幾何壓軸 突破訓(xùn)練（解析版）-2023年江蘇省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)21幾何壓軸專題突破訓(xùn)練

誣真題過關(guān)

1.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究.如圖(1),

在菱形ABCD中，-3為銳角，E為BC中點(diǎn),連接DE,將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A8ED,

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】AO與BE的位置關(guān)系是；

(2)【思考表達(dá)】連接3'C,判斷/DEC與NB'CE是否相等，并說明理由；

(3)如圖(2),延長(zhǎng)。C交于點(diǎn)G,連接EG,請(qǐng)?zhí)骄?EG的度數(shù)，并說明理由；

(4)【綜合運(yùn)用】如圖(3),當(dāng)/3=60。時(shí)，連接EC,延長(zhǎng)DC交于點(diǎn)G,連接EG,請(qǐng)寫出BC、EG、

OG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)AO〃〃E；

⑵NDEC=NB，CE,理由見解析；

(3)ZZ)EG=90°,理由見解析；

(4)DG2=EG2+^B'C2,理由見解析.

16

【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；

(2)連接B'C,BB'，由￡B=EC=E3'可知點(diǎn)2、8,、C在以3c為直徑,E為圓心的圓上，則/B3'C=90。,

由翻折變換的性質(zhì)可得班DE,證明DE〃CB',可得結(jié)論；

(3)連接BC,DB,DB',延長(zhǎng)DE至點(diǎn)H,求出NDG4'=180。一2元-y,ZGB'C=90°-^y-x,可得

ZCGA=2ZGB'C,然后證明GC=GB"可得EGLCBL進(jìn)而得到DELEG即可解決問題.

(4)延長(zhǎng)DG交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作DRLG4'交GA'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，設(shè)GC=G3'=x,

CD=AD=A'B'=2a,解直角三角形求出A'R=a,DR=島,利用勾股定理求出x=ga,然后根據(jù)相似

47

三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出距'=§〃，DE=嚴(yán),再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)

論.

【詳解】(1)解：：在菱形ABCD中，AD//BE,

：.由翻折的性質(zhì)可知，AD//B'E,

故答案為：AD//B'E；

(2)解：ZDEC=ZB'CE,

理由：如圖，連接B'C,BB'，

為2C中點(diǎn)，

EB=EC=EB',

；.點(diǎn)B、B'、C在以BC為直徑,E為圓心的圓上，

/M'C=90。，

BB'±B'C,

由翻折變換的性質(zhì)可知BB'±DE,

DE//CB',

：.ZDEC=ZB'CE■,

(3)解：結(jié)論：Z￡)￡G=90°；

理由：如圖，連接B'C,DB,DB',延長(zhǎng)DE至點(diǎn)H,

由翻折的性質(zhì)可知ZBDE=ZB!DE,

設(shè)ZBDE=NB'DE=x,ZA=ZA'=y,

???四邊形ABCO是菱形，

ZADB=ZCDB=ZB'DA',ZABC=180°-y,

ZADG=ZBDB'=2x,/DBE=NDB'E=90。-2

2

NOGA'=180°—2x—y,

NBEB'=ZBEH+/B'EH=ZDBE+ZBDE+/DB'E+ZBrDE=90°-^+x+90°-^+x=180°-y+2x,

?：EC=EB'，點(diǎn)、B、B\。在以5C為直徑方為圓心的圓上，

ff

???AEB'C=ZECB=|ZBEB=90°-^y+x9

,:ND〃BE,

：.ZA5E=180。—y,

ZGBrC=NABE-ZEBfC=180。一y一190。—；y+x]=90。—gy一x,

???ZCGA=2ZGBrC,

■:ZCGA=NG?C+NGCE,

:.ZGBfC=ZGCB\

：.GC=GB,

EBr=EC,

：.EG工CB，,

,:DE〃CB,

:.DELEG,

：.ZDEG=9Q0；

49

(4)解：結(jié)論：DG2=EG2+—B'C2,

理由：如圖，延長(zhǎng)DG交E9的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作。RLG4'交GA'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,

設(shè)GC=G5'=x,CD=AO=A5'=2a,

,/ZB=60°,

???ZA=ZDABr=120°,

：.ZDArR=60°,

AR=ArZ）-cos60°=a,DR=6a，

在RtADGJ?中，則有（2a+x）2=（耳『+（3Q-x）2,

,4

,?x=—a,

r4f6

：.GB=-a9AG=-af

,:TBr//DA,

：?ABTG?A/VOG,

,TBfGBr

??市一市’

4

TBr_~sa

5

4

TBr=-a

3f

,:CB〃DE,

4

.CBrTBr3a4

7

DE=—CB'，

4

VZDEG=90°,

：?DG2=EG2-^DE2,

4Q

DG2=EG2+—BrC2.

16

12.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）操作探究題

i8oy

（1）已知AC是半圓。的直徑，NAOB——（〃是正整數(shù)，且〃不是3的倍數(shù)）是半圓。的一個(gè)圓心角.

n

180V

操作：如圖1,分別將半圓。的圓心角NAO8=——（〃取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用

n

圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

n=5n=10

圖1

從上面的操作我發(fā)現(xiàn),就是利用60n、播f所對(duì)的弧去找喀°的三分

之一即用?所對(duì)的孤.

___________________________________________________________________-

（180、。

交流：當(dāng)〃=11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角=所對(duì)的弧三等分嗎？

我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4x「魯丫-60。書少

我再試試：當(dāng)”=28時(shí),圈|°、60?、匿|°之間存在數(shù)量關(guān)系

因此可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙408=〔翦:所對(duì)的弧三等分.

180V

探究：你認(rèn)為當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角14。2=—所對(duì)的弧三等分？說

n

說你的理由.

（2701°

（2汝口圖2,3的圓周角N尸加。=［?。?為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧CO（要

求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

【答案】（1）作圖見解析；交流:

探究：正整數(shù)"（"不是3的倍數(shù)），理由見解析

（2）作圖見解析

【分析】（1）由操作可知，如果（空）?？梢杂?0。與（竺2）。的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分

nn

（270V

（2）將圓周14等分就是把=1一廠J所對(duì)的圓周角NQOP所對(duì)弧三等分即可，給出一種算法:

°-5402X2=?

8077

【詳解】（1）操作：

圖中的C點(diǎn)即為三等分點(diǎn)

圖中的。點(diǎn)即為三等分點(diǎn)

探究：設(shè)60°一（等°=［引°，解得〃=3左+1（左為非負(fù)整數(shù)）.

或設(shè)［詈1°-60。=［等°,解得九=3"1（%為正整數(shù)）.

180、。

所以對(duì)于正整數(shù)"(〃不是3的倍數(shù))，都可以僅用圓規(guī)將半圓。的圓心角44。3=—所對(duì)的弧三等分;

n

3.(2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題)已知：△ABC中，D為邊上的一點(diǎn).

(1)如圖①，過點(diǎn)。作。交AC邊于點(diǎn)E,若AB=5,BD=9,DC=6,求。E的長(zhǎng)；

(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)尸，使/。朋=/A；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(3)如圖③，點(diǎn)尸在AC邊上，連接8RDF,若/。磯=NA,△EBC的面積等于(CZ)?A3,以即為半徑

作。尸，試判斷直線BC與。尸的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴2

(2)圖見詳解

(3)直線3C與。尸相切，理由見詳解

【分析】(1)由題意易得WCD=2[,則有C然D后2根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；

BD3Co5

(2)作。T〃AC交A8于點(diǎn)T,作NTDF=NATD,射線。/交AC于點(diǎn)E則點(diǎn)B即為所求；

(3)作以〃CF交尸O的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,連接CR,證明四邊形A8RE是等腰梯形，推出AB=FR,由CF//BR,

推出S/FBuSQRnjAaCDnjFRC。，推出C。，。凡然后問題可求解.

(1)解：'：DE//AB,

：?ACDESACBA,

,DECD

**AB-cF?

VAB=5,BD=9,DC=6,

.DE6

,?-----=-------?

56+9

，DE=2；

(2)解：作。T〃4C交AB于點(diǎn)T,作NTDP=NATD,射線。F交AC于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求;

如圖所示：點(diǎn)歹即為所求，

(3)解：直線8C與。尸相切，理由如下：

作交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,連接CR,如圖,

ZDFA=ZA,

四邊形是等腰梯形，

AB=FR1

'：AFBC的面積等于LCD?A8,

2

：

.S△CFroR=SACrFZVK=2-ABCD2=-FRCD,

CD±DF,

:尸。是。尸的半徑，

直線BC與。P相切.

4.(2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)(1)如圖1,在AABC中，ZACB=2NB,CD平分，ACS,交A8于

點(diǎn)。，DE//AC,交BC于點(diǎn)、E.

圖1

3

①若DE=1,BD=~,求BC的長(zhǎng)；

2

②試探究笑一線是否為定值.如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

ADDE

(2)如圖2,/C3G和NBC尸是△ABC的2個(gè)外角，/BCF=2/CBG,CD平分NBCF,交AB的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)。，DE//AC,交C3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.記△AC。的面積為加，△(?￡)￡的面積為邑，△出定的面積為

9

邑.若48二7對(duì)，求cosNCBD的值.

16

圖2

QAZ?RFO

【答案】(1)①3C=J；②是定值，定值為1；(2)cosZCBD=-

4ADDE8

【分析】(l)①證明ACEDSACDB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

ADADRF

②由可得:=由①同理可得CE=DE,計(jì)算不丁；^;=1;

ADDEADDE

5.ACBCS.BEBCBC9

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得寸=后=,，又寸=左，則」^二應(yīng)，可得

匕DE

%D.d2Crsd2CE16

設(shè)則.證明可得過點(diǎn)。作。于凡分別求得

5C=9x,CE=16x△CDgs/Xca),CD=12x,HJL5CBDBH,

進(jìn)而根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】(1)①???。。平分NACB,

??.ZACD=ZDCB=-ZACB.

2

?.?ZACB=2ZB,

:.ZACD=/DCB=/B.

3

???CD=BD=~.

2

DE//AC,

：.ZACD=ZEDC.

：.ZEDC=ZDCB=ZB.

：.CE=DE=1.

:.ACEDS^CDB.

.CE_CD

,9~CD~~CB'

9

???BC=-.

4

@VDE//AC,

.AB_BC

由①可得CE=DE,

.ABBC

**AD-DE'

.ABBE_BCBECE1

?ADDEDEDEDE

???M—是定值'定值為1.

ADDE

(2)VDE//AC,

:./\BDE^/\BAC

BCABAC

,~BE~BD~DE

S,ACBC

?,sjDEBE,

..S3BE

?~sl~~CE"

.S/S3_BC

*'5^-CE,

9

又???s.s=-s^9,

13lo

.BC_9

**CE-16"

設(shè)5c=9x,則CE=16x.

?:CD平分NBCF,

：.ZECD=/FCD=-ZBCF.

2

■:/BCF=2/CBG,

：.ZECD=ZFCD=4CBD.

???BD=CD.

■:DE//AC,

：./EDC=/FCD.

:./EDC=NCBD=/ECD.

：.CE=DE.

■:NDCB=/ECD,

：.ACDB^ACED.

.CDCB

??丘一五，

CD2=CBCE=144x2.

：.CD=12x.

如圖，過點(diǎn)。作。于此

5.（2022.江蘇連云港.統(tǒng)考中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)

三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中NACB=NDEB=90。，NB=3O。，BE=AC=3.

【問題探究】小昕同學(xué)將三角板岫繞點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

A

E

圖3圖4

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時(shí)，延長(zhǎng)DE交8c于點(diǎn)尸，求所的長(zhǎng).

(2)若點(diǎn)C、E、。在同一條直線上，求點(diǎn)。到直線BC的距離.

(3)連接DC,取。C的中點(diǎn)G,三角板DEB由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、。首次在同一條直線上

(如圖3),求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

(4)如圖4,G為。C的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線A2的距離的最大值是

【答案】⑴28

⑵#±1

小

(3)——

6

(4)拽

4

【分析】(1)在放△8所中，根據(jù)余弦的定義求解即可；

(2)分點(diǎn)E在8c上方和下方兩種情況討論求解即可；

(3)取3C的中點(diǎn)。，連接GO,從而求出OG=g,得出點(diǎn)G在以。為圓心，6為半徑的圓上，然后根

據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；

(4)由(3)知，點(diǎn)G在以。為圓心，白為半徑的圓上，過。作于X,當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)

線上時(shí)，GH最大,即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大，在中求出0H,進(jìn)而可求GH

【詳解】(1)解：由題意得，"EF=NBED=90°,

BF

「在HrABE尸中，ZABC=30°,BE=3cosZABC=——

BF

3

BF=———=26.

cosZABCcos30°

(2)①當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)，

如圖一，過點(diǎn)。作垂足為//,

AD

E

B

圖1

:在AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=3,

Ar1

：.tanZABC=—,

BC

AC3

BC==30.

tanAABCtan30°

?:在ABDE中,ZDEB=90°,/DBE=ZABC=30。,

DF

BE=3,tanZDBE=—

BE

???DE=BE-tan30°=^.

;點(diǎn)C、E、。在同一直線上，且"￡B=90。，

ZCEB=180°-NDEB=90°.

又：在△CBE中，ZCEB=90°,BC=36,BE=3,

CE=y/BC2-BE2=372>

:.CD=CE+DE=38+8

:在△BCD中，SABOT=^CDBE=^BCDH,

：.DH=CDBE=^6+1.

②當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí),

如圖二，

A

M

C'、、

D

圖2

在ABCE中，VZCEB=90°,BE=3,BC=373,

CE=VfiC2-fi￡2=30?

:.CD=CE-DE=3&S

過點(diǎn)。作加垂足為M.

在ABDC中，SABDC二BCDM=gcDBE，

:.DM=R1.

綜上，點(diǎn)D到直線8C的距離為#±1.

GO=-BD=y/3

則2

圖3

二點(diǎn)G在以。為圓心，6為半徑的圓上.

當(dāng)三角板DEB繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D首次在同一條直線上時(shí),點(diǎn)G所經(jīng)過的軌跡為150°

所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為空'2%'君=逑萬.

3606

/.點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為更力.

6

（4）解：由（3）知，點(diǎn)G在以0為圓心，6為半徑的圓上,

如圖四，過。作。于H,

A

/

圖4DE

當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大,即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大,

在放A8。“中，ZBHO=90°,ZOBH=30°,BO=-BC=—,

22

OH=BO-sinZOBH=—?sin30°=—,

24

/.=+=+—=—,

44

即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值為拽.

4

在模型檢測(cè)

1.(2022.江蘇泰州?模擬)過三角形的頂點(diǎn)作射線與其對(duì)邊相交，將三角形分成兩個(gè)三角形.若得到的兩個(gè)

三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“友好分割線”.

(1)下列三角形中，不存在“友好分割線”的是(只填寫序號(hào)).

①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為150。的等腰三角形.

(2)如圖1,在AASC中，ZA=60°,4=40。，直接寫出AABC被“友好分割線”分得的等腰三角形頂角的度

數(shù)；

(3)如圖2,AABC中，ZA=30°,。為AB邊上的高，BD=2,E為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線/交AC于

點(diǎn)、F,作CM，/,DNLI,垂足為M,M若射線CD為AABC的“友好分割線”，求CN+DN的最大值.

【答案】⑴②

(2)20°,40°,60°,80°或100°

(3)4

【分析】(1)根據(jù)“友好分割線”的定義判斷即可；

(2)分三種情形：當(dāng)“友好分割線”經(jīng)過點(diǎn)C,當(dāng)“友好分割線”經(jīng)過點(diǎn)A,當(dāng)“友好分割線”經(jīng)過點(diǎn)8,分別畫

出圖形求解即可；

(3)證明ADNEMAAGEIASA),推出Z)N=AG.在RtdG尸和Rt^CMF中，ZCMF=—AGF=90。推出

CM<CF,AG<AF,推出C0+AGWCF+AT,即C0+AGWAC,由此可得結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)“友好分割線”的定義可知，

如圖，等腰直角三角形，頂角為150。的等腰三角形存在“友好分割線”.

等邊三角形不存在“友好分割線

故答案為：②；

(2)Q?A60革匕8=40?,

\1ACB180?60?40?80?,

如圖，

當(dāng)EC=E4時(shí)，^AEC=60°,

當(dāng)FC=P3時(shí)，Z3FC=100。,

當(dāng)BC=BG時(shí)，NB=40。.

如圖,

當(dāng)C4=CW時(shí)，/C=80。,

如圖，

綜上所述，滿足條件的等腰三角形的頂角的度數(shù)為：20。，40°,60°,80?；?00。；

(3)解：如圖2中，作AG，/于點(diǎn)G.

?.NCDB=ZCDA=90°.

ZACD=90°—/A=60°.

AGM不是等腰三角形.

：C。為AABC的“友好分割線”，

???陽和AQM中至少有一個(gè)是等腰三角形.

...△CD3是等腰三角形，且CD=30=2.

/A4c=30。，

AC=2CD=4.

,?DN上I于N,

NDNE=NAGE=90°.

為A￡）的中點(diǎn),

/.DE=AE.

在AQNE和AAGE中,

AAGE=ZDNE

<DE=AE

ADEN=ZAEG

ADAE^AAGE(ASA),

：.DN=AG.

在Rt^AGF和RIACMF中,ZCMF=ZAGF=90°,

：.CM<CF,AG<AF,

：.CM+AG<CF+AF,

即CM+AGWAC,

二CM+DN<4,

CM+DN的最大值為4.

2.（2022.江蘇無錫?校考二模）如圖1,在矩形A3CD中，AB=4,BC=5,點(diǎn)E在AZ）上，ED=3.動(dòng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)8出發(fā)沿BC方向以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作P尸〃CE,與邊54交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸

BC,與CE交于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)b與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)尸停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

⑵如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)當(dāng)尸G恰好過點(diǎn)。，時(shí)，求，的值.

（3）如圖3,作△尸GP的外接圓當(dāng)點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)過程中.

①當(dāng)外接圓。。截線段CE所得線段GQ=FP時(shí)，請(qǐng)求出f的值；

②當(dāng)外接圓。O的圓心。落在A/GP的內(nèi)部（不包括邊上）時(shí)，直接寫出，的取值范圍.

【答案】⑴書,5t

7

（2*=二時(shí)，M落在尸G上.

⑶①”*■或"至也二”；②當(dāng)梟忑時(shí)，外接圓。。的圓心。落在的內(nèi)部.

3441346

PFRFRP

【分析】⑴由APFBSAECD,得名=差=黑，由此即可解決問題.

ECCDDE

(2)如圖2中，由ADMGSACDE,得萼=絲，求出MG,根據(jù)PB=CG=CM-MG,列出方程即可解決

CDED

問題.

(3)①需要對(duì)四邊形GQFP進(jìn)行分類討論，當(dāng)為一般的矩形時(shí)和為特殊的正方形兩種情況進(jìn)行討論；②需

要分情況討論，當(dāng)？FPG90?時(shí)，當(dāng)NFGP=90。時(shí)，求出兩種特殊位置/的值即可判斷.

【詳解】(1)解：如圖1中，

圖1

四邊形ABCD是矩形，

AB=CD-4,BC=AD=5>ZB=ND=90。，AD//BC,

在Rt/XECD中，???ND=90。，ED=3.CD=4,

:.EC=^ED1+CD1=5，

?；PF〃CE,FG〃BC,

二?四邊形尸F(xiàn)GC是平行四邊形，

:.ZFPB=ZECB=ZDEC,

:APFBSAECD,

.PFBFBP

"~EC~^D~~DE'

?PF_BF_3/

,,==，

543

BF=4-t,PF=5t,

故答案為務(wù)，5t.

(2)解：如圖2中,

國(guó)2

，D、W關(guān)于CE對(duì)稱,

:.Diy±CE,DM=MD,

-.DE.DC=-.EC.DM,

22

:.DM=D'M,CM=-JCD2-DM2=y

D'MMG

由ADMGSACDE,得

CDED

12

50_MG,

43

9

5

.-.PF=CG=CM-MG,

u169

..5t=-------

55f

7

t=—.

25

7

不時(shí)，次落在FG上.

(3)解：①當(dāng)外接圓。。截線段CE所得線段GQ=EP時(shí),

■.■GQ//FP,

.?.GQFP為平行四邊形，

???￡P(guān),G,Q四點(diǎn)都在圓上，則圓心到四點(diǎn)的距離相等，

四邊形GQW為矩形或正方形，

當(dāng)四邊形GQFP為矩形時(shí)，

:.ZFPG^90°,

在RUFBP和RUPGC中,

?：FP//EC,

ZFPB=ZPCG,

/.Rt^FBPsRt/GC,

.FPBP

^PC~~CGJ

由(1)(2)可得：FP=5t,PC=5—3t,BP=3t,CG=5t,

5t_3t

5—3/5t

解得：f=ll

當(dāng)四邊形GQFP為正方形時(shí)，

：.FP=GP=5t,FG=PC=5—3t,

FG2=FP2+GP2

(5-3r)2=(5r)2+(5r)2

解得：Z=25A/2-15；

41

,當(dāng)外接圓。。截線段CE所得線段GQ=FP時(shí)，r=￥250-15

34-41-

②如圖6中，當(dāng)？FPG90?時(shí)，

如圖7中，當(dāng)NFGP=90。時(shí),

t=一5,

6

觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，外接圓。。的圓心。落在AFGP的內(nèi)部.

346

3.（2022.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考一模）【探究發(fā)現(xiàn)】

在AASC中，ZACB=90°,AC=BC,/是邊AC上一點(diǎn)，將AABM沿折疊得到ANBM.如圖1,若BN

與線段AC相交，連接⑷V、CN,在8M上取一點(diǎn)尸，使/5CP=NACN,CP交BN于點(diǎn)、Q,①證明：

ZNAC=ZMBC；②探究CP與CN的數(shù)量關(guān)系，并寫出探究過程；

【類比學(xué)習(xí)】

如圖2,在AASC中，ZACS=90°,tan/84C=〃，/是邊AC上一點(diǎn)，將AABM沿折疊得到ANSM,

CP

若BN與線段AC相交，連接⑷V、CN,在創(chuàng)1上取一點(diǎn)尸，使/BCP=NACN,CP交BN于點(diǎn)Q,—=

CN-

（用含n的式子表示）；

【拓展應(yīng)用】

在前面的發(fā)現(xiàn)和探究的經(jīng)驗(yàn)下，當(dāng)〃=變時(shí)，/是AC的中點(diǎn)時(shí)，若AN-NQ=12,求CP的長(zhǎng).

2

圖1圖2

【答案】【探究發(fā)現(xiàn)】①見解析；②CP=CN,證明見解析；【類比學(xué)習(xí)】〃；【拓展應(yīng)用】CP=2.

【探究發(fā)現(xiàn)】①設(shè)/鉆"=打，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求解即可；②通過證明ACPB2CW即

可求解；

【類比學(xué)習(xí)】通過證明求解即可；

【拓展應(yīng)用】延長(zhǎng)加交AN于點(diǎn)E,利用垂直平分線以及相似三角形的性質(zhì)得到KON2，設(shè)CP=X,

求得Ml、QN,即可求解.

【詳解】解：【探究發(fā)現(xiàn)】①設(shè)NABM=a,

由折疊的性質(zhì)可得：ZAPM=ZNBM=a,AB=BM

：.ZABN=2a.ZNAB=1(180°-ZABN)=90°-a,

VZACB=90°fAC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

：.ZNAC=ZNAB-ZCAB=45°-a,ZCBP=ZCBA-ZABM=45°-a,

：.ZNAC=ZMBC；

②在尸和△C4N中

ZBCP=ZACN

<ZNAC=ZPBC

AC=BC

：.^CBP^CAN(AAS)

：.CP=CN；

解：【類比學(xué)習(xí)】設(shè)NABM=a,ACAB=/3

由折疊的性質(zhì)可得：ZAPM=/NBM=a,AB=BM

：.ZABN=2a,ZNAB=1(180°-ZABN)=90°-?,

??.ZNAC=ZNAB-ZCAB=900-a-/3,

ZACB=9Q°,

：.ZABC=90°-/3,

：.ZCBP=ZABC-ZABM=900-a-/3,

：./CBP=ZNAC,

又?；/BCP=ZACN

：.ACPBS^NA,

,CPBC

**GV-BA；

在RLABC中，tanX.BAC=----=n；

BA

.CP_

??-----Yl;

CN

解：【拓展應(yīng)用】延長(zhǎng)5M交AN于點(diǎn)石,

則跳1垂直平分⑷V,

又???M為AC的中點(diǎn)

J.ME//CN,ME=-CN

2f

：.ZANC=ZAEB=90°fZBPC=ZNCP,/CNQ=/PBQ

,:ACPBSACNA,

：./CPB=NCNA=9H

CPi八CM

----=tanNCBP=----_-V|

BPBC_2

設(shè)CP=a則3尸=缶

?：4CPBS&CNA

.BCBPV2.c

---------=—,即HnANAT=2x,NE=x

ACAN2

..CPV2

?--=---

CN2

???CN=VL:,^CN=BP

??.△CQN%PQ3(ASA)

：.NQ=BQfBP=PE,即5￡=2后

._________3

由勾股定理可得：BN=^B它+N/=3x，NQ=-X

3

AN-NQ=2x--x=12,解得x=2,負(fù)值舍去，

即CP=2.

4.（2022?江蘇鹽城??？既＃┤绻粋€(gè)四邊形的對(duì)角線相等，我們稱這個(gè)四邊形為美好四邊形.

圖①圖②圖③

【問題提出】

（1）如圖①，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn),且滿足EB=EC,EA=ED,NBEC=ZAED,請(qǐng)說明四邊形ABCD

是美好四邊形；

【問題探究】

（2）如圖②，^ABC,請(qǐng)利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)。，使得四邊形ABCD是美好四邊形，且滿足

AD=皮）.保留作圖痕跡，不寫畫法；

（3）在（2）的條件下，若圖②中AABC滿足：ZABC=90°,AB=4,BC=3,求四邊形ABCD的面積；

【問題解決】

（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個(gè)信號(hào)塔分別建在A、B、C、。四處，現(xiàn)要求信號(hào)塔C建在公園內(nèi)一個(gè)湖

泊的邊上，該湖泊可近似看成一個(gè)半徑為200m的圓，記為G）E已知點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m,是

否存在這樣的點(diǎn)。，滿足AC=3D.且使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出最大值，若不存在，

請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2721+3;（4）存在，最大值為405000m2

【分析】⑴連接AC,功》,證明△ACE/S3E即可；

（2）分別以點(diǎn)AB為圓心，大于長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，連接兩弧交點(diǎn)，即作A2的垂直平

分線，以8為圓心，AC長(zhǎng)度為半徑畫弧交的垂直平分線于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為所作；

（3）過點(diǎn)。作小上至于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得==根據(jù)勾股定理求出AC,則

2

BD已知，然后根據(jù)S四邊形ABCD=^VABD+SvBCD進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）當(dāng)美好四邊形的對(duì)角線不垂直時(shí)，過點(diǎn)。作AC于點(diǎn)及過點(diǎn)區(qū)作MlAC于點(diǎn)尸，可得

DE+BF<BD-,當(dāng)美好四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，S四邊形=248+24理=lAC-（OD+O8）=gACB。，

^\^AC-（DE+BF）<^ACBD,則當(dāng)美好四邊形的對(duì)角線垂直時(shí)面積最大，從而解決問題.

【詳解】解：（1）連接AC3。,

A

BC

,：ZBEC=ZAED,

：.ZBEC+ZCED=ZAED+ZCED,即ZBED=ZAEC,

在△AEC和△DEB中,

AE=DE

ZAEC=/DEB,

EC=EB

:.AAEC、DEB0AS),

：.AC=BD,

/.四邊形ABCD是美好四邊形;

(2)如圖即為所作;

圖②

(3)過點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,

,:AD=BD,

/.AE=BE=-AB,

2

VZABC=90°,AB=4,BC=3,

AC=5,BE=—x4=2,

2

?.?四邊形ABCD為美好四邊形，

AC=BD=5,

DE=VBD2-BE2=752-22=國(guó)，

S.D=；.AB.DE=gx4x廳=2后,S^BCD=^BC-BE=^x3x2=3,

,,S四邊形鉆c￡>=S〉A(chǔ)BD+SABCD=2V21+3;

(4)存在，

當(dāng)美好四邊形的對(duì)角線不垂直時(shí)，

如圖，過點(diǎn)。作DE1AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作BR1AC于點(diǎn)尸，

則S四邊形ABCD=S-ACD+S&ACB=5AC.(DE+BF),

,/DE<DO,BF<BO,

/.DE+BF<BD,

'：-AC-(DE+BF)<-ACBD,

22

當(dāng)美好四邊形的對(duì)角線垂直時(shí)面積最大，

如圖，當(dāng)AC過圓心E,AC最長(zhǎng)，四邊形A3CD中，AC13。時(shí)，其面積最大,

;湖泊的半徑是200m,點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m,

???AC=500+200x2=900m，

111

29

力刑4Am=S+S=-AC-(OD+OB)=-ACBD=-X900X900=405000m.

四12形AHCOACAZCJD△AGAOCR2'，22

5.（2022?江蘇揚(yáng)州??？级＃?）【嘗試探究】已知Rt/XABC中，ZACB=90。，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，作

ZPOQ=90°,分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q,連接尸。.

①如圖1,若AC=BC,試探索線段"、BQ、瑯之間的數(shù)量關(guān)系;

②如圖2,試探索①中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；

（2）【解決問題】如圖3,已知RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，過C、。兩點(diǎn)

的圓分別交邊AC、BC于點(diǎn)P、Q,連接PQ,求△PCQ面積的最大值.

【答案】⑴①4尸+8。=尸。；?AP2+BQ2=PQ2,在一般情況下仍然成立，過程見解析

（2）當(dāng)彳=當(dāng)時(shí)，S,也。有最大值祟，即△PCQ面積的最大值為祟

69o9o

【分析】（1）①證明AAOP三ACOQ,求出AP=CQ,同理求出CP=BQ,勾股定理即可求出；②延長(zhǎng)。。至

D,使OAOQ,連接仞、PD,證明四邊形A。。。是平行四邊形，得出AD〃臺(tái)。AD=BQ,在RtAR4D

中，由勾股定理得：AP2+BQ2=PQ2,即可得答案;

(2)連接0尸、OQ,則ZPOQ=90。，由(2)知，AP2+BQ2=PQ2,設(shè)CP=x,CQ=y,推出

2s—3丫1

（6-x）02+（8-y）02=x2+y2,求出y=,代入口==：孫，用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.

【詳解】⑴解：①連接CO,

c

?.?△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)。是A5的中點(diǎn)，

/.AO=CO,ZA=ZOCQ=45°,COLAB,

???NR9Q=90。，

/.ZAOP=ZCOQf

「.△AO尸二△COQ,

:.AP=CQ,

AC=BC,

：.CP=BQ,

?.?NACB=90。，

:.CP2+CQ2=PQ2,

AP2+BQ1=PQ2；

②4尸2+5。2=尸。2仍然成立，

如下圖，延長(zhǎng)。。至。，使。。=。。，連接AZ）、PD,

????、。?；ハ嗥椒郑?/p>

.??四邊形AD3Q是平行四邊形，

:.AD//BQ,AD=BQ,

???ZC=90°,

:.ZPAD=90°f

AP2+BQ2=AP2+AD2=PD2,

???R9垂直平分。。，

■.PQ=PD,

AP2+BQ2=PQ2；

（2）如下圖，連接OP、OQ,

?l-ZC=90°,過C、。兩點(diǎn)的圓分別交AC、3c于點(diǎn)尸、Q,

■■P。是圓的直徑，

，NPOQ=90°,

由(2)知，AP2+BQ2=PQ2,

設(shè)CP=x,CQ=y,

貝IJAP=6_x,BQ=8-y,

（6-x）-+（8-y）2=x2+y2,

,?,S"C2=g孫，

。125-3x3f25丫625

..S=-X,---------=X------H----------,

iPpCrne248(6J96

.?.當(dāng)x=之時(shí)，S"有最大值察，即△PC。面積的最大值為票.

OVO90

6.(2022?江蘇揚(yáng)州??？既?如圖1,在一平面內(nèi)，線段AB=12,M、N是線段A3上兩點(diǎn)，且

AM=BN=\.點(diǎn)C從點(diǎn)M開始向終點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)，分別以AC,3c為邊在線段A3同側(cè)作等邊AACD和等邊

ABCE.

圖1圖2

EE

MC

(1)直接寫出8和BE位置關(guān)系：___________;

(2)如圖2,連接AE,BD,求證：AE=BD；

(3)如圖3,設(shè)DE的中點(diǎn)為P,在點(diǎn)C從點(diǎn)M開始運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)N的過程中，求點(diǎn)P移動(dòng)路徑的長(zhǎng);

(4)如圖4,點(diǎn)G、點(diǎn)H分別是8、3E的中點(diǎn)，求當(dāng)線段G”取得最小值時(shí)"CE的面積.

【答案】(1)互相平行

(2)見解析

⑶5

(4匣

【分析】(1)由N4CD=NCBE=60?可知；

(2)通過證明AACE絲即可；

(3)分別過DE作A3的垂線構(gòu)造直角梯形，點(diǎn)尸為直角梯形的中位線的一個(gè)端點(diǎn)，由該直角梯形上底與

下底之和為定值，

則知點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)軌跡為一條平行于A3的線段，分別計(jì)算運(yùn)動(dòng)開始與結(jié)束的位置即可；

(4)通過構(gòu)造有關(guān)GH長(zhǎng)度變化的表達(dá)式，計(jì)算GH最短時(shí)點(diǎn)C的位置即可.

【詳解】(1)???△ACD與ABCE都為等邊三角形，

ZACD=NCBE=60?,

.-.CD//BE(同位角相等，兩直線平行)，

故答案為：互相平行.

(2),??△ACE與△DCB都為等邊三角形，

AC=DC,CE=CD,NACE=ZDCB=ZDCE+60?,

???在AACE與ADCB中有：

AC=DC

，NACE=ZDCB

CE=CD

AACE^DCB(SAS),

AE=BD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)，

故命題得證.

(3)如下圖所示：過點(diǎn)。作垂足為/,過點(diǎn)尸作垂足為衣,過點(diǎn)E作EO_L至垂足為。,

由作圖知：線段網(wǎng)為直角梯形。/OE的中位線，

PR=：(￡>/+E0),

DI=—AC,EO^—BC,

22

PR=；(￡?/+EO)=￥(AC+BC)=乎AB=3A/3,

點(diǎn)尸的路徑為一條平行于AB的線段，

當(dāng)AC=1時(shí)，AI=-AC=0.5,同理，BO=-BC=5.5,

22

：.IO=AB-AI-BO=6,

：.IR=-IO=3,

2

，此時(shí)，AR=AI+IR=3.5,

當(dāng)AC=11時(shí)，A/=gAC=5.5,同理，BO=\BC=0.5,

：.IO=AB-Al-BO=6,

：.1R=-IO=3,

2

此時(shí)，AR=AI+IR=8.5,

由上兩種位置計(jì)算可得：R移動(dòng)距離為8.5-3.5=5,即點(diǎn)P移動(dòng)距離為5,

故答案為：5.

(4)如下圖所示：分別過G"作AB的垂線，構(gòu)造直角梯形GAZH,由已知條件及作圖知,

CK=-AC,KG=—AC,CL=-BC,HL