海南省?？谑泻？谥袑W2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷（A）

海口中學2024-2025學年度第一學期期中考試高二數(shù)學（A卷）時量：120分鐘分值：150分命題：李昌平審題：吳錦坤一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則A. B. C. D.2.直線的傾斜角為A. B. C. D.3.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為A. B. C. D.4.已知圓，若直線與圓相交于，兩點，則的最小值為A. B.3 C. D.5.若正數(shù)，滿足，則的最小值為A.2 B. C.3 D.6.給出關于雙曲線的三個命題：①雙曲線的漸近線方程是；②若點在焦距為4的雙曲線上，則此雙曲線的離心率；③若點、分別是雙曲線的一個焦點和虛軸的一個端點，則線段的中點一定不在此雙曲線的漸近線上.其中正確命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.37.設函數(shù)，則A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減8.已知圓在橢圓的內(nèi)部，為橢圓上的點，過作圓的一條切線，切點為，且切線交橢圓于另一點，為線段的中點，若直線（為坐標原點）的斜率為，則橢圓的離心率為A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間10.對于函數(shù)，下列說法正確的是A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.當時，的取值范圍為D.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到11.已知曲線，點在曲線上，則下列結(jié)論正確的是A.曲線有4條對稱軸 B.的最小值是C.曲線圍成的圖形面積為 D.的最大值是1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，為橢圓的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為_____.13.已知，，若同時滿足條件：①，或；②，.則的取值范圍是_____.14.已知圓，直線，點在上運動，過點作圓的切線、，切點為、，則四邊形的面積的最小值為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，的對邊分別為，，，且，，.（l）求角及邊的值；（2）求的值16.（15分）如圖，在四棱錐中，，，，點在上，且，.（1）若是線段的中點，證明：平面；（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值.17.（15分）已知平面內(nèi)一動點到點的距離比它到軸的距離大1.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線、，設與軌跡相交于點、，與軌跡相交于點、，求的最小值.18.（17分）甲、乙、丙3名同學各自獨立的求解某道數(shù)學題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為.（l）求乙、丙各自解出該題的概率；（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人解出該題的概率.19.（17分）已知橢圓的離心率為，，是它的左、右頂點，過點的動直線（不與軸重合）與相交于、兩點，的最大面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線與直線的交點.（i）證明為定值；（ii）試探究：點是否一定在以線段為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論.

高二數(shù)學A卷參考答案一、選擇題：1.【答案】A2.【答案】B【解析】直線方程可化為，所以直線的斜率為，即傾斜角的正切，又，所以.故選B.3.【答案】B【解析】設它們的底面半徑均為，圓錐的母線長為，則，解得，在圓錐中，，則圓錐的體積為.故選B.4.【答案】C【解析】圓即，所以圓心的坐標為，半徑，直線，即，恒過定點，易知點在圓內(nèi)，則當直線與垂直時，弦最小，此時，則的最小值為.故選C.5.【答案】B【解析】由正數(shù)，滿足，得，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為.故選B.6.【答案】C【解析】對于①：雙曲線的漸近線方程應是，故①錯；對于②：雙曲線的焦點為、，，，從而離心率，所以②正確；對于③：，，的中點坐標均不滿足其漸近線方程，所以③正確.故選C.7.【答案】D【解析】由已知，函數(shù)定義域為，關于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，排除A、C；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故選D.8.【答案】D【解析】設，，，則，.又所以，所以，即.連接，則，所以直線的斜率，所以直線的斜率，即.又，所以，所以，所以橢圓的離心率.故選D.二、選擇題：9.【答案】ABD【解析】對于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項A正確；對于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項B正確；對于C，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項C錯誤；對于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項D正確.故選ABD.10.【答案】BC【解析】，最小正周期為，故A錯誤；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；當時，，的取值范圍為，故C正確；函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，故D錯誤.故選BC.11.【答案】ACD【解析】當，時，原方程化為，其圖形是圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由于圖象關于軸，軸對稱，所以曲線如圖所示.對于A，由圖可知：軸，軸，都是它的對稱軸，故A正確；對于B，表示曲線上的點到直線：的距離的倍，如圖，顯然當是時距離最小，為，所以最小值為，故B錯誤；對于C，曲線圍成的圖形由四個直徑為的半圓和一個邊長為的正方形組成，故面積為，故C正確；對于D，設，它表示點與點確定的直線的斜率，設該直線方程為，根據(jù)圖象，可知當，，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時，該切線的斜率是的最大值，則由，得，解得或（舍）.則的最大值為1，故D正確.故選ACD.三.填空題：12.【答案】8【解析】因為，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，，由橢圓的定義可得，所以，因為，即，所以，所以四邊形的面積為.13.【答案】【解析】易知時，，時，，所以由①得時，，由②得，.顯然不滿足條件，當時是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知應滿足的條件是，解得.14.【答案】【解析】將圓方程化為，知其圓心，半徑，又易知，，所以四邊形的面積，所以當最小時，即直線與直線垂直時，四邊形面積最小，而，所以.四.解答題：15.【解析】（1）在中，因為，由余弦定理得，因為，所以，因為，，所以，由正弦定理得，即，解得；（2）由（1）得，，.16.【解析】（1）取的中點為，連接，，因為是線段的中點，所以，，又，，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面.（2）因為，，所以，從而，又，所以四邊形為平行四邊形，，因為平面，所以平面，而，平面，故，，而，故以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，設平面的法向量為，則由可得，取，設平面的法向量為，則由可得，取，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.【解析】（1）設動點的坐標為，由題意有，即，當時，；當時，.所以動點的軌跡的方程為和.（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為.由，得，設、，則，是上述方程的兩個實根，于是，.因為，所以的斜率為.設、，則同理可得，，故.當且僅當即時等號成立，所以的最小值為16.18.【解析】（1）設“甲解出該題”為事件，“乙解出該題”為事件，“丙解出該題”為事件，則，，相互獨立，由題意得，，所以，，所以，即乙、丙各自解出該題的概率為，.（2）設“甲、乙、丙3人中恰有2人解出該題”為事件，則，且事件、、兩兩互斥，因為，，，，，相互獨立，所以.即甲、乙、丙3人中恰有2人解出該題的概率為.19.【解析】（1）設橢圓的焦距為，由題設知，且當點在橢圓的短軸端點處時的面積最大，所以，即，又，從而解得，，故