2024年廣東省某中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題及答案

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期初三第三次模擬測試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）.

1.2024年4月23日是第29個(gè)世界讀書日，習(xí)近平總書記多次強(qiáng)調(diào)讀書的重要性，倡導(dǎo)全社會都參與到閱

讀中來，形成愛讀書、讀好書、善讀書的濃厚氛圍.圖書館是開展全民閱讀的重要場所，以下是我省四個(gè)

城市的圖書館標(biāo)志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）

A.

潮疝有畫■帝佛111南國M值

tpr?QMAMI■nnARv

D-東莞圖書館

DONGGUAh

江q市圖一個(gè)」官

IIRRARY

2.為了紀(jì)念著名的數(shù)學(xué)家蘇步青及其卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇

步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.218xl09B.2.18xl09C.2.18xlO8D.218xl06

3.下列二次根式中能與后合并的是（）

A.V12B.78C.720D.V27

4.樺卯（sunmao）,是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結(jié)構(gòu)方式.如圖是某個(gè)部件“棒”的實(shí)

物圖，它的主視圖是（）

B.

D.---------

5.反比例函數(shù)y=-°的圖象位于（）

x

A.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D(zhuǎn).第二、第四象限

6.函數(shù)y=萬的自變量元的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

7.某市為解決冬季取暖問題需鋪設(shè)一條長3500米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實(shí)際施工時(shí)

，設(shè)實(shí)際每天鋪設(shè)管道無米，則可得方程至"-型2=15,根據(jù)此情景，題中用“表示的缺

x-10x

失的條件應(yīng)補(bǔ)為（）

A.每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天完成

B.每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天完成

C.每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)15米，結(jié)果延期10天完成

D.每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)15米，結(jié)果提前10天完成

8.已知x+y=6,孫=6,則％?+，的值為（）

A.9B.18C.24D.36

9.如圖，將以。為中心點(diǎn)的量角器與含30。角的直角三角板緊靠著放在同一平面內(nèi)，此時(shí)點(diǎn)。，C,B在

同一條直線上，且DC=2BC.過點(diǎn)A作量角器圓弧所在圓的切線，切點(diǎn)為E,則點(diǎn)E在量角器上所對應(yīng)

的銳角度數(shù)是（）

DOCB

A.30°B.45°c.50°D.601

10.如圖，□ABC和口ECD都是等腰三角形，且NBAC=NCED,點(diǎn)B,C,。在同一條直線上,

口ABC和口ECD的面積分別為16和25,則圖中陰影部分的面積為（）

A.18B.20C.20.5D.22

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）.

11.單項(xiàng)式-2/y的系數(shù)是.

12.廣東省大陸海岸線長居全國第一，森林、濕地資源豐富，候鳥數(shù)量龐大、種類繁多.為了解某濕地公

園大白鷺的情況，從中捕捉50只大白鷺，戴上識別卡并放回，經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，捕捉的大白鷺中有

記號的頻率穩(wěn)定在0.1左右，由此估計(jì)該濕地公園約有只大白鷺.

13.如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行.若4=32。，23=145°,則

Z2=.

14.如圖，一次函數(shù)>=履+》的圖像經(jīng)過43兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式依+〃<2的解集是

15.在“點(diǎn)燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可能”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活

動；對依次排列的兩個(gè)整式機(jī)，“按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式中相，"，n-m.第2次

操作后得到整式中加，n-m,-m.第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上

一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動命名為“回頭差”游戲.則該“回頭差”游戲

第2024次操作后得到的整式串各項(xiàng)之和是.

三、解答題（一）（本大題共3個(gè)小題，每16題10分，第17、18題各7分，共24分）

16.（1）計(jì)算：1-W.sin45°+|2?！獊啿?/p>

x-2y=1

（2）解方程組:

3%+4y=23

17.作為東莞的城市文化名片之一，籃球已成為不少東莞人生活的一部分.這個(gè)五一，我市舉行“繽紛運(yùn)

動'莞'精彩、‘籃‘不住”的籃球邀請賽，賽制為雙循環(huán)形式(每兩隊(duì)之間都賽兩場)，計(jì)劃安排30場

比賽.

(1)應(yīng)邀請多少支球隊(duì)參加比賽？

(2)若某支球隊(duì)參加2場后，因故不參與以后比賽，問實(shí)際共比賽了多少場？

18.如圖，的對角線AC,BD交于點(diǎn)、O,分別以點(diǎn)8,。為圓心，-AC,工劭長為半徑畫

22

弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接BP,CP.

(1)試判斷四邊形BPC。的形狀，并說明理由；

(2)①當(dāng)平行四邊形ABCD是_________形時(shí)，四邊形8PC0是菱形；

②當(dāng)平行四邊形ABC。是形時(shí)，四邊形是矩形.

四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)

19.如圖1,是一電動門，當(dāng)它水平下落時(shí)，可以抽象成如圖2所示的矩形ABC。，其中AB=3m,

AD=lm,此時(shí)它與出入口等寬，與地面的距離AO=0.2m；當(dāng)它抬起時(shí)，變?yōu)槠叫兴倪呅?/p>

AB'C'D,如圖3所示，此時(shí)，49與水平方向的夾角為60°.

(1)求圖3中點(diǎn)"到地面的距離；

(2)在電動門抬起的過程中，求點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長；

(3)圖4中，一輛寬1.6m,高1.6m的汽車從該入口進(jìn)入時(shí)，汽車需要與BC保持0.4m的安全距離，此

時(shí)，汽車能否安全通過？若能，請通過計(jì)算說明；若不能，請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：V3?1.732，71?3.14,所有結(jié)果精確到0.1)

20.在全國節(jié)能宣傳周期間，某校組織開展主題為“節(jié)能降碳，你我同行”的社會實(shí)踐活動.某組同學(xué)在甲、

乙兩個(gè)小區(qū)各隨機(jī)抽取50戶居民，獲得了他們1月份的用電量x(單位：kW-h),分別將兩個(gè)小區(qū)居民用

電量的數(shù)據(jù)分成5組：04x450,50<x<100,100<x<150,150<x<200,200<x<250,并

對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析，下面給出部分信息：

信息一：

甲小區(qū)居民1月份用電量扇形統(tǒng)計(jì)圖乙小區(qū)居民1月份用電量頻數(shù)直方圉

106118120122123125125127128130130

131133133133134137140142143149

信息三：甲、乙兩個(gè)小區(qū)居民1月份用電量的平均數(shù)、中位數(shù)如下.

甲小乙小

區(qū)區(qū)

平均數(shù)

120130

/kW?h

中位數(shù)

118b

/kW?h

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)填空：a=,b=.

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“50<xW100”所在扇形圓心角的度數(shù)為°.

(3)若甲小區(qū)共有1000戶居民，乙小區(qū)共有800戶居民，試估計(jì)這兩個(gè)小區(qū)1月份用電量大于150

〃的總戶數(shù).

(4)請選擇一種統(tǒng)計(jì)量分析這兩個(gè)小區(qū)1月份的用電情況，并提出一條能夠節(jié)能降碳的建議.

21.綜合探究

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上(即四點(diǎn)共圓)時(shí)，就可以通過添加

輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件.小明同學(xué)

已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).因此，他想探究它的逆命題是否成立,

以下是小明同學(xué)的探究過程，請你補(bǔ)充完整.

（1）【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”的逆命題為：,

如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù).

（2）【驗(yàn)證】如圖1,在四邊形A6CD中，ZABC+ZA￡>C=180°,請?jiān)趫D1中作出過點(diǎn)4B、C三點(diǎn)

的口。，并直接判斷點(diǎn)。與口。的位置關(guān)系.（要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）

（3）【證明】已知：如圖1,在四邊形中，ZABC+ZADC=180°,

求證：點(diǎn)AB、C、。四點(diǎn)共圓.

證明：過A、B、C三點(diǎn)作口。，假設(shè)點(diǎn)D不在口。上，

則它有可能在圓內(nèi)（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設(shè)點(diǎn)。在口。內(nèi)時(shí)，如圖2,延長CD交口。于點(diǎn)E,連結(jié)AE,

?/ZADC是△。胡的外角，,ZADC>ZAEC,

?.?四邊形ABCE是□。的內(nèi)接四邊形，.?.NABC+NAEC=180°,

又???ZABC+ZADC=180°,:.ZADC=ZAEC.

這與NADC>NAEC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)。不可能在口。內(nèi).

五、解答題（三）（本大題共2個(gè)小題，每小題12分，共24分）

22.閱讀理解

【信息提取】

新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友

好拋物線”.

新知識：對于直線M=幻+4（女尸0）和%=左2%+4（左2片0），若仁?左2=-1，則直線力與為互相垂

直；若直線口與火互相垂直，貝漢1?左2=-1.

【感知理解】

(1)拋物線M=—2(x+2)2-3的“友好拋物線”為%=；

(2)若拋物線yi=ax-+bx+c(aw0)與%=+nx+q{mW0)互為“友好拋物線”，則。與m的數(shù)量

關(guān)系為,6與〃的數(shù)量關(guān)系為,c與q的數(shù)量關(guān)系為；

【綜合應(yīng)用】

(3)如圖，拋物線/］：%=必一4%+3的頂點(diǎn)為￡,乙的“友好拋物線”4的頂點(diǎn)為R過點(diǎn)。的直線4

與拋物線/1交于點(diǎn)48(點(diǎn)A在3的左側(cè))，與拋物線4交于點(diǎn)C,。(點(diǎn)C在。的左側(cè)).若四邊形

AFDE為菱形，求A3的長.

23.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動,將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

AF，旋轉(zhuǎn)角等于/B4C,連接CT.

R口

F(備用圖)

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作9LAC,垂足為M,求證4M=4B；

(2)當(dāng)AE=3血時(shí)，求CE的長；

(3)連接?？?，點(diǎn)E從點(diǎn)2運(yùn)動到點(diǎn)。的過程中，試探究。尸的最小值.

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期初三第三次模擬測試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）.

1.2024年4月23日是第29個(gè)世界讀書日，習(xí)近平總書記多次強(qiáng)調(diào)讀書的重要性，倡導(dǎo)全社會都參與到閱

讀中來，形成愛讀書、讀好書、善讀書的濃厚氛圍.圖書館是開展全民閱讀的重要場所，以下是我省四個(gè)

城市的圖書館標(biāo)志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）

A.

潮疝有畫■帝佛111南國M值

tpr?QMAMI■nnARv

D-東莞圖書館

DONGGUAh

江q市圖一個(gè)」官

1IRRARY

【答案】c

【解析】

【分析】此題考查軸對稱圖形的定義：將一個(gè)圖形沿著一條直線翻折，直線兩側(cè)的部分能完全重合，則此圖

形是軸對稱圖形，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故不符合題意；

故選：C.

2.為了紀(jì)念著名的數(shù)學(xué)家蘇步青及其卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇

步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.218xl09B.2.18xl09C.2.18xl08D.218xl06

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中1<|a|<10,

〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，"是負(fù)整數(shù).

【詳解】解:218000000=2.18xlO8)

故選：c.

3.下列二次根式中能與0合并的是（)

A.712B.V8C.V20D.V27

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)化簡，同類二次根式的定義，二次根式的加減運(yùn)算法則，掌握同類

二次根式，二次根式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、712=273;不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

B、花=2后，是同類二次根式，可以合并，符合題意；

C、同=26，不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

D、后二35不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

故選：B.

4.樺卯（sunmao）,是中國古代建筑、家具及其它木制器械的主要結(jié)構(gòu)方式.如圖是某個(gè)部件“棒”的實(shí)

物圖，它的主視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了物體的三視圖，根據(jù)從正面看到的圖形即可求解，掌握物體三視圖的畫法是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：如圖是某個(gè)部件“棒”的實(shí)物圖，它的主視圖是:

故選：c.

5.反比例函數(shù)y=的圖象位于（）

x

A.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D(zhuǎn).第二、第四象限

【答案】D

【解析】

k

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，對于反比例函數(shù)y=—（awO）,當(dāng)左〉0時(shí)，圖象在一、

三象限，當(dāng)左<0時(shí)，圖象在二、四象限，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：5<0,

反比例函數(shù)y=-*的圖象位于第二、第四象限，

X

故選：D.

6.函數(shù)y=萬的自變量尤的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（）

=1t

A.1rJ]*B.8____giC.-----5--1--i--*

0121^012012

'012

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，求出％-120的解集，再在數(shù)軸上表示即可.

【詳解】解：；Jx-1中,尤T20,

：.X>1,

故在數(shù)軸上表示為：

nn

02

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1.

7.某市為解決冬季取暖問題需鋪設(shè)一條長3500米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實(shí)際施工時(shí)

，設(shè)實(shí)際每天鋪設(shè)管道無米，則可得方程網(wǎng)獨(dú)-空叫=15,根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺

x-10x

失的條件應(yīng)補(bǔ)為（）

A.每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天完成

B.每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天完成

C.每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)15米，結(jié)果延期10天完成

D.每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)15米，結(jié)果提前10天完成

【答案】A

【解析】

【分析】由給定的分式方程，可找出缺失的條件為：每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天完成.此題

得解.

【詳解】解：；利用工作時(shí)間列出方程：至黑—頭叫=15,

x-10x

，缺失的條件為：每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天完成.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，明確題意，由列出的分式方程找出題干缺失的條件是解

題的關(guān)鍵.

8.已知x+y=6,盯=6,則％2+）?的值為（）

A.9B.18C.24D.36

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了完全平方公式的變形計(jì)算，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵，

根據(jù)完全平方公式變形計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：'：x+y=6,陰=6,

X2+y2-（x+y）'-2xy=62-2x6=24

故選：C.

9.如圖，將以。為中心點(diǎn)的量角器與含30。角的直角三角板緊靠著放在同一平面內(nèi)，此時(shí)點(diǎn)。，C,8在

同一條直線上，且DC=2BC.過點(diǎn)A作量角器圓弧所在圓的切線，切點(diǎn)為E,則點(diǎn)E在量角器上所對應(yīng)

的銳角度數(shù)是（）

A

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì).此題難度適中，解題的

關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.設(shè)半圓的圓心為。，連接。4,由題意易得AC

是線段QB的垂直平分線，即可求得NAOC=ZABC=60°,又由AE是切線，證明RtQAOEgRtDAOC,

繼而求得/AOE的度數(shù)，則可求得答案.

【詳解】解：設(shè)半圓的圓心為O,連接。4,

CD=2OC=2BC,

OC=BC,

,：ZACB=90°,即

OA=BA,

：.ZAOC=ZABC,

,：ABAC=30°,

ZAOC=ZABC=60°,

AE是切線，

ZAEO=90°,

ZAEO=ZACO=90°,

在RtAAOE和RflAOC中，

OA=OA

'OE=OC'

...RtnAOE^RtnAOC(HL),

NAOE=ZAOC=60°,

ZAOD=180°-60°-60°=60°,

即點(diǎn)￡在量角器上所對應(yīng)的銳角度數(shù)是60。.

故選：D.

10.如圖，□ABC和口ECD都是等腰三角形，且NBAC=NCED,點(diǎn)8,C,。在同一條直線上,

□ABC和口ECO的面積分別為16和25,則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可判定△ABCsAB//EC,從而得到——的比，再由口48。43邊上的高

S

和匕hCEEC邊上的高相等，得到尸1=萬的比，即可計(jì)算△ACE的面積.

3口ACEEC

【詳解】???O4BC和口ECD是等腰三角形，且NBAC=NCED

ZABC=ZACB=ZECD=ZEDC

:AABCsAECD,AB//EC

又":S^ABC=16,S口ECO=25

S"BC_16

S口ECD25

AB4

EC5

AB//EC

UABCAB邊上的高和△ACEEC邊上的高相等

S^ABCAB4

-

^OACEEC5

S口ACE=4s口說=4x16=20.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的面積比等于對應(yīng)邊的比的

平方，平行線之間的距離處處相等，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）.

11.單項(xiàng)式-2*2y的系數(shù)是.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義作答.

【詳解】解：-2/y中不含字母的項(xiàng)為-2,

.??單項(xiàng)式的系數(shù)是-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式系數(shù)的概念，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)；掌握系數(shù)的定義是解題關(guān)

鍵.

12.廣東省大陸海岸線長居全國第一，森林、濕地資源豐富，候鳥數(shù)量龐大、種類繁多.為了解某濕地公

園大白鷺的情況，從中捕捉50只大白鷺，戴上識別卡并放回，經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，捕捉的大白鷺中有

記號的頻率穩(wěn)定在0.1左右，由此估計(jì)該濕地公園約有只大白鷺.

【答案】500

【解析】

【分析】本題主要考查的是通過樣本去估計(jì)總體.捕捉的大白鷺樣本中有記號的頻率穩(wěn)定在0.1左右，說明

50只大白鷺占總體的比也是0.1,據(jù)此即可解答.

【詳解】解：設(shè)該濕地公園約有尤只大白鷺，

貝ij50:x=0.1,

解得x=500.

答：估計(jì)該濕地約有500只大白鷺.

故答案為：500.

13.如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部A3與支撐平臺CD平行.若Nl=32。，Z3=145°,則

/2二?

AB

【答案】67°##67度

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.過/2頂點(diǎn)作直線/〃支撐

平臺，直線/將N2分成兩個(gè)角即N4、N5,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過N2頂點(diǎn)作直線/〃支撐平臺，直線/將N2分成兩個(gè)角/4和N5,

???工作籃底部與支撐平臺平行、直線/〃支撐平臺，

???直線I//支撐平臺I//工作籃底部，

Z1=Z4=32°,Z5+Z3=180°,

,/Z3=145°

Z5=35°,

N2=/4+N5=67°,

故答案為：67°.

14.如圖，一次函數(shù)>=履+》的圖像經(jīng)過43兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式依+。<2的解集是

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)

觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合.直接根據(jù)圖象解答即可.

【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于X的不等式依+匕<2的解集是x<0.

故答案為：x<Q.

15.在“點(diǎn)燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可能”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活

動；對依次排列的兩個(gè)整式機(jī)，〃按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式中加，n,n-m.第2次

操作后得到整式中相，n,n-m,-m.第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上

一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動命名為“回頭差”游戲.則該“回頭差”游戲

第2024次操作后得到的整式串各項(xiàng)之和是.

【答案】2n-m

【解析】

【分析】本題考查的是整式的加減運(yùn)算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結(jié)概括規(guī)律并靈活運(yùn)用

是解本題的關(guān)鍵.先逐步分析前面7次操作，可得整式串的循環(huán)規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：第1次操作后得到整式串

第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m.

第3次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n.

第4次操作后得到整式串m,n,n-+m；

第5次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m.

第6次操作后得到的整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n；

第7次操作后得到的整式串加,",n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m.

歸納可得：該“回頭差”游戲每六次一循環(huán)，

???2024+6=337…2,

第2024次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和與第2次操作后得到整式串之和相等，

???第2次操作后得到整式串之和為加+〃+〃一加一加=2〃一加

故答案為：2n—m.

三、解答題（一）（本大題共3個(gè)小題，每16題10分，第17、18題各7分，共24分）

16.(1)計(jì)算：1—I-sin45°+|2°-

x-2y=1

（2）解方程組:

3x+4y=23

【答案】（1）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算.

（2）利用加減消元法解答即可.

本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，解方程組，熟練掌握公式，熟記特殊角的三

角函數(shù)值，正確解方程組是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：原式=1—2x"+應(yīng)—1

2

=1-V2+V2-1

=0

x-2y=1①

⑵〈—

13]+4y=23②

①x2得：2%-4y=2③

②+③得：5%=25,

x-5

把％=5代入①得5-2y=1,

y=2

x=5

???原方程組的解為〈c

b=2

17.作為東莞的城市文化名片之一，籃球已成為不少東莞人生活的一部分.這個(gè)五一，我市舉行“繽紛運(yùn)

動'莞'精彩、‘籃‘不住”的籃球邀請賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽兩場），計(jì)劃安排30場

比賽.

（1）應(yīng)邀請多少支球隊(duì)參加比賽？

（2）若某支球隊(duì)參加2場后，因故不參與以后比賽，問實(shí)際共比賽了多少場？

【答案】（1）設(shè)應(yīng)邀請6支球隊(duì)參加比賽

（2）實(shí)際共比賽22場

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)應(yīng)該邀請x支球隊(duì)參加比賽，根據(jù)雙循環(huán)比賽安排30場，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取

其正值即可得出結(jié)論；

（2）利用比賽總場次數(shù)=該球隊(duì)參加的場次數(shù)+剩下5支球隊(duì)實(shí)行雙循環(huán)比賽的場次數(shù)，即可求出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)應(yīng)邀請x支球隊(duì)參加比賽，

由題意得：x（x-1）=30

解得：石=6,x2=—5（不合題意，舍去）.

答：設(shè)應(yīng)邀請6支球隊(duì)參加比賽.

【小問2詳解】

解：2+5x4=22（場）

答：實(shí)際共比賽22場.

18.如圖，的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,分別以點(diǎn)3,。為圓心，-AC,工劭長為半徑畫

22

弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接BP,CP.

（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（2）①當(dāng)平行四邊形ABC。是_________形時(shí)，四邊形8PC。是菱形;

②當(dāng)平行四邊形ABC。是形時(shí)，四邊形是矩形.

【答案】（1）四邊形6PC。為平行四邊形.理由見解析

（2）①矩；②菱

【解析】

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OC=OA=』AC,。3=。。=,5。，證出。8=3,BP=OC,

22

則可得出結(jié)論；

（2）①由菱形的判定可得出結(jié)論.②由矩形的判定可得結(jié)論.

【小問1詳解】

解：四邊形BPC。為平行四邊形.

理由：???四邊形ABC。為平行四邊形，

0C=OA=—AC,OB=OD=一BD,

22

???以點(diǎn)B,。為圓心，-AC,工劭長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，

22

OB=CP,BP=OC,

四邊形8PC。為平行四邊形；

【小問2詳解】

①當(dāng)DABC。是矩形時(shí)，四邊形BPC。是菱形，理由如下：

?.?□ABC。是矩形，

AC=BD,

：.OC=OB,

又?.?四邊形8PC0是平行四邊形，

.??四邊形BPC。是菱形.

②當(dāng)口ABC。是菱形時(shí)，四邊形BPC。是矩形，理由如下：

???□ABCD是菱形，

AC1BD,

ZBOC=90°,

又?.?四邊形BPC。是平行四邊形，

.??四邊形BPC。是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

19.如圖1,是一電動門，當(dāng)它水平下落時(shí)，可以抽象成如圖2所示的矩形A3CD,其中A3=3m,

AD=lm，此時(shí)它與出入口等寬，與地面的距離AO=0.2m；當(dāng)它抬起時(shí)，變?yōu)槠叫兴倪呅?/p>

AB'C'D,如圖3所示，此時(shí)，與水平方向的夾角為60°.

a

(1)求圖3中點(diǎn)"到地面的距離；

(2)在電動門抬起的過程中，求點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長；

(3)圖4中，一輛寬1.6m,高1.6m的汽車從該入口進(jìn)入時(shí)，汽車需要與保持0.4m的安全距離，此

時(shí)，汽車能否安全通過？若能，請通過計(jì)算說明；若不能，請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：百。1.732，71^3.14,所有結(jié)果精確到0.1)

【答案】(1)點(diǎn)B到地面的距離約為2.8m

(2)點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑約為3.1m

(3)汽車能安全通過，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造直角

三角形解決問題.

(1)過點(diǎn)B'作B'NLOM于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)E,根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答即可.

(2)根據(jù)弧長公式解答即可；

(3)根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答即可.

【小問1詳解】

解：如圖1,過點(diǎn)"作“于點(diǎn)N,交于點(diǎn)E,

ABr=AB=3m,/BAB'=60°,

B'E

在Rt/\AEBf中，sinNBAB'=-----

ABf

B'E=AB'-sinZBAB'=3xsin60°=3x—=述x2,598m

22

B'N=B'E+EN=2.598+0.2?2.8m

答：點(diǎn)&到地面的距離約為2.8m；

【小問2詳解】

解：?.?點(diǎn)C，是點(diǎn)C繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)60。得到的，

60,71,3

???點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長為1=-------=兀土3.1m.

180

答：點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑約為3.1m.

【小問3詳解】

汽車能安全通過.

解：在上取MK=0.4m,KE=L6m,作于點(diǎn)/，交AB于點(diǎn)H,交A8于點(diǎn)G,

即汽車與BC保持安全距離MK=0.4m,汽車的寬KF=1.6m,

OF=3—1.6—0.4=Im,

依題意得：ZAHG=90°,ZGAH=60°,四邊形是矩形，

AH=OF=lm,HF=OA=0.2m,

在RtDAGH中，tan/GAH=2

AH

GH=AH-tanZGAH=1xtan60。=百"732m

GF=GH+HF?1J32+Q.2=1,932m

"??汽車高度為1.6m,1.932>1.6,

二汽車能安全通過

20.在全國節(jié)能宣傳周期間，某校組織開展主題為“節(jié)能降碳，你我同行”的社會實(shí)踐活動.某組同學(xué)在甲、

乙兩個(gè)小區(qū)各隨機(jī)抽取50戶居民，獲得了他們1月份的用電量x（單位：kW-h）,分別將兩個(gè)小區(qū)居民用

電量的數(shù)據(jù)分成5組：0<x450,50<x<100,100<x<150,150<x<200,200<x<250,并

對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析，下面給出部分信息:

信息一:

甲小區(qū)居民1月份用電量扇形統(tǒng)計(jì)圖乙小區(qū)居民1月份用電量頻數(shù)直方圉

106118120122123125125127128130130

131133133133134137140142143149

信息三：甲、乙兩個(gè)小區(qū)居民1月份用電量的平均數(shù)、中位數(shù)如下.

甲小乙小

區(qū)區(qū)

平均數(shù)

120130

/kW?h

中位數(shù)

118b

/kW?h

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=,b=.

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“50<x<100”所在扇形圓心角的度數(shù)為

（3）若甲小區(qū)共有1000戶居民，乙小區(qū)共有800戶居民，試估計(jì)這兩個(gè)小區(qū)1月份用電量大于150

婦/i的總戶數(shù).

（4）請選擇一種統(tǒng)計(jì)量分析這兩個(gè)小區(qū)1月份的用電情況，并提出一條能夠節(jié)能降碳的建議.

【答案】（1）16；125

（2）108（3）380戶

（4）答案不唯一，合理即可，如拔掉家中一切不用的電源

【解析】

【分析】對于（1）,根據(jù)總戶數(shù)為50,分別減去4組的頻數(shù)可求出a,再確定乙小區(qū)的第25,26個(gè)數(shù)，求平

均數(shù)即可得出中位數(shù)；

對于(2),先求出50<x<100所占的百分?jǐn)?shù)，再乘以360。；

對于(3),分別求出兩個(gè)小區(qū)用電量大于150Rv-/z的戶數(shù)，再求和即可；

對于(4),符合題意即可.

【小問1詳解】

0=50-3-21-6-4=16.

根據(jù)題意可知乙小區(qū)第25,26個(gè)數(shù)在100<XV150之間，這兩個(gè)數(shù)是125,125,則

故答案為：16,125；

【小問2詳解】

根據(jù)題意可知100%-40%-16%-6%-8%=30%,

所以"50<x<100”所在扇形圓心角的度數(shù)為360°x30%=108°.

故答案為：108°；

【小問3詳解】

6+4

甲小區(qū)用電量大于150hv-/z的百分比為22%,乙小區(qū)用電量大于的百分比為——=20%,所以

50

這兩個(gè)小區(qū)1月份用電量大于150標(biāo)/的總戶數(shù)為1000x22%+800x20%=380(戶)；

【小問4詳解】

拔掉家中一切不用的電源.(答案不唯一，合理即可).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，求中位數(shù)，樣本估計(jì)總體的思想，從頻數(shù)分布直方圖中獲取信

息是解題的關(guān)鍵.

21.綜合探究

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上(即四點(diǎn)共圓)時(shí)，就可以通過添加

輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件.小明同學(xué)

已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).因此，他想探究它的逆命題是否成立，

以下是小明同學(xué)的探究過程，請你補(bǔ)充完整.

(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”的逆命題為：,

如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù).

(2)【驗(yàn)證】如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=1SO°,請?jiān)趫D1中作出過點(diǎn)4、B、C三點(diǎn)

的口。，并直接判斷點(diǎn)。與口。的位置關(guān)系.(要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法)

(3)【證明】已知：如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,

求證：點(diǎn)A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

證明：過A、B、C三點(diǎn)作口。，假設(shè)點(diǎn)。不在口。上，

則它有可能在圓內(nèi)（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設(shè)點(diǎn)。在口。內(nèi)時(shí)，如圖2,延長CD交口。于點(diǎn)E,連結(jié)AE,

ZADC是△OEA的外角，ZADC>ZAEC,

???四邊形ABCE是□。的內(nèi)接四邊形，.?.NABC+N4EC=180°,

又-/ZABC+ZADC=180°,/.ZADC=ZAEC.

這與NADONAEC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)。不可能在口。內(nèi).

【答案】（1）對角互補(bǔ)的四邊形能內(nèi)接于圓.（或：對角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形）

（2）圖見解析，點(diǎn)D在口。上

（3）詳見解析

【解析】

【分析】本題考查了反證法，命題與定理及線段的垂直平分線的性質(zhì)及有關(guān)圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)逆命題與原命題是條件、結(jié)論互換解答.

（2）根據(jù)作過不共線的三個(gè)點(diǎn)的圓作法作圖，先確定圓心再確定半徑；

（3）根據(jù)反證法的步驟進(jìn)行證明.

【小問1詳解】

解：對角互補(bǔ)的四邊形能內(nèi)接于圓.（或：對角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形）.

【小問2詳解】

解：如圖1,□。為所求.

點(diǎn)。在口。上.

'小證、。

V^''1【小問3詳解】

I

*

圖1

證明：假設(shè)點(diǎn)。在口。外時(shí)，如圖3,

曲

CD交口。于點(diǎn)E,連結(jié)AE,

?.?/AEC是△OE4的外角，

NAEC>ZADC.

???四邊形ABCE是口。的內(nèi)接四邊形，

ZABC+ZAEC=1SO°

又???ZABC+ZADC=180°,

ZAEC=ZADC.

這與ZAEC>ZADC相矛盾，所以假設(shè)不成立，

所以點(diǎn)。不可能在口。外.

五、解答題（三）（本大題共2個(gè)小題，每小題12分，共24分）

22.閱讀理解

【信息提取】

新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友

好拋物線”.

新知識:對于直線M=幻+4（左。0）和%=左2%+4（左2H0），若尢?左2=-1，則直線力與%互相垂

直；若直線X與內(nèi)互相垂直，則占?左2=一1?

【感知理解】

（1）拋物線M=-2（X+2）2-3的“友好拋物線”為%=；

(2)若拋物線乃=ax-+bx+c{aw0)與乂=加^+依+q(m豐0)互為“友好拋物線”，貝U。與m的數(shù)量

關(guān)系為，人與"的數(shù)量關(guān)系為，，與〃的數(shù)量關(guān)系為

【綜合應(yīng)用】

(3)如圖，拋物線/1：%=V-4x+3的頂點(diǎn)為E,4的“友好拋物線”(的頂點(diǎn)為尸，過點(diǎn)。的直線4

與拋物線4交于點(diǎn)43(點(diǎn)A在3的左側(cè))，與拋物線4交于點(diǎn)C,。(點(diǎn)C在D的左側(cè)).若四邊形

AFDE為菱形，求A2的長.

【答案】(1)2(X-2)2+3

(2)a=-m,b=n,c=-q

(3)AB=2底

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“友好拋物線”定義可得頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，開口方向相反，形狀相同寫出解析式即可.

(2)將拋物線％=加+bx+c(a#0)與％=陽2+nx+q(m*0)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)它們互為“友好拋物線”

求解；

(3)求出拋物線/1：%=/一4》+3的頂點(diǎn)為E的坐標(biāo)為(2,-1),根據(jù)“友好拋物線”可得2-2,1).拋物

,1

線4：%=-%-4%-3,利用待定系數(shù)法可得直線EF的解析式為y=--x-根據(jù)新知識得直線AD的解

y—%2—4%+3

析式為y=2x.由,可得A(3—逝,6-2遙)，3(3+遍,6+2遙).利用兩點(diǎn)的距離公

。=2%

式即可求解.

【詳解】解：(1)由已知拋物線％=-2。+2)2-3與它的“友好拋物線”的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，形狀

相同，開口方向相反.

???拋物線％=-2。+2)2—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3),

,它的“友好拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

y2=2(x—2)2+3,

故答案為：2(X-2)2+3；

2222

(2)?「拋物線％=ax+bx+c=a(x+—)+,y2=nvc+nx+q=m(x+-^-)+__上,

2a4a2m4m

2

?二拋物線y1=ax+bx+c(a^O)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-二，.")，拋物線%二加/+幾］+式加。0)的頂點(diǎn)坐

2a4a

「/n4mq-n2

標(biāo)為(一丁，T——x)，

2m4m

12

拋物線yi=ax^bx+c(aw0)與%=mx++q(jnW0)互為“友好拋物線”.

bn4ac-b14ma-n2

..Cl——TYl,-----