蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：圓周角（原卷版+解析）

專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一圓周角概念辨析考點(diǎn)二同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

考點(diǎn)三直徑所對(duì)的圓周角是直角,考點(diǎn)四90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

..............?????，

典型例題

*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■（*

考點(diǎn)一圓周角概念辨析

例題：（2022?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（）

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

4等弧所對(duì)的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心

2.（2022?福建廈門?九年級(jí)期末）如圖，0ABe內(nèi)接于圓，弦8。交AC于點(diǎn)尸，連接AD下列角中，AB所

對(duì)圓周角的是（）

A.EIAPBB.SABDC.SACBD.SBAC

3.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？

考點(diǎn)二同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

例題:（2022?廣西貴港?中考真題）如圖,回。是的外接圓，AC是團(tuán)。的直徑，點(diǎn)尸在國。上，若=

則ZBPC的度數(shù)是（)

B.45°C.50°D.55°

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖,是。。的兩條半徑，點(diǎn)。在。。上，若NAQB=80。，則NC的

度數(shù)為（

B.40°C.50°D.60°

2.（2022?四川廣安?二模）如圖，四邊形A5CD的外接圓為回O,BC=CD,回。AC=36。，媯CD=44。，則

的度數(shù)為（)

A.55°B.64°C.65°D.70°

3.（2022?廣東?乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，且AC的長(zhǎng)是

5。長(zhǎng)的2倍，N4cB的平分線8交。。于點(diǎn)。，則NCBD的度數(shù)為（)

B.95°C.100°D.105°

考點(diǎn)三直徑所對(duì)的圓周角是直角

例題：（2022?廣西梧州?二模）如圖，AB.CD分別是團(tuán)。的直徑，連接5。、BD,如果弦且團(tuán)CDE

62°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.C斑BDB.團(tuán)CR4=31°C.AC=AED.BD=DE

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?湖北十堰三模）如圖，AB是回。的直徑，C是回。上一點(diǎn)，。是A3另一側(cè)半圓的中點(diǎn)，若C￡）=3啦,

BC=4,貝峋。的半徑長(zhǎng)為（）

A.y/5B.2石C.VTTD.2而

2.（2022?安徽蕪湖?二模）如圖，正方形ABC。內(nèi)接于團(tuán)O,邊長(zhǎng)BC=#,尸為弧上一點(diǎn)且AP=1,則

PC=.

3.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，弦8與直徑A3相交于點(diǎn)E,連接OC、AD,BD.若

AD=ED,NB=20°，則ZBOC的大小為度.

考點(diǎn)四90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

例題：（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，00的弦A3垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,則O。的半徑

等于（）

C.V15D.4

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江西吉安?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，ZAPB=90°,

連接尸r>,則的最小值為（）

72761

A.8B.2721C.10

61

2.（2022.江蘇徐州.模擬預(yù)測(cè)）如圖,2通42c中,0ABe=90°,AB=6,BC=5,P是0ABe內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足aR43=aP8C,則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

例題：（2022糊南婁底,模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)2,C,。在回。上，若N3CD=130。，則ZBOD的度數(shù)是（）

C.70°D.100°

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?新疆?烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中）在。。中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)。在4wC上，則/ADC

的度數(shù)是（）

4.30°B.45°C.60°D.75°

2.（2022?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是回。的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)

C,點(diǎn)。重合），連接BE,若0A=6O。，貝崛8即的度數(shù)可以是（）.

A.110°B.115°C.120°D.125°

課后訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2022?山東威海?九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A,B,C都在回。上，若ZACB=36。，貝幗。（）

2.（2022,山西?中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,是。。的直徑，若N3=20。，則ACAD的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

3.（2022?浙江麗水?三模）如圖，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)均在。。上，AO//DC,BO//AD,若ZAC?=70。,

則的度數(shù)為（）

C.20°D.25°

4.（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，A8,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧BC的中點(diǎn)，連接BC,DE.若

ZABC=22°,則NCDE的度數(shù)為（)

A.22°B.32°C.34°D.44°

5.（2022?遼寧?沈陽市第一二六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，2。是。。的直徑，弦AC交8。于點(diǎn)G.連接OC,

若NCQD=126。，AB=AD<則NAG3的度數(shù)為（）

B.103°C.108°D.113°

二、填空題

6.（2022?湖南邵陽?三模）如圖，AB為團(tuán)。的直徑，C,。為回。上的兩點(diǎn)，若/ABD=54。，貝物C的度數(shù)為

7.（2022?浙江湖州,中考真題）如圖，已知A8是回。的弦，0AOB=12O°,OC0AB,垂足為C,OC的延長(zhǎng)線

交回。于點(diǎn)D若明尸。是AD所對(duì)的圓周角，則她尸。的度數(shù)是.

D

8.（2022?安徽宿州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。是RtZXABC的外接圓，=90°,ZBAC的平分線交。。于點(diǎn)

D,NABC的平分線交A。于點(diǎn)E,連接8。，若。。的直徑是后，則。E的長(zhǎng)為.

9.（2022,陜西咸陽?九年級(jí)期中）如圖，在菱形A8C。中，BC=6,ZC=120°,點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，

連接2E,點(diǎn)尸在BE上，連接AP,若/BAP=NCBE,則人鉆尸面積的最大值為.

10.（2022?陜西西安工業(yè)大學(xué)附中三模）如圖，在四邊形A8C。中，AB=8,BC=6,SB=60。，國C=120。，點(diǎn)。、

E分別是48、的中點(diǎn)，OH0BC于點(diǎn)H,點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，連接。P,將AOH尸沿著OP所在直線

翻折，點(diǎn)》的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為女，當(dāng)廳E取最小值時(shí)邊8的長(zhǎng)為.

三、解答題

11.（2022?廣東?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為。。的直徑，ZADB=ZCDB.

⑴試判斷AABC的形狀，并給出證明；

（2）^-AB=A/2>AD=1>求CD的長(zhǎng)度.

12.(2022?遼寧沈陽二模)如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于回O,。是弧AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)8C到點(diǎn)E,使CE=M,

連接80,ED.

⑴求證：BD=ED；

⑵若NABC=60。，AD=5,回。的直徑長(zhǎng)為.

13.(2021?江蘇?揚(yáng)州市江都區(qū)雙溝中學(xué)一模)如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于回。，AB=AC,8。交AC于點(diǎn)E,

延長(zhǎng)A。，8C交于點(diǎn)R且CF=AC.

⑴求證eia)=A。；

(2)若&￡)=』，AB=2也,求陽的長(zhǎng).

14.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)學(xué)業(yè)考試)如圖，/18、8為0。的弦，45與C。相交

于點(diǎn)E,AD=BC-

⑴如圖1,求證：BE=DE；

(2)如圖2,點(diǎn)尸在BC上，連接。尸、AD,若DF為直徑，AB±CD,求證：ZADF=45°;

⑶如圖3,在（2）的條件下，連接CP、BF,BF>CF,若。E=8,△3CF的面積為6,求的長(zhǎng).

15.（2022?黑龍江?哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖,△ABC內(nèi)接于圓。，高A。、CE相交于點(diǎn)延長(zhǎng)

（2）如圖2,連接CO,求證：NBCO=NHCA；

（3）如圖3,在（2）的條件下，延長(zhǎng)CO交圓。于點(diǎn)N,連接GN、DE,若NG=2DE=2M,CD=1,求

DH的長(zhǎng).

專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略

FT'

考點(diǎn)一圓周角概念辨析考點(diǎn)二同弧或等弧所對(duì)的圓周角

相等

考點(diǎn)三直徑所對(duì)的圓周角是直角，考點(diǎn)四90°的圓周角所對(duì)的弦是直

徑

考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

...........

典型例題

^.1111...........,?/■

考點(diǎn)一圓周角概念辨析

例題：（2022?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（）

A.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角的定義（角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可.

【詳解】

解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項(xiàng)A中的角是圓周角.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角的定義，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎(chǔ)題.

1.（2022?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.等弧所對(duì)的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對(duì)稱軸的定義逐項(xiàng)排查即可.

【詳解】

解：A同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)正確；

A平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對(duì)稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn).靈

活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

2.（2022?福建廈門?九年級(jí)期末）如圖，EABC內(nèi)接于圓，弦2D交AC于點(diǎn)P,連接AZX下

列角中，AB所對(duì)圓周角的是（）

A.EIAPBB.EL4BDC.0ACBD.SBAC

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由圖可知：.所對(duì)圓周角的是0AC8或HADB,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握?qǐng)A周角是解題的關(guān)鍵.

3.（2021,全國?九年級(jí)專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周

角？

【答案】特征見解析，?圖中國3、回4、aBAD是圓周角

【解析】

【詳解】

解：他）機(jī)頂點(diǎn)在回。內(nèi)，兩邊與圓相交，所以回1不是圓周角；

⑸回2頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交，所以回2不是圓周角；

（c）圖中133、04、EIBA。的頂點(diǎn)在圓周上，兩邊均與圓相交，所以團(tuán)3、的、回胡。是圓周角.

⑷回5頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以回5不是圓周角；

（e）回6頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知團(tuán)6不是圓周角.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角

是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

例題：（2022?廣西貴港?中考真題）如圖，回。是AABC的外接圓，AC是回。的直徑，點(diǎn)P在

回。上，若Z4CB=4O。，則NBPC的度數(shù)是（）

B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理得到NABC=90。，NBPC=ZA,然后利用互余計(jì)算出0A的度數(shù)，從而得到

NBPC的度數(shù).

【詳解】

解：是回。的直徑,

0ZABC=90°,

回NA=90°-ZACB=90°-40°=50°,

0ZBPC=ZA=5O°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理,解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所

對(duì)的弦是直徑.

1.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，0402是。。的兩條半徑，點(diǎn)C在O。上，若/4。3=80。,

則NC的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】

回OAOB是。O的兩條半徑，點(diǎn)C在。O上，ZA（9B=80°

SSC=-ZAOB=40"

2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等

于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答本題關(guān)鍵.

2.（2022?四川廣安?二模）如圖，四邊形ABC。的外接圓為回。，BC=CD,0Z）AC=36°,SACD

=44°,則0AD8的度數(shù)為（）

A.55°B.64°C.65°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DC=8C，再利用圓周角定理得到&BACFD4c=36。，SABD

=0ACO=44。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算0AD2的度數(shù).

【詳解】

解：！3BC=C。，

0DC=BC>

00ABD和HACD所對(duì)的弧都是AO，

00BAC=EDAC=36°,

:./BAD=ZBAC+ZDAC=72°,

aa4BD=EIACZ)=44°,

00ADB=18Oo-0BAD-0ABr)=180°-72o-44°=64°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東?乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，

且AC的長(zhǎng)是BC長(zhǎng)的2倍，ZACB的平分線交。。于點(diǎn)。，則NCBD的度數(shù)為（）

r

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)是回。的直徑和AC的長(zhǎng)是BC長(zhǎng)的2倍，可以求得財(cái)8C的度數(shù),再根據(jù)平分MCB,

可以得到0A8D的度數(shù)，然后即可計(jì)算出團(tuán)的度數(shù).

【詳解】

0A8是回。的直徑，

EEL4CB=90°,

0AC的長(zhǎng)是長(zhǎng)的2倍，AC的度數(shù)+BC的度數(shù)=180。，

團(tuán)AC的度數(shù)為120。，BC的度數(shù)為60°

0BABC=6O°,1388=30°,

團(tuán)8平分0ACB,

aSAC￡）=45°,

aaABD=0AC￡）=45°,

H3CB。=0ABC+0ABD=60°+45°=105°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是求出EABC和的度數(shù).

考點(diǎn)三直徑所對(duì)的圓周角是直角

例題：（2022?廣西梧州?二模）如圖,A8、C￡）分別是回O的直徑，連接如果弦

且回C￡?E=62。，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A.CB^\BDB.團(tuán)C3A=31°C.AC=AED.BD=DE

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可判斷4根據(jù)圓周角定理可判斷8選項(xiàng)，根據(jù)圓周角與

弧的關(guān)系可判斷C,根據(jù)/。?！闣/。。5判斷。選項(xiàng).

【詳解】

解：M3、CO分別是回。的直徑，

:.ZCBD=9Q°,

故A選項(xiàng)正確，

如圖，連接跖，

*/DE//AB,且團(tuán)COE=62°,

ZBOD=ZCDE=62°,

/.ZBCD=-ZBOD=31°,

2

QOC=OB,

..ZCBO=ZBCO=31°f

ZAOC=62°f

???ZCBE=ZCDE=62°9

.\ZABC=ZABE=31°f

??AC=AE^

故3,。選項(xiàng)正確，

?.,/BCD=31°,/CBD=90°,

.?.NBDC=59。,

?.?NCOS=62。，

.?.NCDEwNCDB,

??BDHDE,故。選項(xiàng)不正確,

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?湖北十堰?三模）如圖，AB是國。的直徑，C是回。上一點(diǎn)，。是AB另一側(cè)半圓的

中點(diǎn)，若CD=3亞,8c=4,貝幅。的半徑長(zhǎng)為（）

A.B.2石C.V1TD.2vH

【答案】A

【解析】

【分析】

連接A。，過點(diǎn)B作8E3CQ于點(diǎn)E,證明AAOB和AAOB都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定

理求解即可.

【詳解】

解：連接AD,過點(diǎn)2作2E0CD于點(diǎn)￡,

0AB是回。的直徑，。是4B的中點(diǎn),

函4QB=90°,AD=DB,

回AAOB是等腰直角三角形，

0I3A=EIABD=45°,

EBC=a4=45°,

回AEBC是等腰直角三角形，

0BC=4,

BEC-EB-2yf2,

EICD=3亞，

^DE=y/2,

^BD=^DE2+BE2=Vio>

在等腰直角4BDA中，AB=y/AD2+BD2=2小，

甌。的半徑長(zhǎng)為石，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題.

2.（2022?安徽蕪湖?二模）如圖，正方形A8C。內(nèi)接于回O,邊長(zhǎng)BC=逐，尸為弧上一點(diǎn)

S.AP=1,則PC=.

【答案】3

【解析】

【分析】

連接AC,易得AC為直徑，在及AABC中利用勾股定理算出AC,再在氏AAC尸中利用勾股

定理算出PC.

【詳解】

解：連接AC,???四邊形ABC。是正方形，

AB=AC=y/5,ZABC=90°,

AC是直徑.

ZAPC=90°.

在咫AABC中，AC=NAB?+BC?=J（后+（后=回，

在MAAPC中，PC=7AC2-AP2=7（V10）2-l2=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的內(nèi)接正多邊形，直徑所對(duì)的圓周角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記并靈活運(yùn)

用"直徑所對(duì)的圓周角是直角

3.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，弦CZ）與直徑A3相交于點(diǎn)E,連接

OC.AD、BD.若AD=￡D,/3=20。，則N3OC的大小為度.

【答案】100

【解析】

【分析】

由直徑所對(duì)的圓周角是直角求出NA的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)可求得，/⑦C,從而得

到/BDC的度數(shù)，再由同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍求出NBOC的度數(shù).

【詳解】

解：〈AB是直徑，

ZADB=90°,

ZA=90°-ZB=70°,

,?*AD=DE，

，ZADC=180°-2ZA=40°,

ZBDC=90°-ZADC=50°,

??.ZBOC=2ZBDC=100°.

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性

質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A相關(guān)性質(zhì).

考點(diǎn)四90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

例題：（2021?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，O。的弦AB垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,

則。。的半徑等于（）

C.亞D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

首先連接BC,由。。的弦垂直于AC,即可得BC是直徑，又由=AC=4cm,

根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，則可求得。。的半徑.

【詳解】

解：連接8C,

ABLAC,

:.ZBAC=90°,

??.BC是。o的直徑，

,/AB=6cm,AC=4cm,

BC=y/AB2+AC2=2屆（cm）,

二。。的半徑為：廂cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓周角定理與勾股定理.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握90。的圓周角所對(duì)的

弦是直徑定理的應(yīng)用.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江西吉安?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,尸為矩形內(nèi)一點(diǎn)，

ZAPB=90°,連接PD,則尸D的最小值為（）

A.8B.2A/21C.10D.—

61

【答案】A

【解析】

【分析】

首先由題意可知：點(diǎn)P在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)E,在圓E上任取一點(diǎn)凡連接

EF、DF、EP、PD,可知當(dāng)點(diǎn)￡、P、。在一條直線上時(shí)，PD最小，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)

系即可證得，最后根據(jù)勾股定理即可求即，據(jù)此即可求得.

【詳解】

解：-.-ZAPB=90°

.?.點(diǎn)P在以48為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)E

如圖：在圓E上任取一點(diǎn)孔連接EF、DF、EP、PD

，當(dāng)點(diǎn)E、P、。在一條直線上時(shí)，尸。最小

理由如下：

■.EF+DF>ED=EP+PD,EP=EF

.?.DRNPD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時(shí)取等號(hào)）

此時(shí)PD最小

點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，EP是圓的半徑

AE=EP^-AB=5

2

在Rt/XAED中,ED=>]AE2+AD2=752+122=13

，PZ）=ED—EP=13—5=8

故PD的最小值為8

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形三邊的關(guān)系，最短距離問題，勾股定理，確定點(diǎn)尸的位置是解決本題的

關(guān)鍵.

2.（2022,江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，MS48c中，0ABe=90。，AB=6,BC=5,尸是0ABe內(nèi)

部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足am慶apse,則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

A

【答案】V34-3##-3+V34

【解析】

【分析】

利用已知條件，可知回8必=90。，P點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，如圖，。為圓心，連接。C,

OC與圓。的交點(diǎn)P,CP即為最小值，進(jìn)行計(jì)算求值即可.

【詳解】

解：aa48c=90°,^PAB^PBC,

00PBA+0PBC=9O°,EIPBA+EI抬8=90°,

03224=90°,

團(tuán)尸點(diǎn)在以A3為直徑的圓上，如圖，。為圓心，連接OC,0C與圓。的交點(diǎn)P,CP即為最

小值

^\AB=6,

回O3=OP=3,

團(tuán)3C=5,

回℃=yJOB2+BC2=A/32+52=A/34，

回（7產(chǎn)=后一3,

故答案為：A/34-3

【點(diǎn)睛】

本題考查的圓中幾何問題的綜合運(yùn)用，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算求值是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

例題：（2022?湖南婁底?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)2,C,。在回。上，若/3CD=130。，則

的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.100°

【答案】。

【解析】

【分析】

首先圓上取一點(diǎn)A,連接AB,AD,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得aBAD+aBCD=180°,

即可求得SBA。的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】

解：圓上取一點(diǎn)A,連接AB,AD,

團(tuán)點(diǎn)A、B,C,。在回。上，0BCD=130°,

03540+回BC￡)=180°,

03540=50°,

00BOD=20BAD=1OO°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓周角的性質(zhì)與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?新疆?烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中)在。。中，四邊形0ABe為菱形，點(diǎn)。在

上，則-45C的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)NADC=(z,則NAOC=2a,利用菱形性質(zhì)可得NABC=NAOC=2cn再由圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)可知：ZADC+ZABC=180°,即可求出NADC.

【詳解】

解：設(shè)Z4DC=(z,貝l]NAOC=2(z

回四邊形0ABe為菱形，

團(tuán)XABC=NAOC=2a,

回四邊形A3。是圓的內(nèi)接四邊形，

EZADC+ZABC=180°,即3a=180°,

0?=60°,即Z/WC=60°.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是找出

ZADC+ZABC=180°.

2.（2022,福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABC。是回。的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任

意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C,點(diǎn)。重合），連接BE,若S4=60。，則回8即的度數(shù)可以是（）.

A.110°B.115°C.120°D.125°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可求出團(tuán)C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得團(tuán)C,即

可解答.

【詳解】

解：回四邊形ABCD是回。的內(nèi)接四邊形，

ffilA+l3C=180°,

00A=6O°,

aac=i80°-a4=i20°,

00DEB是ADCE的一個(gè)外角，

E0D￡B>0C,

甌OEB的度數(shù)可能是：125。，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

一、選擇題

1.(2022?山東威海?九年級(jí)期末)如圖，點(diǎn)A,B,C都在回。上，若ZACB=36。，貝靦

()

【答案】B

【解析】

【分析】

利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半得到財(cái)。8,再用等腰三角形的性質(zhì)即

可得出結(jié)論.

【詳解】

解：^ACB=~^AOB,0ACB=36°,

EHAOB=2x0AC2=72°.

^OA=OB,

回AOAB是等腰三角形，

0EIAOB+0OAB+0OBA=180°,

00OAB=y(180--a4(?B)=54°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半解答是解

題的關(guān)鍵.

2.(2022?山西?中考真題)如圖，AABC內(nèi)接于。0,4。是。。的直徑，若=20。，貝ij/C4D

的度數(shù)是（)

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】

首先連接由是的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得NACD=90。,

又由圓周角定理，可得ZD=ZB=20。，再用三角形內(nèi)角和定理求得答案.

【詳解】

解：連接CD

0A。是OO的直徑，

SZACD=90°.

0ZD=ZB=2O°,

0ACAD=180°-90°-Z￡）=108°-90°-20°=70°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理.熟練掌握?qǐng)A周角定理是解此題的關(guān)鍵.

3.（2022?浙江麗水?三模）如圖，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)均在。。上，AO//DC,BO//AD,

若ZAC?=70。，則E?B的度數(shù)為（）

B

A

Dt0

C

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】

連接AB,由及4。8是等腰三角形，0AOB=7O°,求得I3OBA的度數(shù)，由30〃AD得至?。輫?。4。

的度數(shù)，由40〃。。得到財(cái)。(？的度數(shù)，四邊形48C。是。。的內(nèi)接四邊形，由圓內(nèi)接四邊

形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案.

【詳解】

解：連接48,

SOA=OB,

國及4。8是等腰三角形，

00OAB+0OBA+EL4OB=180°,0A08=70°,

(1800-a4OB)=55°,

S1BO//AD,

EEZMO=EAOB=70°,

ISAO//DC,

0E1A￡)C=180°-EIZMO=180°—70°=110°,

0A,B,C,O四個(gè)點(diǎn)均在。。上，

回四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，

0EL4DC+0ABC=EIADC+0ABO+0OBC=180°,

E0OBC=1800-0ADC-EL4B0=150.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌

握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022■內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，AB,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，

連接BC,DE.若/ABC=22。，則NCDE的度數(shù)為（）

A.22°B.32°C.34°D.44°

【答案】C

【解析】

【分析】

連接由題意易得NOCB=NABC=22。，則有NCO3=136。，然后可得NCOE=68。,

進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解.

【詳解】

解：連接?！?如圖所示：

0OB=OC,/ABC=22°,

SZOCB=ZABC^22°,

0ZCOB=136°,

as是劣弧BC的中點(diǎn)，

0ZCOE=-ZCOB=68°,

2

0ZC￡>E=-ZCO￡=34°；

2

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2022,遼寧?沈陽市第一二六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，BD是。。的直徑，弦AC交8。于點(diǎn)

G.連接。C,若NCOD=126。，AB=AD^則ZAG3的度數(shù)為（）

B

A.98°B.103°C.108°D.113°

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出國COB的度數(shù)，由圓周角定理求出aBAC的度數(shù)，再根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系求出

&42。=45。，即可得到答案.

【詳解】

解：00C（9D=126°,

EHCOB=54°,

0ZBAC=-ZCOB=27°,

2

SB。是圓。的直徑，

回配4。=90°,

回AB=AO，

^AB=AD,

00ABD=0ADB=45°,

0EL4GB=18O°-0BAG-0ABG=108°,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等弧所對(duì)的弦相等，等腰直角三角

形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2022?湖南邵陽?三模）如圖，為回。的直徑,C,。為回。上的兩點(diǎn)，若NABD=54。，

則回C的度數(shù)為___________.

二D，

【答案】36°##36度

【解析】

【分析】

連接A。，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得媯。8=90。,即可求得SDA2的度數(shù)，由同圓中相等

的弧所對(duì)的圓周角相等即可得回C的度數(shù).

【詳解】

如圖，連接4。.

0AB是直徑,

mADB=90°.

團(tuán)ZDAB=90°-ZABD=90°-54°=36°.

mC=^\DAB=36°.

故答案為：36。.

D

【點(diǎn)睛】

本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角、同圓中相等的弧所對(duì)的圓周角相等，掌握這兩個(gè)知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?浙江湖州?中考真題）如圖，已知AB是回。的弦，0AOB=12O。，OCBAB,垂足為C,

0c的延長(zhǎng)線交回。于點(diǎn)D若刻尸。是AO所對(duì)的圓周角，則的度數(shù)是.

D

【答案】30。##30度

【解析】

【分析】

根據(jù)垂徑定理得出a4。8=02。。，進(jìn)而求出她。￡>=60。，再根據(jù)圓周角定理可得她尸。=：

0A00=30°.

【詳解】

0OC13AB,。。為直徑，

^BD^AD，

^S\AOB=SBOD,

國她02=120°,

00AOD=6OO,

回媯尸。=；&4。。=30°,

故答案為：30。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2022?安徽宿州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。是RtZXABC的外接圓，ZR4C=90°,ZBAC的平

分線交0。于點(diǎn)。，ZABC的平分線交于點(diǎn)E,連接8。，若0。的直徑是直，則DE

的長(zhǎng)為.

D

【答案】1

【解析】

【分析】

連接C。，根據(jù)A。、8E分別平分團(tuán)BAC和0ABC,結(jié)合圓周角定理和三角形外角性質(zhì)，得出

ZDBE=ZBED,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90。，結(jié)合8O=CO,BC=y[l，利用勾股定理,

求出身T=],即可求出==I.

【詳解】

解：連接。，如圖所示：

EIAD平分I3BAC,

fflBA￡)=0CA￡),

@BD=CD，

SBD=CD,NCBD=NCAD=NBAD,

回BC為直徑，且8C=0,

aasz)c=90°,

EB￡>2+￡>C2=BC2=(A/2)2=2,

0B￡>2=1，

0BD=1,

IBBE平分她BC,

,SBABE^CBE,

0ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZBED=ZABE+ZBAD,

SZDBE=ZBED,

^\DE=BD=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾

股定理，作出輔助線，根據(jù)題意證明皿汨=/曲，是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?陜西咸陽?九年級(jí)期中)如圖，在菱形A3。中，BC=6,ZC=120°,點(diǎn)E是射

線CD上一點(diǎn)，連接BE,點(diǎn)尸在BE上，連接AP,若NBAP=NCBE,則AlBP面積的最

大值為.

【答案】3石

【解析】

【分析】

若要使ZVIBP的面積最大，底A3固定，故只要邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；

可證ZAPB=120°,故可知點(diǎn)尸在“尸8的外接圓的劣弧AB上，當(dāng)點(diǎn)尸在劣弧4B的中點(diǎn)處，

△APB的面積最大，求出邊上的高即可求解.

【詳解】

解：回四邊形ABC。是菱形，

a48=BC=6,ABHCD,

0ZABC+ZBC￡>=18OO,

0ZC=120°,

13ZABC=60°,gpZABP+ZPBC=60°,

⑦NBAP=NCBE,

0ZABP+ZBAP=6O°,

aZAPB=180°-(ZABP+/BAP)=180°-60°=120°,

團(tuán)點(diǎn)尸在在0APB的外接圓上，

若要使AWP的面積最大，底AB固定，ZAPS=120°,故只要48邊上的高最大時(shí)，即三

角形面積最大；此時(shí)點(diǎn)P在劣弧A8的中點(diǎn)處，如圖，

設(shè)點(diǎn)。為的外接圓的圓心，。國48于點(diǎn)死

0AF=-AB=3,ZAPF=-ZAPB=60°,

22

BlZPAF=30°,

由勾股定理得，AF2+PF2=AP2

E32+PF2=4PF2

0PF=V3

國^AAPB=；ABgPF=；x6xy/3=3A/3

即尸面積的最大值為36.

故答案為：3百.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識(shí)，正確作出輔

助圓，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?陜西?西安工業(yè)大學(xué)附中三模）如圖，在四邊形ABC。中，AB=S,BC=6,0B=6O°,

回C=120。，點(diǎn)。、E分別是A3、CO的中點(diǎn)，。砸BC于點(diǎn)打，點(diǎn)尸是邊BC上的一點(diǎn)，連接

OP,將△OHP沿著。尸所在直線翻折，點(diǎn)X的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為"，當(dāng)"E取最小值時(shí)邊CD的長(zhǎng)

為.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，CD^AB,當(dāng)。的48時(shí)，OE長(zhǎng)最短；當(dāng)0、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，"E取得最小值,

過點(diǎn)C作0W2于點(diǎn)R利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：038=60°,EC=120°,0CDEL4B,

國當(dāng)。EL4B時(shí)，OE長(zhǎng)最短；

根據(jù)折疊的性質(zhì)，0H=0H，,

國點(diǎn)H'在以。為圓心，OH為半徑的一段弧上，

當(dāng)O、H'、E三點(diǎn)共線時(shí)，"E取得最小值，如圖，

過點(diǎn)。作于點(diǎn)R

回四邊形OEC尸為矩形，

^\OF=CE,

團(tuán)團(tuán)3=60°,BC=6f

^\BF=—BC=3,

2

國點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，且AB=8,

回。8=4,

SCE=OF=1,

回點(diǎn)E是C￡>的中點(diǎn)，

團(tuán)C￡)=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓的相關(guān)概念，矩形的判定和性

質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

三、解答題

11.(2022?廣東?中考真題)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于0O,AC為。。的直徑，

ZADB=ACDB.

B

⑴試判斷AABC的形狀，并給出證明；

⑵若AB=6,,AD=1,求8的長(zhǎng)度.

【答案】⑴0ABe是等腰直角三角形；證明見解析；

⑵6；

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圓周角定理可得a42C=90。，由M￡>8=EICr啰根據(jù)等弧對(duì)等角可得0ACB=EIC4B,即

可證明；

(2)R煙ABC中由勾股定理可得AC,R/HADC中由勾股定理求得CZ)即可；

(1)

證明：0AC是圓的直徑，則a48c=0AZ)C=9O。,

^EADB=^\CDB,SADB=^iACB,0CDB=0CAB,

E0ACB=EC4B,

團(tuán)0ABe是等腰直角三角形；

(2)

解：團(tuán)0ABC是等腰直角三角形，

^\BC=AB=y/2,

^AC=y/AB2+BC2=2>

Rt^ADC中,^ADC=90°,AD=1,貝UCD=7AC2-AD2=73，

13c￡)=G

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握等弧對(duì)等角

是解題關(guān)鍵.

12.(2022?遼寧沈陽?二模)如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于回。，。是弧AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到

點(diǎn)、E,使CE=AB,連接BD,ED.

⑴求證：BD=ED-,

⑵若NABC=6O。，AD=5,回。的直徑長(zhǎng)為.

【答案】⑴見解析

⑵1。

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)同弧所對(duì)的弦相等可得A￡?=CZ),再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到0A=EIDCE,證明

^ABIXECED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；

(2)連接OA,OD,根據(jù)圓周角定理，可得0AOD=6O。，根據(jù)等邊三角形的判定定理可得0AO。

是等邊三角形，故半徑為5,即可求得直徑.

(1)

證明：回。是弧AC的中點(diǎn)，

^AD=CD，

0AD=CZ),

回四邊形A8CD內(nèi)接于回。，

BSA^DCE,

在EA8￡)和EICEZ)中，

AB=CE

<ZA=ZDCE,

AD=CD

00ABD00CED(SAS),

BBD=ED.

⑵

解：連接04,OD,如圖,

ao是弧AC的中點(diǎn),

AD=CD>

SEABD=SCBD=-ZABC=1x60°=30°,

22

fflAOD=20A2￡）=2x3O°=6O°,

SOA=OD,

aaxoo是等邊三角形，

國半徑0A=AD^5,

團(tuán)直徑長(zhǎng)=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同弧所對(duì)的弦相等、圓周角

定理、等邊三角形的判定與性質(zhì).

13.（2021?江蘇?揚(yáng)州市江都區(qū)雙溝中學(xué)一模）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于回。，AB=AC,BD

交AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)A。，BC交于點(diǎn)F,且CF=AC.

BC

⑴求證回C￡）=A。；

（2）若4。=如，AB=2網(wǎng),求尸。的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；

⑵至

3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得國。4尸=回產(chǎn)，再由圓周角定理即可證明；

（2）過點(diǎn)C作CG1A產(chǎn)于點(diǎn)G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=FG,然后根據(jù)勾股定理列

出方程求解即可.

⑴

證明：SAB=AC,

00ABC=0ACB,

^1CF=AC,

團(tuán)團(tuán)CA戶二團(tuán)兄

^\ACB=^CAF+^F=2^\CAD,

^\ABC=^\ABD^CBD=^ACD^CAD,

團(tuán)2R1CA。=團(tuán)ACD+團(tuán)CA。，

團(tuán)團(tuán)CA。=R1ACD,

^\CD=AD；

⑵

如圖，過點(diǎn)C作CG14產(chǎn)于點(diǎn)G,

SAC=CF=AB=2y/2,

0AG=PG,

在RfAACG中，根據(jù)勾股定理可得:

AC2=AG2+CG2,

在RAOCG中，根據(jù)勾股定理可得:

DC2=DG2+CG2,

ElAC--DC'=AG2-DG2,

由(1)知：CD=AD=6,

0AG=AD+￡)G=也+DG,

08-3=(A/3+DG)2-DG2,

解得：DG=—,

3

BAG^^3+DG=^-=FG,

3

SFD=FG+DG=—,

3

SED的長(zhǎng)為逑.

3

【點(diǎn)睛】

題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用這些知

識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

14.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)學(xué)業(yè)考試)如圖，AB.8為。。的弦，

A3與8相交于點(diǎn)E,AD=BC-

(2)如圖2,點(diǎn)尸在BC上，連接￡>尸、AD,若。尸為直徑，ABLCD,求證：NAD尸=45。；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CF、BF,BF>CF,若DE=8,的面積為6,

求的長(zhǎng).

【答案】⑴證明過程見解析

(2)證明過程見解析

(3)10