新課程2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖學(xué)案含解析

PAGE第七章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖[考綱解讀]1.相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu).2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)潔空間圖形的直觀圖．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)料]本講是高考考查的內(nèi)容之一．預(yù)料2024年本講內(nèi)容不會(huì)單獨(dú)考查.1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互eq\o(□,\s\up3(01))平行且eq\o(□,\s\up3(02))全等多邊形相互eq\o(□,\s\up3(03))平行側(cè)棱eq\o(□,\s\up3(04))平行且相等相交于eq\o(□,\s\up3(05))一點(diǎn)，但不肯定相等延長(zhǎng)線(xiàn)交于eq\o(□,\s\up3(06))一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)eq\o(□,\s\up3(07))平行四邊形eq\o(□,\s\up3(08))三角形eq\o(□,\s\up3(09))梯形2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線(xiàn)相互平行且相等，eq\o(□,\s\up3(01))垂直于底面相交于eq\o(□,\s\up3(02))一點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于eq\o(□,\s\up3(03))一點(diǎn)—軸截面全等的eq\o(□,\s\up3(04))矩形全等的eq\o(□,\s\up3(05))等腰三角形全等的eq\o(□,\s\up3(06))等腰梯形eq\o(□,\s\up3(07))圓3．直觀圖(1)畫(huà)法：常用eq\o(□,\s\up3(01))斜二測(cè)畫(huà)法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸與y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)eq\o(□,\s\up3(02))垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up3(03))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線(xiàn)段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\o(□,\s\up3(04))不變，平行于y軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的eq\o(□,\s\up3(05))一半．1．概念辨析(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)．()(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是旋轉(zhuǎn)體．()(5)菱形的直觀圖仍是菱形．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．小題熱身(1)如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′－ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體答案B解析剩余的部分是四棱錐A′－B′C′CB.(2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是()答案A解析由斜二測(cè)畫(huà)法的原理可知．(3)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是________．答案五棱柱三棱柱題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________．①有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；②棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐；③有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；④直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；⑤若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)．答案0解析①③④錯(cuò)誤，反例分別見(jiàn)下面三個(gè)圖．②錯(cuò)誤，若六棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必定要大于底面邊長(zhǎng)．⑤錯(cuò)誤，平行于軸的連線(xiàn)才是母線(xiàn)．識(shí)別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本要素，依據(jù)定義進(jìn)行判定.(2)反例法：通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.(2024·青島模擬)以下三個(gè)命題：①以直角梯形的一腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B．1C．2D．3答案B解析由圓臺(tái)的定義可知①錯(cuò)誤，②正確．對(duì)于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，③錯(cuò)誤.題型二空間幾何體的綻開(kāi)圖問(wèn)題1．紙制的正方體的六個(gè)面依據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是()A.南B．北C.西D．下答案B解析如圖所示的正方體，要綻開(kāi)成要求的平面圖，必需剪開(kāi)棱BC，使正方形BCC1B1向東的方向綻開(kāi)．剪開(kāi)棱D1C1，使正方形DCC1D1向北的方向綻開(kāi)．剪開(kāi)棱A1B1，使正方形ABB1A1向南的方向綻開(kāi)，然后綻開(kāi)，則標(biāo)“△2.已知圓錐的表面積為a，且它的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面直徑是()A.eq\f(a,2)B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π)D.eq\f(2\r(3a),3π)答案C解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，由題意知2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r，則圓錐的表面積S表＝πr2＋eq\f(1,2)π(2r)2＝a，所以r2＝eq\f(a,3π)，所以2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).求解綻開(kāi)圖問(wèn)題的關(guān)鍵及留意事項(xiàng)求解立體圖形綻開(kāi)圖問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)改變與否．應(yīng)留意：(1)點(diǎn)的改變，點(diǎn)與點(diǎn)的重合及點(diǎn)的位置改變；(2)長(zhǎng)度、角度等幾何度量的改變.如圖所示是一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子綻開(kāi)后的平面圖，A，B，C是綻開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC的值為()A.30°B．45°C.60°D．90°答案C解析還原成正方體后如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知，△ABC為正三角形，故∠ABC＝60°.題型三空間幾何體的直觀圖(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖(1)所示的是△ABC的實(shí)際圖形，圖(2)是△ABC的直觀圖.由圖(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖(2)中作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.條件探究將本例中的條件變?yōu)椤啊鰽BC的直觀圖△A1B1C1是邊長(zhǎng)為a的正三角形”，則△ABC答案eq\f(\r(6),2)a2解析如圖(1)所示的是△ABC的直觀圖，圖(2)是△ABC的實(shí)際圖形.在圖(1)中作C1D1∥y1軸，交x1軸于點(diǎn)D1，在圖(2)中作CD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)C1D1＝x，則CD＝2x.在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧(1)在原圖形中與x軸或y軸平行的線(xiàn)段在直觀圖中仍舊與x′軸或y′軸平行.(2)原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)段可以先畫(huà)出線(xiàn)段的端點(diǎn)再連線(xiàn).(3)原圖中的曲線(xiàn)段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)，然后用平滑曲線(xiàn)連接.(2024·福州調(diào)研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線(xiàn)為x軸，則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______.答案eq\f(\r(2),2)解析如圖所示，圖(1)是