2024-2025學年度八年級數(shù)學上冊專項復習：全等模型-半角模型

專題04全等模型-半角模型

半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

思想方法：通過旋轉（或截長補短）構造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉化。

解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形,從而進行等量代換,

然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數(shù)量關系。半角模型

（題中出現(xiàn)角度之間的半角關系）利用旋轉一一證全等——得到相關結論.

模型L半角模型（90。-45。型）

【模型展示】

1）正方形半角模型

條件：四邊形A8CD是正方形，Z￡CF=45°；

結論：①LBCE咨ADCG；②ACEF出ACGF；?EF=BE+DF；④A4EF的周長=248；

⑤CE、CF分別平分NBEF和ZEFD=

2）等腰直角三角形半角模型

條件：A/BC是等腰直角三角形，ZDAE=45°；

結論：①△胡。*△C4G；②4DAE出AGAE；?ZECG==90°；@DE2=BD2+EC2■,

例1.（1）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,在正方形48co中，點E,尸分別是BC,CD邊上的動點，且NE”=45。，求證：

EF=Z）P+B￡.小明發(fā)現(xiàn)，當把繞點A順時針旋轉90。至AADG,使與/D重合

時能夠證明，請你給出證明過程.

（2）【類比引申】①如圖2,在正方形/BCD中，如果點E,尸分別是C5,℃延長線上

的動點，且NENF=45。，則（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請寫出E尸，BE,DF之

間的數(shù)量關系（不要求證明）

②如圖3,如果點E,尸分別是8C,延長線上的動點，且NE4尸=45。，則E/，BE,DF

之間的數(shù)量關系是（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形43。的邊長

為6,/E=3百，求/尸的長.I

B,__C

例2.如圖，LABC,ADEP是兩個全等的等腰直角三角形，/BAC=/PDE=90。.使LDEP

的頂點尸與△N5C的頂點/重合，PD,尸￡分別與3C相交于點?G,若BF=6,CG=4,

則FG=.A（p\

D

E

例3.如圖，正方形/BCD的邊長為6,點E,尸分別在邊48,3c上，若尸是2C的中點,

且/￡7才'=45。，則DE的長為.

例4.倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和

創(chuàng)新能力的有效途徑.

(1)【問題背景】已知：如圖1,點E、尸分別在正方形48c。的邊BC、CD上，NE4尸=45°,

連接EF,則成、BE、。尸之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？

于是易證得：^ADF=_^\_=^AEF,所以EF=.

直接應用：正方形/BCD的邊長為6,C尸=4,則E尸的值為.

(2)【變式練習】已知：如圖2,在Rt448C中，AB=AC,D、E是斜邊8C上兩點，且

ZDAE=45°,請寫出AD、D￡、CE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

⑶【拓展延伸】在(2)的條件下，當/D/E繞著點/逆時針一定角度后，點。落在線段

2C上，點E落在線段的延長線上，如圖3,此時(2)的結論是否仍然成立，并證明你

的結論.

專題05全等模型-特殊半角模型

模型2.半角模型（60。-30。型或120。-60。型）

1）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：A4BC是等邊三角形，A3DC是等腰三角形，且BD=CD,NBDC=120°,NEDF=60°；

結論：①△BDE9ACDG；?AEDF^/\GDF；@EF=BE+FC;④AN跖的周長=2N8；

⑤DE、DF分別平分NBEF和NEFC。

2）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

例1.等邊“3C的兩邊43、ZC所在直線上分別有兩點M、N,D為—BC外一點、,且

ZMDN=60°,ZSDC=120°,BD=CD.當點“、N分別在直線48、/C上移動時，探

究BM、CN、九W之間的數(shù)量關系以及AZMN的周長0與等邊“3C的周長乙的關系.（1）

如圖①，當點M、N在邊48、/C上，且=時，BM、CN、九W之間的數(shù)量關系

式為;此時?的值是.

（2）如圖②，當點M、N在邊4B、/C上，且。MwDN時，猜想（1）問的兩個結論還

成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.（3）如圖③，當點”、N分別在邊/8、C4的延長

線上時，若AN=x,試用含x、2的代數(shù)式表示。.

圖①圖②

圖③

例2.如圖，在等邊三角形48c中，在NC邊上取兩點M、N,使ZMBN=30°.若=

MN=x,CN=n,則以x，見〃為邊長的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨陽機,"的值而定

模型3.半角模型（2a-a型）

ADAE=a；

結論：①ABAD沿ACAF；②AEAD沿4EAF；③NECF=1800-2a。

例1.如圖，梯形N5CD中，AD//BC,AB=BC=DC,點￡、尸分別在AB1.,且

ZFCE=-ZBCD.(1)求證：BF=EF-ED-,(2)連結/C,若N8=80°,/OEC=70。，求

2

乙4CF度數(shù).

BC

例2.(1)如圖①，在四邊形N3C。中，AB=AD,NB=ND=90。，E,尸分別是邊8C,

上的點，且=(1)中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；

(3)在四邊形N3CZ)中，AB=AD,Z5+ZD=180°,E,尸分別是邊8C,CD所在直線

上的點，S.ZEAF=^ZBAD.請畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段E尸，BE,FD之

間的數(shù)量關系.

專題06全等模型-手拉手模型

全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本

專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌

握。

模型1.手拉手模型（三角形）

【模型解讀】

將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉

手全等，也叫旋轉型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。

公共頂點/記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二

二一生

個頂點記為“右手”。

對應操作：左手拉左手（即連結8D）,右手拉右手（即連結CE）,得A4BD三AACEo

【常見模型及證法】

A

（等邊）A

二4

（等腰直角）

A^A一衣’Y

（等腰）

例1.如圖，。是等邊三角形/BC內一點，將線段繞點A順時針旋轉60。，得到線段ZE,

連接CD,BE.(1)求證：4AEB沿乙ADC；(2)連接。E,若乙4。。=110。，求乙BED的度數(shù).

例2.已知中，AC=BC,ZACS=90°,尸為邊的中點，且DF=EF,ZDFE=

90°,。是3c上一個動點.如圖1,當。與C重合時，易證：CD2+DB2=2DF2；

(1)當。不與C、8重合時，如圖2,CD、DB、有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的

猜想，不需證明.

(2)當。在8C的延長線上時，如圖3,CD、DB、D尸有怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的猜

想，并加以證明.

模型2.手拉手模型(正多邊形型)

【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點(即頭)旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個多

邊形構成手拉手全等，也叫旋轉型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。

【常見模型及證法】

如圖，在任意△ABC中，分另U以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG,連接EC、BG,則4AEC

^△ABG.

例1.邊長為4的正方形N5CD與邊長為2行的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG

繞點C順時針旋轉，旋轉角為a,連接3G,DE.

(1)如圖2,求證：4BCG"4DCE；

(2)如圖2,連接。G,BE,判斷DG2+3E2否為定值.若是，求這個定值若不是，說明理

由；

(3)如圖3,當點G恰好落在上時，求a的值.

E

例2.如圖1,圖2,圖3,在AABC中，分別以N3,4c為邊,向“BC外作正三角形，正

四邊形，正五邊形，BE,。相交于點O.（正多邊形的各邊相等，各個內角也相等）

①如圖1,求證：4ABE以△ADC；②探究：如圖1,ZBOD=

③如圖2,ZBOD=；④如圖3,ZBOD=

專題07.將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地

方，也恰是學生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試

中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段

最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角

形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。??

模型1,將軍飲馬-兩定一動求線段和的最小值

【模型探究】A,B為定點，加為定直線，P為直線加上的一個動點，求4P+AP的最小。

(1)如圖1,點工、5在直線加兩側：

輔助線：連接交直線加于點P,貝U/P+5尸的最小值為/A

(2)如圖2,點N、5在直線同側：

輔助線：過點/作關于定直線%的對稱點,連接/'8交直線m于點尸，則/P+8P的最

小值為/'氏

A

KA

?i'%---------,m4

A，?--------------?m

圖1

?BB

圖2

例1.要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)/、3提供牛奶，小聰根據(jù)實際情況，以街道旁

為x軸，測得/點的坐標為(0,3),2點的坐標為(6,5),則從/、3兩點到奶站距離之和的

最小值是.

例2.如圖，等邊△/BC的邊長為6,4D是BC邊上的中線，M是/。上的動點，E是邊

/C上一點，若AE=2,則EM+CN的最小值為（）

A.726B.36C.277D.472

例3.如圖所示，在443c中，AB^AC,直線M是43的垂直平分線，。是8C的中點,

M是即上一個動點，“8C的面積為12,BC=4,貝UABDM周長的最小值是.

模型2、將軍飲馬-兩動一定求線段和的最小值

【模型探究】已知定點/位于定直線見"的內側，在直線通"分別上求點P、。點E4+PQ+QN

周長最短.

輔助線：過點/作關于定直線機、〃的對稱點《'、/"，連接交直線機、〃于點尸、

Q,則PA+PQ+QA的最小值為A'A

例1.如圖，已知的大小為a,P是N/O3內部的一個定點，且。尸=4,點￡、尸分

別是。4、03上的動點，若△尸昉周長的最小值等于4,貝卜=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.如圖，RtAABC41，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的動點,

則△￡)￡下的周長的最小值是()

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

例3.如圖所示，乙4OB=3G,點尸為N/08內一點,OP=8,點分別在0403上,

求△尸AW周長的最小值.

0NB

專題08.將軍飲馬(線段和最值問題)

模型1、將軍飲馬-兩動兩定求線段和的最小值

【模型探究】4B為定點，在定直線加、〃上分別找兩點尸、0,使我+P0+Q8最小。

(1)如圖1,兩個點都在直線外側：

輔助線：連接N3交直線"2、77于點P、Q,則為+P0+Q8的最小值為N5.

(2)如圖2,一個點在內側，一個點在外側：

輔助線：過點B作關于定直線n的對稱點"，連接/)交直線m、n于點P、Q,則PA+PQ+QB

的最小值為48'.

圖2

(3)如圖3,兩個點都在內側：

輔助線：過點/、2作關于定直線加、"的對稱點/‘、B',連接N2‘交直線加、"于點P、

Q,則PA+PQ+QA的最小值為A'B

(4)如圖4,臺球兩次碰壁模型：

輔助線：同圖3輔助線作法。

n

圖3

圖4

例1.如圖，ZAOB=30°,點、M、N分別在邊。4、08上，且。加=3,?=5,點2、Q分別

在邊。8、0A±,則"P+尸。+QV的最小值是(

C.V34-2D.V35-2

例2.如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G(-3,0),B(-2,0),HC與GB

關于y軸對稱，NGAH=60。，P、Q分別是AG,AH上的動點，則BP+PQ+CQ的最小值是(

A.6B.7C.8D.9

模型2、將軍飲馬-線段差的最大值

【模型探究】4B為定點、,在定直線加上分別找兩點尸，使出與心的差最大。

(1)如圖1,點N、5在直線〃，同側：

輔助線：延長交直線加于點P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A~P'B<AB,而我

—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。

(2)如圖2,點N、5在直線M異側：

輔助線：過B作關于直線m的對稱點區(qū)連接交點直線m于P,此時PB=PB',PA-PB最大

值為AB,

例1.(2023.山東八年級期中)如圖，在^ABC中，AB=AC,AC的垂直平分線交AC于點N,

交AB于點M,AB=12,△BMC的周長是20,若點P在直線MN上，則PA—PB的最大值為

例2.(2022?河南南陽?一模)如圖，已知△N8C為等腰直角三角形，AC=BC=6,/BCD

=15°,尸為直線CO上的動點，貝一尸目的最大值為.

A

D

P

CB

專題09全等模型-一線三等角（A字）模型

全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本

專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側型）

【模型解讀】

在某條直線上有三個角相等,利用平角為180。與三角形內角和為180°,證得兩個三角形全

等。

【常見模型及證法】

同側型一線三等角（常見）:

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等

角

條件：ZL4=ZCED=ZB+CE=DE

證明思路：ZA=ZB,ZC=/BED+任一邊相等*ACE

例1.已知，在中，AB=AC,D,A,￡三點都在直線加上，且

⑴如圖①，若4BJ.AC,則AD與/E的數(shù)量關系為,CE與4D的數(shù)量關系

為；

D—^AEm

AEm

圖②圖③

(2)如圖②，判斷并說明線段8。，CE與。E的數(shù)量關系；

⑶如圖③，若只保持ABDA=NAEC,BD=EF=7cm,點、A在線段DE上以2cm/s的速度由

點。向點￡運動，同時，點C在線段E/上以xcm/s的速度由點￡向點/運動，它們運動

的時間為:(s).是否存在x,使得△48。與AE4c全等？若存在，求出相應的/的值；若不

存在，請說明理由.

模型2.一線三等角(K型圖)模型(異側型)

【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180。與三角形內角和為180。，證得

兩個三角形全等。

【常見模型及證法】

異側型一線三等角：

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：NFAC=ZABD=/CED+任意一邊相等

證明思路：乙4=NB,NC=/BED+任一邊相等AE。=AACE

例1.(1)如圖1,直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點4過點B、C分別作

CE±m(xù),垂足分別是D、E.求證：BD+CE=DE；

(2)如圖2,直線m經(jīng)過△ABC的頂點A,AB=AC,在直線m上取兩點。、E,使4DB

=/AEC=a,

補充NBAC=(用a表示)，線段BD、CE與DE之間滿足BD+CE=DE,補充條件后

并證明；

(3)在(2)的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖3的位置，并

例2.通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】⑴如圖，/84D=90。，AB=AD,過點8作，ZC于點C,過點。作

DEJ.AC于點、E.由/l+/2=/2+ZD=90°,得Nl=ND.又N4CB=NAED=9。，可

以推理得到AABC經(jīng)AZME.進而得到/C=,BC=AE.我們把這個數(shù)學模型稱

為"K字"模型或"一線三等角"模型；

【模型應用】⑵如圖，ZBAD=ZCAE=9Q°,AB=AD,AC=AE,連接8C,DE,且

3C，/尸于點尸，DE與直線"交于點G.求證：點G是DE的中點;

【深入探究】⑶如圖，已知四邊形/BCD和DEG尸為正方形，以尸。的面積為岳，MCE的

⑷如圖，點A、B、C、D、E都在同一條直線上，四邊形KCMG、OEMW■都是

正方形，若該圖形總面積是16,正方形KCMG的面積是4,貝1]D*G的面積是

專題10全等模型-對角互補模型

全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本

專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等

的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角

形；②進行旋轉的構造，構造手拉手全等。

常見的對角互補模型含90。-90。對角互補模型、120。-60。對角互補模型、2a-（180°-2a）對

角互補模型。

模型1、旋轉中的對角互補模型（90°-全等型）

1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側型）

結論：①CD=CE,②OD+OE=COC,③s=s。緲+S.

C/zJCcACC/CACCZU2

2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側型）

條件：如圖，已知4DCE1的一邊與NO的延長線交于點。，.//。臺二/0苗二冗。，OC平

分N40B.

2

結論：①CD=CE,②OE—OD=COC,?SCOF-Scnn=-OC-

ACC/CACCZM2

例1、在A42c中，ZC=90°,AC=BC=2,將一塊三角板的直角頂點放在斜邊/B的中

點尸處，將此三角板繞點尸旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線NC、CB于點、D、點、E,

圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形.（1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關系？并

以圖②為例，并加以證明；

（2）觀察線段8、CE和2C之間有怎樣的數(shù)量關系？并以圖③為例，并加以證明；

模型2、旋轉中的對角互補模型（60°或120。-全等型）

條件：如圖，已知//08=2/￡>C￡=120°,OC平分//O8.

結論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③s+S,神="oc?.

ACC/ZJACC/ZJ4

2)”等邊三角形對120。模型”(2)

條件：如圖，己知,OC平分N/O3,4DCE的一邊與30的延長

線交于點D,.

結論：①CD=CE,②OD—OE=OC,③ss0所=之OC?.

^L，(JDACC/A4

3)“120。等腰三角形對60。模型”

條件：△ABC是等腰三角形，且/A4C=120。，/BPC=60°。結論：①PB+PC=6PA；

例1.如圖，已知/OCE與//OB,OC平分(1)如圖1,/DCE與//。8的兩邊

分別相交于點。、E,/AOB=/DCE=90°,試判斷線段CD與CE的數(shù)量關系，并說明理

由.以下是小宇同學給出如下正確的解法：

解：CD=CE.理由如下：如圖1,過點。作CTUOC,交OB于點、F,則/OCF=90。，…

請根據(jù)小宇同學的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程.

(3)若//O3=120°,ZDCE=60°.

①如圖3,/DCE與的兩邊分別相交于點。、￡時，(1)中的結論成立嗎？為什么？

線段?！辏尽E、OC有什么數(shù)量關系？說明理由.②如圖4,/OCE的一邊與/O的延長線

相交時，請回答(1)中的結論是否成立，并請直接寫出線段OE,OC有什么數(shù)量關

系；如圖5,NDCE的一邊與2。的延長線相交時，請回答(1)中的結論是否成立，并請

直接寫出線段O。、OE、0c有什么數(shù)量關系.

圖3圖4圖5

模型3、旋轉中的對角互補模型（2々或180。-26[-全等型）

1）“2a對180。-2a模型”

條件：四邊形488中，AP=BP,ZA+ZB=18Q°結論：0P平分//OB

注意：①AP=BP,②//+48=180。，③O尸平分N/05,以上三個條件可知二推一。

2）“蝴蝶型對角互補模型”

例L感知：如圖①，AD平分/B4C,ZJB+ZC=180°,05=90°.判斷。8與。C的大

小關系并證明.

探究：如圖②，ND平分/B4C,ZABD+ZACD=180°,AABD<90°,DB與DC的大小

關系變嗎？請說明理由.應用：如圖③，四邊形/2DC中，48=45。，ZC=135°,

DB=DC=m,則N3與/C差是多少（用含加的代數(shù)式表示）

圖①圖②圖③

專題11全等模型-婆羅摩笈多

【結論1］（知中點得垂直）如圖，AZBC和ADBE是等腰直角三角形，連接

AD,CE,過點B的直線分別交AD,CE于點N,M,M是CE的中點，則

MNLAD.

【結論2］（知垂直得中點）如圖，“BC和ADBE是等腰直角三角形，連接

AD,CE,過點B的直線分別交AD,CE于點N,M,MN1AD,則點M是

CE的中點.

典例:

如圖，AB=AE,AB1AE,AD=AC,ADLAC,點〃為8C的中點，求證:

DE=2AM.

［感知］如圖1,在四邊形48CD中,NC=ND=90。,點￡在邊C￡＞上，

AFDF

乙4”=90。，求證:空="［探究］如圖2,在四邊形Z8C0中,NC=N4)C=90。,

BECE

FFAF

點E在邊CD上，點尸在邊AD的延長線上,N產EG=NNE8=90。,且—=—，連接

EGEB

BG交CD于點、〃.求證:8H=G〃.

Apr)F

［拓展］如圖3,點E在四邊形Z8C。內,N4E5+N0EO180。,且把

EBCE

，過E作E/交AD于點尸，若NEE4=N/￡8,延長FE交BC于HG.求證:8G=CG.