江蘇省南通市海安市2024-2025學年高三年級上冊開學數學試題（解析版）

2025屆高三期初學業(yè)質量監(jiān)測試卷

數學

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

L已知集合何尸則4m）

A.（T83）B」T3}C.（MD.（3）

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合A,然后由交集運算可得.

【詳解】解不等式1-入>0,得4=1-8.0）u（，+m）,

所以HCB=（T3}.

故選：B

2.已知命題尸々》>03>1,則Y：（）

M

A.小>03slB3,XS0.3*>1c.DV.V>0,3>1

【答案】c

【解析】

【分析】利用存在題詞命題的否定是全稱量詞命題，直接寫出結論.

【詳解】命題p3t>os*>l是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，

所以rp：Vx>o,3xsl

故選：C

e'rSlur

3.函數.l^-e-在區(qū)間（6+8i上（）

A.單調遞增B.單調遞減C.先增后減D.先減后增

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數函數和對數函數的單調性求解即可.

Je~\e-,iln.T

【詳解】111nx?e-Jhn,即”［「時”

設〃x)=e，-叫則門單調遞減，

/(l'=e-1>0./(3)=e',-ln3<0,

FHL

故存在唯一個、0曰13使，?%)=0,

故在上」⑶…―，此時"卜'同3=不單調遞減；

在%+叫上，/(Me-lnxvO,此時回』心丫單調遞增；

fe**.「之Inr

故一［lux,e"<lnx在區(qū)間9+81上先減后增.

故選：D

4.已知函數?"*=(-,則()

A/(.T-ll=/ll-.TlB+

c/(1+.X)=/(1-.V|D/(1+XI=-/(!-.v|

【答案】c

【解析】

【分析】根據解析式代入驗證即可.

【詳解】因為〃xT)=(*7)Tx'-l,而〃x+】)=/(l+x)=x'-l,

所以f(l+x)=/(l-x).

故選：C

a

5.已知>=3"=5,則4"=()

A.WB.6C.8D,9

【答案】D

【解析】

—?log33

【分析】根據題意，利用對數的運算法則，求得力，結合指數幕與對數的運算法則，即可求解.

【詳解】由"=3'=5,可得巾=kg/"logj5,則1og,3

則41=4-3==21ogj9=9

故選：D.

6.設b，cwR,函數,（x）=x+b4+c,貝『，關于X的不等式/+5'+。>0的解集為區(qū)，，是，，."*）>°

恒成立”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分不必要

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函數的性質確定不等式和函數成立的條件，再由充分必要條件得出結果即可；

【詳解】因為關于X的不等式J+bi+c>0的解集為R,貝心=護-4。<°,

?l=x+b-jx-ly/x+by[x+c>0

可得.恒成立，故充分性成立；

取b=Ac=」?jié)M足"1I>°恒成立，

但x'+3x+2>0的解集為iHL,ul-L+B）,故必要性不成立；

所以“關于X的不等式/+從+。的解集為R"是“'1'°恒成立”的充分不必要條件.

故選：A.

1

7.已知直線-v=a'+6與曲線一-X相切，則」：7+b的最大值為（）

1_5

A.-B.2C.-D.5

【答案】C

【解析】

【分析】設切點切點橫坐標為由題意列出,?上力的關系，進而得到Ja+b,再由二次函數求

最值即可.

1

y=x+-y

【詳解】設切點橫坐標為桁（切工01求導:X得.

am+b=m+-

由題意可得I用解得:

所以用=2時，2a+b的最大值為一’.

故選:c

8.若函數卜-°F1的3個零點由小到大排列成等差數列，則。=（）

4732厲

A.2B./c,3D.3

【答案】D

【解析】

y-k-J,V=-（T>0）

【分析】將問題轉化為J-II和X的交點，結合函數圖象以及一元二次方程的根可得

,即可利用等差中項求解.

要使一中-。|-1有3個零點，則4>0,

11

_=X-a-=-x+a

由圖可知：.'有一個零點\有2個零點丁卜與，且、「與，

即/-皿-1=0有一個零點與，f-ax+l=0有2個零點八，?6,且x<與

Q+yja'+4a——4a+—4

?_Xi=*---------------

a-Ja"-4a++A-a+Ja"-4

由于玉+與=_與，故

____________a=上邁

化簡可得“'+4=W-4,平方解得-3,

由于a>0,故3,

故選：D

【點睛】方法點睛：判斷函數y=/（x）零點個數的常用方法：（1）直接法：令-"、'=。?則方程實根的個

數就是函數零點的個數；

（2）零點存在性定理法：判斷函數在區(qū)間〔"?〕上是連續(xù)不斷I，曲線，且'「；''"I。?再結合函數的圖

象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）可確定函數的零點個數;

（3）數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數

零點的個數，在一個區(qū)間上單調的函數在該區(qū)間內至多只有一個零點，在確定函數零點的唯一性時往往要

利用函數的單調性，確定函數零點所在區(qū)間主要利用函數零點存在定理，有時可結合函數的圖象輔助解題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列曲線平移后可得到曲線、=>的是（）

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據圖像的平移變換可判斷ABD,根據圖像的伸縮變換可判斷C.

【詳解】對于A,曲線'二丁"向右平移3個單位可得到曲線二’,故A正確；

對于B,曲線了二丁-3向上平移3個單位可得到曲線1=>,故B正確；

對于C,曲線橫坐標伸長為原來的3倍可得到曲線故C錯誤；

I，=二=二，一ePx

對于D,曲線?3~,向左平移3個單位可得到曲線尸=：,故D正確；

故選：ABD

10.一般認為，教室的窗戶面積應小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應不小于15%,且這個比值

越大，通風效果越好.（）

A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為？°°m’，則窗戶面積至少應該為30m‘

B.若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%,則教室通風效果不變

C.若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風效果變好

D.若窗戶面積第一次增加了〃z%,第二次增加了/僅，地面面積兩次都增加了-,則教室的通風效

果變差

【答案】BC

【解析】

【分析】設該公寓窗戶面積為x,依題意列出不等式組求解可判斷A；記窗戶面積為A和地板面積為b,

同時根據B,C,D設增加的面積，表示出增加面積前后的比值作差比較即可判斷B,C,D.

【詳解】對于A,設該公寓窗戶面積為1,則地板面積為二00一），

[—-->15%

\200-x600…

依題意有I,解得23,

600,

所以，這所公寓的窗戶面積至少為23,故A錯誤；

對于B,記窗戶面積為。和地板面積為6,同時窗戶增加的面積為10%。，同時地板增加的面積為

10%b,

aa+10%aa|1+10%)a

由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為'"+1。"°6小1-1以山b

所以公寓采光效果不變，故B正確；

對于C,記窗戶面積為a和地板面積為6,同時增加的面積為c.

aa+c

由題可知，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為M'b+c,

a+cab(a+c)-a(b+c)c(b-a)

因為b+cbb(b+c)b(b+c],且0<a<b,c>0.b-a>0,

a+ca-a+ca

--->0---->—

所以b+cb,即b+cb,

所以，同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，故c正確;

對于D,記窗戶面積為a和地板面積為6,則窗戶增加后的面積為(1+研/"+""°一；,地板增加后的面

.E+九

1+----%A”b

積為

a(l+n%Wl+m%Ia

b

1+W%b

由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為

(1+H%)(1+m%)1+(〃％+話i)+m%a%

(l+等%m+n.,1.......

―-—%I+(n%+n^4I

因為

—"1之歷(等?％]加％”％

又因為2,所以I-J,

(】+〃％1+(n%+rrfii)+m%n%(1+〃％aa

;*1

-----------5~=------j-----------Sl------------5S—

11+--—%I1+1―-—%I+(+w%I11+---%I,b

因為\,所以I

Il-bw%|(14-m%)aa

,=—

[,w+w..A,b

1+^^%b

>,采光效果不變，

所以無法判斷公寓的采光效果是否變差了，故D錯誤.

故選：BC.

11.設函數了‘‘」的定義域關于原點對稱，且了(門不恒為0,下列結論正確的是()

11

A.若了(')具有奇偶性，則滿足“1=p、+?1''的奇函數p1與偶函數q"中恰有一個為常函

數，其函數值為o

B.若了⑶不具有奇偶性，則滿足"奇函數P，與偶函數qg不存在

c.若?'（”為奇函數，則滿足、門''二px?的奇函數「'、'與偶函數q?’存在無數對

D,若‘'"為偶函數，則滿足⑴=g⑶工”的奇函數p（'，與偶函數glvl存在無數對

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇偶性的定義即可判斷A選項；通過舉例‘''I,即可判斷B選項；通過構造

P（T）=7.''IYI-1D（XI-T1**1Q（VI="l'*+'i

〃+1，力'HL即可判斷c選項；通過構造尸3T,八.即可判斷

D選項.

【詳解】對于A,/（*）”（*）+“*）,則/（一*）,p（T）+?（-jr）,-p（x）+g（x）

當了'"為奇函數時，貝/（x）+〃r）=2g（x）=°,即g（x）=°；

當“*為偶函數時，貝/⑴-〃7'）=如工）=0,即P（x）=°,

即滿足Ji'=門的奇函數”"與偶函數中恰有一個為常函數，其函數值為0,故A正

確；

對于B,當〃x）=x+x,p（x）=x.g（x）=x時，，（?不具有奇偶性,

滿足/（、）”（"）+小）的奇函數P（"）與偶函數g（X）存在,故B錯誤；

對于C,為奇函數時，令奇函數"偶函數/、’="+L”eN,則

“Ti=/（.T）

vneN,故存在無數對奇函數"”與偶函數g（x）,滿足〃x）=P（x）g（x）.故c正確；

對于D,4負為偶函數，令奇函數P（x）=xf偶函數9⑶=“O”eN,則

（】、

31

q\p（x））=9XIK=/（x）

故存在無數對奇函數"W與偶函數g（X）,滿足故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設函數/''1的圖象上任意兩點處的切線都不相同，則滿足題設的一個.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】只需要函數在不同點處的切線斜率不同即可.

［詳解］設--則J'm二:

在/(X)=’上任取一點(、。工?,

則函數在該點處的切線方程為：「一、；=即J=：V-To.

只要、。不同，切線方程就不同.

故答案為：、(答案不唯一)

13.已知矩形430口二西》?工1的周長為24,將-兒50沿4c向A4DC折疊，AB折過去后與DC交

于點P.設，45=、，則DP=(用尤表示)，當△血戶的面積最大時，

Hx-72

【答案】①.X.②.6A

【解析】

結合圖形，折疊后易得“。尸三”?3’尸，設0尸=夕尸=】'，利用RtJ'PC,即可求得DP的

【分析】

表示式；依題意，求出(「SP的面積表示式，利用基本不等式即可求得面積最大值，從而得到此時)的

值.

圖2

如圖2是圖1沿著4。折疊后的圖形，因,48=、，則HI=11-),

因矩形忠處西>皿的周長為24,則6Vx<12,對折后3=3'。=】？-1易得

^ADP^B'P,

設D尸=3'產=.\貝NP='-.\在RtW尸。中，由勾股定理，(x-.r)3=.v3+(12-x)\

12x-72212r-72

y工---------DP---------;

整理得一二,即1

=—02-x)=-6(x+—)+108

△MP的面積為2AX,

r=—x+—>2/72=12j2

因6v\<1］，則當且僅當1時，

此時時，^=-6x12^+108=108-7272

12x-72

故答案為：；6，？.

14.已知a為常數，且門>0.定義在R上的函數滿足："i+ad"+且當

0￡x￡a時，/(x)=fl*-x,則。=

【答案】1

【解析】

【分析】根據題意，先求出再賦值得到J-aC/即，將“刈轉化為

/(3a)4〃2fl)S/(a)=J-a,運用不等式傳遞性，得到J——a,式子恒成立.只能

/一。=°.解方程即可.

【詳解】0WxSa時，〃?')="一、，貝=『-a

a>0,定義在-上的函數〃“滿足：〃，+@)4〃力4〃丁十%).

令x=0,得到〃即J-a40s"3al

由于/(M)=/Q+af〃g=/(a+a)4/(a)=J-a則J?aSOsJ-a

則要使得式子恒成立，則/,；=°,解得°=°,或a=1,或者。一-1.

由于a>0.則a?1.

故答案為：1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在三棱柱曲"44G中，_L平面A5C.乙@r=90°q=BC=84=1,EjFtG

分別是棱AB,BC,'4上的動點，且，超=5'產=&G.

⑴求證：4尸，?？?；

(2)若平面EG。1與平面為為48的夾角的余弦值為3,求3尸.

【答案】(1)證明過程見解析

1

⑵-

【解析】

【分析】（1）證明線線垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，計算出4F=得到垂直關

系；

（2）在⑴的基礎上，得到4尸23=。，故從而得到線面垂直，故4尸』一1力1

為平面屈支\的一個法向量，結合平面&&用8的法向量，利用向量夾角余弦公式得到方程，求出力，從

而求出印.

【小問1詳解】

因為旦3_1_平面48°,四,BCu平面4BC,

所以即_LM,電工BC,

又乙45c=90°,故與氏48.3。兩兩垂直，

以8為坐標原點，所在直線分別為工工二軸，建立空間直角坐標系，

因為檢=3（7=3瓦=I,AE=BF=B^G設AE=BF=即｝=m,Q<m<l,

所以小110/|0，"|，491,「?0、1一凡山，

則49=（0.0、附1-（110|=（-1-1.州）,。。=（0.1-皿0）-（01」）=（0,一九一"

則4尸C\G=I（0.一肛-1）=E-m=0

故4…G；

115

?

X【小問2詳解】

￡(l-m,0.0)則5G=n),1—w,0|—(1—/w、0.0)=(a—LI—w,01

則4F=1用-1.1一用，0)=1-6+加-1=0

則4尸-LEG,

又GGc3G=GCjGJ?Gu平面38],

所以4"平面'GC\,

故不=(-L-Lmi為平山1、支；的一個法向量，

又平面4414s的法向量為n=<0,0,li

則平面屈支\與平面兒為48的夾角的余弦值為

即不斗四』弋""世I4

??ARjVma+1+1>/mJ+2,

1_

又平面獨笫1與平面48的夾角的余弦值為3,

所以At?解得用一,故"*一三.

16.某學習小組研究得到以下兩個公式：①?n(a+A)sm(a-/?)=sin3a-s>n3^.

②力ng,+i~sinici-Q-cos',6-cos'a

(1)請你在①和②中任選一個進行證明；

4.

sinCsin(^4-5)=sin5sin(C-^4),cosX=—,BC>2

(2)在一，43c中，己知5,求一？LffC的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)4

【解析】

【分析】(1)若選①，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關系即可證明；

若選②，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關系即可證明；

(2)利用兩角和差的正弦公式及正弦定理可得a?？"cosA,再利用面積公式求解.

【小問1詳解】

若選①，證明如下：

sin(a4-/J)sm(a-fi)=Isinacos夕+cosasm^)(sinacos/J-cosasm

=sin3acos3/fl-cos3asm2^=sm3tffl-nn3尸)一|】一sm，a)sin3fl

=$】/尸

若選②，證明如下：

sin(a+^)sm(a-p)=Isinacos夕+co$asm^)($inacos夕一cosasm/?)

=sm3acos3尸一cos3aan3/fl=(I-cos3a)cos3yff-cos3arf1-cot3/fl|

二cosJ夕-coJa

【小問2詳解】

由已知s】nCsm[4-B)二sinBsmi：(?-A

可得疝?C(anXcosB"cosAmB(mCCMCMCsinAI

sin-4lsinCcosB4-cosCsin￡I=2sm5sinCeos-14

3

sinj4sm(C+5|=2sinsinCeosJ4nsmJ4=2sin￡sinCeosA

由正弦定理可得7-cos月，

4.?).，

cosA=—.3C=a=2.Ae(0.^)be=-,sin^4=-

又5，所以25.

S=-bcsm4=-x-*—=一

所以一，M0的面積---54.

17.分別過橢圓A3的左、右焦點廣，?尸2作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點

P.Q.

（1）當P為C的上頂點時，求直線P。的斜率；

（2）求四邊形叩的面積的最大值.

_V3

【答案】（1）4

（2）3

【解析】

【分析】（1）結合圖形，易得即拘，求得咫的斜率，由直線Q為與橢圓的方程聯立，求得點

0（?鴻

55,即得直線尸。的斜率；

（2）結合圖形，由對稱性可知，四邊形尸咫Q是平行四邊形，四邊形即.匚’的面積是°尸射？0面積的

一半，設直線尸&的方程，并與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，求出?尸印和點用到直線『1-""+】=°

的距離d,得到四邊形尸“的面積函數式，利用換元和對勾函數的單調性即可求得面積的最大值.

【小問1詳解】

由彳+y-l可知“-L°）?尸式】?%橢圓上頂點為9?即尸（Q?

直線尸’片的斜率為則直線。'馬E向方程為：r=O（x-D,

8

C.1：

將其代入43整理得，51-8x=0,解得，i=0或一一弓，

同拜L

上-J-

播當i%--R-T

因點Q在彳軸上方,故得點“丁5,于是直線尸。的斜率為：5；

【小問2詳解】

如圖，設過點尸，,尸，的兩條平行線分別交橢圓于點只R和0S，

利用對稱性可知，四邊形尸.。是平行四邊形，且四邊形方戶口二’面積是0產*?°面積的一半.

顯然這兩條平行線的斜率不可能是。（否則不能構成構成四邊形），可設直線PR的方程為/\=可-1，

(7—1j.

代入,4,整理得：(3w+4)r-6“=9=0,顯然A>o,

6m

>\+心=

1

■:3m+4

設尸,貝小"9

3m'+4

36m336

I尸夫|=y/1+m，-“力(W+4)3+W+4

JZE，

l44mJ+144_12(mJ+l)

=J】+a'

(3w'+4)2=3病+4

d=

點弓到直線？'-'.+】=°的距離為4'+】，

J

?11PPI,112(m+l)2124qi

S二一|PRId=-xx-.二

則四邊形"廢‘的面積為223加+4y/m2+\樂+4,

S_12r12t_12

___=Xr3-l)+4-3t3+r^7I

令，=Jm'+l,則rNl,且代入得，t,

~1?.1、,1

)'7+-=北+，-,、，V=3t+-

因函數1，在上單調遞增，故，當r=i時，,r取得最小值為4,此時

18.已知紅方、藍方發(fā)射炮彈攻擊對方目標擊中的概率均為3,紅方、藍方空中攔截對方炮彈成功的概率

分別為3工.現紅方、藍方進行模擬對抗訓練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對方目標，另一方再進行

空中攔截，輪流進行，各攻擊對方目標一次為1輪對抗.經過數輪對抗后，當一方比另一方多擊中對方目

標兩次時，訓練結束.假定紅方、藍方互不影響，各輪結果也互不影響.記在1輪對抗中，紅方擊中藍方目

標為事件A,藍方擊中紅方目標為事件2.求：

⑴概率尸

(2)經過1輪對抗，紅方與藍方擊中對方目標次數之差x的概率分布及數學期望;

(3)在4輪對抗后訓練結束的條件下，紅方比藍方多擊中對方目標兩次的概率.

P(4)=彳尸(3)=1

【答案】(1)-,

(2)

項=:

分布列見解析，6

31

⑶162

【解析】

【分析】(1)根據概率的乘法公式即可求出閂月'‘口"；

(2)求出X的可能取值范圍及對應的概率，求出用一門；

(3)分藍方擊中0、1和？次三種情況討論.

【小問1詳解】

【小問2詳解】

X的可能取值為T0J,

111111>>1

P(jr=-D=-xl=-!-P(Jf=0)=-!-xl+lx-i=l

因為236,

/八】)中1尹?！1

所以分布列為：

X-1?:

11

P653

￡(JO=--+0+-=-

所以636；

【小問3詳解】

(3yd)咱'=/

若藍方擊中o次，則紅方比藍方多擊中對方目標兩次的概率為32217,

C*手嗯嗎哈

若藍方擊中1次，則紅方比藍方多擊中對方目標兩次的概率為

c：(i)，(二)"3,=——

若藍方擊中二次，則紅方比藍方多擊中對方目標兩次的概率為‘、丁3-54,

2--,8+-,-1+--=3-1--

所以紅方比藍方多擊中對方目標兩次的概率為二7S154162.

19.(1)函數1與F=的圖象有怎樣的關系?請證明；

(2)是否存在正數c,對任意的X>C,總有>>log【T?若存在，求o的最小值；若不存在，請

說

明理由；

(3)已知常數a>1,證明：當x足夠大時，總有"一>”gt.

【答案】(1)關于直線1=T對稱，證明見解析；(2)存在，「皿二4；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)利用互為反函數的性質判斷并證明.

(2)由」二丁一-零點，可得Gun=",再構造函數，利用導數證明』時不等式恒成立.

(3)根據給定條件，等價變形不等式，構造函數，利用導數，結合零點存在性定理推理即得.

【詳解】(1)函數】'=二'與J=l°g［r互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，

令(%b)為函數p=1圖象上任意一點，即6=￥，則a=l%：b,因此點(b.a)在函數］-log〉'的圖

象上，

反之亦然，而點9力)與(瓦0)關于直線'=、對稱，

所以函數?"二［與="g：、的圖象關于直線'=T對稱.

(2)存在正數c=4,對任意的4,丁>T>log：丁恒成立，

令”.、)=2*-i3顯然〃2)=〃4)=0,

根據指數函數與累函數的增長特征，在上恒有了(丁'<°,

當》>