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文檔簡介

線性微分方程組§5.1存在唯一性定理一、線性微分方程組的有關(guān)概念1線性微分方程組的定義定義形如的微分方程組,稱為一階線性微分方程組.稱為(5.1)的通解.2函數(shù)向量和函數(shù)矩陣的有關(guān)定義(1)n維函數(shù)列向量定義為注:對向量或矩陣的代數(shù)運算的性質(zhì),對于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣成立.(2)函數(shù)向量和矩陣的連續(xù),微分和積分的概念可微函數(shù)可微可積函數(shù)可積此時,它們的導數(shù)與積分分別定義為注:關(guān)于函數(shù)向量與矩陣的微分,積分運算法則,和普通數(shù)值函數(shù)類似.3一階線性微分方程組的向量表示對一階線性微分方程組:則(5.1)可寫成(1)定義1(2)定義2初值問題例1驗證向量是初值問題解:顯然4n階線性微分方程的初值問題與一階線性微分方程

組的初值問題關(guān)系初值問題(5.6)與(5.7)的解等價,即給出其中一個初問題的解,可構(gòu)造另一個初值問題的解.例2將初值問題化為與之等價的一階微分方程組的初值問題.解:設(shè)則有即有也即注:每一個n階線性微分方程可化為n個一階線性微分方程構(gòu)成方程組,反之卻不成立.如:方程組不能化為一個二階微分方程.(3)矩陣向量的范數(shù)定義(4)向量或矩陣序列的斂散性(一致收斂),(一致收斂).(一致收斂),(一致收斂).如果上一致收斂.二、存在唯一性定理1存在唯一性定理2存在唯一性定理的證明證明共分五步完成第一步

第二步

證明向量函數(shù)在區(qū)間上有定義且連續(xù)．命題２

第三步由考慮向量函數(shù)項級數(shù)：設(shè)

則第四步設(shè)即證明積分方程的連續(xù)解的唯一性.

第五步３

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