2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單：集合與常用邏輯用語(yǔ)（原卷版）

專(zhuān)題01集合與常用邏輯用語(yǔ)

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

「（元素的三大特性：確定性、無(wú)序性、互異性）

《元素與集合的關(guān)系：屬于、不壽）透01判麻索與集合土系

知識(shí)點(diǎn)一集合）整02筠—然

■（集合的表示法：列舉法描述法、圖示法）朝03集合中元素的恃性

型04集鈿

T〔甫用數(shù)集的記法與關(guān)系圖〕

集合A中所有元素都是集合B的元素

集合甚吾*祥

MTS：A型01強(qiáng)

o知識(shí)點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系且集合B中至少有一個(gè)元翥不JS于A罐02判雌合與集合間的關(guān)系

合：集麗、毗元六例百年03根嶷合之間的關(guān)系求參數(shù)

空集：不含朝元,集合

一集合的交集

壁01集合的3&件除合運(yùn)算

「集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示」--「集合的并集轆02

集合常用邏輯用語(yǔ)—（o知識(shí)點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算）壁03集合在場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用

翅04韋霽

型05集合的腕義問(wèn)題

充要條件的定員

o知識(shí)點(diǎn)四充分條件與必要條件跡01充分條件與必要條件判斷

耀02雄必《^^

充要條件充要條件的含義：P是q的充要條件，q也是P的充要條件

充要條件的等價(jià)說(shuō)法：q成立當(dāng)且僅當(dāng)P成立

小星詞：短語(yǔ)■■所有的,?任意二F辱

的星詞命題：含有翎展詞山藕]

型01含有命震的否定

鋰02根據(jù)全村詞命酰真轅求參數(shù)

—fO知識(shí)點(diǎn)五全稱(chēng)量詞與存在量詞）--強(qiáng)痂詞：霞?g￡f?妙有一個(gè)?等）

K------------------------------------------------------------/---------------------L存在星詞命瑟含有存在星詞的命題「壁03根據(jù)序連詞命題的亮段求參數(shù)

-命題的否定

口說(shuō)盤(pán)點(diǎn)?查福訃與

知識(shí)點(diǎn)1集合與元素

1、集合元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性；

2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號(hào)e或右表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見(jiàn)數(shù)集的記法與關(guān)系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

知識(shí)點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系

表示

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

關(guān)系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或B衛(wèi)A

元素(%eA貝!1)

o或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

關(guān)系真子集AtjB或A

中至少有一個(gè)元素不屬于Ao

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

知識(shí)點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算

1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

0?

圖形語(yǔ)言而

符號(hào)語(yǔ)言AU5=3％GA,G5}AQB=|x|xGA,SJCe瑪2A=^x\xGU,SJC^A}

2、集合運(yùn)算中的常用二級(jí)結(jié)論

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A;AUA=A；AUB=BUA；=匹A.

(2)交集的性質(zhì)：ACI0=°；AAA=A；AAB=BHA；AHB=A=AUB.

(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：AU(O)=U;An([uA)=。.=A；

C[/(AUB)=(Cc4)n(CC/B)；MAnB)=([必)U([uB).

知識(shí)點(diǎn)4充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若P，則必為真命題“若P，則4”為假命題

推出關(guān)系p0qpg

P是4的充分條件P不是4的充分條件

條件關(guān)系

q是P的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件

定理關(guān)系

性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果喏p，則q”和它的逆命題“若q，則，'均為真命題，即既有pnq，又有qnp，就記作。o小

此時(shí)，p既是。的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)?是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件。

(2)充要條件的含義

若p是q的充要條件，則q也是p的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說(shuō)法上還是不同的，

因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同。

(3)充要條件的等價(jià)說(shuō)法：?是q的充要條件又常說(shuō)成是q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，或夕與q等價(jià)。

知識(shí)點(diǎn)5全稱(chēng)量詞與存在量詞

1、全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題

(1)全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“V”表示.

【注意】(1)全稱(chēng)量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無(wú)限的，由有題目而定；

(2)常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語(yǔ)是“都”

(2)全稱(chēng)量詞命題：含有全稱(chēng)量詞的命題，稱(chēng)為全稱(chēng)量詞命題.

符號(hào)表示：通常，將含有變量x的語(yǔ)句用p(x),q[x),r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表

示，那么，全稱(chēng)量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

【注意】(1)從集合的觀點(diǎn)看，全稱(chēng)量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；

(2)一個(gè)全稱(chēng)量詞命題可以包含多個(gè)變量；

(3)有些全稱(chēng)量詞命題中的全稱(chēng)量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)出來(lái)。

如：命題“平行四邊形對(duì)角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對(duì)角線都互相平行二

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號(hào)“于'表示.

【注意】常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號(hào)表示：存在量詞命題“存在M中的元素x，使0(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為

【注意】(1)從集合的觀點(diǎn)看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；

(2)一個(gè)存在量詞命題可以包含多個(gè)變量；

(3)有些命題雖然沒(méi)有寫(xiě)出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個(gè)”等特征都是存在量詞命題

3、命題的否定：對(duì)命題?加以否定，得到一個(gè)新的命題，記作“r?”，讀作“非P”或P的否定.

(1)全稱(chēng)量詞命題的否定：

一般地，全稱(chēng)量詞命題“五6河應(yīng)(力”的否定是存在量詞命題：BxEM^q(x).

(2)存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“Gq(x)”的否定是全稱(chēng)量詞命題：V%GM,^q(x).

(3)命題與命題的否定的真假判斷：

一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假.

即：如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然.

(4)常見(jiàn)正面詞語(yǔ)的否定：

正面詞語(yǔ)等于（=）大于（>）小于（<）是都是

否定不等式（豐）不大于（<）不小于（>）不是不都是

正面詞語(yǔ)至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意所有至多有n個(gè)

否定至少有兩個(gè)一個(gè)都沒(méi)有某個(gè)某些至少有n+1個(gè)

點(diǎn)突破?看分■必檢

重難點(diǎn)01已知一個(gè)元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值.

（1）確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；

（2）互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).

【典例1]（23-24高三上?廣東惠州?月考）集合A=若3cA且—leA,則。的取值范圍

為（）

A.a<3B.a<-lC.a<3D.-l<a<3

【典例2]（23-24高三下?江西月考）已知4=舊尤2-6+1叫，若2e/,且3eA,則。的取值范圍是（）

重難點(diǎn)02利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍

第一步：弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰(shuí)是誰(shuí)的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若

且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為,空集的情形；

第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.

【典例1】（2024?陜西西安?三模）設(shè)集合A={0,l},若A=8,則。=（）

A.2B.3C.1D.1或2

【典例2】（2024.黑龍江.二模）已知A={x|x（x-l）<O},B={x|logzXVa},若AgB,則實(shí)數(shù)“的取值范圍

為（）

A.[0,+功B.[1,+向C.（0,1]D.fo.1

重難點(diǎn)03根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)的取值范圍

法一：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果確定集合對(duì)應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡(jiǎn)所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗(yàn).

【注意】（1）確定不等式解集的端點(diǎn)之間的大小關(guān)系時(shí)，需檢驗(yàn)?zāi)芊袢　?"；（2）千萬(wàn)不要忘記考慮空集。

【典例1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合A={l,-2—凡-2-2*，8={0,力，若=貝1］。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【典例2】（2024.重慶.模擬預(yù)測(cè)）已知集合&={r/一2尤一3>0},8={尤|（x-a）（x+2）<。},若AU3=R,

則a的取值范圍為（）

A.（3,+8）B.［3,-H?）C.（-1,3）D.

重難點(diǎn)04利用充分必要條件求參數(shù)的策略

1、巧用轉(zhuǎn)化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于

參數(shù)的不等式（不等式組）求解；

2、端點(diǎn)取值需謹(jǐn)慎：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍。

【典例1］（23-24高三上.上海松江.期中）已知":爐-2犬-8<0應(yīng):1-。<%<2。-3,且。是4的充分不必要

條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

Y-I-4

【典例2］（23-24高三上.江蘇揚(yáng)州?月考）（多選）若“一7>0"是"<彳<左+2”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)

X-1

上可以是（）

A.-8B.-4C.0D.4

重難點(diǎn)05根據(jù)全稱(chēng)（存在）量詞命題的真假求參數(shù)

1、全稱(chēng)量詞命題求參的問(wèn)題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進(jìn)行考察，一般在題目中會(huì)出現(xiàn)“恒成立”

等詞語(yǔ)，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；

2、存在量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題中常出現(xiàn)“存在”等詞語(yǔ)，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，通常時(shí)假設(shè)存在滿足條件的參

數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立；否則，假設(shè)不成立。解決有關(guān)存在量詞

命題的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí)，應(yīng)盡量分離參數(shù)。

2

【典例1]（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知命題1-加20”為真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（^?,e-2]B.I-<?,e4C.[e-2,+oo）D.e4-^-,+00|

【典例2]（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末）已知命題：士°eR，3+2%-120為假命題，則實(shí)數(shù)〃的取

值范圍是（）

A.（^?,-l）u（O,-H?）B.（-1,0）C.[-1,0]D.（-1,0]

法技巧?連褰學(xué)霸

一、子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題

如果集合A中含有n個(gè)元素，則有

（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2"個(gè).（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2"—1個(gè).

（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2"-1個(gè)（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2"-2個(gè).

【典例1】（2024.浙江.二模）已知集合"={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若M=A=N,則滿足集合A的個(gè)

數(shù)為（）

A.4B.6C.7D.8

【典例2】（2024.全國(guó).一模）已知集合A={0,1,2},8=卜,=lg（T?+3川，則AcB子集的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、判斷集合與集合的關(guān)系

判斷集合間關(guān)系的常用方法：

1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過(guò)定義得出集合間關(guān)系；

2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

斷集合間關(guān)系；

3、數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或韋恩圖判斷集合間關(guān)系，如不等式的解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法。

【典例1】（2024?云南貴州?二模）已知集合&="€2|0三段4},8={0,1,2,3,4,5},則（）

A.AUBB.A=BC.A&BD.BeA

【典例2】（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）已知集合4=口|不>-1/6咫,B={x|x2-x-2>0,xeR},則下列關(guān)系

中正確的是（）

A.AcBB.疫AuRBC.AnB=0D.AU3=R

三、韋恩圖的應(yīng)用

元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，一般都能通過(guò)韋恩圖形象表達(dá)。有時(shí)題設(shè)條件比較抽象，

也應(yīng)借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

【典例1】（2024?山西長(zhǎng)治?一模）已知集合A=?+2無(wú)-8<0},8={x|Wv2},U=R,則圖中陰影部分表

示的集合為（）

【典例2】（2024?河北邢臺(tái).二模）下列集合關(guān)系不成立的是（）

A.AUA=AB.AC0=0

C.（瘵4）c（㈤=%（AD3）D.Oe0

四、集合新定義問(wèn)題

在集合新定義問(wèn)題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運(yùn)算。解題時(shí)，要抓

住兩點(diǎn)：（1）分析新定義的特點(diǎn)，把新定義中所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并且能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)

程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本運(yùn)算是解題的突破口，要熟練掌握。

【典例1】（2024?貴州黔東南?二模）若對(duì)任意xeA,-eA,則稱(chēng)A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子

X

關(guān)系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【典例2]（23-24高三下?甘肅?月考）如果集合。存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）

的非空子集A，&,…,4,eN*,左22）,且滿足AU&ULUAk=U,那么稱(chēng)子集組A，&,…&構(gòu)成集合U

的一個(gè)左劃分.若集合/中含有4個(gè)元素，則集合/的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）

A.7個(gè)B.9個(gè)C.10個(gè)D.14個(gè)

五、充分條件與必要條件的判斷

充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

1、定義法：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）判斷“若p,則q”及“若q,則p”的真假；（3）得出結(jié)論.

2、集合法：利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；

3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的且便于判斷真假的命題。

【典例1】（2024?江西南昌?二模）已知集合4={如11掇0},B={x|2，2},則“xeA”是“xeB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例2】（2024.湖南衡陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）己知命題.集合A={XX+X_2>0},命題g：集合

B={X|X2+2X-3>0},則p是q的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

X笏混笏錯(cuò)?聯(lián)券用墟

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)集合表示方法的理解存在偏差

點(diǎn)撥：對(duì)集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對(duì)本質(zhì)進(jìn)行剖析，需要明確集合中的代表元素

類(lèi)型（點(diǎn)集或者數(shù)集）及代表元素的含義。

【典例1X23-24高三下.江西吉安?期中）已知集合M={尤eN|尤2-2x43},N=3y=2T},則“cN=（）

A.{0,1,2,3}B.（0,3]C.[0,3]D.{1,2,3）

B=\xy=,6L則(

【典例2】（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={引了=|彳-1|+氏+2]},)

y/10-x2

A.(疝+對(duì)B.[3,710)C.[3,^o)D.(-Vio,3]

易錯(cuò)點(diǎn)2忽視（漏）空集導(dǎo)致錯(cuò)誤

點(diǎn)撥：空集不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問(wèn)題中，往

往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解。

【典例1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)若A={x|（e-2）（x+2）=0},B={x|?x-l=0},則40臺(tái)=3,實(shí)數(shù)“

的取值集合為（）

A.j-plog2e|B.卜共C.{log2e)