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信息工程大學(xué)算法設(shè)計(jì)與分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃—引例—兔子繁殖國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心計(jì)算機(jī)學(xué)科組規(guī)劃教材算法設(shè)計(jì)與分析Python案例詳解微課視頻版兔子繁殖問題:

一對(duì)兔子從出生后第三個(gè)月開始,每月會(huì)生一對(duì)小兔子。如果兔子只生不死,一月份抱來一對(duì)剛出生的小兔子,問一年中每個(gè)月各有多少對(duì)兔子。F(n)表示第n個(gè)月的兔子對(duì)數(shù),F(xiàn)(n)=上個(gè)月的兔子+本月新出生的兔子F(n-1)F(n-2)斐波納契數(shù)列(FibonacciSequence)F(n)=

1 ifn=0or1F(n-1)+F(n-2) ifn>11,1,2,3,5,8,11,19,30,49,……方法一:遞歸實(shí)現(xiàn)基于分治的遞歸實(shí)現(xiàn):intF(intn){ if(n==0||n==1)return1; returnF(n-1)+F(n-2);}F(n)=F(n-1)+F(n-2)問題:該方法求解第n項(xiàng)的時(shí)間復(fù)雜度是多少?單選題。遞歸求解Fibonacci數(shù)列第n項(xiàng)的時(shí)間復(fù)雜度是多少?A.O(n)B.O(n2)C.O(2n)D.O(1)方法一:遞歸實(shí)現(xiàn)F(n)F(n-1)F(n-2)F(n-2)F(n-3)F(n-3)F(n-4)F(n-3)F(n-4)F(n-4)F(n-5)F(n-4)F(n-5)F(n-5)F(n-6)F(n)F(n-1)F(n-2)F(n-2)F(n-3)F(n-3)F(n-4)F(n-3)F(n-4)F(n-4)F(n-5)F(n-4)F(n-5)F(n-5)F(n-6)T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1=O(2n)F(n)=F(n-1)+F(n-2)思考:時(shí)間復(fù)雜度高的原因是什么?原因:存在大量的重復(fù)計(jì)算。方法二:帶記憶的遞歸實(shí)現(xiàn)(備忘錄)去除重復(fù)計(jì)算的方法:保存計(jì)算結(jié)果/*A[i]表示第i個(gè)月的兔子對(duì)數(shù),初始化為0*/intA[MAXSIZE]={0};intF(intn){

if(n==0||n==1)A[n]=1;elseif(A[n]==0)A[n]=F(n-1)+F(n-2);returnA[n];}T(n)=O(n)方法三:遞推實(shí)現(xiàn)intF(intn){

A[0]=A[1]=1;for(inti=2;i<=n;i++)A[i]=A[i-1]+A[i-2];returnA[n];}月份12345678兔子數(shù)1123581321A[8]A[6]A[7]+依然在內(nèi)存T(n)=O(n)方法四:遞推實(shí)現(xiàn)(消除數(shù)組)intF(intn){a=1,b=1,c=0;for(inti=3;i<=n;i++){c=a+b;a=b;b=c;}returnc;}第i次計(jì)算abc第i+1次計(jì)算abc斐波那契數(shù)列的時(shí)空復(fù)雜度分析實(shí)現(xiàn):方法一

方法二方法三

方法四

時(shí)間復(fù)雜度:O(2n)O(n)O(n)空間復(fù)雜度:O(1)O(n)O(1)O(n)O(n)

(遞歸)

(備忘錄)

(遞推)

(空間優(yōu)化的遞推)從兔子繁殖問題引出斐波那契數(shù)列,并就該問題討論多種求

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