2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案54第八章解析幾何第六講雙曲線含解析新人教版

第六講雙曲線A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·河北保定模擬)若方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是(A)A．m<2或m>6 B．2<m<6C．m<－6或m>－2 D．－6<m<－2[解析]∵方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示雙曲線，∴(m－2)(6－m)<0，∴m>6或m<2，選A.2．(2024·新課標(biāo)Ⅲ)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\r(5).P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面積為4，則a＝(A)A．1 B．2C．4 D．8[解析]由題意，設(shè)PF2＝m，PF1＝n，可得m－n＝2a，eq\f(1,2)mn＝4，m2＋n2＝4c2，可得4c2＝16＋4a2，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，解得a＝1，故選A.3．(2024·課標(biāo)全國Ⅲ卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(D)A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2)，且a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝1，∴C的漸近線方程為y＝±x，∴點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2).4．(2024·福建南平質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為(C)A．8eq\r(3) B．6eq\r(3)C．4eq\r(3) D．2eq\r(3)[解析]在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°，由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2＝16.△F1PF2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝4eq\r(3).故選C．5．(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)若雙曲線y2－a2x2＝1(a>0)實(shí)軸的頂點(diǎn)到它的漸近線的距離為eq\f(1,4)，則該雙曲線的離心率為(B)A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(4\r(15),15)C．eq\f(16,15) D．eq\f(2\r(15),5)[解析]雙曲線y2－a2x2＝1(a>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,1)，一條漸近線為y－ax＝0，點(diǎn)(0,1)到直線y－ax＝0的距離為eq\f(1,\r(1＋a2))＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\r(15).所以雙曲線的方程為y2－eq\f(x2,\f(1,15))＝1，則c＝eq\f(4,\r(15))，故其離心率為eq\f(c,1)＝eq\f(4,\r(15))＝eq\f(4\r(15),15).6．(2024·天津)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1[解析]拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則直線l的方程為y＝－b(x－1)，∵雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，∴－eq\f(b,a)＝－b，eq\f(b,a)·(－b)＝－1，∴a＝1，b＝1，∴雙曲線C的方程為x2－y2＝1，故選D.7．(2024·廣東調(diào)研)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為E，若EF＝3OE(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為(C)A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．2eq\r(3)[解析]由題知，EF＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，又OF＝c，∴OE＝eq\r(OF2－EF2)＝eq\r(c2－b2)＝a，∴b＝3a，故雙曲線的離心率為e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(10).8．(2024·廣東茂名綜合測試)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，其一條漸近線被圓(x－m)2＋y2＝4(m>0)截得的線段長為2，則實(shí)數(shù)m的值為(C)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．2 D．1[解析]依題意eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴雙曲線漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，不妨取漸近線l1：eq\r(3)x－y＝0，則圓心(m,0)(m>0)到l1的距離d＝eq\f(|\r(3)m|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3)m,2)，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2＝22，解得m＝±2.∵m>0，∴m＝2.故選C．9．(2024·福建廈門質(zhì)檢)已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(2)，3)，其漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(D)A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1 D．eq\f(y2,3)－x2＝1[解析]由題意知可設(shè)雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝λ，∴λ＝(eq\r(2))2－eq\f(32,3)＝－1，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,3)－x2＝1.故選D.10．(2024·四川達(dá)州質(zhì)檢)F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，M是雙曲線右支上一點(diǎn)，直線MF切圓x2＋y2＝a2于點(diǎn)N，eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，則C的離心率是(A)A．eq\r(5) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)[解析]∵eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，∴N是FM的中點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，則O是F1F2中點(diǎn)，∴ON∥F2M，∵N是切點(diǎn)，∴|ON|＝a，ON⊥FM，∴|MF2|＝2a，MF2⊥MF，又由|MF|－|MF2|＝2a得|MF|＝4a，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).故選A.二、多選題11．(2024·廣東新課改大聯(lián)考)已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,6)＝1，則(AC)A．C的離心率為eq\r(7)B．C的虛軸長是實(shí)軸長的6倍C．雙曲線eq\f(y2,6)－x2＝1與C的漸近線相同D．直線y＝3x上存在一點(diǎn)在C上[解析]因?yàn)閍2＝1，b2＝6，所以c2＝1＋6＝7，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7)，eq\f(2b,2a)＝eq\r(6)，所以A正確，B錯(cuò)誤．雙曲線eq\f(y2,6)－x2＝1與C的漸近線均為y＝±eq\r(6)x，所以C正確．因?yàn)镃的漸近線的斜率小于3，所以直線y＝3x與C相離，所以D錯(cuò)誤．12．(2024·河北唐山摸底)已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一條漸近線l：y＝2eq\r(2)x，設(shè)F1，F(xiàn)2是C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在l上，且|OF1|＝|OP|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(ABD)A．C的虛軸長為4eq\r(2) B．∠F1PF2＝90°C．||PF1|－|PF2||＝2 D．△PF1F2的面積為6eq\r(2)[解析]雙曲線C的漸近線方程為y＝±bx，∴b＝2eq\r(2)，∴雙曲線C：x2－eq\f(y2,8)＝1，∴a＝1，b＝2eq\r(2)，明顯A正確；又|OF1|＝|OP|＝|OF2|，即O為△PF1F2外接圓的圓心，∴∠F1PF2＝90°，B正確；因?yàn)闈M意條件||PF1|－|PF2||＝2的點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，不合題意，C錯(cuò)誤；因?yàn)閏2＝a2＋b2＝9，所以F1(－3,0)，|OP|＝|OF1|＝3，設(shè)P(m,2eq\r(2)m)，則m2＋8m2＝9，m＝±1，所以P(1,2eq\r(2))或(－1，－2eq\r(2))，即S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(2)＝6eq\r(2).D正確．13．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是(BC)A．該雙曲線的離心率為eq\f(5,4)B．該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)xC．點(diǎn)P到兩漸近線的距離的乘積為eq\f(144,25)D．若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為32[解析]由雙曲線方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝5，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，A錯(cuò)；漸近線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝0，即y＝±eq\f(4,3)x，B正確；設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則16x2－9y2＝144，且點(diǎn)P到兩漸近線距離的乘積為eq\f(|4x－3y|,5)·eq\f(|4x＋3y|,5)＝eq\f(144,25)，C正確；∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝6,|PF1|2＋|PF2|2＝100))，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－36,2)＝32，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝16，D錯(cuò)；故選BC．三、填空題14．(2024·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，則該雙曲線的離心率是eq\f(3,2).[解析]雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，可得eq\f(\r(5),a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝2，所以雙曲線的離心率為：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4＋5),2)＝eq\f(3,2).15．(2024·新課標(biāo)Ⅰ)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為2.[解析]F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)(c,0)，A為C的右頂點(diǎn)(a,0)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，若AB的斜率為3，可得：eq\f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，b2＝c2－a2，代入上式化簡可得c2＝3ac－2a2，e＝eq\f(c,a)，可得e2－3e＋2＝0，e>1，解得e＝2.16．(2024·河南頂尖名校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右頂點(diǎn)為A1，A2，右焦點(diǎn)為F1，B為虛軸的上端點(diǎn)，在線段BF1上(不含端點(diǎn))有且只有一點(diǎn)P滿意eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，則雙曲線離心率為eq\f(1＋\r(5),2).[解析]由題意，F(xiàn)1(c,0)，B(0，b)，則直線BF1的方程為bx＋cy－bc＝0，在線段BF1上(不含端點(diǎn))有且只有一點(diǎn)滿意eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，則PO⊥BF1，且PO＝a.∴a＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))，即a2＝eq\f(b2c2,b2＋c2).∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a4＝0，e4－3e2＋1＝0.解得e2＝eq\f(3＋\r(5),2)，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).B組實(shí)力提升1．(2024·黑龍江哈爾濱香坊區(qū)一模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0)，過F作雙曲線C一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，且與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，則雙曲線方程為(B)A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1[解析]由題意可得c＝2，即a2＋b2＝4，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，左焦點(diǎn)為F1，∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，OA⊥AF，∴∠FOA＝∠AOB＝∠BOF1＝60°，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，由①②可得a＝1，b＝eq\r(3).∴雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，故選B.2．(2024·四川省聯(lián)合診斷)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，直線4x－3y＋20＝0過點(diǎn)F且與雙曲線C在其次象限交點(diǎn)為P，|OP|＝|OF|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\r(5) D．5[解析]如圖所示：∵直線4x－3y＋20＝0過點(diǎn)F，∴F(－5,0)，半焦距c＝5，設(shè)A為PF中點(diǎn)，∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，又∵OA為△PFF1中位線，∴OA∥PF1，由點(diǎn)到直線距離公式可得|OA|＝eq\f(|20|,5)＝4，∴|PF1|＝2|OA|＝8，由勾股定理可得：|FP|＝eq\r(|FF1|2－|PF1|2)＝6，再由雙曲線定義可得：|PF1|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝5.答案選D.3．(2024·廣西壯族自治州模擬)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F.若在E的漸近線上存在點(diǎn)P，使得eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，則E的離心率的取值范圍是(B)A．(1,2) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．(2，＋∞)[解析]由題意得，A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(b,a)x0))，由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0?eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)－3ax0＋2a2＝0，因?yàn)樵贓的漸近線上存在點(diǎn)P，則Δ≥0，即9a2－4×2a2×eq\f(c2,a2)≥0?9a2≥8c2?e2≤eq\f(9,8)?e≤eq\f(3\r(2),4)，又因?yàn)镋為雙曲線，則1<e≤eq\f(3\r(2),4)，故選B.另解：由題意知以AF為直徑的圓與漸近線bx－ay＝0有公共點(diǎn)，即點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)，0))到直線bx－ay＝0的距離d≤eq\f(a,2)，即eq\f(3ab,2c)≤eq\f(a,2)，∴c≥3b，∴c2≥9(c2－a2)，∴9a2≥8c2，∴e≤eq\f(3\r(2),4)，又e>1，∴1<e≤eq\f(3\r(2),4)，故選B.4．(2024·北京市西城區(qū)期末)對于雙曲線，給出下列三個(gè)條件：①離心率為2；②一條漸近線的傾斜角為30°；③實(shí)軸長為8，且焦點(diǎn)在x軸上．寫出符合其中兩個(gè)條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1(答案不唯一).[解析]若選擇①③，所以e＝eq\f(c,a)＝2,2a＝8，解得a＝4，c＝8，所以b2＝c2－a2＝48.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1.若選擇②③，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，2a＝8，解得a2＝16，b2＝eq\f(16,3)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,\f(16,3))＝1.若選擇①②，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e＝eq\f(c,a)＝2，eq\f(a,b)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).又c2＝a2＋b2，解得a2＝1，b2＝3，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2－eq\f(x2,3)＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，無解．5．(2024·山西運(yùn)城調(diào)研)設(shè)F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向雙曲線C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，則雙曲線C的漸近線方程是y＝±eq\f(\r(3),3)x.[解析]設(shè)OA：y＝eq\f(b,a)x，則AF：y＝－eq\f(a,b)(x－c)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x,y＝－\f(a,b)x－c))，得yA＝eq\f(ab,c)，同理yB＝eq\f(abc,b2－a2)，∴eq\f(2ab,c)＝eq\f(abc,a2－b2)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x.6．(20