云南省昆明市西山區(qū)2024-2025學年高三（普通班）下學期期末考試數(shù)學試題（含解析）

云南省昆明市西山區(qū)民中2024-2025學年高三（普通班）下學期期末考試數(shù)學試題試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

有/（/）—（（xj>0成立,已知a=/0n?）,

1.定義在R上的偶函數(shù)/（九），對V%,8，°），且石

x2-x1

C_j_\

b=f,則。，b,c的大小關系為（）

k7

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

2.關于函數(shù)/（x）=4sin[gx+g]+4cos[gx+g],有下述三個結論：

IT

①函數(shù)/（%）的一個周期為不；

2

jr37r

②函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；

_24_

③函數(shù)/（x）的值域為[4,472].

其中所有正確結論的編號是（）

A.①②B.②C.②③D.③

22_

3.雙曲線C：二一M=1（?！?,b>0）的離心率是3,焦點到漸近線的距離為e，則雙曲線C的焦距為（）

ab

A.3B.372C.6D.672

4.如圖所示，矩形A3CD的對角線相交于點。，E為AO的中點，若赤=4也+〃而（4〃€氏），則2+〃等于

（）.

C.1D.-1

5.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若2(〃cosA+acos3)=c?,b=3,3cosA=l,則。=

6.已知R為拋物線C:V=8x的焦點，點在C上,若直線AE與C的另一個交點為3,則|AB|=()

A.12B.10C.9D.8

7.設等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若S2=3,54=10,則$6=()

A.21B.22C.11D.12

8.函數(shù)/(%)=」(二+1)的大致圖象是

-二

-X1

TT

9.函數(shù)/(%)=Asin(<ur+0)(其中A>0,<y>0,\(p\<-)的圖象如圖，則此函數(shù)表達式為()

2

當匕3”57T

A./(x)=3sin12%+?)B-/(x)=3sinQx+^

C./(x)=3sin^2x-^D./(x)=3sinQx-^

L,J3=b+^,則a+〃的最小值是()

10.已知〃>0,b>0,a+b=1,若a=4Z+-

ib

A.3B.4C.5D.6

11.已知拋物線C:y2=8x的焦點為R,AB是拋物線上兩個不同的點，若|A/|+|3月|=8,則線段A5的中點到

y軸的距離為()

3

A.5B.3C.-D.2

2

12.以下關于/(%)=51!12%-852%的命題，正確的是

27r

A.函數(shù)〃尤)在區(qū)間0,上單調(diào)遞增

B.直線x=￡需是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸

O

C.點0是函數(shù)y=/(九)圖象的一個對稱中心

D.將函數(shù)y=/(x)圖象向左平移需！個單位，可得到y(tǒng)=JIsin2x的圖象

8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若a=log231=log32，貝ijab=,lga+lgb=.

jr

14.已知向量,與5的夾角為1，I菊=151=1，且(萬—入5),則實數(shù)4=.

15.若sin(ar+?)=——,cre(0,it),貝!1cos(2-a)=________.

6312

16.若函數(shù)〃x)=tix+lnx(aeR)的圖象與直線y=3x—l相切，則。=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，已知橢圓口日+匚；=1,匚為其右焦點，直線匚：匚=匚口+1(：：：］<0)與橢圓交于匚(匚〃匚/),口(口>口D

兩點，點二，二在二上，且滿足|二二|=|二二二二|=|二二|,|二匚|=|二二〉(點二二二二從上到下依次排歹U)

(/)試用二，表示|二二|：

(卬證明：原點二到直線/的距離為定值.

C2

18.(12分)已知在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,AABC的面積為一一.

2cosC

(1)求證：tanC=sinAsinB；

(2)若C=%,求cos(A—5)的值.

19.(12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點E是邊AD上一點,且AE=2ED,點”是跖的中點,

將"BE沿著BE折起，使點A運動到點S處，且滿足SC=S￡>.

(1)證明：SH_L平面BCDE；

(2)求二面角C—SB—E的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|-|x+a|.

(1)若a=-l,求不等式/(尤)…—1的解集；

(2)若“VxwH,/(%)?2。+1|"為假命題，求。的取值范圍.

X—1H---1

21.(12分)已知曲線C的極坐標方程為Q=4cos8,直線/的參數(shù)方程為《2。為參數(shù)).

y=-t

I2

(1)求曲線C的直角坐標方程與直線/的普通方程；

(2)已知點”(1,0),直線/與曲線C交于A、B兩點,求H〃A|-|M刮.

x=2G+at

22.(10分)在平面直角坐標系x0y中，直線/的的參數(shù)方程為「(其中，為參數(shù))，以坐標原點。為極點，

y=4+J3/

X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點4的極坐標為12,看［,直線/經(jīng)過點4.曲線C的極坐標方程為

P4cos

(1)求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標方程；

(2)過點。(百,0)作直線/的垂線交曲線C于RE兩點(。在x軸上方)，求擊一僉的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質和單調(diào)性即可判斷.

【詳解】

解：對Vx；,X2e,且七Nx,,有""）_>o

馬一%

/（%）在工€（-8,0）上遞增

因為定義在R上的偶函數(shù)/（九）

所以/（九）在Xe（0,+8）上遞減

又因為log2，=log26〉2,l<ln〃<2,o<e<1

所以Z>>a>c

故選：A

考查偶函數(shù)的性質以及單調(diào)性的應用，基礎題.

2.C

【解析】

n37r1TC77rl7/-，/（x）=4、/5sin（<x+^|[,再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當xe時，-x+-e—-

124」2311224_12）

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/（%）=4sin[gx+g]+4cosf1-x+-

的值域等價于函數(shù)

g(x)=4singx+4cosgx的值域，而g(x+〃)=g(x),當xe[0,i]時，g(x)=40sin[gx+g]再求值域.

【詳解】

因為小+f]=4sinf+爸+4C?L==4cos||+4sinf-x+—j豐f(x),故①錯誤;

121j121)

,「％3TU~\1%「7?17萬1~、4sin[gx+?J—4cos+=4&sin[；x+^|J,

當工￡一,—時，一九—￡---,----，所以/(%)=

124」23L1224J

IJTJT1\jTTT37c

e所以/（%）在不，一丁上單調(diào)遞增，故②正確;

函數(shù)/"(%)=4sin[gx+?)+4cos171的值域等價于函數(shù)g（x）=4singx+4cos1gx的值域，易知

一X4-一

232

g(x+i)=g(x),故當xe[0,;r]時，g(x)=40sin(gx+q卜[4,4a],故③正確.

故選：C.

本題考查三角函數(shù)的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

3.A

【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得b,然后根據(jù)尸=。2-〃,e=￡,可得結果.

a

【詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為法土分=0

取右焦點E（c,0）,一條漸近線=。

則點口到/的距離為5^=血，由〃+儲=02

擊+一

所以匕=0，則。2一片=2

92

所以焦距為：2c=3

故選：A

本題考查雙曲線漸近線方程，以及七"c,e之間的關系，識記常用的結論：焦點到漸近線的距離為6,屬基礎題.

4.A

【解析】

——1.3—13

由平面向量基本定理，化簡得DE=—AB--AD,所以九=—,n=—-,即可求解，得到答案.

4444

【詳解】

由平面向量基本定理，化簡正=匈+'豆=而+!/=—及+工（囚豆+配）

1一3——131

=-AB——AD,所以九=—,H=—―,即九+|i=_—,

44442

故選A.

一1一3一

本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到DE=—AB-?AD是解答

44

的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數(shù)基礎題.

5.B

【解析】

由正弦定理及條件可得2（sin5cosA+sinAcos6）=csinC,

即2sin（A+6）=2sinC=csinC.

QsinC>0,

c=2,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2x2x3x-=9

3o

:?a=3.選B。

6.C

【解析】

求得A點坐標，由此求得直線A尸的方程，聯(lián)立直線A尸的方程和拋物線的方程，求得3點坐標，進而求得卻

【詳解】

拋物線焦點為尸（2,0）,令％=1,/=8,解得y=±20,不妨設A（l,2虛），則直線AE的方程為

了=普（》_2）=-2應（x—2）,由解得川1,2應）,網(wǎng)4,—4立），所以

\AB\=^（4-1）2+（-472-272）2=9.

故選：C

本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.

7.A

【解析】

由題意知52,54-52，￡-54成等差數(shù)列，結合等差中項，列出方程，即可求出醺的值.

【詳解】

解：由｛凡｝為等差數(shù)列，可知$2,54-$2,S6-S4也成等差數(shù)列，

所以2(邑—S2)=S2+S6—S,，即2x(10—3)=3+S6—10,解得§6=21.

故選:A.

本題考查了等差數(shù)列的性質，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和

公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數(shù)列性質，可使得計算量大大減少.

8.A

【解析】

利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.

【詳解】

由題意可知函數(shù)/(可為奇函數(shù)，可排除B選項；

當x<0時，/(^)<0,可排除D選項；

當x=l時，f(l)=ln2,當x=3時，/(3)=些，ln2>皿，

即/。)>丁()，可排除C選項，

故選：A

本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對稱性的應用，屬于中檔題.

9.B

【解析】

由圖象的頂點坐標求出A,由周期求出通過圖象經(jīng)過點求出。，從而得出函數(shù)解析式.

【詳解】

解：由圖象知A=3,7=4(當_與］=4?，則0=0=!，

122)4n2

圖中的點應對應正弦曲線中的點(肛°)，

137cTC

所以一乂——+夕="，解得"=一,

224

故函數(shù)表達式為/（x）=3sin[gx+￡].

故選：B.

本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質，三角函數(shù)的解析式等基礎知識；考查考生的化歸與轉化思想，數(shù)形結合思想，屬

于基礎題.

10.C

【解析】

根據(jù)題意，將服b代入a+/，利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】

/?>O,a+b=\,

C1,1,1,1u

a+/3=〃+—+/?+—=1+——>1+--------^=5

abab1+b],

當且僅當a=b=!時取"=''號.

2

答案：C

本題考查基本不等式的應用，“1”的應用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的

內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是最

后一定要驗證等號能否成立，屬于基礎題.

11.D

【解析】

由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知IAEI+18歹|=石+2+%+2=8，繼而可求出%+%=4,

從而可求出AB的中點的橫坐標，即為中點到V軸的距離.

【詳解】

解：由拋物線方程可知，2P=8,即0=4,.?./（2,0）.設4（%,%）,3（為2，%）

貝“AF^=Xj+2,|BF^=x,+2,即|AF\+1BF|=%+2+々+2=8,所以西+4=4.

所以線段的中點到y(tǒng)軸的距離為受土衛(wèi)=2.

2

故選:D.

本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關鍵是由拋物線的定義求得AB兩點橫坐標的和.

12.D

【解析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到/(x)=V2sin(2x-^),再逐項判斷正誤得到答案.

【詳解】

f(x)=sin2x-cos2x=yf2sin(2x--)

(OA1Q

A選項，xe0,——2x--G(一■7,二^一)函數(shù)先增后減，錯誤

I3J4412

B選項，x==。不是函數(shù)對稱軸，錯誤

84

C選項，x=-^2x--=-,不是對稱中心，錯誤

444

D選項，圖象向左平移需(個單位得到y(tǒng)=J^sin(2(x+|0—?)=后sin2x,正確

故答案選D

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質的綜合應用，其中化簡三

角函數(shù)是解題的關鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；

②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結合①的結果即可求解.

【詳解】

①由題：?=log23,Z?=log32,

貝I]ab=log23-log32=log。3-=1；

'log23

②由①可得：lga+lgb=lgab=lgl=O.

故答案為：①1,②0

此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎題目.

14.1

【解析】

根據(jù)條件即可得出小B=g，萬2=1,由45)即可得出無(a—25)=0,進行數(shù)量積的運算即可求出此

【詳解】

???向量苕與B的夾角為三，修|=歸|=1,

a?-Xb)=5--A3-b=1——=0；

/.k=l.

故答案為：1.

考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件.

-4-72

15.

6-

【解析】

所以/因為奴①㈤，所以個，又=」＜

因為（。+/+哈”力"3￡sin（a+*0所

以。+工€（兀,-^）,所以

66

/兀、1/1、22V271、7l兀、r兀/兀、.71.兀、

cos(a+—)=-J1-(--)=———.cosz(--a)=cos[r——(a+—)]=cos—cos(cif+—)+sin—sinz(cr+—)

=旦（一逑）+名-4-72

2326

16.2

【解析】

f'(xa)=a+—=3

設切點人（％,%）由已知可得＜X。，即可解得所求.

f(x0)=axQ+Inx0=3x0-1

【詳解】

設4(%,%),因為/<x)=a+L所以。+—=3,即％=3%-1,又為=/+ln%,%=3%-1.所以In%=0,

xxo

即4=1,a=2.

故答案為：2.

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度較易.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（/）|二二|=2一?二］；（〃）證明見解析

【解析】

⑺直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.

（//）設二（二3，二；），二（匚心二），聯(lián)立方程得到二7+二；=若，二二；=E，二$+二=三，代入化簡得到

二；=二；+A計算得到證明.

【詳解I

⑺橢圓口:4+匚;=1，故二（逐,0）,

i-CJ-2、3二/+4=2-

（⑺設二（二;，二）二（1.匚J則將匚=二二+二代入三+口；=1得到:

（疝+7）二;+8H二+4二；-4=。故二7+二;=悲:/二：=索，

*—“二+」

二；

、I-一-匚》?=41

?二二?=?二二，故二==二二『丁二=，得到二?二.二：-'：-；,

口口4-—4口口+/

|口口|=|[1口故萬石|二1-口|=2—?二;，同理：山+匚二|二，-二」=2-W二;,

由己知得：二：，:：二.-二.二，或二？；，Z；>Z；>二，，

故4+匚;|（二,+二;）一（匚3+二力|=?|二I;一二」,

即“TF」率+=2v7-'寺二；化簡得到二；=二；+上

故原點二到直線I的距離為二=二=/為定值.

"一二-

本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

18.（1）證明見解析；（2）

6

【解析】

c1

（1）利用-------=—absinC利用正弦定理，化簡即可證明tanC=sinAsin6

2cosC2

（2）利用（1）,得到當C=工時，sinAsin5=走，

63

得出cos（A+3）=-cosC=-cos—=，得出cosAcosB=，

''626

然后可得cos（A—6）

【詳解】

C21

證明：（1）據(jù)題意，得-------=—absinC

2cosC2

c2=absinCcosC，

sin2C=sinAsinBsinCcosC?

又???Ce（O,?）,

sinC=sinAsinBcosC，

tanC=sinAsinB.

解：（2）由（1）求解知，tanC=sinAsinJB.

當C=鄉(xiāng)時，sinAsinB=?

63

又cos（A+8）=-cosC=一cos.=~~~9

cosAcosB-sinAsinB=------，

2

???cosAcos3=—且,

6

：.cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

___r+T

一6

本題考查正弦與余弦定理的應用，屬于基礎題

19.（1）見解析；（2）B

3

【解析】

（1）取CD的中點M，連接胸，SM,由SE=Sfi=2,進而由SC=SD,得SMLCD.進而CD,

平面SHM,進而結論可得證（2）（方法一）過〃點作CD的平行線GH交6C于點G,以點H為坐標原點，

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系”-孫z,求得平面SBC,平面S3E的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點N,上的點尸，使連接HN,PN,PH,得

HNLBS,HP工BE，得二面角C—S3—七的平面角為NPNH,再求解即可

【詳解】

（1）證明：取CD的中點M，連接胸，SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=S3=2,又點”是班的中點,

所以SHLBE.

因為SC=S。，點M是線段CD的中點，

所以SMLCD.

又因為所以從而CD,平面陽

所以CDLSH,又CD,助不平行，

所以平面6a見.

（2）（方法一）由（1）知，過〃點作CD的平行線GA交于點G,以點H為坐標原點，所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系”一孫z,則點3（1,—1,0）,C（l,2,0）,￡（-1,1,0）,

S（0,0,72）,

BC

所以配=(0,3,0),BE=(-2,2,0),廓=(-4,1,0).

設平面SBE的法向量為沅=（%,%,zj,

m-BE=0

由＜令％=1,得沆=(1,1,0).

m-BS=0-X]+%+A/^Z]=0

同理，設平面SBC的法向量為力=（%2，%/2）,

n-BC=0%=0

由＜—，得〈

n-BS=Q-%2+%+=0

令Z2=l,得萬=(夜,0,1).

m-nA/2_A/3

所以二面角C—S3—E的余弦值為cos〈粗，為〉=

年6—3

（方法二）取BS的中點N,BC上的點P,使連接HN,PN,PH,易知HN_LBS,HP工BE.

由（1）得SHLHP,所以HP,平面BSE,所以HP工SB,

又HNLBS,所以5S,平面PfflV,

所以二面角C—SB—E的平面角為NPNH.

又計算得NW=1,PH=6,，PN=6

1_A/3

所以cos/PNH=

Z/3-T-

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計算能力，是中檔題

1

20.(1)--,+oo

2

(2)[-2,0]

【解析】

（D）當a=-1時，將函數(shù)/（口寫成分段函數(shù)，即可求得不等式的解集.

(2)根據(jù)原命題是假命題，這命題的否定為真命題，即7(x).12a+l|"為真命題，只需滿足

/(%口.」2。+1］即可.

【詳解】

-2,x<-1,

解：(1)當a=—l時，y(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,

2,x>1.

由/(x)..L1,得X…--.

故不等式…—1的解集為—；，+，!?

(2)因為“VxeH,〃x)<|2a+1”為假命題,

所以/(%)..|2a+1”為真命題，

所以“Ha…W+L

因為/(x)=|x+l|-|x+a|?|(x+l)-(x+a)|=|a-l|,

所以/(%)1mx=|a—1|,則|。-1|…|2a+l|,所以(a-Ip..(2a+葉,

即"+2心0,解得一2釉0,即。的取值范圍為［—2,0］.

本題考查絕對值不等式的解法，以及絕對值三角不等式，屬于基礎題.

21.(1)(%-2)+_y2=4.y=且x—且⑵V3

33

【解析】

(1)根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；

(2)設A,3兩點對應的參數(shù)分別為6,t2,將直線/的參數(shù)方程代入曲線方程，結合根與系數(shù)的關系，即可求解.

【詳解】

(1)對于曲線C的極坐標方程為。=4cos。，可得p2=4pcos。，

又由《.八，可得必+丁2=4%，即(X—2)一+/=4,

y=psmO'、/

所以曲線C的普通方程為(％-2)2+)2=4.

%=1+

由直線/的參數(shù)方程為｛2（/為參數(shù)），消去參數(shù)可得上=里，即

1x-13

直線/的方程為＞=#0—1）,即〉=日》一日.

垂）