立體幾何錯(cuò)題

立體幾何一、選擇題：1．（石莊中學(xué)）設(shè)ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，則滿足（）A共線B共面C不共面D可作為空間基向量正確答案：B錯(cuò)因：學(xué)生把向量看為直線。2．（石莊中學(xué)）在正方體ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線OM()A是AC和MN的公垂線B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直正確答案：A錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影。3．（石莊中學(xué)）已知平面∥平面，直線L平面,點(diǎn)P直線L,平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到L的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（）A一個(gè)圓B四個(gè)點(diǎn)C兩條直線D兩個(gè)點(diǎn)正確答案：B錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系不能靈活掌握。4．（石莊中學(xué)）正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)P在側(cè)面BCCB及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（）A線段BCBBB的中點(diǎn)與CC中點(diǎn)連成的線段C線段BCDCB中點(diǎn)與BC中點(diǎn)連成的線段正確答案：A錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，對(duì)三垂線定理逆定理不能靈活應(yīng)用。（石莊中學(xué)）下列命題中：若向量、與空間任意向量不能構(gòu)成基底，則∥。若∥，∥，則∥.若、、是空間一個(gè)基底，且=＋＋,則A、B、C、D四點(diǎn)共面。若向量+，+，+是空間一個(gè)基底，則、、也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題有（）個(gè)。A1B2C3D4正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)空間向量的基本概念理解不夠深刻。6．(磨中)給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時(shí)相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時(shí)與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a⊥b④有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是()正確答案：①錯(cuò)誤原因：空間觀念不明確，三垂線定理概念不清7．(磨中)已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等，把它們拼接起來(lái)，使一個(gè)表面重合，所得多面體的面數(shù)有()A、7B、8C、9D、10正確答案：A錯(cuò)誤原因：4+8—2=108．(磨中)下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()RS··PQ·R··S·PBS·S·R·CDRS··PQ·R··S·PBS·S·R·CDQ·P·R··Q·P·R··Q·P·Q·Q·P·Q·AA正確答案：D錯(cuò)誤原因：空間觀點(diǎn)不強(qiáng)9．(磨中)a和b為異面直線，則過(guò)a與b垂直的平面()A、有且只有一個(gè)B、一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)C、可能不存在D、可能有無(wú)數(shù)個(gè)正確答案：C錯(cuò)誤原因：過(guò)a與b垂直的夾平面條件不清10．（一中）給出下列四個(gè)命題：（1）各側(cè)面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（2）若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各頂點(diǎn)都有3條棱，則其頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F－V=4.（3）若直線l⊥平面α，l∥平面β，則α⊥β.（4）命題“異面直線a、b不垂直，則過(guò)a的任一平面與b都不垂直”的否定.其中，正確的命題是 （） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）正確答案：A11．（一中）如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A，B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）A．75°B．60°C．50°D．45°正確答案：C12．（蒲中）一直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為α，β，則α+β滿足（）A、α+β<900B、α+β≤900C、α+β>900D、α+β≥900答案：B點(diǎn)評(píng)：易誤選A，錯(cuò)因：忽視直線與二面角棱垂直的情況。13．（蒲中）在正方體AC1中，過(guò)它的任意兩條棱作平面，則能作得與A1B成300角的平面的個(gè)數(shù)為（）A、2個(gè)B、4個(gè)C、6個(gè)D、8個(gè)答案：B點(diǎn)評(píng)：易瞎猜，6個(gè)面不合，6個(gè)對(duì)角面中有4個(gè)面適合條件。14．（蒲中）△ABC的BC邊上的高線為AD，BD=a，CD=b，將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C，若，則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形答案：C點(diǎn)評(píng)：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜。15．（江安中學(xué)）設(shè)a，b，c表示三條直線，表示兩個(gè)平面，則下列命題中逆命題不成立的是（）。，若，則，，若，則，若，則，是在內(nèi)的射影，若，則正解：CC的逆命題是,若，則顯然不成立。誤解：選B。源于對(duì)C是在內(nèi)的射影理不清。16．（江安中學(xué)）和是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中可判定平面和平行的是（）。和都垂直于平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等是平面內(nèi)的直線且是兩條異面直線且正解：D對(duì)于可平行也可相交；對(duì)于B三個(gè)點(diǎn)可在平面同側(cè)或異側(cè)；對(duì)于在平面內(nèi)可平行，可相交。對(duì)于D正確證明如下：過(guò)直線分別作平面與平面相交，設(shè)交線分別為與，由已知得，從而，則，同理，。誤解：B往往只考慮距離相等，不考慮兩側(cè)。17．（江安中學(xué)）一個(gè)盛滿水的三棱錐容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來(lái)水的（）正解：D。當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，容器盛水最多最多可盛原來(lái)水得1－誤解：A、B、C。由過(guò)D或E作面ABC得平行面，所截體計(jì)算而得。18．（江安中學(xué)）球的半徑是R，距球心4R處有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，則截面的最大面積是（）。正解：B。如圖，在中，于則即又以為半徑的圓的面積為誤解：審題不清，不求截面積，而求球冠面積。19．（江安中學(xué)）P已知AB是異面直線的公垂線段，AB=2，且與成角，在直線上取AP=4，則點(diǎn)P到直線的距離是（）。PAA4BB或正解：A。過(guò)B作BB’∥，在BB’上截取BP’=AP，連結(jié)PP’，過(guò)P’作P’Q連結(jié)PQ，PP’由BB’和所確定的平面，PP’ PQ即為所求。在RtPQP’中，PP’=AB=2,P’Q=BP’,=AP=2,PQ=。誤解：D。認(rèn)為點(diǎn)P可以在點(diǎn)A的兩側(cè)。本題應(yīng)是由圖解題。20．（丁中）若平面外的直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）錯(cuò)解：C錯(cuò)因：直線在平面外應(yīng)包括直線與平面平行的情況，此時(shí)直線與平面所成的角為0正解：D21．（薛中）如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）過(guò)P一定可作直線L與a,b都相交；（2）過(guò)P一定可作直線L與a,b都垂直；（3）過(guò)P一定可作平面與a,b都平行；（4）過(guò)P一定可作直線L與a,b都平行，其中正確的結(jié)論有（）A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)答案：B錯(cuò)解：C認(rèn)為（1）（3）對(duì)D認(rèn)為（1）（2）（3）對(duì)錯(cuò)因：認(rèn)為（2）錯(cuò)誤的同學(xué)，對(duì)空間兩條直線垂直理解不深刻，認(rèn)為作的直線應(yīng)該與a,b都垂直相交；而認(rèn)為（1）（3）對(duì)的同學(xué)，是因?yàn)樵O(shè)能借助于兩個(gè)平行平面襯托從而對(duì)問(wèn)題的分析欠嚴(yán)密。22．（薛中）空間四邊形中，互相垂直的邊最多有（）A、1對(duì)B、2對(duì)C、3對(duì)D、4對(duì)答案：C錯(cuò)解：D錯(cuò)因：誤將空間四邊形理解成四面體，對(duì)“空間四邊形”理解不深刻。23．（案中）底面是正三角形，且每個(gè)側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是A、一定是正三棱錐B、一定是正四面體C、不是斜三棱錐D、可能是斜三棱錐正確答案：（D）錯(cuò)誤原因：此是正三棱錐的性質(zhì)，但很多學(xué)生憑感覺(jué)認(rèn)為如果側(cè)面是等腰三角形，則側(cè)棱長(zhǎng)相等，所以一定是正三棱錐，事實(shí)上，只須考察一個(gè)正三角形繞其一邊抬起后所構(gòu)成的三棱錐就知道應(yīng)選D24．（案中）給出下列四個(gè)命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各頂點(diǎn)都有三條棱，則其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F-V=4若直線L⊥平面α，L∥平面β，則α⊥β命題“異面直線a,b不垂直，則過(guò)a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正確的命題是（）A、（2）（3）B、（1）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）（4）正確答案：（A）錯(cuò)誤原因：易認(rèn)為命題（1）正確二填空題：（如中）有一棱長(zhǎng)為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為__________.錯(cuò)解：學(xué)生認(rèn)為球最大時(shí)為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑為a，球的表面積為。這里學(xué)生未能弄清正方體骨架是一個(gè)空架子，球最大時(shí)與正方體的各棱相切，直徑應(yīng)為，所以正確答案為：。（如中）一個(gè)廣告氣球某一時(shí)刻被一束平行光線投射到水平地面上的影子是一個(gè)橢圓，橢圓的離心率為，則該時(shí)刻這平行光線對(duì)于水平平面的入射角為________。錯(cuò)解：答。錯(cuò)誤原因是概念不清，入射角應(yīng)是光線與法線的夾角，正確答案為：。（如中）已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)是10，高是12，過(guò)底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是___________________。錯(cuò)解：。學(xué)生用面積射影公式求解：。錯(cuò)誤原因是沒(méi)有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形。正確答案是：。（如中）過(guò)球面上兩已知點(diǎn)可以作的大圓個(gè)數(shù)是_________個(gè)。錯(cuò)解：1個(gè)。錯(cuò)誤原因是沒(méi)有注意球面上兩已知點(diǎn)與球心共線的特殊情況，可作無(wú)數(shù)個(gè)。正確答案是不能確定。（如中）判斷題：若兩個(gè)平面互相垂直，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作它們的交線的垂線，則此直線垂直于另一個(gè)平面。正確。錯(cuò)誤原因是未能認(rèn)真審題或空間想象力不夠，忽略過(guò)該點(diǎn)向平面外作垂線的情況。正確答案是本題不對(duì)。（如中）平面外有兩點(diǎn)A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點(diǎn)P，且AP:PB=m:n，則點(diǎn)P到平面的距離為_________________.錯(cuò)解為：。錯(cuò)誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況。正確答案是： 。（如中）點(diǎn)AB到平面距離距離分別為12，20，若斜線AB與成的角，則AB的長(zhǎng)等于_____.錯(cuò)解：16.錯(cuò)誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況。正確答案是：16或64。（如中）判斷若a,b是兩條異面直線，p為空間任意一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行。錯(cuò)解：認(rèn)為正確。錯(cuò)誤原因是空間想像力不行。忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面時(shí)恰好與b平行，此時(shí)就不能過(guò)P作平面與a平行。9．(磨中)與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有______個(gè)。正確答案：7個(gè) 錯(cuò)誤原因：不會(huì)分類討論10．(磨中)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分別為BB1，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形ADD1A1的中心，則四邊形BGEF在正方體六個(gè)面上的射影圖形面積的最大值為________。正確答案：錯(cuò)誤原因：不會(huì)找射影圖形11．(磨中)△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)板，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為使遮陰的陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)板ABC與地面所成角應(yīng)為_________。正確答案：50°錯(cuò)誤原因：不會(huì)作圖12．(磨中)平面α與平面β相交成銳角θ，面α內(nèi)一個(gè)圓在面β上的射影是離心率為的橢圓，則角θ等于_______。αβαβ正確答案：30°錯(cuò)誤原因：分析不出哪些線段射影長(zhǎng)不變，哪些線段射影長(zhǎng)改變。13．(磨中)把半徑為r的四只小球全部放入一個(gè)大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為__________。正確答案：()r錯(cuò)誤原因：錯(cuò)誤認(rèn)為四個(gè)小球球心在同一平面上14．（一中）AB垂直于所在的平面，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)A到直線CD的距離為。正確答案：15．（蒲中）在平面角為600的二面角內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱l的距離為____________答案：cm點(diǎn)評(píng)：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題利用正弦定理求解，轉(zhuǎn)化能力較弱。16．（蒲中）已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠DPA=450，∠DPB=600，則∠DPC=__________答案：600 點(diǎn)評(píng)：以PD為對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)角線PD與棱PC的夾角，利用cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，構(gòu)造模型問(wèn)題能力弱。17．（蒲中）正方體AC1中，過(guò)點(diǎn)A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角都相等，試寫出滿足條件的一個(gè)截面____________答案：面AD1C點(diǎn)評(píng)：本題答案不唯一，可得12條棱分成三類：平行、相交、異面，考慮正三棱錐D-AD1C，易瞎猜。18．（江安中學(xué)）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為2和4，沿斜邊高線折成直三面角，則兩直角邊所夾角的余弦值為_____議程。正解：。設(shè)為二面角的平面角，誤解：折疊后仍然判斷不了，找不到的長(zhǎng)求不出。19．（江安中學(xué)）某地球儀上北緯，緯線的長(zhǎng)度為，該地球儀的半徑是_____cm，表面積是_____cm2。正解：設(shè)地球儀的半徑為R，緯線的半徑為r。由已知，。誤解：誤將20．（江安中學(xué)）自半徑為R的球面上一點(diǎn)P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC,則=_____。正解:,可將PA,PB,PC看成是球內(nèi)接矩形的三度,則應(yīng)是矩形對(duì)角線的平方,即球直徑的平方。誤解：沒(méi)有考慮到球內(nèi)接矩形，直接運(yùn)算，易造成計(jì)算錯(cuò)誤。21．（丁中）直二面角α－－β的棱上有一點(diǎn)A，在平面α、β內(nèi)各有一條射線AB，AC與成450，AB，則∠BAC=。錯(cuò)解：600錯(cuò)因：畫圖時(shí)只考慮一種情況正解：600或120022．（丁中）直線與平面α成角為300，則m與所成角的取值范圍是錯(cuò)解：[300,1200]錯(cuò)因：忽視兩條直線所成的角范圍是正解：[300,900]23．（丁中）若的中點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為_________。錯(cuò)解：2錯(cuò)因：沒(méi)有注意到點(diǎn)A、B在平面異側(cè)的情況。正解：2、1424．（薛中）已知直線L∩平面=O，A、B∈L，=4，；點(diǎn)A到平面距離為1，則點(diǎn)B到平面的距離為。答案：1或3錯(cuò)解：3錯(cuò)因：考慮問(wèn)題不全面，點(diǎn)A，B可能在點(diǎn)O的同側(cè)，也可能在O點(diǎn)兩側(cè)。25．（薛中）異面直線a,b所成的角為，過(guò)空間一定點(diǎn)P，作直線L，使L與a,b所成的角均為，這樣的直線L有條。答案：三條錯(cuò)解：一條錯(cuò)因：沒(méi)有能借助于平面襯托，思考問(wèn)題欠嚴(yán)謹(jǐn)。過(guò)P作確定一平面，畫相交所成角的平分線m、g，過(guò)m,g分別作平面的垂面，則在中易找到所求直線共有3條。26．（薛中）點(diǎn)P是ABC所在平面外一點(diǎn)，且P在ABC三邊距離相等，則P點(diǎn)在平面ABC上的射影是ABC的心。答案：內(nèi)心或旁心錯(cuò)解：內(nèi)心錯(cuò)因：P在平面ABC內(nèi)的正射影可能在ABC內(nèi)部，也可能在ABC外部。27．（案中）四面體的一條棱長(zhǎng)為x，其它各棱長(zhǎng)為1，若把四面體的體積V表示成x的函數(shù)f(x)，則f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為。正確答案：（0，錯(cuò)誤原因：不能正確寫出目標(biāo)函數(shù)，亦或者得到目標(biāo)函數(shù)以后，不能注意x的隱藏范圍。28．（案中）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面為EF的距離為正確答案：錯(cuò)誤原因：不少學(xué)生能想到用等積法解，但運(yùn)算存在嚴(yán)重問(wèn)題。29．（案中）點(diǎn)P在直徑為2的球面上，過(guò)P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍，則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是正確答案：錯(cuò)誤原因：找不到解題思路三、解答題：（如中）由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC，O為⊿ABC的外心，求證：。錯(cuò)解：因?yàn)镺為⊿ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因?yàn)镻A＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝RT，所以。錯(cuò)解分析：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄剡@里缺少必要的證明。正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD，OD，（如中）一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的密封正方體盒子中放一個(gè)半徑為1cm的小球，無(wú)論怎樣搖動(dòng)盒子，求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積。錯(cuò)解：認(rèn)為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。錯(cuò)誤原因是空間想像力不夠。正解：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間為：，除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個(gè)的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間共為。其他空間小球均能到達(dá)。故小球不能到達(dá)的空間體積為：。3．（石莊中學(xué)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M為B1C1上一點(diǎn)，且B1M=2，點(diǎn)N在線段A1D上，A1D⊥AN，求： (1)； (2)直線AD與平面ANM所成的角的大?。?(3)平面ANM與平面ABCD所成角（銳角）的大小. 解：(1)以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線為x軸，y軸，z軸. 則D(0,8,0)，A1(0，0，4)，M(5,2,4) ) ∵ ∴ (2)由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，平面AMN，垂足為N. 因此AD與平面所成的角即是 易知 (3)∵平面ABCD，A1N平面AMN， ∴分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。 設(shè)平面AMN與平面ABCD所成的角（銳角）為，則4．（一中）點(diǎn)是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．沿對(duì)角線把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）求二面角的大小．ABCDEFOOFABCDE解法一：（Ⅰ）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為GABCDEFOOFABCDEGHMGHMABCDEFODCMMHGOFABE因?yàn)槎娼荄－AC－B為直二面角，又在中，，．．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連EM．∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．∴就是二面角的平面角．在RtEGM中，，，，∴．∴．所以，二面角的大小為．xyzAxyzABCDEFO則，．．．（Ⅱ）設(shè)平面OEF的法向量為．由得解得．所以，．又因?yàn)?/p>