專題02構(gòu)造等差或者等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式（第二篇）（原卷版）

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題02構(gòu)造等差或者等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式類型對(duì)應(yīng)典例構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式典例1構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式典例2利用構(gòu)造證明數(shù)列為等比等差數(shù)列典例3利用兩個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式典例4利用構(gòu)造證明數(shù)列為等比數(shù)列典例5利用構(gòu)造證明數(shù)列為等比數(shù)列典例6【典例1】【四川省攀枝花市20192020學(xué)年高三上學(xué)期第一次統(tǒng)考】數(shù)列中，，,數(shù)列滿足．（I）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)．【思路點(diǎn)撥】（I）將配湊成.由此證得數(shù)列是等差數(shù)列.求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）先求得的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)求和法求得.【典例2】【2020屆湖南省長沙市第一中學(xué)高三月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)設(shè)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)求.【思路點(diǎn)撥】（1）由題可得,與條件作差可得,則,即可證明數(shù)列為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得,進(jìn)而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可【典例3】【2020屆山東省青島市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,.(1)證明:為等比數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式;(2)若,求的前n項(xiàng)和,并判斷是否存在正整數(shù)n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，再根據(jù)和的關(guān)系，即可求出的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)，可采取錯(cuò)位相減法求出的前n項(xiàng)和，然后代入得，，構(gòu)造函數(shù)()，利用其單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在．【典例4】【廣東省佛山市20192020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一)】已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列滿足，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知條件求出，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例5】【2020屆浙江省杭州市第二中學(xué)高三12月月考數(shù)學(xué)試題】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）證明：.【思路點(diǎn)撥】（1）將題干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定義證明出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求出，利用放縮法得出，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證明出結(jié)論成立.【典例6】【天津市南開區(qū)南開中學(xué)2019屆高三第五次月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】(1)由，可得，兩式相減，可化為,結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可得到結(jié)論；（2）由⑴，利用“裂項(xiàng)法”，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列滿足，．（1）求證：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2.【2020屆河北省保定市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列滿足為等比數(shù)列，且，，.（1）試判斷列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（2）求.3.【2020屆北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高三第一學(xué)期（12月)月考】已知數(shù)列，滿足且.(1)求證是單增數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4.【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（二)】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，若不等式對(duì)恒成立，求t的最小值.5.【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（一)】已知數(shù)列滿足：，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.6.【2020屆陜西省咸陽市高三上學(xué)期期末考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.7.【2020屆四川省達(dá)州市普通高中高三第一次診斷性測(cè)】已知數(shù)列滿足，且時(shí)，，，成等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．8.【2020屆山西省太原市第五中學(xué)高三11月階段性考試】已