2025高考數(shù)學一輪復習知識清單：集合與常用邏輯用語（原卷版）

專題01集合與常用邏輯用語

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構建?耀精向紿

「（元素的三大特性：確定性、無序性、互異性）

《元素與集合的關系：屬于、不壽）透01判麻索與集合土系

知識點一集合）整02筠—然

■（集合的表示法：列舉法描述法、圖示法）朝03集合中元素的恃性

型04集鈿

T〔甫用數(shù)集的記法與關系圖〕

集合A中所有元素都是集合B的元素

集合甚吾*祥

MTS：A型01強

o知識點二集合間的基本關系且集合B中至少有一個元翥不JS于A罐02判雌合與集合間的關系

合：集麗、毗元六例百年03根嶷合之間的關系求參數(shù)

空集：不含朝元,集合

一集合的交集

壁01集合的3&件除合運算

「集合交并補運算的表示」--「集合的并集轆02

集合常用邏輯用語—（o知識點三集合的基本運算）壁03集合在場問題中的應用

翅04韋霽

型05集合的腕義問題

充要條件的定員

o知識點四充分條件與必要條件跡01充分條件與必要條件判斷

耀02雄必《^^

充要條件充要條件的含義：P是q的充要條件，q也是P的充要條件

充要條件的等價說法：q成立當且僅當P成立

小星詞：短語■■所有的,?任意二F辱

的星詞命題：含有翎展詞山藕]

型01含有命震的否定

鋰02根據(jù)全村詞命酰真轅求參數(shù)

—fO知識點五全稱量詞與存在量詞）--強痂詞：霞?g￡f?妙有一個?等）

K------------------------------------------------------------/---------------------L存在星詞命瑟含有存在星詞的命題「壁03根據(jù)序連詞命題的亮段求參數(shù)

-命題的否定

口說盤點?查福訃與

知識點1集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號e或右表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數(shù)集的記法與關系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*（或N+）ZQR

知識點2集合間的基本關系

表示

文字語言符號語言圖形語言

關系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或B衛(wèi)A

元素(%eA貝!1)

o或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

關系真子集AtjB或A

中至少有一個元素不屬于Ao

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

知識點3集合的基本運算

1、集合交并補運算的表示

集合的并集集合的交集集合的補集

0?

圖形語言而

符號語言AU5=3％GA,G5}AQB=|x|xGA,SJCe瑪2A=^x\xGU,SJC^A}

2、集合運算中的常用二級結論

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A;AUA=A；AUB=BUA；=匹A.

(2)交集的性質(zhì)：ACI0=°；AAA=A；AAB=BHA；AHB=A=AUB.

(3)補集的性質(zhì)：AU(O)=U;An([uA)=。.=A；

C[/(AUB)=(Cc4)n(CC/B)；MAnB)=([必)U([uB).

知識點4充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若P，則必為真命題“若P，則4”為假命題

推出關系p0qpg

P是4的充分條件P不是4的充分條件

條件關系

q是P的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應數(shù)學結論成立的充分條件

定理關系

性質(zhì)定理給出了相應數(shù)學結論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果喏p，則q”和它的逆命題“若q，則，'均為真命題，即既有pnq，又有qnp，就記作。o小

此時，p既是。的充分條件，也是q的必要條件，我們說?是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

(2)充要條件的含義

若p是q的充要條件，則q也是p的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說法上還是不同的，

因為這兩個命題的條件與結論不同。

(3)充要條件的等價說法：?是q的充要條件又常說成是q成立當且僅當p成立，或夕與q等價。

知識點5全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“V”表示.

【注意】(1)全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；

(2)常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號表示：通常，將含有變量x的語句用p(x),q[x),r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表

示，那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立"可用符號簡記為

【注意】(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；

(2)一個全稱量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。

如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行二

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“于'表示.

【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號表示：存在量詞命題“存在M中的元素x，使0(x)成立"可用符號簡記為

【注意】(1)從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；

(2)一個存在量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題

3、命題的否定：對命題?加以否定，得到一個新的命題，記作“r?”，讀作“非P”或P的否定.

(1)全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題“五6河應(力”的否定是存在量詞命題：BxEM^q(x).

(2)存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“Gq(x)”的否定是全稱量詞命題：V%GM,^q(x).

(3)命題與命題的否定的真假判斷：

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.

即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然.

(4)常見正面詞語的否定：

正面詞語等于（=）大于（>）小于（<）是都是

否定不等式（豐）不大于（<）不小于（>）不是不都是

正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個

否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個

點突破?看分■必檢

重難點01已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值.

（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；

（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.

【典例1]（23-24高三上?廣東惠州?月考）集合A=若3cA且—leA,則。的取值范圍

為（）

A.a<3B.a<-lC.a<3D.-l<a<3

【典例2]（23-24高三下?江西月考）已知4=舊尤2-6+1叫，若2e/,且3eA,則。的取值范圍是（）

重難點02利用兩個集合之間的關系確定參數(shù)的取值范圍

第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若

且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為,空集的情形；

第三步：將集合間的包含關系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求出相關的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸解答.

【典例1】（2024?陜西西安?三模）設集合A={0,l},若A=8,則。=（）

A.2B.3C.1D.1或2

【典例2】（2024.黑龍江.二模）已知A={x|x（x-l）<O},B={x|logzXVa},若AgB,則實數(shù)“的取值范圍

為（）

A.[0,+功B.[1,+向C.（0,1]D.fo.1

重難點03根據(jù)集合運算的結果確定參數(shù)的取值范圍

法一：根據(jù)集合運算結果確定集合對應區(qū)間的端點值之間的大小關系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“="；（2）千萬不要忘記考慮空集。

【典例1】（2024?重慶?模擬預測）設集合A={l,-2—凡-2-2*，8={0,力，若=貝1］。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【典例2】（2024.重慶.模擬預測）已知集合&={r/一2尤一3>0},8={尤|（x-a）（x+2）<。},若AU3=R,

則a的取值范圍為（）

A.（3,+8）B.［3,-H?）C.（-1,3）D.

重難點04利用充分必要條件求參數(shù)的策略

1、巧用轉(zhuǎn)化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于

參數(shù)的不等式（不等式組）求解；

2、端點取值需謹慎：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍。

【典例1］（23-24高三上.上海松江.期中）已知":爐-2犬-8<0應:1-。<%<2。-3,且。是4的充分不必要

條件，則實數(shù)。的取值范圍是.

Y-I-4

【典例2］（23-24高三上.江蘇揚州?月考）（多選）若“一7>0"是"<彳<左+2”的必要不充分條件，則實數(shù)

X-1

上可以是（）

A.-8B.-4C.0D.4

重難點05根據(jù)全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)

1、全稱量詞命題求參的問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進行考察，一般在題目中會出現(xiàn)“恒成立”

等詞語，解決此類問題時，可構造函數(shù)，利用數(shù)形結合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；

2、存在量詞命題求參數(shù)范圍的問題中常出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常時假設存在滿足條件的參

數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設成立；否則，假設不成立。解決有關存在量詞

命題的參數(shù)的取值范圍問題時，應盡量分離參數(shù)。

2

【典例1]（2024?四川?模擬預測）已知命題1-加20”為真命題，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.（^?,e-2]B.I-<?,e4C.[e-2,+oo）D.e4-^-,+00|

【典例2]（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末）已知命題：士°eR，3+2%-120為假命題，則實數(shù)〃的取

值范圍是（）

A.（^?,-l）u（O,-H?）B.（-1,0）C.[-1,0]D.（-1,0]

法技巧?連褰學霸

一、子集的個數(shù)問題

如果集合A中含有n個元素，則有

（1）A的子集的個數(shù)有2"個.（2）A的非空子集的個數(shù)有2"—1個.

（3）A的真子集的個數(shù)有2"-1個（4）A的非空真子集的個數(shù)有2"-2個.

【典例1】（2024.浙江.二模）已知集合"={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若M=A=N,則滿足集合A的個

數(shù)為（）

A.4B.6C.7D.8

【典例2】（2024.全國.一模）已知集合A={0,1,2},8=卜,=lg（T?+3川，則AcB子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、判斷集合與集合的關系

判斷集合間關系的常用方法：

1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過定義得出集合間關系；

2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

斷集合間關系；

3、數(shù)形結合法：利用數(shù)軸或韋恩圖判斷集合間關系，如不等式的解集之間的關系，適合用數(shù)軸法。

【典例1】（2024?云南貴州?二模）已知集合&="€2|0三段4},8={0,1,2,3,4,5},則（）

A.AUBB.A=BC.A&BD.BeA

【典例2】（2024高三.全國.專題練習）已知集合4=口|不>-1/6咫,B={x|x2-x-2>0,xeR},則下列關系

中正確的是（）

A.AcBB.疫AuRBC.AnB=0D.AU3=R

三、韋恩圖的應用

元素與集合的隸屬關系以及集合之間的包含關系，一般都能通過韋恩圖形象表達。有時題設條件比較抽象，

也應借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問題、解決問題。

【典例1】（2024?山西長治?一模）已知集合A=?+2無-8<0},8={x|Wv2},U=R,則圖中陰影部分表

示的集合為（）

【典例2】（2024?河北邢臺.二模）下列集合關系不成立的是（）

A.AUA=AB.AC0=0

C.（瘵4）c（㈤=%（AD3）D.Oe0

四、集合新定義問題

在集合新定義問題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算。解題時，要抓

住兩點：（1）分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過

程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握。

【典例1】（2024?貴州黔東南?二模）若對任意xeA,-eA,則稱A為“影子關系”集合，下列集合為“影子

X

關系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【典例2]（23-24高三下?甘肅?月考）如果集合。存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）

的非空子集A，&,…,4,eN*,左22）,且滿足AU&ULUAk=U,那么稱子集組A，&,…&構成集合U

的一個左劃分.若集合/中含有4個元素，則集合/的所有劃分的個數(shù)為（）

A.7個B.9個C.10個D.14個

五、充分條件與必要條件的判斷

充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

1、定義法：（1）分清命題的條件和結論；（2）判斷“若p,則q”及“若q,則p”的真假；（3）得出結論.

2、集合法：利用集合間的包含關系進行判斷；

3、等價轉(zhuǎn)化法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題。

【典例1】（2024?江西南昌?二模）已知集合4={如11掇0},B={x|2，2},則“xeA”是“xeB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例2】（2024.湖南衡陽.模擬預測）己知命題.集合A={XX+X_2>0},命題g：集合

B={X|X2+2X-3>0},則p是q的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

X笏混笏錯?聯(lián)券用墟

易錯點1對集合表示方法的理解存在偏差

點撥：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質(zhì)進行剖析，需要明確集合中的代表元素

類型（點集或者數(shù)集）及代表元素的含義。

【典例1X23-24高三下.江西吉安?期中）已知集合M={尤eN|尤2-2x43},N=3y=2T},則“cN=（）

A.{0,1,2,3}B.（0,3]C.[0,3]D.{1,2,3）

B=\xy=,6L則(

【典例2】（2024?湖北?模擬預測）已知集合4={引了=|彳-1|+氏+2]},)

y/10-x2

A.(疝+對B.[3,710)C.[3,^o)D.(-Vio,3]

易錯點2忽視（漏）空集導致錯誤

點撥：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往

往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解。

【典例1】（2024?重慶?模擬預測）設若A={x|（e-2）（x+2）=0},B={x|?x-l=0},則40臺=3,實數(shù)“

的取值集合為（）

A.j-plog2e|B.卜共C.{log2e)