重慶市銅梁某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

高三10月月考數(shù)學(xué)試題

第I卷（選擇題，共58分）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合人”,2,3,4,},3={九2一尸6<0},則人口人（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式得集合5,再由交集定義求解.

【詳解】?/3={x|x2-x-6<0j={%|-2<%<3）,/.Ar|5={l,2}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，掌握一元二次不等式的解法是解題關(guān)鍵.本題屬于基礎(chǔ)題.

2.若「為第二象限角，則（）

A.sin2a>0B.cos2a<0C.sincr—coscr>0D.sincr+cos6Z<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)角a的范圍可取特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，再由第二象限正弦、余弦值的符號(hào)可得C正確.

7兀7兀

【詳解】若a為第二象限角，當(dāng)。=——時(shí)，可得2a=—在第四象限，此時(shí)sin2a<0,cos2a>0,

84

即A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；

當(dāng)&=’時(shí)，可得sina+cosa=——+------=0,即D錯(cuò)誤；

42I2J

由a為第二象限角可得sina>0,cosa<0,所以sine—cosa>0,即C正確.

故選：C

3.下列命題為真命題的是（）

A.命題“Hr>1,x2+2x+3=0"的否定是"Vx<+2x+3w0”

B.若a>b,貝！lac?〉/?。?

c.y(x)=工的單調(diào)減區(qū)間為(—,o)u(o+8)

D.Y+x—2>0是x>l的必要不充分條件

【答案】D

【解析】

【分析】利用存在量詞命題的否定判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷C；利用充分條件、

必要條件的定義判斷D.

【詳解】對(duì)于A,命題“三%>1,%2+2%+3=0”的否定是“VX〉1,X2+2X+3W0”，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a>b,當(dāng)c=0時(shí)，ac1=bc?，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=’的單調(diào)減區(qū)間為(一。,0),(0+8),C錯(cuò)誤；

X

對(duì)于D,d+x—2>0QX<—2或%>1,因此爐+才―2>。是％>1的必要不充分條件，D正確.

故選：D

4.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒(TaylorBrook)以微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒提

357

出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù),泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù),sin%=x-—+---—+

3!5!7!

357

其中〃!=1義2義3義…><〃.根據(jù)該展開(kāi)式可知，與2—土2+土2—土2+…的值最接近的是()

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

【答案】C

【解析】

【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.

【詳解】原式=sin2標(biāo)sin(2x57.3°)=sin(90°+24.6°)=cos24.6°,

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=liu+@(aeR)的最小值為1,則a=()

x

11

A.—B.eC.—D.1

e2

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，從而求出了(%)的單調(diào)區(qū)間，即可求解函數(shù)的最值求解.

【詳解】函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+8)，7?'(1)='—===,

XXX

當(dāng)aW0時(shí)，/'(X)>0在(0,+8)內(nèi)恒成立，所以函數(shù)/(%)在(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)，此時(shí)/(%)無(wú)最小值,

當(dāng)a>0時(shí)，由/''(%)>。，得x>a,由/''(x)<0得0<尤<。

二函數(shù)/(%)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)，在3,內(nèi))內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)了=。時(shí)，/(%)取最小值，

即/⑺皿=/(a)=lna+l=L故a=l,

故選：D

(JT71\I

6.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)[A〉O,0〉O,-5<o<5j的部分圖像如圖所示，若則

吁+7片.

一;一；

2277

A.——B.-C.——D.-

9999

【答案】D

【解析】

從而得/(^)-s^nf

【分析】先由圖像以及題意求出/(x)的解析式，

5兀1.1c兀)兀

f\20---=sin2—O+—+—,

I3JL123)2]進(jìn)而依據(jù)它們的角的關(guān)系結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.

J3.71兀一心71

【詳解】由圖可知A=l,/(0)=sin°=,由——<夕<一可知夕=一,

2223

7147171

故f(%)=sin(4v+—),又由圖sin(yco+-)=0,

4兀31

故由圖一co+—=2kn+n,kGZ,=>(o=—Z+—①,

3322

?罰4兀c/T.2兀、8兀/3公

由圖----0<—,nT=——>—neo<一②，

32834

1171

又。>0,結(jié)合①②可得0=5,故〃x)=sin(e九+可)，

所以/(，)=sinm

故選：D.

7.已知函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的定義域及值域均為[―。悶(。＞0),它們的圖像如圖所示，則函數(shù)

y=/(g(x))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)，再結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】由題意，知函數(shù)y=/(g(x))的零點(diǎn)，即方程/(g(x))=0根.

^g(x)=t,t^[-a,a],則/(g(x))=/寸)=0.

當(dāng)。,0]時(shí)，滿足方程/⑺=0的，有2個(gè)，此時(shí)g(尤)=/有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)時(shí)，滿足方程/⑺=0的/有1個(gè)，此時(shí)g(九)=/有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

綜上可知方程f(g(⑼=0共有6個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=/(g⑺)共有6個(gè)零點(diǎn).

故選：D

COSX

8.已知函數(shù)/(%)二——，若A,B是銳角VA5C的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是()

A./(sinA)>/(sinB)B./(cosA)>/(cosB)

C./(sinA)>/(cosB)D./(cosA)>/(sinB)

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得—8>0,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出cosA<sin5,由/(%)的單調(diào)性

即可判斷選項(xiàng).

-、cosxll…「，/、-xsinx-cosx

【詳解】因?yàn)?(%)=----，所以/(%)=--------.------,

XX

當(dāng)時(shí)，sinx>0,cosx>0,所以',皿：。。‘九口。,即尸(工)<(),

所以/(%)在3上單調(diào)遞減

TTJTJT

因?yàn)锳,3是銳角VA3C的兩個(gè)內(nèi)角，所以A+5〉一，則一>A>——B>0,

222

因?yàn)閥=cosx在［o,：］上單調(diào)遞減，

IJIjJI

所以0<cosA<cosI--5l=sinB<l<-^,

故/(cosA)>/(sinB),故D正確.

同理可得/(cos5)>/(sinA),C錯(cuò)誤；

而的大小不確定，故sinA與sin8,cosA與cos3的大小關(guān)系均不確定，

所以/(sinA)與/(sin3),/(cosA)與/(cos3)的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.

故選：D

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若。》〉0,則下列各式中，一定成立的是()

1al.

A.lg(")=lg“+lgbB.lg-=lgalgZ?

b

D.Ig/abj=glg(ab)

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可一一判斷各項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)。＜0,》＜0時(shí)，等式右邊無(wú)意義，A錯(cuò);

對(duì)于B：當(dāng)。＜0,》＜0時(shí)，等式右邊無(wú)意義，B錯(cuò)；

對(duì)于C：v^＞0,.-.1lgM=咤,C正確；

對(duì)于D：;ab>0,:.1g0(abj=lg(ab)3=；lg(a。),D正確.

故選：CD.

10.對(duì)于函數(shù)/（%）定義域中任意的七戶2（%WX2），有如下結(jié)論，①（%-％2）（/（石）一/（尤2））＞0，②

/（%—2）+/（2—%）=0,③叫""）,④/（2%）+/（2+2%）=0.下列函數(shù)能

同時(shí)滿足以上兩個(gè)結(jié)論的有（）

A./0）=身B.〃x）=sin[x]

C.〃x）=e'D.f（x）=x3

【答案】BCD

【解析】

【分析】先對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行解讀，得出函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性和凹凸性，對(duì)選項(xiàng)一一判斷，即得結(jié)

果.

【詳解】由①（%―七乂/■（石）一/（%））＞0可得，函數(shù)八％）在定義域內(nèi)增函數(shù)；

由②“%—2）+/（2—%）=0可得，〃尤）+/（—%）=0,即函數(shù)〃可為奇函數(shù)；

由③生產(chǎn)]＜/（%）；/（乙）可得,函數(shù)7（%）的圖象向下凸.；

由④〃2%)+/(2+2%)=0可得，/(x+2)=-/W,

即“X+4)=-y(x+2)=/(x),說(shuō)明函數(shù)了(%)的周期為4.

對(duì)于A,函數(shù)/(x)=hw不是奇函數(shù)，圖象向上凸，也沒(méi)有周期，故排除；

(兀、T=—=4

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=sin,X是奇函數(shù)，且周期為"一工一,故符合要求；

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=e*在R上單調(diào)遞增，且其圖象向下凸，故符合要求；

對(duì)于D,/(x)=%3是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故符合要求.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=sin，x+m],下列說(shuō)法正確的是()

27r

A."%)的最小正周期為彳

B.點(diǎn)為圖象一個(gè)對(duì)稱中心

兀兀1、反

C.若/(x)=a(aeR)在xe上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則當(dāng)＜。＜1

L189J2

D.若了⑴的導(dǎo)函數(shù)為尸⑴，則函數(shù)y=〃％)+1(%)的最大值為加

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,直接由周期公式即可判斷；對(duì)于B,直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于C,畫出圖形，通過(guò)數(shù)形

結(jié)合即可判斷；對(duì)于D,求得后結(jié)合輔助角公式即可得解.

27c

【詳解】由題意可得7=]，故A正確；

f-ksin—=-^0,所以不是“力圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；

c兀?兀兀/0兀,2兀

令A(yù)％=3%+—,由----＜一得一——，

318963

IJr]717c

根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為直線y=a與曲線/(%)=sin3%+耳，xe有兩個(gè)交點(diǎn),

i

4

y=sin(3x+yy1

2

■>

717171x

18189

數(shù)形結(jié)合可得走Wa<1，故C正確;

2

設(shè)廣⑺為〃尤)的導(dǎo)函數(shù),

貝1J/(x)+/〈x)=sin(3x+-|-j+3cosf3x+g)=A/lOsinf3x+-|-+^其中tan0=3,

JTJTsjrOJzjr

當(dāng)且僅當(dāng)3x+—+°=—+2E,左eZ,即當(dāng)且僅當(dāng)％=—=+—+—，AeZ時(shí)等號(hào)成立，故D正確,

323183

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.曲線/(%)=(x+l)e，在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為.

【答案】y=2無(wú)+1

【解析】

【分析】直接計(jì)算得到/(O)=l，f(0)=2,然后使用切線的定義即可.

【詳解】由/(x)=(x+l)e\知/'(x)=e*+(x+l)e*=(x+2)e".

所以/(O)=l,f(0)=2,故所求切線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)且斜率為2的直線，即y=2無(wú)+1.

故答案為：y=2x+l.

sin(兀一a)+cos(cr—兀)_

13.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3),貝：./兀一'7一""________.

sin(-+a)+cos(--a)

【答案】5

【解析】

3

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義可得tana=—-,再結(jié)合誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可求解.

2

3

【詳解】由角。終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,—3)可知：tan?=——,

2

sin（兀一a）+cos（a—兀）sina-cosatana-l

--------------------------------=--------=j

則sing+a）+cosg—a）cosa+sina1+tana-

故答案為：5.

14-設(shè)函數(shù)人加…’則使得不等式〃2x+l)-)成立的，的取值范圍是

【答案】FT

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性，利用函數(shù)性質(zhì)再解不等式即可.

【詳解】令y=ev+e-v,x>0,則y'=e'—0，

當(dāng)x>0時(shí)，ev>1>e~x<1，故6'—片”>0，即V>0,

故y=ev+e-x在［0,-H?)上單調(diào)遞增；

又y=lg(V+2)在［o,y)上單調(diào)遞增且函數(shù)值恒正，

1

所以y=一炮1+2)在10，+8)上單調(diào)遞增，

故y=在［0,+8)上單調(diào)遞增；

又/(%)的定義域?yàn)镽,且/(f)=「+e-=/+e--還號(hào)=/(力,

故/(%)為偶函數(shù)，

故〃2x+l)</(x—2)o/(|2x+l|)</(|x—2|)o|2%+l|<|%-2|,

也即(2x+l)2<(x—2)1

整理可得：3X2+8X-3<0.即(3X—1)(X+3)<0,

解得xe3,—.

故答案為：f_3,jj.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，在該公司的倉(cāng)庫(kù)中有甲產(chǎn)品7萬(wàn)件、乙產(chǎn)品3萬(wàn)件，按甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量

比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這10萬(wàn)件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為10的樣本，對(duì)樣本中的每件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)

量檢測(cè)，測(cè)得樣本中甲產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為一，乙產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為1.

(1)若從樣本中再隨機(jī)抽取3件進(jìn)行深度測(cè)試，求至少抽到2件乙產(chǎn)品的概率；

(2)若從樣本中的甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件，將抽到的這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)—

60

52

(2)￡(%)=—,分布列見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣方法可知，甲產(chǎn)品具有7件，乙產(chǎn)品具有3件，從這個(gè)容量為10的樣本中再隨

機(jī)抽取3件，可得抽取的方法種類為C；。，至少抽到2件乙產(chǎn)品的不同抽取方法種數(shù)為C；C；+C；,求出概

率；

(2)由題意知在這個(gè)容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品中有4件優(yōu)質(zhì)品，有3件不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品中有2件優(yōu)

質(zhì)品，有1件不是優(yōu)質(zhì)品，則X的所有可能取值為L(zhǎng)2,3,4,求出概率，寫出分布列，計(jì)算期望.

小問(wèn)1詳解】

73

由分層隨機(jī)抽樣方法知，抽取的容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品有10x—=7件，乙產(chǎn)品有10x—=3件，

1010

...從這個(gè)容量為10的樣本中再隨機(jī)抽取3件，不同抽取方法的種數(shù)為C：。，其中至少抽到2件乙產(chǎn)品的不

同抽取方法種數(shù)為C；C；+C；,

c1C2+C311

至少抽到2件乙產(chǎn)品的概率為一^~.

C：。60

【小問(wèn)2詳解】

由題意知在這個(gè)容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品中有7x；=4件優(yōu)質(zhì)品，有7-4=3件不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品

中有3x|=2件優(yōu)質(zhì)品，有3—2=1件不是優(yōu)質(zhì)品，則X的所有可能取值為1,2,3,4.

P(X=I)=CV7=—,p(x=2)=,

\211'C7C37

P(X=3)=J,p(x=4)=g=2

\'C；C；2117C；C；21

；.x的分布列為

X1234

2282

p

2172121

L/s,2c3c8,252

_E(X)—lxF2x—F3x---F4x—=—

v7217212121

16.設(shè)VA5C的內(nèi)角A民。的對(duì)邊分別為。，"c，已知sin（A+3）=2Gsii?g

（1）求角C的大小;

（2）若c=石，且VA3C的面積為,求VA3C的周長(zhǎng).

兀

【答案】（1）

⑵3+73

【解析】

【分析】U）由二倍角的正弦公式和弦切互化結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)可得;

（2）由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

由sin(A+3)=sinC=2A/5sin?g,

..cC、瓜.2c

..20sm-cos一=2v3sin一,

222

CnC

又0<。<兀,0<2<^,.?.sin—>0,

222

?.向/*4*得

【小問(wèn)2詳解】

由已知可得，S=La〃sinC=

2

可得4b2+a2-4ab=0,/.(2b-a)2=0,a=2b.

JT

又由余弦定理可得c2=3=b2+a2-2abcos-，

3

化簡(jiǎn)得，b2+a2—ab=3

聯(lián)立解得b=l,a=2,

所以VA3C的周長(zhǎng)為3+百.

17.如圖，在四棱錐P—A5C。中，AD//BC,ABA.AD,AB=AD=2,BC=L平面MB.

(1)求證：平面B4O；

(2)求PC的長(zhǎng)；

(3)若PD=L求直線E4與平面尸CD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)75

⑶處

19

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平面A45,ABu平面B45,通過(guò)線面垂直的性質(zhì)定理得到PD,A3,結(jié)合

AB1AD,利用線面垂直的判定定理得到ABL平面75Ao.

(2)取中點(diǎn)。，連接PO,CO,在三角形PC0中利用勾股定理求解.

(3)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C，而為X,y軸的正方向，以過(guò)。且與平面A3CD垂直向上為Z軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線外的方向向量西和平面PCD的法向量力，利用空間向量夾角余弦公式求

解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由？平面RW，ABu平面已45，得

又/WJLAD,且FDu平面4尸￡)，ADu平面4尸￡)，PD^AD=D，

所以AB,平面APQ.

【小問(wèn)2詳解】

取AD中點(diǎn)。，連接尸0,CO,由3C〃AO,且BC=AO,

所以四邊形ABC0為平行四邊形，所以0C〃A5,

由(1)AB,平面APD得OC，平面APD,

由OPu平面APD,所以O(shè)CJ_PO,

由「平面RW，APu平面B4B,

得PDLAP,所以。。=J4。=1,

2

又OC=AB=2,所以尸C=Jo尸2+。。2=也.

【小問(wèn)3詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C,歷為％，V軸的正方向，以過(guò)。且與平面ABCD垂直向上為z軸的正方向建立

由PD=1,得APOD為正三角形，所以尸

又4（0,—1,0），C（2,0,0）,D（0,l,0）,所以①=（一2,1,0）,功=。，十，

/、n-CD=0

設(shè)平面PCD的法向量為二(x,y,z),則＜_.

n-PD=0

取z=2,得到平面PCD的一個(gè)法向量n=（A2A/3,2）.

（3百）

又AX=,設(shè)直線BA與平面PCD所成角的大小為e,

I22J

I—.1\n-.PAI4J34J19

則sin6=cosn,PA='?=廠「=———,

?1|H|-|PA|A^-A/1919

所以直線與平面PCD所成角的正弦值為生叵.

19

18.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為且，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

3

（1）求橢圓E的方程;

/、|CP|

（2）若過(guò)P（0,l）的直線交橢圓E于C、。兩點(diǎn)，求扁的取值范圍.

22

【答案】（1）土+匕=1

94

⑵[?3_

【解析】

【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)，離心率定義，以及點(diǎn)在曲線上，建立方程求得a,b,c,即可得解;

\CP\

（2）分斜率存在與不存在兩類進(jìn)行直線方程的處理，將轉(zhuǎn)化為C、。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比:

震=耳=一%，利用（」+"）=%+2+三,結(jié)合韋達(dá)定理，求出土的范圍，從而得解.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，可設(shè)橢圓E的方程為2=1（?！?〉0）.

ab

由￡=好得。=述,,又因?yàn)閍2=b2+c2,所以8=2且c，則w工+上

a355~c-c

因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)代入上述方程解得°2=5,則/=9,〃=4,

22

所以橢圓E的方程為土+乙=1.

94

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知：4（0,2）,5（0,—2）,

\CP\\AP\

當(dāng)斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)C與A重合，。與3重合.此時(shí)卞才=笳1

3

\CP\BP

若點(diǎn)。與A重合，3與C重合，則局=~\3\=3.

DP\AP

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線CD:y=丘+1,。（西,乂）,￡>（%2，%），

y=Ax+1,

聯(lián)立得《爐/消去y可得（4+9-）尤2+186—27=0,顯然△>（）,

194

184

?ISk27,日4+942

則n…“石記卬-一萬(wàn)記可得

274+942

4+9萬(wàn)2

整理可得上+2+三=—12k241—-，

X?西4+9左23

4T，。,

因?yàn)?+9左2>4，可得一一€

4+9左2

令%=/。<0),則—±</+^+2<0,解得—3</<—!，即上e—3,一2

%23t3/I3

CP

所以

DP

ri

綜上，■cp的\取值范圍為-,3

19.已知函數(shù)/(x)=ar-ln(x+a)(aeR).

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求"％）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若〃x）?a—：恒成立，求。的取值范圍；

打2

（3）若數(shù)列｛4｝滿足。1=1,4+1=六----記S〃為數(shù)列｛〃〃｝的前幾項(xiàng)和.證明：S2n>2n-1.

Ha”十J-

【答案】（1）/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間為1―2,—T），單調(diào)遞增區(qū)間為［一|,+8

⑵(0,1].

（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解,

(2)根據(jù)題意可得了(X)而n2〃-)，即可由導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求解最值，進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

1—+Intz—d~\—20,構(gòu)造函數(shù)g(〃)=1—/+]na—〃H—,求導(dǎo)即可求解最值求解，

aa

(3)根據(jù)(2)的求解可得不等式InxW光—1和Ind1—L即可根據(jù),工=ln4+』，得

t4+iIn)

an+l+an>2-^,由累加法以及裂項(xiàng)求和即可求證.

n

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=2x-ln(x+2)(x>-2),

12x+3

ra)=2-x+2x+2

故當(dāng)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe1-|>+oo)/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上，/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為2,—I],單調(diào)遞增區(qū)間為T，+s]

【小問(wèn)2詳解】

由題意，

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