2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算【必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)】導(dǎo)思1.什么是空間向量？怎樣表示空間向量？2．什么是共線(xiàn)向量？相等向量？相反向量？3．怎樣進(jìn)行空間向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算？這些運(yùn)算滿(mǎn)意哪些運(yùn)算律？4．三個(gè)向量共面的條件是什么？1.空間向量的概念(1)在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也用有向線(xiàn)段表示，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示空間向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)幾類(lèi)特別的空間向量：名稱(chēng)定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等向量共線(xiàn)向量(平行向量)假如表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)相互平行或重合，那么這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量2.空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律空間兩個(gè)向量的加減法與平面內(nèi)兩個(gè)向量的加減法有沒(méi)有區(qū)分？提示：沒(méi)有區(qū)分．3．向量共線(xiàn)的充要條件對(duì)隨意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.4．直線(xiàn)的方向向量若非零向量a在直線(xiàn)l上，與向量a平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)l的方向向量．5．共面對(duì)量(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面對(duì)量．(2)充要條件：假如兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．若對(duì)隨意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)P，A，B，C共面的充要條件嗎？為什么？提示：是．因?yàn)镻，A，B，C共面的充要條件是存在m，n使eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→)).令x＝1－m－n，y＝m，z＝n.則eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1.1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”).(1)兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．()(2)兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，肯定是共線(xiàn)向量．()(3)若表示兩向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)，則這兩個(gè)向量不是共面對(duì)量．()(4)空間中方向相反的兩個(gè)向量是相反向量．()(5)若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件．()提示：(1)√.相等向量，起點(diǎn)相同，終點(diǎn)必相同．(2)×.向量有公共終點(diǎn)，但起點(diǎn)不同，就可能不是共線(xiàn)向量．(3)×.空間的全部向量都是自由的，可以平行移動(dòng)，空間中的隨意兩個(gè)向量肯定共面．(4)×.相反向量不僅要求方向相反，而且模長(zhǎng)必需相等．(5)√.首先A，B，C，D不共線(xiàn)，而eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，說(shuō)明AB與CD平行且相等，于是四邊形ABCD是平行四邊形，反之亦成立，故為充要條件．2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1頂點(diǎn)連接的向量中，與向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量共有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】選C.與向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BC,\s\up6(→))，，共3個(gè)．3．空間中隨意四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】選C.利用向量運(yùn)算法則即可得出，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).【關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)】類(lèi)型一空間向量的概念(數(shù)學(xué)抽象)1.給出以下結(jié)論：①空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等；②若空間向量a，b滿(mǎn)意|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝；④若空間向量m，n，p滿(mǎn)意m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1①eq\o(AB,\s\up6(→))與；②與；③與；④與．其中互為相反向量的有n對(duì)，則n等于()A．4B．3C．2D．13．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若a與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則a與c共線(xiàn)；②向量a，b，c共面即它們所在的直線(xiàn)共面；③若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.A．0B．1C．2D．3【解析】1.選B.因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量，只有模相等，但方向不肯定相同，故①不正確；若空間向量a，b滿(mǎn)意|a|＝|b|，則不肯定能推斷出a＝b，故②不正確；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝成立，故③正確；④明顯正確．2．選C.對(duì)于①eq\o(AB,\s\up6(→))與，③與中的兩向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，均為互為相反向量；對(duì)于②與長(zhǎng)度相等，方向不相反；對(duì)于④與長(zhǎng)度相等，方向相同．故互為相反向量的有2對(duì)．3．選A.①中b＝0時(shí)，則a與c不肯定共線(xiàn)；②中，共面對(duì)量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)不肯定共面；③中，當(dāng)b＝0，a≠0時(shí)λ不存在，故①②③均錯(cuò)．空間向量與平面對(duì)量的一樣性在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一樣，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是兩個(gè)向量的模相等，方向相反．【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：①單位向量共有多少個(gè)？②試寫(xiě)出模為eq\r(5)的全部向量．③試寫(xiě)出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外).④試寫(xiě)出向量的全部相反向量．【解析】①由于長(zhǎng)方體的高為1，所以長(zhǎng)方體的四條高所對(duì)應(yīng)的向量，，，，，，，，共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè)．②由于長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有，，，，，，，.③與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)有，eq\o(DC,\s\up6(→))及.④向量的全部相反向量有，，，.類(lèi)型二空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算(直觀(guān)想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在如圖所示的平行六面體中，求證：eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋＝.【思路導(dǎo)引】將式子左邊的向量都用從A點(diǎn)動(dòng)身的向量代替，最終轉(zhuǎn)化為對(duì)角線(xiàn)上的向量．【證明】因?yàn)槠叫辛骟w的六個(gè)面均為平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋，＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋)＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋).又因?yàn)椋?，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋＝.所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋＋＝2.運(yùn)用法則進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算時(shí)留意的關(guān)鍵要素(1)向量加法的三角形法則：“首尾相接，指向終點(diǎn)”；(2)向量減法的三角形法則：“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；(3)平行四邊形法則：“起點(diǎn)重合”；(4)多邊形法則：“首尾相接，指向終點(diǎn)”．1．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，如圖所示，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A．eq\o(AN,\s\up6(→)) B．eq\o(CN,\s\up6(→)) C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】選A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→)).2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是()①－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－；④．A．①④ B．②③ C．③④ D．①②【解析】選D.①－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－＝eq\o(BD,\s\up6(→))－＝eq\o(BD,\s\up6(→))－；④＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋．類(lèi)型三空間向量的共面(數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理)角度1向量共線(xiàn)【典例】已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則肯定共線(xiàn)的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【思路導(dǎo)引】視察已知三個(gè)向量中a與b的系數(shù)，通過(guò)加減獲得能夠成倍數(shù)關(guān)系的向量．【解析】選A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又直線(xiàn)AB，AD有公共點(diǎn)A，故A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．將條件中向量eq\o(AB,\s\up6(→))改為eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，其他不變，增加條件“且A，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)”，則實(shí)數(shù)k＝________．【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋kb)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋(k＋4)b，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，則3a＋(k＋4)b＝λ(7a－2b)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7λ＝3，,－2λ＝k＋4，))解得k＝－eq\f(34,7).答案：－eq\f(34,7)角度2向量共面【典例】如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線(xiàn)BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．【思路導(dǎo)引】可通過(guò)證明eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(CD,\s\up6(→))＋yeq\o(DE,\s\up6(→)).【證明】因?yàn)镸在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))不共線(xiàn)，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．證明空間向量共面的方法(1)設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線(xiàn)性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．1．設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k＝________．【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝7，,λk＝k＋6，))解得k＝1.答案：12．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試推斷p，m，n【解析】設(shè)p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c因?yàn)閍，b，c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程組無(wú)解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．如圖所示，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A．eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→)) D．eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))【解析】選D.依據(jù)題意可知，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))為相反向量，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))只是模相等，與是相等向量．2．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2，給出以下結(jié)論：①eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．2 C．1 D．3【解析】選C.因?yàn)閑q\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up