廣東省肇慶市2024-2025學(xué)年高三年級上冊9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

局二數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合Z={-1,1,3,515={x|x=3左—1,左eN},則改集合=()

A.{-1,5}B.{1,5}C.{-1,3,5}D.{1,3,5)

22

2.已知雙曲線上+L=1的上焦點為尸(0,1),則()

mn

A.加+〃=1B.m—n=1C.m+n=-1D.n-m=l

3.已知向量〃二(1,3),b=(-2,x),c=(-x,x),若〃〃則+()

A.-22B.4C.14D.32

4.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，高為3,且該圓臺的體積為13兀，則該圓臺的母

線長為()

A.2V2B.2V3C.V13D.V15

5.sin18°cos36°=()

3

6.若Q=0.3°',b=0.4°,c=2log83,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

7.某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測試中的成績是班級第十名(假設(shè)測試的成績兩兩不同)，且該同學(xué)的成績恰好是該

班級成績的第80百分位數(shù)，則該班級的人數(shù)可能為()

A.36B.41C.46D.51

8.若awO,函數(shù)/(%)=,且/(x)20在［0,8］上恒成立，則下列結(jié)論正確

的是()

A.〃>0B.Z)<0C.c>0D.b+c>0

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知復(fù)數(shù)z=/-i+（q+i）i,aeR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則。=±1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則ae（-1,1）

C.若〃=0,則z=—1—i

D.若〃=0,則目=1

10.已知/（3x+l）為奇函數(shù)，且對任意xwR,都有/（x+2）=/（4—x）,/（3）=1,則（）

AJ⑺=-1B./（5）=0C./（ll）=-lD./（23）=0

22

11.己知尸是橢圓C：\+鼻=1（a>6>0）位于第一象限上的一點，片，鳥是C的兩個焦點，

ab

2兀

/片尸鳥=3-，點0在/片產(chǎn)鳥的平分線上，/公產(chǎn)鳥的平分線與龍軸交于點河，。為原點，

OQ//PF,,且|。0|=6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.△尸片鳥的面積為回2B.C的離心率為g

C.點尸到無軸的距離為縣D.|（W|=3奧

2115

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上，

12.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且52=8,&=65,則S"=.

13.已知a>0,且x=0是函數(shù)/（x）=x21n（x+a）的極大值點，則a的取值范圍為.

14.五個好朋友一起自駕外出游玩，他們都選擇了同一款旅行包（外觀無明顯區(qū)別），下車時，他們從后備

箱中各隨機地取一個旅行包，則甲、乙、丙三人都拿錯旅行包的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.（13分）

某工廠生產(chǎn)一種零件，該零件的質(zhì)量分為三種等級：一等品、二等品和次品.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該工廠生產(chǎn)一

等品、二等品和次品的概率分別為0.7,0.2和0.1.現(xiàn)對一批剛生產(chǎn)出來的零件進(jìn)行質(zhì)量檢測，檢測方式分

為兩種：自動檢測和人工抽檢，自動檢測能將一等品全部正確識別，但有5%的概率將二等品誤判為次

品，有15%的概率將二等品誤判為一等品，也有10%的概率將次品誤判為二等品.

（1）求在自動檢測下，一個被判斷為次品的零件實際上就是次品的概率

(2)假設(shè)零件先經(jīng)過自動檢測，若判斷為一等品，則進(jìn)行人工抽檢；若判斷為二等品或次品，則直接淘

汰.求人工抽檢一個零件，該零件恰好是一等品的概率.

16.(15分)

記△48C的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,己知一~-——-=-----.

b~+c~-asin8

(1)求

(2)若b=4,sinB+cosB=42,求△45C的周長.

17.(15分)

如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面4BCD為菱形，ZDAB=60°,△尸是邊長為2的等邊三角

形，PB=a.

(1)證明：平面尸40,平面48CD.

(2)若E為尸。的中點，求平面與平面E4D的夾角的余弦值

18.(17分)

已知a>0,函數(shù)/(x)=e*—l)x-lna.

(1)討論的單調(diào)性；

⑵若恒成立，求a的取值范圍.

19.(17分)

已知曲線C：y=x2,點4(石,必)在C上，C在4處的切線為4,直線外的斜率是直線4斜率的2

倍，經(jīng)過點4的直線叫與C的另一個交點為4，。在4處的切線為72,直線加2的斜率是直線,2斜率的

2倍，經(jīng)過點4的直線加2與C的另一個交點為4,照如此方法構(gòu)造點4(x“J")，”eN*.

(1)證明：直線4的方程為2XR—>—%=0.

(2)若X]=l,證明數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，并求出｛%｝的通項公式.

(3)若石=1,記S"為△44+14+2的面積，求s“.

高三數(shù)學(xué)參考答案

1.A依題得8={—1,2,5,…},則4口8={-1,5}.

2222

2.D土+匕=1可化為2--=1,故〃一加二1.

mnn—m

3.B因為"〃九所以x=—6,故%伍+1）=（—2,—6）?（7,—3）=—14+18=4.

4.C依題意，設(shè)圓臺較大的底面半徑為3r,較小的底面半徑為尸，貝IJ

V=:（兀/+9?！?+3兀/2卜3=13K,解得r=l,故該圓臺的母線長為VF+F=V13.

?io。2cos18°sin180cos360

5.Asin18°cos36°=------------------

2cos18°

_sin36°cos36°_sin72°_cos18°_I

2cos1804cos1804cos1804

0433

6.Ca-O.3<0.3°<0.4°=b<1,c=2log83=log89>L所以c>b〉〃.

7.C設(shè)班級的人數(shù)為x,由題意，x-10<0.8x<x-9,解得45<x<50,又xwN*,所以選C.

8.D因為XE[0,8],所以烏》_烏€[_2,乂].當(dāng)》6[0,1）時，sin[-x--Lo；

66L66J^66J

當(dāng)x￡(l,7)時，sinfj>0；當(dāng)XE(7,8]時，sinfj<0.

因為/(x)20在［0,8］上恒成立，所以x=l和x=7是&+尻+o=0的兩根,

1+7=--,

a

且Q<0,則vi^Lb=-Sa>0,c=7Q<0b+c=-a>0.

1x7，，

a

9.BC若z為純虛數(shù)，即/一1=0且〃+1。0,則。=1,故A錯誤；

若Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，貝”"—1＜0'解得一1＜。＜1,即ae(-1,1),故B正確;

若Q=0,貝!］z=-l+i,則z=-l-i,故C正確；

若4=0,貝陽=后，故D錯誤

10.AB由/（3x+l）為奇函數(shù)，可得/（—3x+l）=—/（3x+l）,

則/（x）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱.

又〃x+2）=/（4—x）,所以/（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱，

則/（x）是以8為周期的周期函數(shù)，所以/⑺二一/⑶二一1,

/（5）=/（1）=0./（ll）=/（3）=b/（23）=/（7）=-1,故選AB.

11.ACD如圖，設(shè)戶用=7〃，|尸聞=〃，延長O0交正用于點N.

由題意知00〃尸耳，。為公鳥的中點，則幺為尸耳的中點

又NQPA=NF/。=NAQP,所以△/0P是等邊三角形,

m+n-2a.

m-n=2b,m=a+b,

則11化簡得＜即1

b+—n=-m,m+幾=2a,n=a-b,

22

在△片尸g中，由余弦定理得加2+/+mn=4c之

所以（a+6/+（。-6）2+（。+6）（。-6）=4c2,即3a2+外=4c2.

因為所以心夜，4心才，所以e=工，故B錯誤.

5

12兀2

△尸片鳥的面積為5加〃sin3-=—、——1=3-=?2,故A正確.

設(shè)點尸到無軸的距離為“，所以工X2C/Z=?2,則場=回，故C正確.

22

因為PM是/公0片的平分線，所以需j=ma+b^J-5+1

na-bV5-1

,則|。叫=爭=￥^,故D正確.

所以=2c5

2。5[J

22

12.3n—2n^Sn=An+Bn,由82=8,S5=65,

4A+2B=8,Z=3

可得解得1'故=3〃2—2〃.

252+58=65,[B=-2,"

%a

13.(0,1)/'(x)=2xln(x+a)d-------=x21n(x+a)----------l-l.

XIQXICl

令g(x)=21n(x+a)-----+1,易知g(x)在(一見+⑹上單調(diào)遞增，g(0)=21na.

x+ci

當(dāng)ae(O,l)時，則存在加e(0,+oo),使得g(m)=0,符合x=0是函數(shù)=/ln(x+a)的極大值

點；當(dāng)ae(l,+oo)時，則存在以6(一。,0),使得g(機)=0,不符合x=0是函數(shù)的

極大值點；當(dāng)a=l時，g(0)=0,不符合x=0是函數(shù)/(x)=x21n(x+a)的極大值點.綜上，a的取值

范圍為(0,1).

14.第一種情況，甲拿了乙或者丙的旅行包，有2x3x3xA：種情況;

第二種情況，甲沒有拿乙和丙的旅行包，有2x(3+2x2)A；種情況.

2x3x3xA；+2x（3+2x2）A；8

故所求的概率為

A；15

15.解：(1)設(shè)事件4表示“零件是次品”，B表示“自動檢測判斷零件為次品”

尸(8)=尸(Z)P(8⑷+尸(二等品)+P(川二等品)+P(一等品)P(川一等品)

=0.1x0.9+0.2x0.05+0.7x0=0.1,

則尸(H止步%3=2

'1'P(B)0.110

(2)設(shè)事件C表示“零件需要進(jìn)行人工抽檢”，。表示“人工抽檢的零件為一等品”

P(c)=0.7+0.2x0.15=0.73,P(CD)=0.7,

所以人工抽檢一個零件，該零件恰好是一等品的概率為P⑷中常L氏塔

sinCc

16廨：（1）在△48C中，由正弦定理得-----二—

sin5b

/sinCc2c

因為———2——T二二——'所以——2——T=

b1+c-asmBb1+C1-c^b

化簡得〃+。2—/=尻.

方2%2_21

在△4BC中，由余弦定理得cosZ=--------------=-

2bc2

jr

又因為0<2<兀，所以Z=

3

(2)由sin8+cos8=J^,可得sin15+衛(wèi)］=1,則5+工=四，即3=二,

I4J424

于是C=7T—Z—5=—,

12

sinC=sin(7i-/-5)=sin(/+8)

血+遙

=sinAcos5+sin8cosA=

4

由正弦定理得‘一=—也=即，一b

sin4sin5sinC?兀.兀5兀

sm—sm—sm——

3412

解得a=2指，c=2&+2,

故AABC的周長為6+2指+20.

17.(1)證明：取/￡)的中點。，連接50,PO.

因為40=48=2,4045=60°,所以△408為等邊三角形.

因為。為40的中點，所以。8，幺￡>,8。=正-F=6

因為△P4D是邊長為2的等邊三角形，所以尸。=6，

則PB2=PO-+OB2,所以08，。尸.

又40nop=。，所以08_L平面尸40,

因為。u平面ABCD,所以平面PAD±平面ABCD.

(2)解：因為OP,0A,。8兩兩垂直，所以以0為坐標(biāo)原點，OP,0A,0B

所在直線分別為龍軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

(V3,o,o),B(0,0,⑹,C(o,-2,V3),￡>(0,-1,0),

則尸122J

所以麗=G),DE

設(shè)〃=(x,y,z)為平面E8Z)的法向量,

BD-n=~y-也z=0,

取x=1,

5E-?=—x+—z=0,

22

易知浣=(0,0,1)是平面尸4D的一個法向量.

設(shè)平面EBD與平面PAD的夾角為。，

所以平面E8D與平面R4D的夾角的余弦值為

5

18.解:⑴/(x)的定義域為R,/,(x)=er-(a-l).

當(dāng)0<aWl時，f'(x)>0,則/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時，令/<x)〉0,解得令/>x)<0,解得—

所以/(x)在(in(a-1),+00)上單調(diào)遞增，在(―叫In(a-1))上單調(diào)遞減.

(2)由/(x)?lnx,可得Inx+lna+ax<e*+x,即e仄"")+ln(ax)Ve*+x.

令g(x)=e*+x,易知g(x)單調(diào)遞增.

由冽"“+ln(ax)<eA+x,可得g(in(ax))<g(x),

,、In(ax)1

則In(ax)<x,即一-~-<一.

axa

令/z(x)=g,貝配(耳=匕學(xué).

JCX

當(dāng)x>e時，<0,為(x)單