2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：函數(shù)的概念及其表示

第二章函數(shù)

第1講函數(shù)的概念及其表示

—<教師尊享?命題分析)一

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測

1.了解構(gòu)成函數(shù)求函數(shù)的定義域2022北京T11本講是函數(shù)部分的基礎(chǔ)，命題

的要素，能求簡求函數(shù)的解析式熱點為分段函數(shù)的求值、含參

單函數(shù)的定義和解不等式問題，題型以選擇

域.2022浙江題、填空題為主，難度中等偏

2.了解簡單的分分段函數(shù)T14；2021浙易.在2025年高考的備考中，

段函數(shù)，并能簡江T12要掌握函數(shù)的三要素和以分段

單應(yīng)用.函數(shù)為載體的有關(guān)應(yīng)用.

C學(xué)生用書P018

1.函數(shù)的概念及表示

一般地，設(shè)A,8是①非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的②任意一

函數(shù)的個數(shù)無，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力在集合8中都有③唯一確定的數(shù)v和

定義它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合3的一個函數(shù)，記作y=/(x),

三要素④定義域，⑤對應(yīng)關(guān)系，⑥值域.

定義域自變量x的取值范圍A

值域函數(shù)值的集合{7(x)1xeA},是集合2的⑦子集.

相等函數(shù)⑧定義域相同,⑨對應(yīng)關(guān)系完全一致.

函數(shù)的表

⑩解析法，?列表法，?圖象法.

示法

注意(1)與彳軸垂直的直線和函數(shù)圖象最多有一個交點；(2)解決函數(shù)問題時，優(yōu)先

考慮定義域.

常用結(jié)論

求函數(shù)的定義域時常用的結(jié)論

(1)分式型冷7要滿足了(x)W0；(2)偶次根式型24f(:

r)(〃￡N*)要滿足/(%)

20；(3)[/(%)]°要滿足/(無)W0；(4)對數(shù)型log/(x)(〃>0,且〃W1)要滿足

f(x)>0；(5)正切型tan/(無)要滿足/(x)kGZ.

2.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種

函數(shù)稱為分段函數(shù).

注意(1)分段函數(shù)雖由幾個部分構(gòu)成，但它表示的是一個函數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義

域是各段函數(shù)定義域的并集，值域是各段函數(shù)值域的并集.

基礎(chǔ)自測+

1.下列/(x)與g(尤)表示同一個函數(shù)的是(B)

A./(%)=]乂2-1與g(x)=Jx—l-Vx+1B.f(x)=工與8(x)

C.f(x)=%與且(x)=(Vx)D.f(x)與g(x)=Vx^

2.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù))=10-的定義域和值域相同的是(D)

A.y=xB.y=lgxC.y=2*口)=2

X2—1,X<1,

3」教材改編]已知函數(shù)/(x)=\1則/(/(—2))=(B)

1310

A.8B.-C.--D.--

249

——l,X<1,

解析因為/(%)={1所以/(一2)=(—2)2—1=3,所以

f(/(-2))=/(3)=±=[,故選B.

4.已知函數(shù)/(無)=2元一3,UeNI則函數(shù)無)的值域為{-1,1,3,

5,7}.

g---------------------------3WW)??*嬲的畫1-------------------------

由學(xué)生用書P019

命題點1求函數(shù)的定義域

例1(1)[2022北京高考]函數(shù)/(x)=^+J1一久的定義域是(一8,0)U(0,1].

解析因為/(x)=§+Jl-x,所以x#0,1—x20,解得xd(—8,0)U(0,1].

(2)若函數(shù)/(I—2x)的定義域為[—1,2],則函數(shù)/(x)的定義域為[—3,3].

解析因為函數(shù)/(I—2x)的定義域為[-1,2],所以一1WXW2,所以一3<1—2xW3.所

以函數(shù)/(%)的定義域為[-3,3].

命題拓展

若函數(shù)/(x)的定義域為[—1,2],則函數(shù)/(I—2x)的定義域為[一,1].

解析由一1W1—2xW2,得一:WxWl,所以函數(shù)/(l—2x)的定義域為[—1].

方法技巧

1.求具體函數(shù)的定義域的策略

根據(jù)函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)，求解不等式(組)即可；對實際

問題，既要使函數(shù)解析式有意義，又要使實際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)的定義域的策略

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由不等式

a《g(x)Wb求出；

(2)若已知函數(shù)/(g(無))的定義域為[a,b],則/(無)的定義域為g(無)在[a,bl_L

的值域.

注意無論函數(shù)的形式如何，定義域均是指其中的自變量x的取值集合.

訓(xùn)練1(1)[2024浙江省寧波市余姚中學(xué)一檢]己知函數(shù)y=/(x)的定義域是[-2,3],

則函數(shù)尸)的定義域是(A)

-1)U(-1,1]

B.E-3,-1)U(-1,7]

C.(-1,7]

D.[—I，-1)

解析因為函數(shù)y=/(x)的定義域是[—2,3],所以一2W2x+lW3,且x+lW0,解得

xG[一|,-1)U(-1,1].故選A.

(2)[2024江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市模擬]函數(shù)/(x)=.-2+(x—4)°的定義域為—

耳，4)U(4,+8).

解析要使函數(shù)/(%)=/3x—2+(x—4)。有意義，則有13%2—0,解得X2；且

N1%—4W0,3

%W4,

所以函數(shù)f(%)3x-2+(x—4)°的定義域為匕4)U(4,+8).

命題點2求函數(shù)的解析式

例2(1)[2024河南省內(nèi)鄉(xiāng)高中模擬]已知/(x)是一次函數(shù)，且/(/(x))=16x—25,

則/(x)=4%一5或-4%+§.

解析設(shè)/(x)=kx+b(k#0),則/(/(x))=k(kx+b)+b=^x+kb+b=16x~

(k2=16,(k=4,k=—4,25

25,.*.].*.]或125?"(%)=4%—5或/(x)=-4x+—.

[kb+b=—25,16=一5b=—,3

(2)已知/(x)滿足4(x)+/(i)=3x—1,則/(x)=.

解析已知V(x)+f(i)=3x—1①，

以3弋替①中的x(尤WO),得2f+f(x)=：-1②，

①X2—②，得3/(x)=6無一：一1,故f(x)—2x—^—\

方法技巧

求函數(shù)解析式的常用方法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，則可用待定系數(shù)法求

解.

(2)換元法：若已知復(fù)合函數(shù)/(g(x))的解析式求解函數(shù)/(x)的解析式，可令

g(x)=t,解出X,然后代入/(g(x))中即可求得/G),從而求得了(X).此時要注意

新元的取值范圍.

(3)配湊法：配湊法是將函數(shù)/(g(x))的解析式配湊成關(guān)于g(x)的形式，進而求出

函數(shù)/(X)的解析式.

(4)構(gòu)造方程組法(消元法)：若已知/(%)與fq)，/(-x)等的表達式，則可通過

賦值(如令X為3—X等)構(gòu)造出另一個等式，通過解方程組求出了(X).

注意求函數(shù)解析式時，若定義域不是R,一定要注明函數(shù)定義域.

訓(xùn)練2⑴已知“%2+或)=x4+^,則/(x)的解析式為f知)=d—2,xd[2,

+°°).

解析因為f(國+1)=(解+：)2—2,所以/(x)=，-2,[2,+°°).

(2)[2024安徽淮南模擬]已知/(x)是二次函數(shù)，且/(x+1)+f(x-1)=2/—4x+

4,則/(x)=f-2x+l.

解析因為/(%)是二次函數(shù)，所以設(shè)/(x)=ax2-\-bx-\-c(〃#0),則有。(x+1)2+

b(x+1)+c+〃(x-1)2+Z?(x—1)+c=2x2-4x+4,即2奴2+2"+2〃+2c=2/—4%

2a=2,(a=1,

2b=—4,所以{b=—2,所以/(x)=X2~2X+1.

{2。+2c=4,(c=1,

(3)[2024湖北省鐘祥市第一中學(xué)模擬]已知/(%)滿足3/(x)+2/*(1-x)=4x,貝！J

f(x)的解析式為f(x)=4x—：.

解析3/(x)+)(1—x)=4x①，用1一%代替①中的x可得3/(1—%)+2f(x)=

4(1—無)②，由3X①一2X②可得/(無)=4A—1

命題點3分段函數(shù)

角度1分段函數(shù)的求值(求參)問題

例3(1)[山東高考]設(shè)/(%)=[?':<”<L若…)=/(a+l),則=

(2Cx1),%1.

(C)

A.2B.4C.6D.8

解析作出了(X)的圖象，如圖所示，因為所以要使/(〃)=/(〃+1),則有

yja=2(〃+1—1),0<?<1,所以解得。=工，所以/(工)=f(4)=6.

L

—%2+2,X<1,1

(2)[2022浙江高考]已知函數(shù)/(x)=?1則/(/《))=>?7；若當(dāng)

%+--1,x>1,2

x

工￡[〃，加時，1W/(x)W3,則Z?—〃的最大值是3+百.

解析由題意知/0)=—(1)2+2,則/(/(與)=于0=什91=什11=條

作出函數(shù)/(X)的大致圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象，令一，+2=1,解得x=±l;令%+：—1=3,解得x=

2±V3,又x>l,所以工=2+巡.

所以(Z?—4)max-2+V3-(11)=3+V3.

角度2分段函數(shù)的解不等式問題

％Y<0

例4[全國卷I]設(shè)函數(shù)/(x)='-'則滿足了(x+1)<f(2x)的X的取值范圍

1,%>0,

是(D)

A.(―00,—1]B.(0,+00)

C.(-1,0)D.(―8,0)

解析解法一當(dāng)％W0時，函數(shù)f(x)=2一，是減函數(shù)，則/(x)2\/

f(0)=1.作出/(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使q---------

O|X

fx+1<0,,

|fx+1>0

f(x+1)<f(2x),則需《2%<0,或4一'所以xVO,故選

[2x<0,

\2x<x+1

D.

解法二當(dāng)X=-2時，fG+l)=/'(?=1,/⑵)(-1)=2-<F=2,滿足

/(x+1)<f(2x),排除A,B;當(dāng)x=—1時，/(x+1)=f(0)=2°=1,f(2x)=

f(-2)=22=4,滿足/(x+1)<f(2x),排除C.故選D.

方法技巧

1.解分段函數(shù)的求值問題的思路：一般根據(jù)自變量所在區(qū)間代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求解,

當(dāng)出現(xiàn)了(/(。))形式時，一般由內(nèi)向外逐層求值.

2.解分段函數(shù)的解不等式問題的思路：(1)若圖象易畫，可畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求

解；(2)根據(jù)分段函數(shù)的不同段分類討論，最后取各段結(jié)果的并集.

注意解得值或范圍后，要注意檢驗其是否符合相應(yīng)段的自變量的范圍.

2x+a,x<1,

訓(xùn)練3(1)[2024河南鄭州外國語模擬]已知實數(shù)。<0,函數(shù)/⑴=

一x—2a,x>1,

若/(1—a)=f(l+a),則a的值為(A)

解析因為a<0,所以1—a>1,l+a<l.因為f(1—a)—f(1+a),所以一(1—a)—

2a=2(1+a)~\-a,解得a=—1.故選A.

pX—i丫v2

(2)［2024四川達州外國語模擬］已知函數(shù)/(x)=則7(7)=8.

2/(x-2),x>2,

解析由題意得/'(7)=2f(5)=2X2f(3)=4X4(1)=8e1-1=8.

(3)［2023江蘇南通模擬］已知函數(shù)/(無)=max{l—x,2*},其中max{a,6}表示a,萬中

的較大者.則不等式/(%)>4的解集為(一8,—3)U(2,+8).

解析作出/(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知/(無)=

1—%,%<0,

當(dāng)尤W0時，由1一尤>4,得x<—3.當(dāng)x>0時，由2工〉

2X,x>0.

4,得x>2,所以/(x)>4的解集為(一8,-3)U(2,+°°).

(教師尊享?備課題組)

1.［命題點14023黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)模擬］函數(shù)/(x)=~^+

卜

J—log3(1—2x)的定義域是(A)

A.［0,-)B.(—8,1)

22

C.(—°°,|］D.(—0°,1)

1-x>0,

—log3(1—2%)>0,解得OWxV］,所以函數(shù)/(x)的定義域是［0,

{1—2%>0,

-),故選A.

2

2.［命題點2］定義在(-1,1)上的函數(shù)/(九)滿足4(不)一/(一元)=lg(x+1),則

f(x)=覬(x+1)+［旭(l—x),丁￡(-1,1).

解析當(dāng)元金(—1,1)時，有2f(x)—f(—x)=lg(x+1)①.

以一工代替x得，If(—X)—f(x)=lg(―x+1)②.

由①②消去/(―x)得，f(x)=|lg(x+1)+|lg(1—x),(—1,1).

2~x,x<1,

3.[命題點3角度1]設(shè)函數(shù)/(x)=久一則滿足"(a))=/(<?)的。的取

X>1,

值范圍是(D)

A.(―8,0]B.[0,2]

C.[2,+8)D.(—8,o]U[2,+8)

解析作出了(無)的圖象(圖略)，可得了(無)的最小值為點令t=f(a),則考

慮了⑺=[的解，作出>=/(力與y=]在巳+°°)上的圖象，如圖1中實線所示，由圖

可知，當(dāng)閆時，f(/)=三,故f2l.

下面考慮了(。)21的解集，作出y=/(a)與y=l的圖象如圖2所示，由圖可得aWO或

a22.故選D.

圖1圖2

4.[命題點3角度22023山東濟南模擬]已知函數(shù)/⑴=「7+2皿一xW/n,若

1%—m,x>m9

f(a2-4)>/(3a),則實數(shù)o的取值范圍是(B)

A.(-1,4)B.(—8,-1)U(4,+8)

C.(-4,1)D.(—8,-4)U(1,+8)

2

解析由題意知/(無)=—(%-m)'X-m，易知函數(shù)了(無)在(m,+8),

x-m,x>m,

(―°°,徵]上單調(diào)遞增，且加一加=一(m—m)2,所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.則由

f(?2—4)>/(3〃),得〃2—4>3〃，解得〃>4或〃V—1,所以實數(shù)〃的取值范圍是

(―0°,—1)U(4,+°°),故選B.

(------------------------------，練習(xí)幫;，練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------

a學(xué)生用書?練習(xí)幫P264

C基礎(chǔ)練知識通關(guān)

1.函數(shù)/(X)=」3x-l+[n的定義域為(C)

A.[i,1)U(1,+8)B,[i,2)

33

C.[i,1)U(1,2)D.(0,2)

3

I-----俏久—INO,(x>l，

解析要使函數(shù)/(無)=j3x—l+1n:一二有意義，貝“2—萬>0,解得《久<2,故函數(shù)

(2W1,1％W1,

的定義域為W，I)U(1,2).故選C.

2.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是(C)

A./(x)和g(x)=(Vx)2

B.f(x)=1和g(x)=x°

C.f(x)=I%I和g(x)=fX，%之°,

1—%,%<0

D.f(x)=?%和g(x)=lgl(r

解析對于選項A,f(x)=Vx^=IxI的定義域為R,g(x)=(Vx)2=x的定義域為

[0,+8),兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；對于選項B,/(%)=1的定義域

為R,g(x)=x°=l的定義域為[xIxWO},兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；

xx>0

'—'函數(shù)/(x),g(x)的定義域都是R,且對應(yīng)

{—X,x<0,

法則相同，是相同函數(shù)；對于選項D,f(x)=*"的定義域為(0,+8),g(%)=

1g10%的定義域為R,兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù).故選C.

3.[2023重慶模擬]已知函數(shù)/(?+1)=%+2?,則/(%)的解析式為(C)

A/(x)=J?—\

B./(x)=/—1,(1,+°0)

C.f(x)=一—1,[1,+°°)

D/(x)=，-1,[0,+°0)

解析解法一(配湊法)f(Vx+1)=x+2yjx=(Vx+1)2—1,令/=?+1

,則/(/)=及一1,/￡[1,+°°),所以/(x)=f—1,[1,+°°),故選

C.

解法二(換元法)令/=?+1621),則?=/—1(/21),/(/)=(/—1)2+2(t

—1)1,[1,+°°),所以/(%)1,x￡[l,+°°),故選C.

In%,%>1,

{0,0<x<1,若/(2a—1)—IWO,則實數(shù)。的取值范圍是

x,%<0,

(D)

A.[等，+8)B.(―8,-|]U[0,等

c.[o,e+1

2

解析因為/(2〃一1)-1^0,所以/(2a—1)W1.作出函數(shù)(x)

及y=l的圖象，如圖所示，設(shè)兩函數(shù)圖象交于點尸，則由圖可知，2a~

1W無p=e,所以等，即a的取值范圍是(一8,等],故選D.

(x—1)

5.[2024廣東名校聯(lián)考]已知函數(shù)/(x)的定義域是[0,4],則函數(shù)的定義域是.

(2,5]

解析由題意知久—14*解得2<xW5,即y=f'=P的定義域為(2,5].

I%-2>0,Jx-2

0%為v0

'_'則—白))=i

logx,x>0,16

{49

ox丫Vf)

'-所以/(—)=log4—=—2,f(—2)=3一2=:所以

(logx,%>0,16169

4

7.[2024惠州市一調(diào)]已知函數(shù)/(x)滿足/(尤+1)=/(%)+2,則/(無)的解析式可以

是f(x)=2x(答案不唯一).(寫出滿足條件的一個解析式即可)

解析由/(x+1)=于(x)+2知，函數(shù)/(x)的圖象上移2個單位長度后得到的圖象，

與左移1個單位長度后得到的圖象重合，f(x)=2無+左(其中左可取任意實數(shù))滿足要求.

本題為開放題，答案可為/Or)=2x,f(x)=2尤+1等.

/1X

(-),%□(—oo,1)

8.[2024浙江名校聯(lián)考]已知函數(shù)/(x)=2'則/(x)>1的解集為—

Jog4%，XU(1,+00),

—°0,0)U(4,+°0)

解析由題意可得，f(0)=(|)°=1,結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=(夕X在定義域內(nèi)單調(diào)遞減可

知，當(dāng)x<l時，/(x)>1的解集為(一8,o)；f(4)=log44=l,結(jié)合對數(shù)函數(shù)y=

10gM在定義域內(nèi)單調(diào)遞增可知，當(dāng)x>l時，/(x)>1的解集為(4,+8).所以不等式

f(x)>1的解集為(-8,o)U(4,+8).

能力練重難通關(guān)

9.[2023福建漳州聯(lián)考]已知函數(shù)/(尤)若實數(shù)a滿足/3(a))

%<0,

=1,則實數(shù)a的所有取值的和為(C)

A.lB.--V5

16

C.---V5D.-2

16

解析作出y=/(x)及y=l的部分圖象，如圖所示，易得y=/(x)與y=l的圖象有三

個交點，設(shè)這三個交點分別為A,B,C,則易得冽=-4,XB=0,XC=2.

令/(Q)=—4,則由圖可得log2〃=—4,解得。=2-4=三；

令/(〃)=0,則由圖可得/+4〃+1=0或log2“=0,解得〃=一2一遍或〃=-2+遍或a

=1;

令/(Q)=2,則由圖可得次+4〃+1=2(aWO)或log2〃=2,解得〃=—2一而或a=2?=

4.

所以實數(shù)〃的所有取值的和為三十(-2-V3)+(-2+V3)+1+(-2-V5)+4=

16

—竺—斯

故選C.

10.[2023西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬]設(shè)函數(shù)/(x)若/(a)=

Wein%,%>1,

f(e。)，則f(5)=Ve

解析根據(jù)題意作出函數(shù)/(%)的圖象，如圖所示.由/(X)的定義片