定角定高（知識解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點題型專項訓(xùn)練

專題05定角定高（知識解讀）

【專莖餞明】

定角定高問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點問題，也是升入名校考查的熱點。

此類問題綜合性強(qiáng)，常常會與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來，隱蔽性強(qiáng)。常應(yīng)

用于求一類三角形底邊長的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問題的關(guān)鍵

就在作這個動三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距2定高”求出半徑的最小值，

那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長在變化，此外接圓“隱形

圓”的大小也會發(fā)生變化，但是在運動過程中于找到“隱形圓”半徑最小值，

找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問題就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC

外一點A,A到直線BC距離為定值（定高），NBAC為定角。則AD有最小值。

又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。

A

2.輔助線作法：

①作△ABC的外接圓。。；

②連接03,OC,作OMWC.

3.說理證明：

①易證河=a,OC=OB=OA=r-

②在HfZXBOM中，BM=rsinct,OM=rcosa；

?/AH±BC,IOM+OA>AH9

..rcoso+r>/I,

h

二r>

1+coso

2hsina

BC—2BM=2rsinG>

1+COS0

解決問題的策略：定角夾定高、作三角形外接圓、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為半徑最值、等

腰時取到最值.關(guān)鍵步驟：

L作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為「，用含「的代數(shù)式表示圓心距及

底邊長；

2.根據(jù)“半徑+弦心距2定高”求，的取值范圍；

3.求出底邊的范圍，計算面積最小值。

【典例令新】

【典例1］輔助圓之定角定高求解探究

(1)如圖①，已知線段A3,以A3為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

(2)如圖②，在△ABC中，ZACB=6Q°,CD為A3邊上的高，若CD=4,

試判斷A3是否存在最小值，若存在，請求出A3最小值；若不存在，請說明

理由；

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，

在四邊形ABCD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=65點、E、

R分別為A3、AD上的點，若保持CELCF那么四邊形AECT的面積是否存

在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

【變式1-1】如圖，在△ABC中，Z5AC=60°,ADL8C于點。，且AD=4,

則△ABC面積的最小值為.

【變式1-2］如圖，在AABC中，ZBAC=90°,BC邊上的高AD=6,貝！JZXABC

周長的最小值為.

【變式1-3］如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E,尸分別是CD,5C邊上的

【變式1-4］（2019?新城區(qū)校級一模）問題提出：

如圖1：在△ABC中，8。=10且/84。=45°，點。為△ABC的外心，則^

ABC的外接圓半徑是.

問題探究：

如圖2,正方形ABC。中，E、歹分別是邊BC、C￡＞兩邊上點且NE4歹=45°,

請問線段3E、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

問題解決：

如圖3,四邊形ABCD中，A3=AD=4&,ZB=45°,ZD=135°，點E、

R分別是射線直、CD上的動點，并且NE4R=NC=60°,試問△AER的面

積是否存在最小值？若存在，請求出最小值.若不存在，請說明理由.

專題05定角定高（知識解讀）

【專莖餞明】

定角定高問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點問題，也是升入名校考查的熱點。

此類問題綜合性強(qiáng)，常常會與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來，隱蔽性強(qiáng)。常應(yīng)

用于求一類三角形底邊長的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問題的關(guān)鍵

就在作這個動三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距2定高”求出半徑的最小值，

那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長在變化，此外接圓“隱形

圓”的大小也會發(fā)生變化，但是在運動過程中于找到“隱形圓”半徑最小值，

找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問題就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類問題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC

外一點A,A到直線BC距離為定值（定高），NBAC為定角。則AD有最小值。

又因為，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。

A

2.輔助線作法：

①作△ABC的外接圓。。；

②連接03,OC,作OMWC.

3.說理證明：

①易證河=a,OC=OB=OA=r-

②在HfZXBOM中，BM=rsinct,OM=rcosa；

?/AH±BC,IOM+OA>AH9

..rcoso+r>/I,

h

二r>

1+coso

2hsina

BC—2BM=2rsinG>

1+COS0

解決問題的策略：定角夾定高、作三角形外接圓、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為半徑最值、等

腰時取到最值.關(guān)鍵步驟：

L作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為「，用含「的代數(shù)式表示圓心距及

底邊長；

2.根據(jù)“半徑+弦心距2定高”求，的取值范圍；

3.求出底邊的范圍，計算面積最小值。

【輯例令新】

【典例1］輔助圓之定角定高求解探究

(1)如圖①，已知線段A3,以A3為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

(2)如圖②，在△ABC中，ZACB=60°,CD為A3邊上的高，若CD=4,

試判斷A3是否存在最小值，若存在，請求出A3最小值；若不存在，請說明

理由；

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草,

在四邊形ABCD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6?點、E、

R分別為A3、AD上的點，若保持CELCF那么四邊形AECT的面積是否存

在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)如圖①中，△ABC即為所求.

圖①

(2)如圖②中，作△ABC的外接圓OO,連接。4,OB,0C,作OELAB于

E.0A=0C=2x.

C

圖②

VZA0B^2ZACB^120°,OA=OB,OE±AB,

：.AE=EB,/AOE=NBOE=60°,

.,.OE—^OA=x,AE="j3x,

2

OC+OE^CD,

/.3%24,

.?.x2生

3

???X的最小值為名,

3

,:AB=2MX,

：.AB的最小值為典.

3

(3)如圖③中，連接AC,延長交AD的延長線于G,將△CDR順時針旋

轉(zhuǎn)得到△C3H,作△CEH的外接圓OO.

，G

D/

圖。

VZADC=ZABC=90°,AC=AC,CD=CB,

RtAACD^RtAACB(HL),

??S/\,ACD-Sz\ACB>

VZZ)AB=45°,

ZDCB=135°,

ZDCG=45°,

VZCDG=90°,

:.CD=DG=6?

：.CG=42CD=n,

.?.A5=GB=12+6M，

由(2)可知，當(dāng)△CEH的外接圓的圓心。在線段BC上時，的面積

最小，此時四邊形ARCE的面積最大，

設(shè)OC=OE=r,易知0B=EB=J^r,

_2

:.r+蟲-r=6近,,

2

Ar=642(2-V2),

.,.EH—y[2r—12(2-^2)，

???四邊形MCE的面積的最大值=2X1X(12+6&)X6&-1X12(2-&)

22

X6加=144.

【變式1-1］如圖，在AABC中，ZBAC=60°,于點。，且4。=4,

則△ABC面積的最小值為.

【答案］①退.

3

【解答】解：作AABC的外接圓O。，連接OA,OB,OC,過點。作OEJ_

VZBAC=60°,

：.ZBOC=120°,

'：OB=OC,

：./OBC=NOCB=30°,

設(shè)O。的半徑為r,則OE=LOB=L,BE=1。3=近廠,

2222

"：OA+OE^AD,

r+L*》4,

2

解得：

3

:.BC》8愿,

3_

?*,SAABC寺C?AD>|X-^-x4=16^?

.-.△ABC的面積的最小值為應(yīng)

故答案為：1道.

3

【變式1-2】如圖，在△ABC中，NR4c=90°,3C邊上的高AD=6,則AABC

周長的最小值為.

【答案】12&±12

【解答】解：如圖，延長CB到E,使得BE=R4,延長到E使得8=

CA,連接AE,AF,作的外接圓O。，連接OE,OF,過點。作OJ,

EF于點J,交。。于點T.

：./BAE=/BEA,ZCAF=ZCAF,

'：ZABC^ZBAE+ZBEA,NACB=/CAF+ZCFA,

：.ZAEF+ZAFE=1.CZABC+ZACB)=45°,

2

AZEAF=135°,

AZEOF=90°,

'JOJLEF,

：.EJ=JF,

:.OJ=LEF,

2

OE=OF=r,貝！JE尸=&r,0J=^-r,

2

"：AB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

??.EP最小時，△ABC的周長最小，

'：AD±BC,

：.AD+OJ^OT,

r,

2

.,"212+66，

:.EFA2如+12,

：.AB+BC+AC^12^/2+12,

.,.△ABC的周長的最小值為1272+12,

故答案為：12加+12.

【變式1-3］如圖，正方形A3CD的邊長為6,點E,R分別是CD,3c邊上的

【答案】36后-36

【解答】解：如圖，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH=AE,NBAH=NDAE,

VZEAF=45°,ZBAD=9Q°,

ZBAF+ZDAE=ZBAH+ZBAF=45°,

：.ZFAH=ZEAF=45°,

在△AEP和△AHE中，

，AE=AH

<ZEAF=ZHAF-

AF=AF

AAAEF^AAHF(SAS),

:.FH=EF,

S&AEF=S^AFH,

設(shè)DE=x,BF=y,則BH=DE=x,EF=BF+BH=x+y,CE=6-x,CF=6

-y>

在Rt^EPC中，EC+CF2=EF2,

(6-x)2+(6-y)2=(x+y)2,

化簡得：y=36-6x=_6+衛(wèi)，

x+6x+6

**?SAAEF=S^AFH=^-FH*AB=AX6(x+y)—3[x+(-6+~Z^_)]=3[(x+6)+22_

22x+6x+6

-12]=3[(V^6-2+12&-12],

_7x+6

???當(dāng)4兩=空反時，x=6&-6,S“EF的最小值為36加-36.

x+6

故答案為：36A/2-36.

【變式1-4](2019?新城區(qū)校級一模)問題提出：

如圖1：在△ABC中，3c=10且NB4c=45°，點。為△ABC的外心，則^

ABC的外接圓半徑是.

問題探究：

如圖2,正方形A3CD中，E、R分別是邊3C、CD兩邊上點且NE4R=45°,

請問線段BE、DF、ER有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

問題解決：

如圖3,四邊形ABCD中，A3=AD=4&,ZB=45°,ZD=135°，點E、

R分別是射線直、CD上的動點，并且NE4R=NC=60°,試問△人?的面

積是否存在最小值？若存在，請求出最小值.若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）如圖1,作出△A8C的外接圓O。,

VZA=45°,

AZBOC=90°,

VBC=10,

/.OB=sin45°XBC=與xi0=5芯，

故答案為：5&.

(2)EF=BE+DF,理由如下：

如圖2,延長EB,使BG=DF,連接AG,

???