函數(shù)零點(diǎn)分布問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）

專題突破卷02函數(shù)零點(diǎn)分布問題

哀題生頸嵬

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

根據(jù)指對鬲函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)范圍

原題生各小擊破

題型一根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題

1.若當(dāng)xe［0,2可時(shí)，函數(shù)y=sin］與>=25畝］的-1（0>0）的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn),

則。的取值范圍是（）

、（「、（⑺

A-［"引91力3B.［9另13113引17D-1193句

【答案】C

【分析】畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后找出有4,5個(gè)交點(diǎn)臨界狀態(tài)的解即可.

【詳解】如圖所示，畫出尸si吟在xe［0,2兀］的圖象，

也畫出y=2sin（ox-；j（0>0）的草圖，

函數(shù)y=sin|■與y=2sin［0x-；［（0>O）的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，

則將y=2sinLx-^J（?>0）的第4個(gè)，第5個(gè)與x軸交點(diǎn)向2n處移動(dòng)即可.

田口好兀,。17K5/口13,17

泗足語<2兀<方解倚丁隊(duì)可

故選：C.

—x>0

2.已知函數(shù)/(x)=x'；若方程/(幻=。恰有三個(gè)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

X2+2X,X<0

()

A?嗎B.4C.D,(O,|)U{-1}

【答案】C

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/G)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)V=〃x)的

圖象，數(shù)形結(jié)合求出范圍.

【詳解】當(dāng)x〈0時(shí)，/(x)=(x+l)2-l,函數(shù)/(A在(-*-1］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞

增

當(dāng)x>0時(shí)，/(丫)=電二，求導(dǎo)得/'(x)=l,

X

f'(x)>0,得o<x<e,由/'(x)<0,得x>e,即函數(shù)/(X)在(0,e)上遞增，在(e,+a))上

遞減,

當(dāng)X=e時(shí)，/G)取得極大值/'(e)=L且當(dāng)X>1時(shí)，〃x)>o恒成立,

e

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線>與函數(shù)>=/(x)的圖象，如圖,

與函數(shù)V=/(x)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，即方程

〃x)=a恰有三個(gè)根,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

e

故選：C

/\X-6ZX+1,X<0

3.已知函數(shù)/x=/n,,)圖象與x軸至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

(6z-l)x+lnx+l,x>0n

值范圍為()

A.[-2,+s)B.(-1,0)

C.(-<?,-2]U[0,+co)D.(-l,+co)u{-2}

【答案】C

【分析】對x分類討論，分離參數(shù)求出。的范圍，最后去并集即可求解.

【詳解】當(dāng)xWO時(shí)，若x2-ax+l=0,顯然xwO,否則若x=0,就有1=0,矛盾，

所以a=x+：,(x<0),而函數(shù)的>=x+：,(x<0)值域?yàn)?-8,-2],

所以若方程。=x+：,(x<0)有解，則。的范圍為(-8,-2],

當(dāng)x>0時(shí)，若(a-l)x+lnx+l=0,則a=]-足工+1>0),

設(shè)g(x)=l一l￡￡±l,(x>0),則g，(x)=」一(”+l)=與,

XXX

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)XfO時(shí)，g(x)f+8,當(dāng)x-?+co時(shí)，

而g⑴=0,

從而g(x)=1-電了,(x>0)的值域?yàn)閇0,+。)，

而“X)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以所求范圍即為(-8,-2]U[0,+⑹.

故選：C.

4./3=牛，g(x)=[〃x)了一叮⑺」，若g(x)在其定義域上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則

加的取值范圍是()

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的單調(diào)區(qū)間，畫出/(x)的大致圖象，令f=/(x),則問題轉(zhuǎn)化為

22

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.名，且。心到然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可

ee

求得答案.

4?x-Inx2

【詳解】由/口)=叱

'得/'(')=2-Inx2

無(xw0)

2

X

由(無)>。，得2—111/>0,解得一e<x<。或0<x<e,

由/'(x)<0,得2-lnx2<0,解得x<-e或x>e,

所以/(x)在(-e,0)和(0,e)上遞增，在(-co,-e)和(e,+s)上遞減,

令f=/(尤)，由=啖(x)-l=0,

則/2-"7/-1=0,貝I|A=〃?2+4>O,

所以方程〃一加-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則4+馬=機(jī)/4=T，

因?yàn)間(x)在其定義域上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

22

所以由/W的圖象可知tte[—，—],

v2ee

22

不妨設(shè)4>—，則,2<--'

ee

因?yàn)?4=-1,所以%2=-；，

h

\2p2e

所以一1<一一，得0<:<7，所以一

4e2e2

1,1八

由機(jī)=4+，2=%一不，得加=1+萬>0,

h%

所以加=/「；在[2,；]上遞增，所以加<；_2,

hIe2Je22e

即〃?的取值范圍是12-三;-2].

故選：B.

5.已知函數(shù)=一：若關(guān)于x的方程〃立-%=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，則

[xlnx,x>0,x

實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.(一8,0]B.[0,1]C.(一咫0)。{1}D.(-?,O]U{1}

【答案】D

【分析】先進(jìn)行變形，關(guān)于x的方程-機(jī)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，即關(guān)于x的方程

X

〃^=加有兩個(gè)不同的實(shí)根.即/立)=9=[：+X]》6<0,與》=加有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

xx[lnx,x>0,

研究尸(x)圖像，數(shù)形結(jié)合可解.

【詳解】/M=,n'則關(guān)于X的方程山-加=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，即關(guān)

[xiwc,X>0,X

于X的方程"1=加有兩個(gè)不同的實(shí)根.

X

即F(x)=〃^=]：+x]X,x<0,與尸加有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

x[lnx,x>0,

令人(x)=+工2-x,%<0,h\x)=3x2+2x-1=0,解得x=-l.

(x)〉0,〃(x)遞增，x￡(—l,o),/(x)<o,/z(x)遞減，

則尸-1有極大值〃(-1)=1.X--8,右0)-—8,

則可畫出尸(x)=H+"[的草圖.尸(X)與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

[lnx,x>0,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-雙0]。{1}.

故選：D.

6.已知函數(shù)/(x)=［嗎”了皿"，且xe(0,2兀)，若方程/(x)=a+l與方程〃x)=a-l

Isin-x-l,sinx<0

共有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

【答案】C

【分析】畫出函數(shù)/(x)的圖像，將方程6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為了(同=。-1有4個(gè)不同的

實(shí)根，/(x)=a+1有2個(gè)不同的實(shí)根，即可得出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)siiwNO時(shí)，可知xe(O,兀］,當(dāng)sinx<0時(shí)，可知xe(兀,2兀)，所以根據(jù)正弦函數(shù)

的單調(diào)性可得/(x)大致圖象如圖所示，

由方程“X)=a+1與方程“X)=。-1共有6個(gè)實(shí)數(shù)根，可知="1有4個(gè)不同的實(shí)根,

“X)=a+1有2個(gè)不同的實(shí)根,

f-l<6z-l<0

所以八一，

解得0<a<l.

故選:C.

7.定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足/(l+x)=/(l-x),且當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/(x)=l-e\若

關(guān)于x的方程/(尤)=加(無+1)(加<0)恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.(。所1)Bj-t)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，推得函數(shù)/(X)圖象關(guān)于直線X=1對稱，且函數(shù)的周期為2,再由題設(shè)

函數(shù)解析式作出函數(shù)的圖象，再將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題即可解得.

【詳解】

-2

由/(l+x)=/(l-x)可知函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

且/(2+x)=/(r),因是偶函數(shù)，則/(-x)=/(x),故有/(2+x)=/(x),

即函數(shù)〃x)的周期為2.又當(dāng)xe[O,l]時(shí)，/(x)=l-e\故可作出函數(shù)的圖象如圖.

由關(guān)于x的方程/(x)=加(x+1)(加<0)恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，可理解為V=與y=加(》+1)恰

有5個(gè)交點(diǎn).

而這些直線恒過定點(diǎn)尸(T0),考慮直線與相交的兩個(gè)臨界位置/(3,l-e),8(5,l-e),

,1—e1—e

由圖知，需使kpA<m<k,即——<m<――.

PB46

故選：D.

8.已知函數(shù)〃x)=(x2-3)e',若方程〃x)=”有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

()

A.^0,—B.(-2e,0)C.2e,—D.1—,6e]

【答案】A

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)刻畫/(無)的圖像，再根據(jù)直線>=。與y=/(x)的圖像有3個(gè)不同的

交點(diǎn)可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】/'(x)=(x2-3+2x)e^=(x-l)(x+3)e\

當(dāng)％<-3或x〉l時(shí)，/'(%)>0；當(dāng)-3<工<1時(shí),/'(%)<0,

故〃工)在(-8,-3),(1,+8)上為增函數(shù)，在(T1)上為減函數(shù)，

故“X)的極大值為〃-3)=!，/(x)的極小值為〃1)=-2e,

當(dāng)Xf+00時(shí)，當(dāng)Xf-oo時(shí)，/(x)fO,

故/(X)的圖像如圖所示:

故選：A.

9.己知函數(shù)/(x)=alnx-x有兩個(gè)零點(diǎn)，貝I]()

A.a<0B.0<a<eC.a>eD.a>e

【答案】D

【分析】求定義域，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，/(幻=〃11?-工在(0,+向上單調(diào)遞減，不合要求,

當(dāng)。>0時(shí)，得到函數(shù)單調(diào)性和極值，最值情況，得到不等式，求出答案.

【詳解】〃幻=。出-》定義域?yàn)?0,+動(dòng)，

當(dāng)時(shí)，f\x)<0,故/(x)=alnx-x在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故/(x)=alnx-x不會(huì)有2個(gè)零點(diǎn)，舍去，

當(dāng)。>0時(shí),令/'(x)>0得,x<a,令/'(x)<0得，x>a,

故/(x)=aInx-x在(0,a)上單調(diào)遞增，在(?,+?)上單調(diào)遞減，

故/(x)在x=。處取得極大值，也是最大值，/(a)=alna-a=a(lna-l),

又x趨向于0時(shí)，，(x)趨向于負(fù)無窮，x趨向于正無窮時(shí)，/(x)趨向于負(fù)無窮,

要想函數(shù)/(x)=alnx-x有兩個(gè)零點(diǎn)，貝l]/(a)="lna-l)>0,解得a>e.

故選：D

10.若不等式alnx-x20有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

In35In5JD.[in3-n5_

【答案】A

【分析】設(shè)〃x)=4，xe(O,l)31,+。)，作出〃x)=4的圖象為，則結(jié)合圖象，要不等

111Jv111Ji

式alnx-xtO有且僅有三個(gè)整數(shù)解，取〃2)J(3)J(4)J(5)討論它們的大小，即可得到。

的范圍.

【詳解】設(shè)/(x)=Apxe(O,l)u(l,+e),

r^=lnx-l；由/，(x)=0,得》=0,

Inx

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，r(x)<0,單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(l,e］時(shí)，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(e,+s)時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,且/(e)=e,

由qlnx-xNO,xe(0,+8),

當(dāng)XW(0,1)時(shí)，a<-^~,即

Inx

當(dāng)X￡(l,+。)時(shí)，a^-^—,gp6Z>/(x),

Inx

因?yàn)?(2)=總J(3)=2,〃4)=3=3r〃2),〃5)=六，

m2m3In4m2In5

21n331n21119-1118

/(2)-/(3)=~=>o,所以〃2)=/(4)>/(3),

八J'」In21n3In21n3V7')V7

而/⑸-〃2)=京-高51n2-21n5In32-In25八

-----------=----------->0,

In5In2In2In3

即〃5)>〃2),

則結(jié)合圖象，要不等式Qlnx-xNO有且僅有三個(gè)整數(shù)解,

只需〃2）Wa＜〃5）

25

即——<a<—,

ln2In5

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是2且］

aIn2'ln57

故選：A.

11.設(shè)“x）=x3+#+bx_l.函數(shù)j=/（x）在x=l處取得極大值3,則以下說法中正確的數(shù)

量為（）個(gè).

（3）3。+2b=0；

②對任意的加＜1,曲線＞=〃x）在點(diǎn)（加,/（加））處的切線一定與曲線＞=〃x）有兩個(gè)公共

點(diǎn)；

③若關(guān)于X的方程/（x）=左有三個(gè)不同的根為,馬,尤3,且這三個(gè)根構(gòu)成等差數(shù)列，則左=1.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】運(yùn)用極值的概念和性質(zhì)，求出6,代入判斷①；函數(shù)解析式知道后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研

究處函數(shù)單調(diào)性，極值，對稱性，進(jìn)而畫出圖像，觀察圖像，數(shù)形結(jié)合判斷②；根據(jù)圖像

和函數(shù)對稱性，判斷③即可.

【詳解】求導(dǎo)，即/'（x）=3x2+2ax+6,由于函數(shù)＞=〃x）在x=l處取得極大值3,則

/”)=3+2a+6=0，解得:一I',則3a+26=0,則①正確;

/(l)=l+a+6-l=3p=9

由上面知道，/(X)=X3-6X2+9X-1,

且/'(X)=3X2-12X+9=3(X-3)(X-1)=0,解得西=l,x2=3.

當(dāng)xe(l,3),r(x)<0,y=f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xw(-e,l)或者xe(3,+oo),/，(x)>0,y=y(x)單調(diào)遞增.

則當(dāng)x=l時(shí)，J=/(x)由極大值"1)=3；x=3時(shí)，J=/(x)由極小值/⑶=一1；

且對稱中心為(-3,/(-?))=(2,1).畫出函數(shù)圖像.

3a3a

由圖像，可知對任意的加<1,曲線y=/(x)在點(diǎn)(私/■(??))處的切線一定與曲線y=/(x)有

兩個(gè)公共點(diǎn)，故②正確；

若關(guān)于x的方程/(力=人有三個(gè)不同的根西,當(dāng),且這三個(gè)根構(gòu)成等差數(shù)列，則

2%=玉+%，根據(jù)函數(shù)對稱性，知道土產(chǎn)=1,%+鼻=2,則迎=1，左=/(2)=1.故③正

確.

故選：D.

12.設(shè)函數(shù)〃x)=e"-2+(a-1)》-限-2有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(一8,e)B.(0,JC.g,e]D.(O,e)

【答案】D

【分析】由題意可得e"一2+qx-2=%+lnx=einx+lnx,g(x)=ex+x,g(x)在(0,+°0)上單調(diào)

遞增，進(jìn)而可得"-2=lnx,分離變量可得。=叱工有2個(gè)實(shí)數(shù)根，再次構(gòu)造函數(shù)可求實(shí)

X

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)/3=嚴(yán)2+("1"一加一2^>0)有2個(gè)零點(diǎn)，

所以非一+(。一1卜一13-2=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以e"-2+ax-2=x+lnx=eMx+lnx,

令g(*)=e。+/,則g'(x)=e，+l>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以ax-2=Inx,所以。=2,

由函數(shù)/^)=產(chǎn)-2+("1)無_._2。>0)有2個(gè)零點(diǎn)，所以。=吧望有2個(gè)實(shí)數(shù)根,

X

人/、lnx+21—xx-(lnx+2)*l..人，/、八—r,口1

令夕(無)=------，貝_____________TTnx,令°(尤)=0,可得x=一,

X八,-2一2e

當(dāng)X￡(O」)時(shí)，0(x)>O,9(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xw(L+8)時(shí)，9'(x)<0,o(x)單調(diào)遞減，

ee

又Xf0時(shí)，9(x)f-8,當(dāng)Xf+oo時(shí)，0,又。(%)max=od)=e,

e

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(0,e).

故選：D.

13.若函數(shù)〃x)=e2、+e2-4,+/)+26(b是常數(shù))有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則b的值為

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由已知條件可判斷/'(x)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于丁軸對稱，由函數(shù)有且只有一個(gè)

零點(diǎn)，/(X)過坐標(biāo)原點(diǎn)即可求解.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(-x)=e-+e"-4"*+e*)+26=/(x),

所以函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于》軸對稱,

因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),

所以函數(shù)〃x)過坐標(biāo)原點(diǎn)，/⑼=2-4x2+26=0,解得匕=3.

故選：B.

—2x—1,x<0

14.若函數(shù)〃x)=<有4個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)。的取值范圍是()

sin(tyx-令,0<x<兀

13191925

A.656JB.~6，-6C.656JD.~6，-6

【答案】B

【分析】當(dāng)x〈0時(shí)，分析函數(shù)單調(diào)性及最值，得當(dāng)x40時(shí)/(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)

xe(O,冷時(shí)，/(x)=sin(ox<)有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象分析得2兀<43兀，解不等式即

66

可.

【詳解】當(dāng)x〈0時(shí)，/(x)=Q|-2x-l是減函數(shù)，且"0)=0,

故當(dāng)xV0時(shí)/（X）有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

由題意得，當(dāng)xe（O,兀）時(shí),f（x）=sin（ox-V）有3個(gè)零點(diǎn),

6

*/X€（0,71）,

兀/兀兀、

COX----G(-----,(D71----),

666

令t=3X——，即?=sin//￡(——.CDTI——),

666

冗1319

結(jié)合圖象分析得2兀＜，(3兀，即2兀＜。兀一:43兀，＜^＞＜—.

666

故選：B.

斗y=sin/

1-

不公、_^2兀371i

15.若函數(shù)/（#=-3加+4工-1在區(qū)間（-1,1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

54

B.

353

【分析】對。進(jìn)行討論，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及零點(diǎn)存在性定理求解.

【詳解】若。=0時(shí)，4x-1=0,貝=滿足題意，

4

若awO，當(dāng)/⑴/（一1）=（一3a-5）（-3a+3）＜0,解得一;＜。＜1且.彳o,此時(shí)滿足題意,

若/⑴=-3a-5=0時(shí)，a=_g,止匕時(shí)/（x）=5x2+4x_]=（5x—]）（x+l）=0,

此時(shí)方程在（-M）只有一根x=",滿足題意，

若/(-1)=-3〃+3=0時(shí)，a—I,止匕時(shí)/(x)=-3%2+41_]==0,

此時(shí)方程在只有一根X=g,滿足題意，

4

當(dāng)A=16-12a=0,得a時(shí)，止匕時(shí)/（無）=一4f+4工一1=-（2尤一1）9=0,

此時(shí)方差的根為x=g,滿足題意，

5

綜上可得-或a"4

故選：C

題型二根據(jù)一次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)范圍問題

16.若函數(shù)/（x）=3ax+l—2a在區(qū)間（一1,1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

（）

A.g+0°]B.1ifC.（—00,—1）D.Joo,-l）u[,+s]

【答案】D

【分析】當(dāng)a=0,不合題意，舍去，根據(jù)函數(shù)f（x）=3ax+l—2a在區(qū)間（一1,1）內(nèi)是

單調(diào)函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理列不等式求解.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1與x軸無交點(diǎn)，不合題意，所以a/）;

函數(shù)f（x）=3ax+l—2a在區(qū)間（一1,1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，

所以f（一1）-f（1）<0,即（5a—l）（a+1）>0,

解得a<—1或a>g.

故選：D.

17.若方程工2_2依+“+2+，-1|=0在區(qū)間（0,3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為（）

A.'SB.（7,-3）U"+GT

C.（-叫1-G）u1l+百D.+

【答案】D

【解析】分W21和同<1兩種情況去絕對值，利用已知條件得到xe（0,1）時(shí),

g(x)=—2辦+a+3,xe[l,3)時(shí)，g(x)=2/—2辦+。+1.再分〃=0和〃w0兩種情況分析,

當(dāng)QW0時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)有兩種情況，設(shè)再</，①一次函數(shù)提供多，二次函數(shù)提供乙，設(shè)

A(x),xG(0,1)

g(x)=gph(x)=-lax+a+3,Z(x)=2x2-2ax+a+1,得至Ij

Z(x),xe[l,3)

/z(O)-/z(l)<O

，即可求解。的范圍；②一次函數(shù)部分無零點(diǎn)，二次函數(shù)提供不，X],列出

；(l)-^(3)<0

滿足題意的不等式組，求解即可得出結(jié)果.

【詳解】令g（x）=x?-2ax+A+2+|X2-1|,

當(dāng)/_1之0時(shí)，即國21時(shí)，g（x）=2x2-2tzx+6t+l,

當(dāng)――i<o時(shí)，即國<1時(shí)，g（x）=-2ax+a+3,

由方程——2辦+a+2+|/_i|=o在區(qū)間（0,3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,

即%￡（0,1）時(shí)，g（x）=-2ax+〃+3,

xw[1,3）時(shí)，g（x）=2x2-2ax+〃+1,

/、[3,xG（0,1）,、

如果a=0,g（x）=]2x2+i”[l,3），顯然gOO無零點(diǎn);

所以?？隙ú粸?，

所以g（x）=-2ax+a+3為一次函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，

所以兩個(gè)零點(diǎn)有兩種情況，設(shè)再<%,

①一次函數(shù)提供X1,二次函數(shù)提供X2，

gph（x）=-2ax++3,t（x）=2x2-2ax+?+1,

工人（0）蟲1）<0

所以加（3）40，

代入得尸43-

代人何[（3-“）（19-5。）（0'

19

解得：3<?<—,

194

經(jīng)檢驗(yàn)：。=不時(shí)，零點(diǎn)■不成立，

所以

②一次函數(shù)部分無零點(diǎn)，二次函數(shù)提供占，%，

即《x）=2/-2ax+a+l在[1,3）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

A=(-2a)2-4x2x(a+l)>0

1—2〃

l<-------<3

4

所以

Z(l)>0

《3)>0

A(0)-//(l)>0

代入解得：l+g<aV3,

由①得：

綜上所得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為11+6

故選：D.

18.當(dāng)|x區(qū)I時(shí)，函數(shù)y=ax+2a+l的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】|x|<l=>-l<x<l.

當(dāng)。=0時(shí)，y=l,函數(shù)值恒為正，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，要想函數(shù)〃x)=ox+2a+l的值有正也有負(fù)，

只需/(l)-/(-l)<0,即(。+2。+l)(-a+2。+1)=(3a+1)(。+l)<O^-l<a<-1.

綜上所述：

故選：C

19.已知函數(shù)〃x)=3辦-1-2。在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，則()

A.—<Q<1B.。>—C.—。>1D.a<—

5555

【答案】C

【解析】首先判斷函數(shù)在(-14)上單調(diào)，利用零點(diǎn)存在性定理即可求解.

【詳解】???/(幻=3辦-1-2a在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)且存在零點(diǎn)，

f(—1),f(1)=(―3Q—1—2Q)?(3〃—1—2〃)=(—5〃—1),(4Z—1)<0,

故選：c

20.已知函數(shù)/(無)=3ax-l-2a在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，貝U()

A.3<1或a>—B.a>—C.ci<—或a>\D.ci<—

5555

【答案】C

【分析】由函數(shù)f(x)=3ax?l?2a在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由

?/⑴<0求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3ax-l-2a在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，

又因?yàn)閒(x)=3ax-l-2a在區(qū)間(-1,1)單調(diào)，

所以/(T)?/⑴<0，

即(Q-1),5Q—1)<0,

解得a<-g或“>1,

故選：C

21.若函數(shù)了="+1在(0,1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.ci>_1B.Q<—1C.a>1D.3<1

【答案】B

【分析】直接解方程得到答案.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)不成立

取^=辦+1=0,、=——(QWO)

a

則。<-1<1解得。<—1

a

故答案選B

22.已知函數(shù)/(幻=3"-1-2。在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(-oo,-l)uQ,+coJ

B.

C.1_<?,一：卜(1,+8)

D.“j

【答案】C

【分析】函數(shù)/。）=3辦-1-2a為一次函數(shù)，只要保證其兩端點(diǎn)分別在x軸的兩側(cè)，就可以

保證其在區(qū)間（-1,1）上存在零點(diǎn)，即從而得到關(guān)于。的不等式，求出。的

范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃X）=3G-1-2a為一次函數(shù)，

要使其在區(qū)間（-1,1）上存在零點(diǎn)，

要保證其兩端點(diǎn)分別在x軸的兩側(cè)，

所以〃l）-〃T）<0

即/(I)-/(-l)=(3a-l-2a)(-3a-l-2a)<0,

解得a<-g或a>1,

故選c項(xiàng).

23.已知直線/：>=3x與函數(shù)/（尤）=K-X'無":'的圖像交于三點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是多，X2,

[ax-a,x>1.

七.若再+%+%3<°恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.a>3B.0<tz<4C.3<a<6D.a>6

【答案】D

【分析】根據(jù)條件得到分段函數(shù)的圖像，找到三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，原題等價(jià)于退-2<0,

冬<2,即ax-。-3x=0=>x=—"-<2=>-~~-<0

a-3a-3

【詳解】當(dāng)時(shí)，對函數(shù)求導(dǎo)得至U/(x)=3--l,/(x)=Onx=±￥

原函數(shù)在卜叫一!)/［一￡,,又因?yàn)椤?)=〃1)=0,

>0,7<0可大概畫出分段函數(shù)的圖像:

根據(jù)圖像得到函數(shù)的三個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)一個(gè)等于0,一個(gè)小于0,一個(gè)大于0,

令》3-工=3x=工=0或-2或2(舍去正值)

故X1+X2+X3=巧-2,七是兩直線的交點(diǎn)，X3-2<0,;.%<2,即

__a_6—a八

ax-a-3x=O=>x=------<2=>-------<0

q—36/—3

解得a>6.

故答案為D.

||log.x|,x)0

24.已知函數(shù)/(x)=:J若函數(shù)>=/(x)-冽+1有四個(gè)零點(diǎn),零點(diǎn)從小到大依次為

l|x+2|-l,x<0

見仇c,d,貝Ua+6+cd的值為()

A.2B.-2C.-3D.3

【答案】C

【分析】函數(shù)了=/(x)-加+1有四個(gè)零點(diǎn)，即丁=/(無)與了=加-1的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，

可設(shè)四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)a,6,c,d滿足。<b<c<",由圖象，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步求得

cd=l,利用對稱性得到a+6=-4,從而可得結(jié)果.

作出函數(shù)小)=|信,：：：0的圖象如圖,

函數(shù)了=/(尤)-加+1有四個(gè)零點(diǎn)，即了=/(“與>=加-1的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，

不妨設(shè)四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)。，瓦G4滿足a<b<c<”,

則,f(a)=f(b),|?+2|-1=|6+2|-1,

可得一Q-3=b+l,a+b=—4

由/(C)=/(d)，#|log2c|=|log2J|,

則一log2c=log?d,可得log2cd=0,

即cd=l,a+b+cd=-4+1=-3,故選C.

25.已知函數(shù)/0)=2m/_工_1在區(qū)間(_2,2)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍是()

3i]<3n

A-K'dB-K'd

-

c,卜r3抽nD-(i3

【答案】D

【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的存在定理解決本題，要對該函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論，是否為二次函數(shù),

是否有等根等.注意分類討論思想的運(yùn)用.

【詳解】解：若加=0,則/(X)=F-1,它的零點(diǎn)為-le(-2,2),故加=0符合題意.

若加30,函數(shù)/(無)=2如？-尤-1在區(qū)間(-2,2)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則需滿足：

/(-2)=0["2)=0

①〃一2).〃2)<0或②1或③11

—2<-<-0-—0<—<2

、4m、4m

133

解①得，--<m<0^0<m<-；解②得，加解集為0;解③得m=g;

OOO

綜上，加的取值范圍是.

故選：D.

26.已矢口/(X)=2QX—1+3Q,/(0)</⑴且在(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(

A1、A1、

A.(憐B.(3)CD-

【答案】C

【分析】根據(jù)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)可得關(guān)于。的不等式組，從而可求。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楣?l+3a<2a-l+3a即a>0.

而“X)=2辦-1+3aJ(0)</(I)且在(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，

7(1)<0f5a-l<0

解得;<Q<<，

故，/(2)>0即7"1>0,

Q>0a〉0

故選：C.

27.已知函數(shù)=I2：+：""。)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

［ax-3,(x>0)

A.a<1B.0<tz<lC.a>\D.a>Q

【答案】B

【分析】依題意可知函數(shù)弘=辦-3(%>0)必有一個(gè)零點(diǎn)且函數(shù)％=辦2+2》+1。40)必有2

個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】解：函數(shù)〃到=卜：2：+1S"0)是分段函數(shù)，它有3個(gè)零點(diǎn)，

⑷一3,(x>0)

則函數(shù)必=ax-3(x>0)必有一個(gè)零點(diǎn)，所以。>0,

函數(shù)為=爾+2工+1(^^0)必有2個(gè)零點(diǎn)，即方程辦?+2x+l=0有兩個(gè)不等的負(fù)根(0顯然

不是它的根)，

a>0

2

因此(—<<0，解得0<avl.

2a

A=4-4<7>0

綜上可得〃的范圍是。<。<1.

故選：B.

28.“a<-4”是“函數(shù)〃x)=◎+3在區(qū)間［-1,1］上存在零點(diǎn)”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)

論.

解：若函數(shù)f(x)=ax+3在［-1,1］上存在零點(diǎn)，

則f(-1)f(1)<0,

即(a+3)(-a+3)<0,

故(a+3)(a-3)>0,

解得a>3或空-3,

即a<-4是哈3或aW-3的充分不必要條件，

故“a<-4”是函數(shù)f(x)=ax+3在［-1,1］上存在零點(diǎn)的充分不必要條件,

故選A

29.設(shè)函數(shù)/(幻=*-研+。+3,g(x)=ax-2a,若使得/(x。)<0和gO。)<0同

時(shí)成立，貝I」。的取值范圍為

A.(7,+8)B.(6,+8)u(-co,-2)

C.(-<?,-2)D.(7,+oo)u(-00,-2)

【答案】A

【分析】就。>0,。=0,。<0分類討論后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=。，不合題意；

當(dāng)。>0時(shí)，x<2時(shí)，g(x)<0恒成立，x>2時(shí)，g(x)>0恒成立，x=2時(shí)，g(x)=0,

故當(dāng)〃x)<0在x42上有解，即/一辦+0+3<0在(一8,2］上有解,

->20<a<4

所以2或故。>7.

A=—4a—12>0

/(2)<0

當(dāng)QVO時(shí)，x<2時(shí)，g(%)>0恒成立，x〉2時(shí)g(x)<0恒成立，x=2時(shí)，g(x)=O,

故當(dāng)/(x)<0在轉(zhuǎn)2上有解，即/-亦+°+3<0在［2,+⑹上有解,

所以〃2)<0,無解.

故選：A.

30.“函數(shù)f(x)=d-2在區(qū)間［-L1］上存在零點(diǎn)”是“&23”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】試題分析：函數(shù)/緘口—曷在區(qū)間［一1：1］上存在零點(diǎn)，貝人

/(-1)/(1)<0=(-左一2)(左一2)<0.

即上<-2或左>2.所以“函數(shù)〃x)=kx2在區(qū)間［-L1］上存在零點(diǎn)”是“>的必要不充

分條件.

題型三根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)范圍問題

31.若函數(shù)/(x)=Qhu+t+7(acwO)有且僅有極大值，則()

A.tz>0B.ab>0

C,b1+Sac>0D.c<0

【答案】CD

【分析】由函數(shù)〃x)有且僅有極大值可知/''(x)在(0,+8)上僅有一個(gè)變號(hào)正零點(diǎn)，且/(X)

在此變號(hào)正零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)為左正右負(fù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析即可.

2

【詳解】函數(shù)"X)的定義域?yàn)?0,+8),fixxa_b__2^=ax-bx-2c；

XXXX

因?yàn)楹瘮?shù)〃無)有且僅有極大值，

所以r(x)=分一:-2c在(0,+動(dòng)上僅有一個(gè)變號(hào)正零點(diǎn),且/(X)在此變號(hào)正零點(diǎn)兩側(cè)的

符號(hào)為左正右負(fù)，

設(shè)函數(shù)g(x)=ox2-6x-2c(acwO),即g(x)在(0,+。)上僅有一個(gè)變號(hào)正零點(diǎn)，且g(x)在

此變號(hào)正零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)為左正右負(fù)，

①當(dāng)A=/+8℃<0時(shí)，二次函數(shù)g(“無零點(diǎn)，故不符合題意；

②當(dāng)A=/+8ac=0時(shí)，二次函數(shù)g(x)有一個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)，故不符合題意；

③當(dāng)A=/+8ac>0時(shí)，如圖所示，

Q<0a<0

解得keR.

結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得,A=/+8ac>0

g(0)=-2c>0c<0

故選：CD.

32.二次函數(shù)＞=a/+6x+c（a,仇c是常數(shù)，且。片。）的自變量x與函數(shù)值丁的部分對應(yīng)值如

下列說法正確的有（）

A.abc>0

100

B.mn>---

9

C.關(guān)于x的方程G2+6X+C=0一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在-g和。

之間

D.4。+2,乂）和鳥（"2,%）在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，%＞為

【答案】BCD

\b=-a3

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)求得。，再由當(dāng)x=7時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值歹＜。求

[c=22

8

得從而求得"c＜0,判斷A,求出加〃=4（。+1）92后求解范圍判斷B,根據(jù)拋物線

的對稱性及函數(shù)過點(diǎn)（0,2）得函數(shù)零點(diǎn)范圍即可判斷C,由弘〉外列不等式求解f判斷

D.

a+b+c=2b=-a

【詳解】A：將（0,2）,。,2）代入廠辦2+樂+。得c=2,解得

c=2

3

所以二次函數(shù)＞=辦2-"+2,當(dāng)x=5時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值V＜。，

932Q

所以W?！?a+2＜。，解得Q＜一§，所以6=-

所以Q＜0力＞0,c〉0,所以Qbc〈0,故A錯(cuò)誤；

B：當(dāng)工=-1時(shí)，m=a+a+2=2a+2,當(dāng)尤=2時(shí)，n=4a-2a+2=2a+2,

所以機(jī)"=(2。+2丫=4(a+l/，因?yàn)閍<-g,所以機(jī)〃>與，故B正確；

C：因?yàn)槎魏瘮?shù)歹=辦2_辦+2過僅,2),(1,2),所以其對稱軸為x=g,開口向下，

3

又當(dāng)x=］時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值><0,

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性知，當(dāng)x=-1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值><0,

而當(dāng)x=0時(shí)，y=2>Q,所以二次函數(shù)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在-g和0之間，

所以關(guān)于x的方程ox?+云+0=()一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在-;和0之間，

故C正確；

D：因?yàn)槎?+2,弘)和￡。-2,力)在該二次函數(shù)的圖象上，

以必=Q(/+2)_Q(/+2)+2,%=Q(F—2)—Q(/—2)+2,

若%>%，則。(,+2)—Q(r+2)+2>a(%—2)—a—2)+2,

因?yàn)?0,所以(f+