gè)大的梯形.如果所取的四邊形與三角形紙片

數(shù)的和是5時(shí)，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)是3〃+1；如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)

的和是〃，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)是

（3）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù):

第1個(gè)數(shù)：<71=-（1+

第2個(gè)數(shù)：02=，—（1+卅）（1+￡孝）（1+1豈）；

第3個(gè)數(shù)：03=*—（1+卅）（1+±芋）（1+與支）（1+￡裂）（1+與龍）；……

則第n個(gè)數(shù)為：—二—X1+W）（1+0鳥工1+^4^）……（1+.

【分析】（1）通過觀察可得a”=二八+高=等彳，再運(yùn)用此規(guī)律運(yùn)算即可；

（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)平行四邊形與三角形交替出現(xiàn)，則當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，組成圖形的周長(zhǎng)為3”+5,當(dāng)“是

偶數(shù)時(shí)，組成圖形的周長(zhǎng)為3〃+4；

（3）通過觀察得到一般規(guī)律即可.

【解答】解：⑴???。尸石廈+巨宗。2=另五+卜御片荻%+*心……，

._______1______1_71

??斯—n（n+l）（n+2）十n+1—n2-l9

._11_99_99

,*"99=99x100x101+99=992—1=9800>

1199

故答案為：99x100x109+頡9800；

（2）當(dāng)所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是5時(shí)，拼成一個(gè)平行四邊形，

V四邊形與三角形的邊長(zhǎng)都是2,

???平行四邊形的邊長(zhǎng)分別為8和2,

，組成的大平行四邊形的周長(zhǎng)是2X（8+2）=20,

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，組成圖形的周長(zhǎng)為3"+5,

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，組成圖形的周長(zhǎng)為3〃+4,

故答案為:20,3篦+5,3麓+4；

（3）:?第1個(gè)數(shù)：ai="I"—（1+-^）；

第2個(gè)數(shù)：。2=,—（1+-^）（1+（：））（1+（；））；

第3個(gè)數(shù)：°3=，-（1+3）（1+與上）（1+空）（1+空經(jīng)）（1+”支）;

二第"個(gè)數(shù)：斯=急一（1+^）（1+^=1^）（1+^^）……（1+（-啜1）,

故答案為：二—（1+3）（1+/）（1+學(xué)）……

n+1/34zn

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）觀察下列等式：71=7,72=49,7』343,74=2401,75=16807,76=117649,

試?yán)蒙鲜鲆?guī)律判斷算式7+72+73+74+…+72°2。結(jié)果的末位數(shù)字是（）

A.0B.1C.3D.7

【分析】觀察所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律末位數(shù)字為：7,9,3,1,7,9,3,每4個(gè)數(shù)一組循環(huán)，進(jìn)而可得

算式7+72+73+74+-+72020結(jié)果的末位數(shù)字.

【解答】解：觀察下列等式：

71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…，

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

末位數(shù)字為：7,9,3,1,7,9,3,

每4個(gè)數(shù)一組循環(huán)，

所以2020+4=505,

而7+9+3+1=20,

20X505=10100,

所以算式7+72+73+74+…+72020結(jié)果的末位數(shù)字是