平面向量的數(shù)量積（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第02講平面向量的數(shù)量積

（7類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

數(shù)量積的運算律

2024年新II卷，第3題,5分已知數(shù)量積求模模長的相關(guān)計算

垂直關(guān)系的向量表示

向量垂直的坐標(biāo)表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

利用向量垂直求參數(shù)

2023年新II卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律向量的模長運算

2022年新H卷,第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

坐標(biāo)計算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律無

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分

【備考策略】I通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積

2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角

4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)

和實際問題中的作用

5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理

解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。

知識點1平面向量的數(shù)量積的定義

知識點2平面向量數(shù)量積的運算律

核心知識點

知識點3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

考點1求平面向量的散量積

平面向量的數(shù)量積考點2辨析3積的運算律

考點3模長綜合計算

考點4夾角綜合計算

核心考點

考點5垂直綜合計算

考點6向量

考點7數(shù)量積范圍的綜合問題

知識講解

1.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量a,8的夾角為仇記作（叫，且。e[o,捫

。二

定義

則數(shù)量同向cos0叫做a馬b的數(shù)量積，記作ab

|a|cos3叫做向量a在b方向上的投影，

投影

網(wǎng)cos0叫做向量b在a方向上的投影

幾何

數(shù)量積ab等于a的長度同與b在a的方向上的投影團cos0的乘積

意義

2.向量數(shù)量積的運算律

b=ba.

(2)(Aa)b=k(ab)^a(Ab).

(3)(a+6)c=ac+Z>c.

3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=（xi，刈），8=（x2，乃），。與分的夾角為夕

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積\a\\b\cos(2,b\ci'b=x\X2~\~y\y2

IM=Jx?+貫

模\a\=y[a^a

abxix2-hyiy2

夾角cos6=-----cos0—,=~/

同網(wǎng)yjxi+y^-y/xi+yi

aLb的充要條件ab=0^iX2~\~y\y2=0

+式

|a力|與同網(wǎng)的關(guān)系|a力三同網(wǎng),iM+J1J21WJ(x￥)(x,+yi)

1.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，

例如，a?=a，c（aWO）不能得出8=c,兩邊不能約去一個向量.

2.a力=0不能推出a=0或8=0,因為。力=0時，有可能a_LA.

3.在用同=值求向量的模時，一定要先求出/再進行開方.

考點一、求平面向量的數(shù)量積

1.（2022?全國偏考真題）已知向量滿足|=1,向=百］。-2刃|=3,則〃（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024?山東濰坊?三模）已知向量Z=（l,2）石=（4,-2）1=0"）,若＞（2%+可=0,則實數(shù)4=

3.（2021?全國?高考真題）已知向量Q+B+°=6,忖=1,同=口=2,a-b+b-c+c-a=?

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點￡為中線5。的三等分點（靠近點

3）,點尸為的中點，則而.麗=（）

即時

1.(2023?全國?高考真題)正方形A8CD的邊長是2,E是22的中點，則品■.麗=()

A.V5B.3C.2#>D.5

2.(2022黑龍江?二模)已知向量2=(1,機)，B=(",6),若5=3),則72=.

3.(2022.全國?高考真題)設(shè)向量g的夾角的余弦值為:，且同=1,問=3,則(2￡+3"=.

4.2024?河北衡水?模擬預(yù)測)在^ABC中,NBAC=60。,網(wǎng)=6,辰|=3,而=2MB,CN=兩，貝ij不.赤=

()

A.-9B.—C.9D.18

2

考點二、辨析數(shù)量積的運算律

典例引領(lǐng)

1.(2021?浙江,高考真題)已知非零向量則"a.c=B?c"是"。=B"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

2.(湖北?高考真題)已知己石,高為非零的平面向量.甲：小3=小1,乙：］=己，貝IJ()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.(上海?高考真題)若心)均為任意向量，meR,則下列等式不一定成立的是()

A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)-c=a-c+b-c

C.m(a+b)=ma+mbD.(a-b)c=a(b-c)

即阻性遐

4.(2023?全國?模擬預(yù)測)設(shè)Z,BI是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是()

A.（QB.卜闿《4?6

c.0球-但詼與1垂直D.問訓(xùn)少-q

5.（22-23高三上?江蘇揚州?開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量色石忑，下列說法不正確的是（）

A.若.己，貝=B

B.^a+b^c=a-c+b-c

C.若必二廬，^a-c=b-c

D.（a-b^-c=（b-cj-3

考點三、模長綜合計算

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?高考真題）已知向量Z=（2,1）Z=（-2,4）,貝干-q（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024?全國?高考真題）已知向量滿足忖=1,卜+2q=2,且伍-2a）_LB,貝咽=（）

AJ_R6cCD1

222

3.（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測）已知12是單位向量，且它們的夾角是60°.若］=1+2￡彼=21-晟，且

\a\=\b\,則2=（）

A.2B.-2C.2或-3D.3或-2

4.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）已知向量a=（-1,2）,向量否滿足卜-?=2右，且cos〈“,B〉,則⑸=

（）

A.V5B.5C.V10D.25

1.（2024?陜西榆林?二模）若向量Z=（加,"?-1）,3=（&私3）,|研=|31,則他=（）

A.-4B.-3C.-272D.-2

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知向量。=（切,加），weR,1=（0,2）,貝電+囚的最小值為.

3.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測）已知向量3與B的夾角為60。，且》=（1,6），忖=1,則歸-2q=（）.

A.V?B.y/5C.4D.2

4.(2024?湖南長沙?三模)平面向量a,b,c滿足：a±c,?用=］，GQ］，且H=P|=3'4R=2'

貝lj|a+S+c|=_.

考點四、夾角綜合計算

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國,高考真題）已知向量。=（3,1）3=（2,2）,貝1|cos（a+&a-B）=（）

A.—B.叵C.—D.短

171755

2.（2023?全國?高考真題）已知向量癡忑滿足同=同=1洞=收，且3+彼+己=6，貝Ucos〈。一旋底〉=

（）

3.(2022,全國"身考真題)已知向量a=(3,4),A=(l,0),c="+仍，若<a,c>=<8,c>,貝!|f=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知向量方=（百,1）,B=（〃L1,3）,若向量I,B的夾角為銳角，則實數(shù)%的

取值范圍為()

A.(l-V3,+oojB.(1+3A^,+CO)

C.(1-V3,1+373)U(1+373,+oo)D.(l+G,l+3G)U(l+3省,+8)

即時檢測

1.（2024?山東日照?三模）已知a和B是兩個單位向量，若則向量Z與向量［一右的夾角為（）

兀兀712兀

A.—B.-C.—D.—

6323

2.（2024?廣東江門?二模）設(shè)向量刀=（l,x）,礪=（2,x）,則cos〈dX礪〉的最小值為____.

3.（2024?河北?模擬預(yù)測）平面四邊形N8CD中，點及尸分別為/刀逃。的中點，|。。|=2|/同=8,忸尸|=5,

則cos（/8,Z）C）=（）

4.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知向量3,b,。滿足同=同=1,同=也，且@+彼+3=0,則

a-c,b-c

考點五、垂直綜合計算

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?高考真題）設(shè)向量萬=（x+l,x）,B=（%,2）,則（）

A.〃、=-3〃是〃的必要條件B.〃％=-3〃是〃￡//另〃的必要條件

C.〃工=0〃是〃力產(chǎn)的充分條件D.〃x=—1+G〃是紜/必的充分條件

2.（2024?全國?高考真題）已知向量萬=（0,1）石=（2,x）,若必@_包,貝!Jx=（）

A.-2B.-1

3.（2023?全國?高考真題）已知向量￡=（1,1）3=。,一1）,若［+詞」（Z+聞,則（）

4+〃=B.X+//=-1

加=1D.沏=一1

即時檢測

1.（2024?廣西?三模）已知向量那么向量B可以是（）

A.（1,3）七C.（3,-1）D.（3,1）

2.（2024?浙江臺州?二模）已知平面向量-=（2,1）,石=（-2,4）,若（2-+B）乂蘇-,則實數(shù)4=（）

3.（2023?浙江寧波?一模）若氏石是夾角為60°的兩個單位向量，+B與-3a+2B垂直，貝（）

1177

A.—B.—C.—D.一

8484

4.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知向量2=（2,。，b=（1,2）,若當(dāng)"4時，3-6=|S|-|fe|,當(dāng)時,

alb貝IJ（）

A.4=-4,q=-1B.八=—4,

C.”4,t2=-1D.%=4,Z2=1

考點六、求投影向量

典例引領(lǐng)

■——

L（2024?山東青島?二模）已知向量）=（-1,2）,彼=（-3,1）,則I在B上的投影向量為（）

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知向量Z3滿足同=23=（3,0）,|”可=&6,則向量Z在向量B方向

上的投影向量為（）

1一

3.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測）已知平面向量值與B滿足：）在B方向上的投影向量為3在方方向上

4

的投影向量為心且同=2,則問=（）

A.V3B.2C.273D.4

c________\___.

AB就一?ABAC1

4.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）已知非零向量而與就滿足『+口BC=0,且伺=則向

\AB\\AC\\AB\\AC\2

量M在向量無上的投影向量為（）

3―?1—?3—?1—、

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

2222

即時檢測

1.（23-24高三下?湖北?開學(xué)考試）已知e是單位向量，且|2。-司=加,方+2。在G上的投影向量為53,貝U。

與巨的夾角為（）

7171715兀

A.—B.—C.—D.—

64312

2.（2024?浙江紹興三模）若非零向量萬，B滿足同=同=歸+,,則1+2分在B方向上的投影向量為（）

-3__1->

A.2bB.—bC.bD.—b

22

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量方=（2,〃?），K=（?,l）,c=（7n+l,-l）,若bile,則1在2+3上

的投影向量為（）

4.（2024?新疆喀什?二模）在直角梯形/BCD中，4J//BC且8c=1.與2D交于點。，則向

量協(xié)在向量瓦5上的投影向量為（）

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

5.Q024?山東荷澤?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，）=（1,道），點3在直線x+島-2=0上，則礪

在刀上的投影向量為（）

A.（1,⑹B.（1,3）C

考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題

典例引領(lǐng)

L（湖南?高考真題）設(shè)Z花均是非零向量，且忖=2%,若關(guān)于x的方程/+口卜+分否=0有實根，則￡與.

的夾角的取值范圍為（）

八兀兀712K兀

A.0B.—,7iC.-D.—,Tt

_6J\_3J|_33J|_6

2.（2022?北京?高考真題）在。中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為“5C所在平面內(nèi)的動點，且

PC=1,則強.而的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2023?全國?高考真題）已知。。的半徑為1,直線尸/與。。相切于點力,直線網(wǎng)與。。交于2,C兩點,

。為2c的中點，若怛。|=夜，則強.而的最大值為（）

A1+V2a1+2V2

22

C.1+V2D.2+V2

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知同=網(wǎng)=2,同=1,（?-c）.（5-c）=0,則歸-可的取值范圍是（）

即時投測I

1.（2024?河北唐山?二模）已知圓C：X2+（J；-3）2=4,過點（0,4）的直線/與x軸交于點P，與圓C交于A,

8兩點，則無?（0+而）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

2.12024?天津河北?二模）”8C是等腰直角三角形，其中=尸是“8C所在平面內(nèi)的一點，

若屈=20（2>0,//>0>2+2//=2）,則聲在壇上的投影向量的長度的取值范圍是（）

A.]o，TB.與1C.[1,V2]D.[V2,2]

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知昆瓦為單位向量，且囚-5同=7,貝小”引+卜-2a的最小值為（）

A.2B.2月C.4D.6

22

4.（2024?山東日照?一模）過雙曲線^--匕=1的右支上一點P,分別向G>q:（x+4）2+r=3和

412

0G:（x-4）2+/=i作切線，切點分別為.N,貝IJ（同7+麗）?麗？的最小值為（）

A.28B.29C.30D.32

IN.好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過關(guān)

■一________

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）已知向量1=（3,1）,3=（-2,x）,若3，0+B）,則⑸=（）

A.2B.3C.2遙D.

3

2.（2024?北京大興?三模）已知平面向量3=（1,加），5=（2,-2m）,則下列結(jié)論一定錯誤的是（）

A.aliiB.aLbC.|S|=2|a|D.a—b=（1,—3w）

3.（2022黑龍江?模擬預(yù)測）已知向量|Z|=3,|"—司=|Z+2]|,則日+司=（）

A.V3B.2C.75D.3

4.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知平面向量之=（-1,2）,石=（3,4）,貝壯在B上的投影向量為（）

3_434

5，-55,5

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知向量2］為單位向量，|句=目且"+g+工=6，則：與B的夾角為（）

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若平面向量用B滿足同="可=1,卜+可=氐則向量獲夾角的余弦值為

7.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在平行四邊形/3CZ）中/=45°,/8=1,/。=也，若/=酢+x近（xeR）,

則網(wǎng)的最小值為（）

D.V2

二、填空題

8.（2024?陜西?模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若。是正八邊形NBCDEFG〃的中心,

畫=1，則就.麗.

FE

AB

9.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）已知向量3=（-4,加），3=（1,-2）滿足0-23）_1很，則加的值為.

10.（2024?重慶?三模）已知正方形48CD,邊長為1,點E是8c邊上一點，若BE=2CE,則荏.3=.

能力提升

一、單選題

1.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若平面向量入B滿足同咽，且”;時，口叫取得最小值，則他5）=

2.（2024?天津北辰三模）在。"中，|阿=2&,。為。8c外心，且亞?就=1，則/48C的最大值

為（）

A.30°B.45°C,60°D.90°

3.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）曲線C的方程為r=4x,直線/與拋物線C交于/,2兩點.設(shè)甲：直線/與

過點（1,。）；乙：OA-OB=-3（。為坐標(biāo)原點），則（）

A.甲是乙的必要不充分條件B.甲是乙的充分不必要條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

4.（2024.四川成都.模擬預(yù)測）設(shè)向量。，B滿足+且2同=3問/0,則cos＜/,B＞=（）

1313

A.——B.——C.-D.-

6868

5.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）在A48c中，BA-BC^^BC2,若@在+|就，b^^AB+^AC,

2—?5—?

c=-AB+-AC,貝I］（）

77

A.歸卜同＞|同B.歸卜同＞同C.同＞同〉.D.同＞同＞同

6.（2024?四川成都三模）在矩形NBCD中，AB=5,4。=4,點￡滿足2荏=3麗，在平面/BCD中，動

點產(chǎn)滿足麗.麗=0，則麗.就的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2713+4D.2萬-6

二、多選題

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知向量入B的夾角為方，且同=1,忖=2,貝U（）

A.(a-b^LaB..+同=77

C.忻+*慟D.Z在加的方向上的投影向量為"3

4

8.（2024?新疆?三模）已知點。（。,0）,4（2,1）,5（1,2）,P（cosa,sina）（0＜a＜2n）,則下列結(jié)論正確的是

()

若口=^,則標(biāo)而

A._1B.若〃而，貝*=下

4

―?―124

C.若AB?OP=-?,sin2cr=—D.|萬|的最大值為店+1

9.（2024?廣東江門?三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算〃*石=|〃|㈤6山〈〃花〉，其中〈見5〉表示見書的

夾角，則對于兩個非零平面向量￡》，下列結(jié)論一定成立的有（）

A.￡在B上的投影向量為|a|sin〈a,6〉-b

161

B.(2*b)2+(ab)2=|?|2|6|2

C.2(a*6)=(2a)*6

D.若Q*B=0,KOa!lb

三、填空題

10.（2024天津河?xùn)|?二模）如圖所示，正方形的邊長為而，正方形EFG”邊長為1,則荏.就的

值為.若在線段48上有一個動點"，則林.旎的最小值為.

真題感也

1.（2024?北京?高考真題）設(shè)?,B是向量，貝〃卜+3伍-分）=0"是或2=]"的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?天津?高考真題）在邊長為1的正方形/BCD中，點E為線段CD的三等分點，

1—>—>—>

CE=-DE.BE=2,BA+JLLBC,則丸+〃=；尸為線段放上的動點，G為肝中點，則的最小值

為.

3.Q023,天津?|Wj考真題)在AABC中，BC=1,Z-A-60°,4Z)==/CD,記Z5==6,用扇b

—?1—?_,__.

表示4E=;若BF=3BC,則4E1./月的最大值為.

4.（2023?全國?高考真題）己知向量3,B滿足歸-可=石，歸+可=悔-閘，則斗.

5.（2023?北京?高考真題）已知向量房B滿足》+日=（2,3）為-B=（-2,l）,則|殲-出產(chǎn)=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022?全國?高考真題）已知向量M=（加,3）3=（1,加+1）.若人則加=.

7.（2022?全國?高考真題）設(shè)向量刃的夾角的余弦值為g,且同=1,W=3,則（22+否”=.

8.（2022?全國?高考真題）已知向量滿足向=1,向=G,|Z-2司=3,則￡石=（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（2022?天津?高考真題）在。8C中，CA=a,CB=b,。是NC中點，CB=2BE，試用用5表示力萬

為.,若下JL詼，則NNC8的最大值為.

10.（2021?全國?!§）考真題）已知向量。==（3,4）,若（a-4坂）_L3,則2=

（2021?全國?圖考真題）若向量之花滿足卜|=3,卜-q=5,a%=l,則［0=

12.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）3=（l,0）,c=a+《1.若￡_1_工，則后=

13.（2021?浙江?高考真題）已知非零向量則H=是”=/的（）

A.充分不必要條件