三角形全等的重要模型-2021-2022學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破（原卷版）

專題03三角形全等的重要模型

模型1、平移全等模型，如下圖:

條件不能是（）

A.ABIIDEB.ACHDFC.ACIDED.AC=DF

2.（2021?云南昆明市?八年級(jí)期末）如圖：已知=5。=￡/且5?！ā晔?，求證：AABC沿ADEF.

3.（2021?廣西百色市?八年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，CD//BE,且CD=BE.

（1）求證：AACD^ACBE.（2）若44=87°,ZD=32°,求NB的度數(shù).

4.（2021?四川瀘州市?九年級(jí)月考）如圖，AB//CD,AB=CD點(diǎn)E、F在BC上,且BF=CE.

（1）求證：AABE義4DCF（2）求證:AE//DF.

5.（2021?襄城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)2、E、C、下四點(diǎn)在一條直線上，N4=ND,AB//DE,老師說(shuō)：再添加

一個(gè)條件就可以使△/BCg△。昉.下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言，甲說(shuō)：添加/5=D￡；乙說(shuō)：添加/C

//DF-,丙說(shuō)：添加3E=CF.（1）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)說(shuō)法正確的是；

（2）請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中選擇一種，給出你的證明.

6.（2021?富順縣校級(jí)月考）如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,HDE=AF,求證:

△4FC竺4DEB.如果將AD沿著邊的方向平行移動(dòng)，如圖2,3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？

如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴Q)(3)

模型2.對(duì)稱（翻折）全等模型，如下圖:

1.（2021?安徽九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形48CD的對(duì)角線/C,3。相交于點(diǎn)。，AABO2AADO,

下列結(jié)論：①②CB=CD；③A4BC咨乙ADC；@DA=DC,其中正確結(jié)論的序號(hào)是

2.（2020?浙江杭州市?八年級(jí)期末）如圖,已知ZACB=NDBC,若要使得ZUBCMADCB,則添加的一

個(gè)條件不能是（）

A.ZA=ZDB.NABC=NDCBC.AB=DCD.AC=DB

3.（2020?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，Z1=Z2,3C=EC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：,能使用“4S“

方法判定△NBC名△DEC.

EB

4.（2021?西安市?陜西師大附中九年級(jí)二模）如圖，在A/BC中，點(diǎn)。，E分別是48、NC邊上的點(diǎn),

BD=CE,NABE=NACD,BE與CD相交于點(diǎn)求證：AB=AC.

5.（2021?河南南陽(yáng)市?八年級(jí)期末）如圖，已知/C=/F=90。，AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點(diǎn)O,

（1）求證：RtAABC^RtADEF；（2）若/A=51。，求NBOF的度數(shù).

6.（2021?江蘇徐州市?八年級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)C是線段43的中點(diǎn)，CD=CE,ZACD=ZBCE,求證:

(1)"DC沿ABEC；(2)DA=EB.

D

AB

模型3.旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖：

C

A'B'B

1.（2021?河北滄州市?八年級(jí)期末）如圖，AABC和AAED共頂點(diǎn)A,AD=AC,Z1=Z2,ZB=ZE.BC

交AD于M,DE交AC于N,甲說(shuō)：“一定有AABC之Z\AED.”乙說(shuō)：'△ABM^AAEN."那么（）

可

A.甲、乙都對(duì)B.甲、乙都不對(duì)C.甲對(duì)、乙不對(duì)D.甲不對(duì)、乙對(duì)

2.（2021?渝水區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB=AC,AD=AE,NBAC=/D4E求證：ZABD=ZACE.

3.（2020?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，已知=,BC=DE,且/C/Z）=10。，Z3=ZD=25°,

ZEAB=120°,則NEG尸的度數(shù)為（）

A.120°B.135°C.115°D.125°

4.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級(jí)期末）如圖，AC±BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,

求證：（1）AACE=ABCD；（2）AE1BD.

5.(2021?四川廣元市?九年級(jí)期末)如圖，己知和A/E/中，NB=NE,AB=AE,BC=EF,

ZEAB=25°,ZF=57°,線段分別交//，EF于點(diǎn)、M，N.(1)請(qǐng)說(shuō)明=NE4C的理

由；(2)可以經(jīng)過(guò)圖形的變換得到A/所，請(qǐng)你描述這個(gè)變換；(3)求的度數(shù).

6.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△48C和△/￡）￡■中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在NC上時(shí)，如圖①，線段3D,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；

(2)將圖①中的△4DE繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(00<a<90°),如圖②，線段AD,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系

和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型4、半角全等模型

【解題技巧】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半

角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一

邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線

段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)一證全等一得到相關(guān)結(jié)論.

1.（2020?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）（1）如圖，在四邊形48。。中，AB=AD,ZS+ZJD=180°,E、

口分別是邊BC、上的點(diǎn)，且NE4尸=求證：EF=BE+FD；⑵如圖，在四邊形/BCD

中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、E分別是邊BC、3延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，S.ZEAF=^ZBAD.（1）

中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BEC

BE

2.（2020?河南新鄉(xiāng)市?八年級(jí)期中）已知四邊形/BCD中，ABYAD,BC±CD,AB=BC,ZABC=120°,

NMBN=60°,NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交N。，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E,F.

圖1

（1）當(dāng)NVBN繞3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到4B=C尸時(shí)（如圖1）,求證：4ABE%ACBF.（2）當(dāng)繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)到

NErCF時(shí)，如圖2,猜想線段/E,CF,所有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（3）當(dāng)NM3N繞點(diǎn)2旋

轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段NE,CF,M有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

3.（2020?江陰市夏港中學(xué)八年級(jí)月考）（1）問(wèn)題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,且/EAF=60。，探究圖中線

段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)的方法是將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。到AADG的位置，然

后再證明AAFEgZkAFG,從而得出結(jié)論：.

（2）探索延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是邊BC,CD上的

點(diǎn)，且N￡4/=-ZBAD.上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

（3）方法應(yīng)用：如圖3,E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、AF,并且始終保持

ZEAF=45°,連接EF并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,說(shuō)明AG=EG.（正方形四邊相等，四個(gè)角均為90。）

BEC

4.(2022?四川綿陽(yáng)市?八年級(jí)期末)已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=

180°,AB=BC(1)如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=ZABP+ZQBC

(3)若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+CQ,請(qǐng)寫出/

PBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程.

5.(2021?全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí))問(wèn)題背景：如圖，A/8C是等邊三角形，△ADC是頂角為120。的等腰三角

形，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60。角，角的兩邊分別交48,NC邊于"、N兩點(diǎn)，連接探究線段即MN,

CN之間的數(shù)量關(guān)系.

嘉琪同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)NC至點(diǎn)E,CE=BM,連接。E,先證明再證明

△MDN^XEDN,可得出線段的幺MN,CN之間的數(shù)量關(guān)系為—.請(qǐng)你根據(jù)嘉琪同學(xué)的做法，寫出證明

過(guò)程.

探索延伸：若點(diǎn)N分別是線段N3,C4延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，再探索線段的%MN,NC之間

的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

圖1圖2

6.（2021?山東東營(yíng)市?七年級(jí)期末）（1）問(wèn)題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)，且/EAF=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明A48E三AADG,再證明

A4E產(chǎn)也AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

（2）探索延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，Z

EAF=-ZBAD,上述結(jié)論是否依然成立？并說(shuō)明理由.

2

模型5、三垂直全等模型

如圖:

1.（2021?廣東中山市?八年級(jí)期末）如圖，在△/BC和中，若/ACB=/CED=9Q°,AB=CD,CE

AC,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.￡為8c中點(diǎn)B.2BE=CDC.CB=CDD."BC妾ACDE

2.（2020?涿州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）在A/BC中，4DLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),連接CE,CE

=AB,ED=BD.（1）求證：AABD沿ACED;（2）若44c￡=22°,則的度數(shù)為.

3.（2020?廣東省龍嶺初級(jí)中學(xué)初一期中）如圖，已知NDCE=90°,ZDAC=90°,BE_L4C于B,且DC=EC.

CDND和相等嗎？若相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）△ADC之△3CE嗎？若全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）能否找到與N3+N。相等的線段，并說(shuō)明理由。

4.（2020?河北省初三三模）如圖，AA8C和NDEF都是直角三角形，NACB=NDFE=90°,AB=DE

頂點(diǎn)/在上，邊。E經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)/,E在5c同側(cè)，DELAB.

(1)求證：AABC=ADEF：(2)若/C=H,EF=6,CF=4,求的長(zhǎng).

DB

5.（2020?江西贛州市?八年級(jí)期末）已知：ABLBD,EDLBD,AC=CE,BC=DE.

（1）試猜想線段ZC與CE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）若將S沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由?

（3）若將S沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論ZG還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由?

6.（2021?廬江縣期末）如圖1,于點(diǎn)5,CDL2C于點(diǎn)C,點(diǎn)E在線段2C上，且

（I）求證：AEAB=ZCED-,（2）如圖2,AF、。9分別平分/A4E和/CDE,則/尸的度數(shù)是（直

接寫出答案即可）；（3）如圖3,EH平6NCED,的反向延長(zhǎng)線交的平分線//于點(diǎn)G.求證：

EG_I_4F.（提不：三角形內(nèi)角和等于180°）

CDCDCHD

圖1圖2圖3

模型6、一線三等角全等模型

1）.一線三直角全等模型，如圖:

1.（2021?廣西梧州市?八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角三角形45。中，48=5C,NA8C=90°,點(diǎn)2在

直線/上，過(guò)/作4D_L/于D,過(guò)C作CE于￡.下列給出四個(gè)結(jié)論：①BD=CE；②NBAD與ZBCE

互余；③4D+CE=DE.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2021?江蘇揚(yáng)州市?八年級(jí)期末）如圖，ZS=ZC=90°,NBAE=NCED,且48=C￡.

（1）試說(shuō)明：A4DE是等腰直角三角形；（2）若NCD￡=2乙8NE,求NCD￡的度數(shù).

BEC

3.（2021?湖北鄂州市?八年級(jí)期末）將Rt448C的直角頂點(diǎn)。置于直線/上，AC=BC,分別過(guò)點(diǎn)/、

B作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)。、E,連接NE.茗BE=3,DE=5.求△/CE的面積.

4.（2021?山東臨沂市?八年級(jí)期末）如圖，ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BELCE,垂足分別

為D,E,AD=2.5cm,求B￡=lcm,求的長(zhǎng).

5.（2021?河南商丘市?九年級(jí)期末）如圖（1）,已知A/BC中，/B4c=90。,AB=AC；/￡是過(guò)/的

一條直線，且2,。在/￡的異側(cè)，BDLAE于D,CE上AE于E.（1）求證：BD=DE+CE；（2）

若直線/E繞/點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（BD〈CE）,其余條件不變，問(wèn)BD與DE,CE的數(shù)量關(guān)系如

何？請(qǐng)給予證明.（3）若直線AE繞4點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)（8。＞C￡）,其余條件不變，問(wèn)BD與DE,

CE的數(shù)量關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明；（4）根據(jù)以上的討論，請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)直線NE在

不同位置時(shí)與DE,CE的位置關(guān)系.

圖1圖2圖3

6.(2020?浙江溫州市?八年級(jí)月考)在AABC中AAOB=90°,AO=BO,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且AC±MN

于C,BDLMN于D.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：CD=AC+BD；(2)當(dāng)直線MN繞

點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：CD=ACBD；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問(wèn)：CD、

AC、BD有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.

2).一線三等角與一組對(duì)應(yīng)邊相等全等模型，如圖:

1.（2021?安徽馬鞍山市?八年級(jí)期末）如圖，已知在△45C中，AC=BC=4D,ZCDE=ZB,

求證：AADE之ABCD.

2.（2021?黑龍江大慶市?七年級(jí)期末）如圖，在A/BC中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線加上,

并且有,求證：DE=BD+CE.

3.（2021?河南濮陽(yáng)市?八年級(jí)期末）已知：D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作A/BC,

使=連接BD,CE.（1）如圖①，若NB/C=90。，BDLm,CE,求證△48。kA/CE；

（2）如圖②，若/BDA=/AEC=/BAC,請(qǐng)判斷BD,CE,DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4.（2020?無(wú)錫市胡康中學(xué)八年級(jí)月考）（1）如圖1,直線加經(jīng)過(guò)等腰直角A/BC的直角頂點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)3、C

補(bǔ)充（用a表示），線段3D、CE與DE之間滿足8D+C￡=D￡,補(bǔ)充條件后并證明；

（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點(diǎn)N逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，并改變條件

=/AEC=（用a表示）.通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段即、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并

予以證明.

5.（2021?香坊區(qū)期末）如圖，在△48C中，點(diǎn)。是邊3C上一點(diǎn)，CO=/8,點(diǎn)￡在邊/C上，^.AD=DE,

ZBAD=ZCDE.(1)如圖1,求證：BD=CE；(2)如圖2,若DE平分//DC,在不添加輔助線的情況下,

請(qǐng)直接寫出圖中所有與//￡>￡相等的角除外).

(1)如圖①，已知：A/BC中，ABAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,8。，加于D,CElm

于E,請(qǐng)?zhí)剿鱀E、BD、CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

(2)拓展：如圖2,將(1)中的條件改為：A/BC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且

ABDA=ZAEC=ABAC=a,7為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)(1)中結(jié)論是否還成立？如成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)應(yīng)用：如圖③，在A/BC中，N3/C是鈍角，AB^AC,ZBAD>ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,

直線m與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若BC=2CF,A/BC的面積是16,求△45。與△CW的面積之和.

模型6、手拉手全等模型

1）.等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型

①如圖，AABC與4ADE均為等腰三角形，且NBAC=/DAE,連接BD、CE,則AABD之Z\ACE.

②兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（B、C、D不共線）始終有一：

①△BCDgZXACE；?BD±AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分/BFE；

1.（2020?河南許昌市?九年級(jí)期中）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,已知。為線段N3上一點(diǎn)，分別以線段/C,BC

為直角邊作等腰直角三角形，ZACD=90°,CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,BD之

間的數(shù)量關(guān)系為；位置關(guān)系為.

拓展探究：（2）如圖2,把RtzX/CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段NE,BD交于點(diǎn)、F,則4E與5。之間的

關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2020?黑龍江綏化市?八年級(jí)期末）兩塊等腰直角三角尺408與（不全等）如圖（1）放置，則有

結(jié)論：①4C=BD②ACLBD；若把三角尺繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，如圖（2）所示,

判斷結(jié)論：①/C=80②5。是否都還成立？若成立請(qǐng)給出證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖⑴

3.（2021?湖南常德市?八年級(jí)期末）在ANBC中，AB=AC,點(diǎn)。是直線3c上一點(diǎn)（不與2、。重合），以

4D為一邊在4D的右側(cè)作使4D=/E,NDAE=NBAC,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段上，如果/B/C=90。，則/BCE為多少？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)NA4C=a,NBCE=B.①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段2C上移動(dòng)，則a,￡之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)

明理由；②當(dāng)點(diǎn)。在直線上移動(dòng)，則a,4之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不需證明.

4.（2021?甘肅慶陽(yáng)市?八年級(jí)期末）在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩

個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成.在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形.通過(guò)資料查

詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進(jìn)行了如下操究：

C1）如圖1、兩個(gè)等腰三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,連接BD、CE、如

果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大

手拉著小手，這個(gè)就是“手拉手模型”，在這個(gè)模型中，和AADB全等的三角形是,此線BD和CE

的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2、兩個(gè)等腰直角三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=90°,連接BD,

CE,兩線交于點(diǎn)P,請(qǐng)判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（3）如圖3,已知AABC、請(qǐng)完成作圖：以AB、AC為邊分別向AABC外作等邊AABD和等邊AACE（等

邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60。），連接BE,CD,兩線交于點(diǎn)P,并直接寫出線段BE和CD的數(shù)

量關(guān)系及/PBC+/PCB的度數(shù)、

5.（2021?內(nèi)蒙古赤峰市?九年級(jí)期末）如圖，將兩塊含45。角的大小不同的直角三角板ACOD和AAOB如圖

①擺放，連結(jié)AC,BD.（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并

證明；（2）將圖①中的ACOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC,BD,其他條件不變，線

段AC與BD存在（1）中的關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出結(jié)論并說(shuō)明理由.（3）將圖①中的ACOD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定的角度（如圖③），連結(jié)AC,BD,其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

C

2）.等邊三角形中的手拉手全等模型如圖，AABC與4CDE均為等邊三角形，連接AE、BD,則△BCDgA

ACE.

圖1圖2

1.（2021?河南新鄉(xiāng)市?新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,E重合），

在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與

CD交于點(diǎn)Q,連接PQ,有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤NAOB=60°.其

中一定成立的結(jié)論有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

2.（2020?湖南邵陽(yáng)市?八年級(jí)期中）如圖1,若點(diǎn)P是線段Z5上的動(dòng)點(diǎn)（尸不與2重合），分別以工尸、

PB為邊向線段N5的同一側(cè)作等邊AAPC和等邊APAD.

c

c

（1）圖1中，連接Z。、BC,相交于點(diǎn)。，設(shè)NZQC=a,那么a=。；（2）如圖2,若點(diǎn)P固

定，將繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時(shí)戊的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2020?江西上饒市?南屏中學(xué)八年級(jí)月考）如圖,AB=CB,BD=BE,ZABC=ZDBE=a.

圖①

圖②

（1）當(dāng)a=60。，如圖①則，NDPE的度數(shù).

（2）若ABDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖②所示，求/DPE（用a表示）

4.(2021?費(fèi)縣第二中學(xué))如圖，AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,AC、

BD交于點(diǎn)M.(1)如圖1,求證：AC=BD,判斷AC與BD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,NAOB=NCOD=60。時(shí)，/AMD的度數(shù)為.

5.(2020?新疆八年級(jí)期中)如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AACM,ACBN是等邊三角形，直線AN,MC

交于點(diǎn)E,直線BM、CN交于F點(diǎn).(1)求證：AN=BM；(2)求證：aCEF為等邊三角形；(3)將AACM

繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第(1)(2)兩小題

的結(jié)論是否仍然成立，不要求證明.

6.（2020?西華縣教研室八年級(jí)期中）如圖，B,C,E三點(diǎn)在一條直線上，AA8C和均為等邊三

角形，BD與4C交于點(diǎn)、M,AE與CD交于點(diǎn)、N.

（1）求證：AE=BD；（2）若把AZ5CE繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

3）.一般三角形中的手拉手全等模型

如圖，在任意^ABC中，分別以AB、AC為邊作等邊AADB、AACE,連接DC、BE,則△ADC^zXACE.

4）.正方形中的手拉手全等模型

如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG,連接EC、BG,則△AECgAABG.

1.（2020?遼寧丹東市?七年級(jí)期末）已知：如圖1,在A/45C和A4DE中，ZC=ZE,ZCAE=ZDAB,

5C=Q￡.(1)證明(2)如圖2,連接CE和2。，DE,/￡?與5C分別交于點(diǎn)M和

N,ZDMB=56°