2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第一節(jié)直線與直線的方程課時規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第一節(jié)直線與直線的方程[A組基礎(chǔ)對點練]1．直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)解析：由直線的方程得直線的斜率為k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).答案：D2．設(shè)直線l與x軸的交點是P，且傾斜角為α，若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線的傾斜角為α＋45°，則()A．0°≤α≤180° B．0°≤α<135°C．0°≤α<180° D．0°<α<135°解析：因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0°<α<180°，,0°≤α＋45°<180°，))所以0°<α<135°.答案：D3．若A(－2，3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三點在同一條直線上，則m的值為()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：因為A，B，C三點在同一條直線上，所以kAB＝kAC，所以eq\f(－2－3,3－（－2）)＝eq\f(m－3,\f(1,2)－（－2）)，解得m＝eq\f(1,2).答案：D4．傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是()A．eq\r(3)x－y＋1＝0 B．eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C．eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0 D．eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0解析：因為直線的傾斜角為120°，所以斜率k＝－eq\r(3)，又由題意知直線過點(－1，0)，所以直線方程為y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.答案：D5．設(shè)直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a，b滿意()A．a(chǎn)＋b＝1 B．a(chǎn)－b＝1C．a(chǎn)＋b＝0 D．a(chǎn)－b＝0解析：因為sinα＋cosα＝0，所以tanα＝－1.又因為α為傾斜角，所以斜率k＝－1.而直線ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)，所以－eq\f(a,b)＝－1，即a－b＝0.答案：D6．直線l經(jīng)過點A(1，2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是()A．－1＜k＜eq\f(1,5) B．k＞1或k＜eq\f(1,2)C．k＞1或k＜eq\f(1,5) D．k＞eq\f(1,2)或k＜－1解析：設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1－eq\f(2,k)，則－3＜1－eq\f(2,k)＜3，解得k＞eq\f(1,2)或k＜－1.答案：D7．(2024·河北張家口模擬)若直線mx＋ny＋3＝0在y軸上的截距為－3，且它的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角的2倍，則()A．m＝－eq\r(3)，n＝1 B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3 D．m＝eq\r(3)，n＝1解析：對于直線mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－eq\f(3,n)，即－eq\f(3,n)＝－3，n＝1.因為eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角為60°，直線mx＋ny＋3＝0的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的2倍，所以直線mx＋ny＋3＝0的傾斜角為120°，即－eq\f(m,n)＝－eq\r(3)，m＝eq\r(3).答案：D8．過點(1，2)，傾斜角的正弦值是eq\f(\r(2),2)的直線方程是________．解析：由題意知，直線的傾斜角為eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，所以斜率為1或－1，直線方程為y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝09．經(jīng)過點(－4，3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且不過原點的直線方程為________________．解析：由題意可設(shè)方程為x＋y＝a(a≠0)，所以a＝－4＋3＝－1.所以直線方程為x＋y＋1＝0.答案：x＋y＋1＝010．設(shè)點A(－1，0)，B(1，0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________．解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)和點B(1，0)時，b分別取得最小值和最大值．所以b的取值范圍是[－2，2].答案：[－2，2]11．在△ABC中，已知點A(5，－2)，B(7，3)，且邊AC的中點M在y軸上，邊BC的中點N在x軸上．(1)求點C的坐標(biāo)；(2)求直線MN的方程．解析：(1)設(shè)C(x，y).因為AC的中點M在y軸上，所以eq\f(x＋5,2)＝0得x＝－5，又因為BC的中點N在x軸上，所以eq\f(y＋3,2)＝0得y＝－3.所以C(－5，－3).(2)由(1)知C(－5，－3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1，0).由截距式得MN的方程為eq\f(x,1)＋eq\f(y,－\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0.[B組素養(yǎng)提升練]1．(2024·陜西西安臨潼區(qū)模擬)已知直線x＋a2y－a＝0(a是正常數(shù))，當(dāng)此直線在x軸，y軸上的截距和最小時，正數(shù)a的值是()A．0 B．2C．eq\r(2) D．1解析：直線x＋a2y－a＝0(a是正常數(shù))在x軸，y軸上的截距分別為a和eq\f(1,a)，此直線在x軸，y軸上的截距和為a＋eq\f(1,a)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時，等號成立．故當(dāng)直線x＋a2y－a＝0在x軸，y軸上的截距和最小時，正數(shù)a的值是1.答案：D2．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．解析：動直線x＋my＝0(m≠0)過定點A(0，0)，動直線mx－y－m＋3＝0過定點B(1，3).由題意易得直線x＋my＝0與直線mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值為5.答案：53．已知兩點A(－1，2)，B(m，3).(1)求直線AB的方程；(2)已知實數(shù)m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．解析：(1)當(dāng)m＝－1時，直線AB的方程為x＝－1，當(dāng)m≠－1時，直線AB的方程為y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)，即x－(m＋1)y＋2m當(dāng)m＝－1時，代入x－(m＋1)y＋2m＋3＝0即x＝－1，所以直線AB的方程為x－(m＋1)y＋2m(2)①當(dāng)m＝－1時，α＝eq\f(π,2)；②當(dāng)m≠－1時，m＋1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq\r(3)]，所以k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).綜合①②知，直線AB的傾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).4．已知直線l過點M(1，1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．求：(1)當(dāng)|OA|＋|OB|取得最小值時，直線l的方程；(2)當(dāng)|MA|2＋|MB|2取得最小值時，直線l的方程．解析：(1)設(shè)A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0).設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0.(2)設(shè)直線l的斜率為k，則k<0，直線l的方程為y－1＝k(x－1)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k)，0))