2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)試題匯編：數(shù)列

(5)數(shù)列

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯編

一、選擇題

1.[2024屆?重慶市第八中學(xué)?模擬考試]已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為5“，設(shè)甲：｛%｝是等差數(shù)列，

乙：/=(%丁”,則甲是乙的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.[2024屆.長沙市第一中學(xué).模擬考試]定義：在數(shù)列｛4｝中，娛—&包=d(〃eN*),其中d

an+lan

為常數(shù),則稱數(shù)列｛叫為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列｛凡｝中，/=4=1,%=3,則十

()

A.1763B.1935C.2125D.2303

3.[2024屆.浙江溫州.二模]已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%公差為d,且｛SJ單調(diào)遞增.

若為=5,則d￡()

A-H)B-[°'7)CH)D.若)

1H

4.[2024屆?合肥一六八中學(xué)?模擬考試]數(shù)列｛%｝中，an=an+l+2,a5=18＞貝Jq+a2Haw=

()

A.210B.190C.170D.150

5.[2024屆.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué).模擬考試]設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=3,%=3a”-4n，若

2

=4/7+8n+5)且數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S”=()

anan+\

A.nfl———1++]

I6n+9)36n+9(6n+9)(6n+9)

二、多項(xiàng)選擇題

6.[2024屆.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué).模擬考試]等差數(shù)列｛%｝中，q>0,則下列命題正確的是（）

A.若。3+%=4,則Sg=18B.若Si5>0,516<0,貝!

C.若%+%=5,。3+〃4=9，貝！J%+i8=17D.若。8=Ho，則Sg>。，510<0

7.[2024屆.江蘇省前黃高級中學(xué).一模]已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S/｛%｝的公差為d,

則（）

A.Si3=13s7B.S5=4a2+%

C.若｛也”｝為等差數(shù)列，則d=_lD.若｛叵｝為等差數(shù)列，則d=2q

8.[2024屆.山東臨沂.二模]已知｛4｝是等差數(shù)列，S“是其前〃項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是

（）

A.若生+&=9,%+。8=18,則%+%=5

B.若出+%3=4，則Su=28

C.若廿5<0,則跖〉工

D.若｛??｝和｛4?%｝都為遞增數(shù)列，則an>Q

三、填空題

9.[2024年新課標(biāo)H卷高考真題]記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若%+%=7,3a2+4=5，

則$=_________..

10.[2024屆.河南許昌.模擬考試校考]拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為。，反面向

上的概率為：，記〃次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為4,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4=

H.[2024屆.河北衡水.二模聯(lián)考]已知等差數(shù)列｛%｝（公差不為0）和等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

分別為S",Tn,如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程1003爐—10++1003=0有實(shí)數(shù)解，則以下1003個方

程平+4=0?=1,2,…,1003）中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有個.

四、雙空題

12.[2024屆?河北?模擬考試]已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,且an+1=a；+4/+2,則%=

______________;令d=」々+」不若也｝的前〃項(xiàng)和為S,,,則S〃=________________.

a“+3"〃+1+

五、解答題

13.[2024屆.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué).模擬考試]已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.,且滿足

咯=?！?4%+4.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

’2"T〃為奇數(shù)

⑵若a=1，｛么｝的前幾項(xiàng)和為7；，求七?

5可,_4為偶數(shù)

14.[2024屆?山西長治?一模?？糫已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足紅=4",〃eN*.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也｝滿足a=出口，設(shè)其前〃項(xiàng)和為S”，求證：S?<5.

an

15.[2024屆.湖北.模擬考試聯(lián)考]記用為公比不為1的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

,%—4=—84+8q,5*8=21.

(1)求4;

(2)設(shè)包=題24，由｛4｝與也｝的公共頂從小到大組成數(shù)列｛%｝,求｛%｝的前〃項(xiàng)和小

參考答案

1.答案：C

2.答案：B

解析：因?yàn)閿?shù)列｛4｝是“等比差”數(shù)列，

所以"+2——=d(nwN*),因?yàn)閝=q=L/=3，

an+lan

所以d=%_&=2,所以有嗅——=2,-=幺—"=2,

%a〃+i冊/1a?q

累和，得口一&=聯(lián)=2〃+ln4=2〃一3(〃22,女9),

4+i%%%-i

因此有3=2〃-3,也=2〃-5,…，a=1,累積，得

an-\an-2a\

生=(2〃—3)(2〃—5)..」=>4=1X3X5X...X(2〃—3),

ax

所以絲=比3*5±..4比43x42=1935,

a22Ix3x5x…41

3.答案：A

4.答案：C

解析：由a”=4M+2知數(shù)列｛%｝是公差為-2的等差數(shù)列，

所以q+a2H----F%o=5(%+?6)=5x(18+16)=5x34=170.

故選：C.

5.答案：D

解析：由an+l=3an-4n可得<7計(jì)1一[2(n+l)+l]=3&-(2〃+1)],

ax-3,-(2x1+1)=0,

則可得數(shù)列｛%-(2〃+1)｝為常數(shù)列0,即(2“+1)=0,二a“=2”+1,

,4/+8〃+5(2〃+1)(2〃+3)+2,2,11

n(2〃+1)(2〃+3)(2〃+1)(2〃+3)(2〃+1)(2〃+3)2n+l2〃+3

112

)=n+-———=n(l+).

"35572n+l2n+332n+36n+9

故選：D.

6.答案：ACD

解析：等差數(shù)列｛%｝中，q〉0,

對于A,%+%=4，59=9（>；>）=9（）；。7）=]8,A正確；

對于B,兀=15（.；&）=15%>0,貝l]g〉O,&=16紇.6）=8（網(wǎng)+的）<0'

貝U%+為<°，佝<—。8<0，因止匕d——（網(wǎng)+。9）（。8—。9）<。，即。8<“9，B專昔；

對于C,％+。6=2(〃3+。4)—(4+。2)=13,則%+%=2(%+4)—3+%)=17,C正確;

9

對于D,設(shè)｛%｝的公差為d,由。8=HO，得q+7d=10q+45d,解得d=—百生,

則S=9q+36d=9(4-----q)>0,=5(2q-----4)<0,D正確.

91938

故選：ACD

7.答案：BD

解析：A選項(xiàng)，&J?；%)*；%=]3%,而S7,的不一定相等，A不正確;

B選項(xiàng)，因?yàn)椤?=5"生)=5%,4a2+%=4(%—d)+a3+4d=5%，

所以S5=4a2+%,故B正確；

C選項(xiàng)，因?yàn)?〃2d+(%-d)n,

若｛九見｝為等差數(shù)列,貝1J(〃+1)〃八+1-次1〃=(“+1)2d+Q_d)(n+l)_十2d—(%-d)n

=2nd+%，

要想+q為常數(shù)，貝1」d=0，故C不正確;

D選項(xiàng)，由題可知S'=〃q+""T）"=4/-

若｛瘋｝為等差數(shù)列,則其5卜為關(guān)于〃的一次函數(shù),

所以q—_|=0，即d=2q,故D正確.

故選：BD

8.答案：BC

解析：

9.答案：95

解析：解法^設(shè)｛〃〃｝的公差為d,由%+%=%+2d+q+3d=2q+5d=7,

3a2+%=3（q+d）+q+4d=4q+7d=5,解得q=—4,d=3,貝lj510=10%+45d=95.

解法二：設(shè)｛〃〃｝的公差為d,由〃3+。4=。2+。5=7，32+。5=5，得。2=—1，〃5=8，故

d=w=3,4=11，貝|JS10=3X1O=5（%+4）=5x19=95.

io.答案：1+QJ+1

解析：根據(jù)題意有：拋擲〃次偶數(shù)次正面向上的情況由拋擲次偶數(shù)次正面向上的情況下第

n次反面向上，或拋擲次奇數(shù)次正面向上的情況下第n次正面向上組成，

可得遞推關(guān)系為4+,構(gòu)造數(shù)列4=,

1

所以「T=；，即數(shù)列1%是以4-g為首項(xiàng)，以;為公比的等比數(shù)列，

—4

又拋一次硬幣，偶數(shù)次正面向上為0次，此時q=士3，所以％」1=士3」1，

所以％m>〔｛），故答案為，白出■

11.答案：502

解析：由題意得，C3-4X10037;003>0,

又因?yàn)镾1003=—；4。。3）=1003?502，7;003=1003s之+―）=IOO3%2，

代入得溢2-4怎220,要使方程f—平=0?=1,2，…,1003）有實(shí)數(shù)解，則

a；—4220a=1,2,…,1003),

2

顯然第502個方程有解，設(shè)方程—qx+仇=0與方程x-o1003x+%03=0的判另U式分別為A，

△1003'

則△]+：的)+23-物期)=：溢03偽(》3)--~x

A1003=(a—(a1tMa+-4(4+-42Z?502,

即'+A10032當(dāng)--畋。2=2（吮-4媼）20,等號成立的條件q=%。。3，

所以ARO,A100320中至少一個成立,

同理可得A20,金020中至少一個成立，…，Aoi20,A0320中至少一個成立，且。220,

綜上，在所給的1003個方程中，有實(shí)根的方程最少502個，

故答案為：502.

12.答案：22"-2;』—』—

ZZ322-1

解析：由a〃+i=a；+44+2，可得a.+j+2=a；+4a“+4，即+2=(4+27，

兩邊取以4為底的對數(shù)得log4(a?+1+2)=210g4(4+2),

Xlog4(a1+2)=log4(2+2)=1^0>

則數(shù)列｛log/q+Z)｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

所以log4(a?+2)=2-',所以q=4州-2=2*-2；

由an+1=a；+4an+2,得a〃+i+1=a；+4a〃+3=(4+1)(為+3)，

則=——A——r=-f—................—\得---

。0+3a〃+i+14+1，〃+1+1

。]+1%+1a2+l/+1+1?！?1+1

1111

%+lQ〃+i+l32r+，-1,

故答案為：2“-2；

22322-1

13.答案：(1)?((=4/7-2

⑵7；2

2〃=^3l+2n-n

解析：(l)?.,8S“=a“2+4a“+4①.^.8S“T=a“T2+4a“T+4②

①-②整理得(%+%)(%-%一4)=0,心2

數(shù)列｛%｝是正項(xiàng)數(shù)列，an一%=4,H>2

當(dāng)”=1時，由8sl=+4%+4,可得q=2.

二數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

/.an=4n-2；

<2"-"為奇數(shù)

(2)由題意知,

,2〃-3〃為偶數(shù)

故衛(wèi)“=(1+22+24+…+227)+0+5+9+…+4”-3)

〃(1+4"-3)

=1-4+-2

4"T"

=---+2n-2-n-

3

14.答案：⑴%=2芹

(2)證明見解析

解析：(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為式q〉0),由歿紅4〃，得_4〃+1,

''2—'

兩式相除得/=4,貝必=2,又竽=4,即a；=4,而q0,貝ljq=2,

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式是q=a^-1=2".

⑵由⑴知么=等，

mi3572n+l

〃222