北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

延慶區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中試卷高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：D2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求解.【詳解】因為，，所以，故選：D.3.已知全集且，則集合中元素有（）A.2個 B.4個 C.5個 D.7個【答案】B【解析】分析】利用列舉法表示集合，解不等式化簡集合，再求出即可得解.【詳解】依題意，，解不等式，得，則，所以，集合中的元素有4個.故選：B4.已知集合滿足，則有（）A.2個 B.4個 C.5個 D.7個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出集合的真子集個數(shù)即可得解.【詳解】集合滿足，則集合可視為集合與集合的每個真子集的并集，而集合的真子集個數(shù)為，所以有7個.故選：D5.若和，則和的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，通過作差法，得到，即可求解.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故選：C.6.設(shè)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉例說明判斷ABC；利用不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，取，滿足，而，A錯誤；對于B，取滿足，而，B錯誤；對于C，取滿足，而，C錯誤；對于D，由不等式性質(zhì)知，由，得，D正確.故選：D7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶函數(shù)的判斷方法及基本函數(shù)的單調(diào)性，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以是偶函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項A正確，對于選項B，因為圖象不關(guān)于軸對稱，即不是偶函數(shù)，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，的定義域不關(guān)于原點對稱，即，是非奇非偶函數(shù)，所以選項C錯誤，對于選項D，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項D錯誤，故選：A.8.已知函數(shù)的定義域為，則“為奇函數(shù)”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：因函數(shù)的定義域是,故“是奇函數(shù)”是“”的充分條件；

反之,若,則函數(shù)不一定是奇函數(shù),“f(x)為奇函數(shù)”不是必要條件.應(yīng)選A.考點：充分必要條件.9.已知函數(shù)有兩個零點，在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合集合的包含關(guān)系及零點存在性定理列式求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個零點，得且或且，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C10.，設(shè)取，，三個函數(shù)值中的最小值，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，利用圖象求出其最大值.【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線，，，由取，，三個函數(shù)值中的最小值，得的圖象為下圖中實線構(gòu)成的折線圖，則的最大值即為的圖象最高點對應(yīng)的縱坐標(biāo)值，觀察圖象知，圖象最高點是直線與的交點，由，得，因此的圖象最高點是，所以的最大值為2.故選：B第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)有意義列式求出定義域.【詳解】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：12.已知奇函數(shù)滿足，則______.【答案】大于【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即得.【詳解】由奇函數(shù)滿足，得，所以.故答案為：大于13.已知，，且是的必要不充分條件，則的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再利用集合間的關(guān)系，即可求解.【詳解】因為是的必要不充分條件，則，又，，所以，故答案為：.14.已知，則的最大值是______，當(dāng)且僅當(dāng)______時，等號成立.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助配湊的方法，利用基本不等式求出最大值及對應(yīng)的值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最大值.故答案為：；15.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)的增區(qū)間為；③不等式的解集是；④當(dāng)時，令，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論序號是______.【答案】①④【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷①；求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間判斷②；分段求出不等式的解集判斷③；利用基本不等式分段求出最小值判斷④.【詳解】函數(shù)的定義域為R，對于①，，函數(shù)是偶函數(shù)，①正確；對于②，，函數(shù)的增區(qū)間為，②錯誤；對于③，不等式，則或，解得或，所以不等式的解集是，③錯誤；對于④，依題意，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，即，所以的最小值為，④正確.故所有正確結(jié)論的序號是①④.故答案為：①④【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)解不等式問題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.求下列方程（組）的解集：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，方程解集為.（3）（4）【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.（2）對分類討論即可得方程的解集.（3）利用換元法令，把原方程化為一元二次方程，結(jié)合的取值范圍即可得到原方程的解集.（4）利用代入消元法即可得到方程組的解集.【小問1詳解】由得，，解得，故方程的解集為.【小問2詳解】當(dāng)時，方程無解，解集為，當(dāng)時，解方程得，方程解集為.【小問3詳解】令，則方程可化為，解方程得，（舍），，故方程解集為.【小問4詳解】由得，，解得,方程組的解為，，故方程組解集為.17.求下列不等式（組）的解集：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）或（2）（3）或x≥1（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，因式分解得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根據(jù)條件，變形得到，再因式分解得，即可求解；（3）先變形成，再等價于且，即可求解；（4）先利用絕對值不等式的解法，求的解，再求的解，再求交集，即可求解.【小問1詳解】由，得到，所以或，故不等式的解集為或.【小問2詳解】由，即，得到，所以，故不等式的解集為.【小問3詳解】由，得到，等價于且，所以或，故不等式的解集為或.【小問4詳解】由，得到，即，對，因為，所以的解集為，故不等式組的解集為.18.已知關(guān)于的方程，.（1）當(dāng)時，若方程的兩根為與，求下列各式的值：①;②;③;（2）若該方程的兩根同號，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）①6；②；③4；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用韋達定理列式，再逐一變形計算各個式子的值.（2）利用判別式及韋達定理列出不等式組求解.【小問1詳解】當(dāng)時，方程，，則，①；②；③.【小問2詳解】由方程的兩根同號，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)過點.（1）求函數(shù)的解析式及定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）令，求的解析式，并證明的圖像關(guān)于對稱.【答案】（1），定義域為（2）偶函數(shù)，證明見解析（3），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得，即可得，由解析式可直接求出定義域，即可求解；（2）利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可求解；（3）利用，即可得，再任取一點，通過證明其關(guān)于對稱的點也在的圖象上，即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)過點，則，得到，所以，定義域為.【小問2詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下，因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以為偶函數(shù).【小問3詳解】因為，設(shè)是圖象上任意一點，關(guān)于的對稱點為，因為，所以，即點也在圖象上，所以的圖像關(guān)于對稱.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)，時，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，比較與的次小.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱軸可求函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值和最小值即可得到函數(shù)的值域.（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，利用定義域和對稱軸的關(guān)系可求得參數(shù)的取值范圍.（3）計算的取值范圍，利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸可比較大小.【小問1詳解】當(dāng)時，，對稱軸為直線，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，故函數(shù)的值域為.【小問2詳解】函數(shù)，對稱軸為直線，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)時，，，當(dāng)函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)時，，，綜上得，實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】當(dāng)時，，對稱軸為直線，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且，∵，∴，故.21.設(shè)集合，對于集合A中的任意元素和及實數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時；.若A的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時，，則稱為A的完美子集.（1）集合，，分別判斷這兩個集合是否為A的完美子集，并說明理由；（2）集合，若不是A的完美子集，求的值.【答案】（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)完美子集定義去計算驗證是否當(dāng)且僅當(dāng)時，即可得解；（2）先計算，接著由得方程，解該方程得或，再結(jié)合元素互異性分類討論和這兩種情況即可得解.【小問1詳解】是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下：對于，因為，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以是A的完美子集；對于，因為，所以，令，所以存在無數(shù)組解使得，如當(dāng)時，，所以不是A的完美子集.【小問2詳解】因為，所以，所以，因為不是A的完美子集，所以存在，使得，即存在使得，解方程組得，由集合互異性可得且，故且，所以解