行列式-上海財(cái)經(jīng)大學(xué)

——上海財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系線性代數(shù)第一章

行列式一、n

階行列式的定義

(sect.1,2,3)二、行列式的計(jì)算

(sect.4,5)三、Cramer法則

(sect.6)一、n

階行列式的定義

(sect.1,2,3)1.二階與三階行列式二階行列式的計(jì)算（對(duì)角線法）如主對(duì)角線反對(duì)角線注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào),藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào).說明 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.三階行列式的計(jì)算（對(duì)角線法）例1

(1)

計(jì)算的數(shù)值,(2)

求的根.2.排列與逆序定義1.1把n個(gè)不同的元素排成一排,叫做這n個(gè)元素的全排列,也稱n級(jí)全排列（簡(jiǎn)稱排列).n個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)=n!定義1.2在n個(gè)不同元素的排列中,當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù).排列 的逆序數(shù)記為定義1.3 逆序數(shù)為偶數(shù)或零的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.定義1.4 把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換,而其余的數(shù)不動(dòng),就得到另一個(gè)排列,這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對(duì)換.定理1.1 一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換,排列改變奇偶性.定理1.2所有n 級(jí)排列中(n >1),奇排列與偶排列各占一半.例2

計(jì)算3.n

階行列式的定義叫做n 階行列式.其中∑ 表示對(duì)所有的排列求和.共有n!項(xiàng).注:每一項(xiàng)是n個(gè)元素的乘積，且這n個(gè)元素取自不同的行不同的列,其符號(hào)由列指標(biāo)的逆序數(shù)所確定.最高次的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).特別地,

定義一階行列式例3

求多項(xiàng)式重要結(jié)論:下三角形行列式上三角形行列式的值

和對(duì)角形行列式（主對(duì)角線元素以外的元素全為零的行列式）的值也等于主對(duì)角元素的連乘積.斜對(duì)角形行列式斜上(下)三角形行列式具有同樣結(jié)果.二、行列式的計(jì)算

(sect4,5)1.利用行列式的性質(zhì)計(jì)算D=行列式

稱為行列式

的轉(zhuǎn)置行列式..性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置值不變,即記性質(zhì)2 互換行列式的某兩行（列）元素,行列式變號(hào).推論 若行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相同,則行列式的值為零.性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用k去乘此行列式.推論 若行列式中某行（列）的元素全為零,則行列式的值為零.性質(zhì)4 行列式中若有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例,其值為零.性質(zhì)5性質(zhì)6 把某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去,行列式的值不變.將D

化至上三角行列式.

這一過程一般是從左到右逐列逐列進(jìn)行.例5

證明例4

計(jì)算行列式的值.例6

計(jì)算行列式的值.特征: 每一行或列的元素之和相等.方法: 將第2，3，……，n 列都加到第1列.2.利用展開式計(jì)算在n階行列式中,把元素 所在的第i行第j列劃去后留下的n-1階行列式叫做元素的余子式,記作 .叫做元素

的代數(shù)余子式.展開定理行列式D等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論

行列式D的任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.例7

利用行列式的展開計(jì)算行列式的值一般應(yīng)選取零元素最多的行或列進(jìn)行展開;或者選取一行或列,利用行列式的性質(zhì)6,將這一行或列的元素盡可能多的化為零,然后按一行或列進(jìn)行展開;這樣以便計(jì)算.例8

證明范德蒙(

Vandermonde)行列式例9

計(jì)算

n

階三對(duì)角行列式的值.將行列式按第一列展開,注意到于是成立遞推關(guān)系:三、Cramer法則

(sect6)含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組一般形式為:其中稱為方程組的系數(shù);稱為常數(shù)項(xiàng).稱為n元齊次線性方特別地,程組 .記作由系數(shù)構(gòu)成的行列式:叫做方程組的系數(shù)行列式 .,那克萊姆（Cramer）法則如果線性方程組

式的系數(shù)行列式么它有唯一解,其解為: