空間向量與立體幾何（知識歸納+題型突破）（原卷版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（人教版選擇性必修第一冊）

第一章空間向量與立體幾何（知識歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.能夠理解空間向量的概念，運算、背景和作用；

2.能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力；

3.能夠掌握空間向量基本定理，體會其作用，并能簡單應(yīng)用；

4.能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路.

基礎(chǔ)知識歸納

一、空間向量的有關(guān)概念

1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模;

如空間中的位移速度、力等.

2、幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量［長度相等而方向相反的向量，稱為7的相反向量，記為-￡

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

二、空間向量的有關(guān)定理

1、共線向量定理：

對空間任意兩個向量點石3片。），出的充要條件是存在實數(shù)X,使￡=4次

（1）共線向量定理推論：如果/為經(jīng)過點A平行于已知非零向量￡的直線，那么對于空間任一點。，點P在

直線/上的充要條件是存在實數(shù)￡,使而=礪+后①,若在I上取AB=a＞則①可以化作：而=函+tAB

P

B

A

O

（2）拓展（高頻考點）：對于直線外任意點。，空間中三點尸,A3共線的充要條件是麗=兄麗+〃通,

其中2+〃=1

2、共面向量定理

如果兩個向量2萬不共線，那么向量方與向量2萬共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（尤,y）,使

p=xa+yb

（1）空間共面向量的表示

如圖空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（尤,y）,使Q=天通+yAC.

或者等價于：對空間任意一點。，空間一點P位于平面ABC內(nèi)（P,A,5c四點共面）的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)對（尤,y）,使麗=C5+X通+＞正，該式稱為空間平面ABC的向量表示式，由此可知，空間中任

意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

（2）拓展

對于空間任意一點。，四點P,C,A3共面（其中C,A,3不共線）的充要條件是存=+yC5+Z萌（其

中x+y+z=l）.

3、空間向量基本定理

如果向量三個向量a,反c,不共面，那么對空間任意向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.

三、空間向量的數(shù)量積

1、空間兩個向量的夾角

（1）定義：已知兩個非零向量￡,九在空間任取一點。，作詼=￡,OB=b^則么NAO3叫做向量

的夾角，記

（2）范圍：＜。,匕＞￡[0,句.

特別地，⑴如果＜癡那么向量癡互相垂直，記作/人

（2）由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為萬，故＜Z,B〉=0（或

＜afb＞=?）0￡//后（。,行為非零向量）.

⑶零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定o與任何向量Z都是共線的，即兩非零向量的夾角是

唯一確定的.

（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）

若兩個向量[1所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為。,

__?TT

⑴向量夾角的范圍是0?凡辦><乃，異面直線的夾角。的范圍是

—?—?TT

（2）當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，0=<a,b>-,當(dāng)兩向量的夾角為3時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為

鈍角時，O=TT-<a,b>.

2、空間向量的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量Z，b-貝U|Z||B|cos<￡,B>叫做Z,B的數(shù)量積，記作7B；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

3、向量日的投影

3.1.如圖（1）,在空間，向量￡向向量B投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面。

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量石共線的向量入c=|a|cos<a,>>=向量2稱為向量￡在

1。1

向量B上的投影向量.類似地，可以將向量Z向直線/投影（如圖（2））.

3.2.如圖（3）,向量a向平面B投影,就是分別由向量Z的起點A和終點B作平面P的垂線，垂足分別為4,

B',得到向量稱為向量Z在平面夕上的投影向量.這時，向量z，H@的夾角就是向量￡所

在直線與平面夕所成的角.

4,空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量z，B的數(shù)量積等于Z的長度與B在Z方向上的投影

Ib|cos<a,b>的乘積或等于B的長度|B|與￡在B方向上的投影|a|cos<a,b>的乘積.

5、數(shù)量積的運算：

（1）=AGT?.

（2）a.]=石.a（交換律）.

（3）a-（B+c）=a%+a-c（分配律）.

四、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)0=(6,4,%)，b=(bl,b2,bi)，空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示:

數(shù)量積a-b=〃也+a2b2+“3%

共線(平行)

%=Xbx

Z||灰石wC）=%=丸石=<a2=Ab2（2GR）

%=2Z?3

垂直

a-Lb<^>a-b=0<^afy+a2b2+a3b3=0均非零向量）

模1。1=aF=Jj=,a：+a2+，即1a1=J+

夾角

-_a-b01bl+a2b2+a3b3

cos<a,B"向⑹州+城+色信+屆+￡

五、直線的方向向量和平面的法向量

1、直線的方向向量

如圖①,a是直線/的方向向量,在直線/上取通=￡,設(shè)P是直線I上的任意一點，則點P在直線/上的充要條

件是存在實數(shù)乙使得?=扇，即Q=f通

四①

2、平面法向量的概念

如圖，若直線l1a,取直線I的方向向量Z,我們稱Z為平面e的法向量；過點A且以Z為法向量

的平面完全確定，可以表示為集合{P|〉ZA=0}.

3、平面的法向量的求法

求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:

設(shè)向量：設(shè)平面a的法向量為百=(羽y,z)

選向量：選取兩不共線向量AB,衣

7怎=0

列方程組：由__.列出方程組

n-AC=0

n-AB=0

解方程組：解方程組—一.

n-AC=0

賦非零值：取其中一個為非零值（常取±1）

得結(jié)論：得到平面的一個法向量.

六、空間位置關(guān)系的向量表示

設(shè)耳石分別是直線44的方向向量，晨晨分別是平面%力的法向量.

4〃，2O%//〃2o三幾￡R,使得％=彳〃2

線線平行

注：此處不考慮線線重合的情況.但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合

線面平行4//a±=0注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內(nèi)；

_?__11UU

二///7?々//%32eR,使得Y\=幾巧

面面平行

注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合.

線線垂直/1_L，2o4_L沆2O4?%=0

線面垂直4_L。=4//“<^>32eR,使得％=力

面面垂直1"L力O"_L〃20勺,%=0

七、向量法求空間角

1、異面直線所成角

設(shè)異面直線4和所成角為。，其方向向量分別為1，V；則異面直線所成角向量求法：

…--U-V

①cos<u,v>=一一

|w||v|

②COS0=|COS<V>|

2、直線和平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為3，平面a的一個法向量為元，直線/與平面。所成的角為。，則①

——（J./I

cos<a,n>=―—―；

1ali"I

②sin0=|cos<a,n>\.

3、平面與平面所成角（二面角）

(1)如圖①，AB,是二面角。-/-，的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=<氐瓦麗〉.

①

(2)如圖②③，%,后分別是二面角。的兩個半平面名，的法向量，則二面角的大小。滿足:

①cos<n,,n,>=_!上

②COS6=±COS<〃],〃2>

若二面角為銳二面角(取正)，則cosOgcosv4,生〉|；

若二面角為頓二面角(取負(fù))，則cosO=—|cos<%,4〉|；

(特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是

鈍二面角.)

八、向量法求距離

(1)點到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為；，A是直線/上的定點，尸是直線/外一點，點尸到直線/的距離為

(市

(2)兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線/，，"之間的距離，可在其中一條直線/上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于P到

直線"2的距離.

(3)求點面距

①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.

即：點A到平面a的距離,其中QGa,萬是平面a的一個法向量.

\n\\n\\n\

(4)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進(jìn)行求解

\AB-n\

直線。與平面a之間的距離：d=―ra—，其中五是平面a的一個法向量.

\n\

兩平行平面a,月之間的距離:其中Aea,BeB力是平面a的一個法向量.

重要題型

題型一空間關(guān)系的證明

【例1】如圖,正方形ADE尸與梯形ABCD所在的平面互相垂直，2AB=2AD=CD^4,ADLCD,AB!/CD,

M為CE的中點.

⑴求證：8"http://平面4)￡尸1；

(2)求證：BC人平面BDE.

反思總結(jié)

證明平行、垂直關(guān)系的方法可以運用傳統(tǒng)方法也可以運用空間向量。

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法：

(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可。

(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明平面內(nèi)存在一個向量與直線的

方向向量是共線向量;③利用共面向量定理，即證明平面內(nèi)存在兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量。

(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行的問題。

(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直。

(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。

(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題。

鞏固訓(xùn)練：

1.如圖，四棱錐尸-ABCD中，側(cè)面BW為等邊三角形，線段的中點為。且尸0人底面ABCD,

1兀

AB=BC=-AD=1,ZBAD=ZABC^-,E是尸。的中點.證明："http://平面

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2.如圖所示,正四棱ABCD-A4GR的底面邊長1,側(cè)棱長4,M中點為E,CG中點為人求證:平面區(qū)見//

平面

3.如圖，在正方體ABCD-AgGA中，M,N分別為AB,與C的中點.證明:

⑴平面ABO〃平面3卬；

(2)〃'_1平面48。.

題型二利用空間向量求線面角

【例2】如圖，己知正三棱柱ABC-ABC中，點E,尸分別為棱即,AG的中點.

⑴若過AE、尸三點的平面，交棱與G于點尸，求怠■的值;

(2)若三棱柱所有棱長均為2,求AE與平面.所成角的正弦值.

反思總結(jié)

根據(jù)圖形與已知條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系

設(shè)直線48與平面a所稱的角為優(yōu)需求出平面

a的法向量n和直線45的方向向量彳才

cos＜瓊心|由:

\AB\'\n

利用sin0=|cos<A^,n>\，直線和平面所成角的

范圍是［0,千］,即可得出直線和平面所成的角

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，上4,平面ABCZ),PA=AD=0AB,點〃是尸。的中

(1)證明：AM±PC；

(2)設(shè)AC的中點為。，點N在棱PC上(異于點P,O,且ON=0A,求直線AN與平面ACM所成角的正

弦值.

2.如圖四棱錐P—ABC。，點A民C,D在圓。上，A3=AO=2,/BAO=120。，頂點尸在底面的射影為圓心。,

點E在線段尸。上.

⑴若AB//CD,PErPD,當(dāng)AE〃平面P3C時，求2的值;

(2)若A3與CZ)不平行，四棱錐尸-ABCD的體積為6，尸。=0,求直線PC與平面E4B所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱柱ABCO-ABIGA中，44—平面ABCD,AB//CD,AB1,AD,AD=CD=1,AAi=AB=2,

E為441的中點.

(1)求四棱錐的體積;

(2)設(shè)點加在線段GE上，且直線AM與平面BCC百所成角的正弦值為:，求線段A"的長度;

題型三利用空間向量求二面角

［例引如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸3,平面A3CD,底面ABCD為直角梯形，ZBAD=ZABC=90°,

PB=AB=BC=2AD=6,尸為84的中點.

(1)證明：BF1PD.

⑵求二面角尸-CD-尸的余弦值.

反思總結(jié)

利用向量法確定二面角平面角大小的常用方法.

(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，結(jié)合實際圖形通過兩個平面的法向量的夾

角得到二面角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這

兩個向量的夾角等于二面角的平面角.

確定二面角的平面角的大小，方法有:①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角;②依據(jù)“同進(jìn)

同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等”求解;③在二面角的一個半平面內(nèi)取一點P,過點P做另一個半平面所在平面的垂線,

若垂足在另一個半平面內(nèi)，則所求二面角為銳二面角，若垂足在另一個半平面的反向延長面上，則所求二面角

為鈍二面角.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在三棱錐A—BCD中，2C=CD=2e,AB=AC=AD=BO=4,O為8。的中點.

(1)證明：。4，平面3。。；

(2)點E在棱C￡＞上，若平面ABD與平面ABE的夾角為30。，求r;的值.

2.如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分別為P,Q,MGC是圓柱的軸截面，正方形ABC。內(nèi)接于下底面

圓Q,AB—a,A4j=6.

⑴當(dāng)a為何值時，點。在平面PBC內(nèi)的射影恰好是APBC的重心;

(2)在(1)條件下，求平面PAD與平面P3C所成二面角的余弦值.

3.如圖①所示，在RtaABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是線段AC,AB上的點，DE//BC

且。E=2,將VADE沿。E折起到△AOE的位置，使ACLCZ),如圖②.

E

圖②

⑴若點N在線段上，且2BN=N%,求證：EN//平面AC。；

(2)若M是4。的中點，求平面與平面DEBC夾角的余弦值.

題型四應(yīng)用空間向量求空間距離

［例4］如圖，四棱錐P—ABC。的底面是矩形，PDJ_底面AB。，PD=DC=2,AD=2丘,M為BC的中

(1)求直線BD與平面APM所成角的正弦值;

(2)求D到平面APM的距離.

反思總結(jié)

鞏固訓(xùn)練

1.已知直線/的一個方向向量為記若點尸(TL-l)為直線/外一點，44,1,-2)為直線/上一點,

則點P到直線I的距離為一.

2.如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，Q4,底面ABCD,OA=2,M、N、

R分別是。4、BC、AO的中點.求：

(1)直線與平面0CD的距離；

(2)平面MNR與平面OCD的距離.

3.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=272,PA=PC=AC=4,平面ABC人平面PAC.

(1)求異面直線AC與PB間的距離;

⑵若點M在棱8C上，且二面角M-必-C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

4.如圖①菱形ABCD,NB=60。,BE=EC=1.沿著人后將454￡折起到右皮4￡,使得/0/18'=90。，如圖②

所示.

圖②

⑴求異面直線A9與8所成的角的余弦值;

(2)求異面直線與8之間的距離.

題型五平行或垂直的探索性問題

［例5］如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AqGR中，點E為BC的中點.

(1)在8史上是否存在一點尸，使〃尸，平面與AE?

(2)在平面AA^B上是否存在一點N,使DtN1平面B、AE?

反思總結(jié)

涉及線段上的動點問題，先設(shè)出動點分線段的某個比值入，根據(jù)兩個向量共線的充要條件得數(shù)乘關(guān)系,從而用

入表示動點的坐標(biāo)，再進(jìn)行相關(guān)計算,這樣可以減少未知量，簡化過程。值得注意的是，應(yīng)給出入的取值范圍。

另外,建系時最好用右手直角坐標(biāo)系且使幾何元素盡量分布在坐標(biāo)軸的正方向上。

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，直三棱柱ABC-ABG中，AB±BC,AB=BC=1^=2,。是的中點.

(1)求異面直線4G與瓦。所成角的大小;

(2)求二面角C--8的余弦值;

(3)在BC上是否存在一點E,使得DE〃平面ABC?若存在，求出空的值；若不存在，請說明理由.

EC

2.如圖，在AABC中，IB90?,P為A3邊上一動點，PD//3C交AC于點現(xiàn)將APZM沿PZ)翻折至APDA.

⑵若尸5=CB=2=4,且APLAP,線段AC上是否存在一點￡(不包括端點)，使得銳二面角E-3D-C

的余弦值為也，若存在求出痣的值，若不存在請說明理由.

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