二次函數(shù)的應(yīng)用（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第14講二次函數(shù)的應(yīng)用

目錄

題型08圖形問(wèn)題

一、考情分析

題型09圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

二、知識(shí)建構(gòu)題型10二次函數(shù)綜合問(wèn)題

題型01最大利潤(rùn)/銷量問(wèn)題

類型一線段、周長(zhǎng)問(wèn)題

題型02方案選擇問(wèn)題

類型二面積周長(zhǎng)問(wèn)題

題型03拱橋問(wèn)題

類型三角度問(wèn)題

題型04隧道問(wèn)題

類型四特殊三角形問(wèn)題

題型05空中跳躍軌跡問(wèn)題

類型五特殊四邊形問(wèn)題

題型06球類飛行軌跡

題型07噴泉問(wèn)題

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中較為常見(jiàn)，其中，二次函數(shù)在實(shí)際生

活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二

二次函數(shù)的>能用二次函數(shù)解次函數(shù)模型；而利用二次函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題和最值問(wèn)題則多

應(yīng)用決實(shí)際問(wèn)題為解答題，此類問(wèn)題需要多注意題意的理解，而且一般計(jì)算數(shù)據(jù)較

大，還需根據(jù)實(shí)際情況判斷所求結(jié)果是否有合適，需要考生在做題

過(guò)程中更為細(xì)心對(duì)待。

最大利潤(rùn)/銷量問(wèn)題

噴泉問(wèn)題

二

次方案選擇問(wèn)題

函

數(shù)拱橋問(wèn)題

與

實(shí)

隧道問(wèn)題

際

應(yīng)

用空中跳躍軌跡問(wèn)題

球類飛行軌跡問(wèn)題

.夯基-必備基礎(chǔ)能謝迪

用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:

1.審：仔細(xì)審題，理清題意;

2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)

的未知數(shù);

3.歹小用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式;

4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題;

5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.

【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果

頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問(wèn)題結(jié)論.

利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤(rùn)公式列出函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值

解決利潤(rùn)最大問(wèn)題是否存在最大利潤(rùn)問(wèn)題。

利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門(mén)類問(wèn)題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)

的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問(wèn)題。

利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式,列出函數(shù)關(guān)系式，最后

利用函數(shù)的最值解決面積最值問(wèn)題。

【注意】自變量的取決范圍。

利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的方法：首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合

直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條

件進(jìn)行計(jì)算.

利用二次函數(shù)解決存在性問(wèn)題的方法：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)

出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條

件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不

存在.

.提升-必考題理理

題型01最大利潤(rùn)/銷量問(wèn)題

【例1】（2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某商店以一定的價(jià)格購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品若干千克，銷售統(tǒng)計(jì)發(fā)

現(xiàn)，甲商品從開(kāi)始銷售至銷售的第x天總銷量%（千克）與x的關(guān)系如圖1所示，且%是％的二次函數(shù).乙商

品從開(kāi)始銷售至銷售第％天的總銷量力（卜9），刈=3”，其中3是關(guān)于x的一次函數(shù)，其圖象如圖2.

（1）分別求出月，%與％的函數(shù)關(guān)系；

（2）甲、乙兩種商品購(gòu)進(jìn)量相差多少；

（3）分別求出甲、乙兩種商品哪天銷量最大，并求出最大銷售量是多少.

【變式『1】（2023?廣東深圳?校考模擬預(yù)測(cè)）深圳某公司生產(chǎn)A、8兩種玩具，每個(gè)8玩具的成本是A玩具

的1.5倍，公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)8種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個(gè)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）4、8兩種玩具每個(gè)的成本分別是多少元？

（2）某大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上銷售8玩具，物價(jià)部門(mén)規(guī)定每個(gè)售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)且每個(gè)的利潤(rùn)不允許高于

進(jìn)貨價(jià)的50%.試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是8元時(shí)，每天的銷售量為120件，銷售單價(jià)每上漲1元，

每天的銷售量就減少20件.求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該玩具每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【變式「2】（2023?安徽六安??？级＃┠硰S家生產(chǎn)一種兒童電動(dòng)玩具，3月份前4天生產(chǎn)的該兒童玩具售

價(jià)y（元/個(gè)）和銷量t（個(gè)）的數(shù)據(jù)如下表所示：

第尤天1234

售價(jià)y/（元/個(gè)）30323436

銷量〃個(gè)100120140160

從第5天開(kāi)始工廠對(duì)外調(diào)整價(jià)格為28元一個(gè)，據(jù)統(tǒng)計(jì)第5天以后兒童電動(dòng)玩具銷量f（個(gè)）和第x天的關(guān)系

為t=-/+5o%—ioo（5WxW20,且x為整數(shù)）.

（1）直接寫(xiě)出銷量/（個(gè)）與第尤天（前4天）滿足的關(guān)系式，并且求出第5天以后第幾天的銷量最大，最大

值為多少？

（2）若成本價(jià)為20元，求該工廠這些天（按20天計(jì)）出售兒童電動(dòng)玩具得到的利潤(rùn)W（元）與x的函數(shù)關(guān)

系式，直接寫(xiě)出第幾天的利潤(rùn)最大及其最大值.

題型02方案選擇問(wèn)題

【例2】（2023?湖北咸寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某

工廠接到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀(jì)念品的出廠價(jià)為每件20元，設(shè)第x天（0<

x<15）每件產(chǎn)品的成本價(jià)是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7,任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人小王第x

天生產(chǎn)產(chǎn)品尸（件）與x（天）之間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)小王第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤(rùn)為W元.

⑴直接寫(xiě)出尸與龍之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）最后，統(tǒng)計(jì)還發(fā)現(xiàn)，平均每個(gè)工人每天創(chuàng)造的利潤(rùn)為288元，于是，工廠制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：如果一個(gè)

工人某天創(chuàng)造的利潤(rùn)超過(guò)該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎(jiǎng)金，請(qǐng)計(jì)算，在生產(chǎn)該批紀(jì)念過(guò)程中，小

王能獲得多少元的獎(jiǎng)金?

【變式2-1］（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考二模）某公司在甲、乙兩城生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，受原材料產(chǎn)地，上、下游配

套工廠等因素影響，生產(chǎn)成本不同.甲城產(chǎn)品的成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為丫=a/+

"+c（aK0）,圖象為如圖的虛線所示：乙城產(chǎn)品的成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為丫=

kx（k0）,其圖象為如圖的實(shí)線所示.

⑴求a、b、上的值.

（2）若甲、乙兩城一共生產(chǎn)50件產(chǎn)品，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，使得總生產(chǎn)成本最小.

（3）從甲城把產(chǎn)品運(yùn)往A、2兩地的運(yùn)費(fèi)（萬(wàn)元）與件數(shù)（件）的關(guān)系式為：y甲4=y甲B=3久；從乙城

把產(chǎn)品運(yùn)往A、B兩地的運(yùn)費(fèi)（萬(wàn)元）與件數(shù)（件）的關(guān)系為：y乙4=%，y乙B=2代現(xiàn)在A地需要40件，

8地需要10件，在（2）的條件下，求總運(yùn)費(fèi)的最小值（用含"的式子表示）.

題型03拱橋問(wèn)題

【例3】（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模）賽龍舟是中國(guó)端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是一項(xiàng)廣受歡迎的民俗體育運(yùn)動(dòng).某

地計(jì)劃進(jìn)行一場(chǎng)劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過(guò)的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，

可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y（單位：m）

與到點(diǎn)。的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.01（x-30）2+9,據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離

水面2m,為保障安全，通過(guò)拱橋時(shí)龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少3m.

不意圖

（1）水面的寬度。力=m；

（2）要設(shè)計(jì)通過(guò)拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m,求最多可設(shè)計(jì)龍舟賽道的數(shù)量.

【變式3-1］（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度2B為

4米.在距點(diǎn)A水平距離為d米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為米.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)d和〃

下面是小紅的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)經(jīng)過(guò)測(cè)量，得出了d和/7的幾組對(duì)應(yīng)值，如下表.

d/米00.611.82.433.64

加米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和//這兩個(gè)變量中，是自變量，是這個(gè)變量的函數(shù)；

(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系久Oy中，畫(huà)出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：

①求該函數(shù)的解析式：

②公園欲開(kāi)設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長(zhǎng)為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為安全起見(jiàn)，公園要

在水面上的C,。兩處設(shè)置警戒線，并且CE=DF,要求游船能從C,。兩點(diǎn)之間安全通過(guò)，則C處距橋墩

的距離CE至少為多少米？(魚(yú)=1.41,精確到0.1米)

7T

【變式3-2](2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，拱形橋的截面由矩形和拋物線組成，矩形長(zhǎng)12m,寬

4m,以當(dāng)前水面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.其中拱橋的最高點(diǎn)。到水面OB的距離為10m.

圖1

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若一艘貨輪寬為8m,要確保貨輪安全通過(guò)拱橋，求其裝完貨物后的最大高度；

(3)若要在拱橋拋物線的左右兩側(cè)同樣的高度安裝兩個(gè)攝像頭，要求攝像頭到水面的距離不低于6m、不超過(guò)

8m,請(qǐng)直接寫(xiě)出兩個(gè)攝像頭水平距離的最大值.

題型04隧道問(wèn)題

【例4】(2023?河南平頂山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，隧道的截面由拋物線BEC和矩形力BCD構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)力。

為8m,寬48為2m.以力。所在直線為x軸，線段2D的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點(diǎn)E

到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離為5m.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如果隧道是雙向通道，現(xiàn)有一輛貨車高3.6m,寬2.4m,這輛貨車能否通過(guò)該隧道？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明.

【變式4-1](2023?寧夏銀川??？级?如圖，一個(gè)橫截面為拋物線形的公路隧道，其最大高度6米，底部

寬度。M為12米，現(xiàn)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)該隧道設(shè)計(jì)為雙向通行道，如果規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持

車輛頂部與隧道有不少于1米的空隙，則通過(guò)隧道車輛的高度限制應(yīng)為一米；

(3)在隧道修建過(guò)程中，需要搭建矩形支架4D-DC-CB(由三段組成)對(duì)隧道進(jìn)行裝飾，其中C、。在拋

物線上，A,B在地面OM上，求這個(gè)支架總長(zhǎng)Z的最大值.

【變式4-2](2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))按要求解答

(1)某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長(zhǎng)2400米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比

原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長(zhǎng)？

(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線.已知兩個(gè)車道寬度OC=。。=4米，

人行道地基AC,2。寬均為2米，拱高0"=10.8米.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

①此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.(函數(shù)表達(dá)式用一般式表示)

②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高米.

③已知人行道臺(tái)階CE,DF高均為0.3米，按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬

度設(shè)計(jì)是否達(dá)標(biāo)？說(shuō)明理由.

題型05空中跳躍軌跡問(wèn)題

【例5】（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）已知某運(yùn)動(dòng)員在自由式滑雪大跳臺(tái)比賽中取得優(yōu)異成績(jī)，為研究他

從起跳至落在雪坡過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖，以起跳點(diǎn)為原點(diǎn)O,水平方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，我

們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關(guān)系，記點(diǎn)A為該二次函數(shù)圖象

與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)2為該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)達(dá)標(biāo)點(diǎn)，軸于點(diǎn)C,相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

水平距離無(wú)（米）5102030

空中飛行的高度y（米）4.560-18

（1）請(qǐng)求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式；

（2）若該運(yùn)動(dòng)員第二次跳躍時(shí)高度y（米）與水平距離無(wú)（米）滿足y=-0.05/+l.lx,則他第二次跳躍落

地點(diǎn)與起跳點(diǎn)平面的水平距離為d=米，d30,成績(jī)是否達(dá)標(biāo)？.（填寫(xiě)是或否）

【變式5-1］（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）“兔飛猛進(jìn)”諧音成語(yǔ)“突飛猛進(jìn)”.在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，

“兔飛猛進(jìn)”名副其實(shí).野兔跳躍時(shí)的空中運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分.

y/m,

--------

,,--------------X、

/z、、

、、、，

Oxlm

（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

通過(guò)對(duì)某只野兔一次跳躍中水平距離無(wú)（單位：m）與豎直高度y（單位：m）進(jìn)行的測(cè)量，得到以下數(shù)據(jù):

水平距離x/m00.411.422.42.8

豎直高度y/m00.480.90.980.80.480

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：

①野兔本次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為m,最大豎直高度為m；

②求滿足條件的拋物線的解析式；

(2)已知野兔在高速奔跑時(shí)，某次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為3m,最大豎直高度為1m.若在野兔起跳點(diǎn)前方2m處

有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍(填“能”或“不能”)躍過(guò)籬笆.

【變式5-2](2022?山東青島?統(tǒng)考一模)跳臺(tái)滑雪是以滑雪板為工具，在專設(shè)的跳臺(tái)上以自身的體重通過(guò)助

滑坡獲得的速度比跳躍距離和動(dòng)作姿勢(shì)的一種雪上競(jìng)技項(xiàng)目.如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，

取某一位置的水平線為x軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.圖中的拋物線

Q：y=-尚/+；久+i近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)。正上方3米的A點(diǎn)滑出，滑出

后沿一段拋物線C2：y=-++c運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)，離水平線的高度

8

為7米.

(1)求拋物線C2的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員與點(diǎn)A的水平距離是多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員和小山坡到水平線的高度相同；

(3)運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的高度差最大是多少米?

題型06球類飛行軌跡

【例6】(2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考二模)擲實(shí)心球是某市中考體育考試的選考項(xiàng)目，如圖①是一名男生投實(shí)心球，

實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y(米)與水平距離x(米)之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出

時(shí)起點(diǎn)處高度為2米，當(dāng)水平距離段米時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)：個(gè)米處.

28

圖①圖②

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(男生)，投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大

于等于12.4米，此項(xiàng)考試得分為滿分17分，按此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，該生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式6-1](2023?河南駐馬店?駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？级?某班級(jí)在一次課外活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠

投箱子的游戲(長(zhǎng)方體無(wú)蓋箱子放在水平地面上).同學(xué)們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并建立了

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(x軸經(jīng)過(guò)箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行，矩形DEFG為箱子的截面示意

圖)，某同學(xué)將彈珠從力(1,0)處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線=a/+板+|(單位長(zhǎng)度為im)的一部分,

且當(dāng)彈珠的高度為|m時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)位置的水平距離為2m.已知DE=lm,EF=0.6m,DA=4.7m.

(1)求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)請(qǐng)判斷該同學(xué)拋出的彈珠是否能投人箱子.若能，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原因；若不能，在不改其它條件的情

況下，調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，請(qǐng)直接寫(xiě)出EF的取值范圍.

【變式6-2](2023?河北保定?統(tǒng)考一模)如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)。處練習(xí)發(fā)球，將球從。點(diǎn)正上方的B

處發(fā)出，球每次出手后的運(yùn)動(dòng)軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點(diǎn)C到y(tǒng)軸總是保持6米的水

平距離，豎直高度總是比出手點(diǎn)8高出1米，已知。B=小米，排球場(chǎng)的邊界點(diǎn)A距。點(diǎn)的水平距離。力為18

米，球網(wǎng)EF高度為2.4米，且。E=

fy

0EDAMNx

(DC點(diǎn)的坐標(biāo)為(用含加的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)爪=2時(shí)，求拋物線的表達(dá)式.

(3)當(dāng)爪=2時(shí)，球能否越過(guò)球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)若運(yùn)動(dòng)員調(diào)整起跳高度，使球在點(diǎn)A處落地，此時(shí)形成的拋物線記為人，球落地后立即向右彈起，形成

另一條與左形狀相同的拋物線乙2,且此時(shí)排球運(yùn)行的最大高度為1米，球場(chǎng)外有一個(gè)可以移動(dòng)的縱切面為

梯形的無(wú)蓋排球回收框MNPQ(MQ||PN),其中MQ=0.5米，MN=2米，NP=g米，若排球經(jīng)過(guò)向右反

彈后沿打的軌跡落入回收框MNPQ內(nèi)(下落過(guò)程中碰到P、。點(diǎn)均視為落入框內(nèi))，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值

與最小值的差為力請(qǐng)直接寫(xiě)出d的值.

題型07噴泉問(wèn)題

【例7】(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度?！睘?.5m.可以

把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩

形DEFG,其水平寬度DE=3m,豎直高度EF=0.5m.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上

邊拋物線最高點(diǎn)4離噴水口的水平距離為2m、高出噴水口0.5m,灌溉車到綠化帶的距離。。為d(單位：m)

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程O(píng)C；

(2)求下邊緣拋物線與無(wú)軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，直接寫(xiě)出d的取值范圍

【變式7-1](2023?北京?北京四中?？寄M預(yù)測(cè))某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周

邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處

匯合.如圖所示，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

(1)求水柱所在拋物線(第二象限部分)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離

水池中心多少米以內(nèi)？

(3)經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑

擴(kuò)大到24米(高度不變)處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度.

【變式7-2](2023.安徽蕪湖.統(tǒng)考三模)消防車中的高噴消防車，采用曲臂加伸縮結(jié)構(gòu)，頂端裝有消防炮,

其液控炮既可噴射水也可噴射泡沫，具有射程遠(yuǎn)，流量大的特點(diǎn).該車主要作業(yè)于油田、高層建筑、石化

企業(yè)等地方的滅火救援和處置工作.在一次模擬高層建筑起火救援中，消防炮噴水口A距離地面35米，距

離大樓起火側(cè)面20米，噴出水柱呈拋物線形，水柱最高處B距離地面50米，距離大樓起火側(cè)面5米，如

圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求出水柱所在拋物線的解析式；

(2)目前火焰不斷從第17層窗口竄出，若每層樓約2.9米高，窗臺(tái)高度約為0.9米，窗頂距離該層地面高度

約2.4米，此時(shí)水柱能否射入該層窗口？

(3)火勢(shì)已經(jīng)向上蔓延到距離地面55米處，高噴消防車最后一節(jié)伸縮臂C4按原來(lái)方向(與水平方向夾角約

為53。)伸長(zhǎng)了一截(不超過(guò)12米)，為阻止火勢(shì)進(jìn)一步蔓延，伸縮臂應(yīng)該伸長(zhǎng)幾米？(伸縮臂伸長(zhǎng)時(shí)間忽

略，sin53°?0.8,cos53°?0.6)

【變式7-3](2023?廣東深圳?深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))某公園要在小廣場(chǎng)上建造一個(gè)噴泉景觀.在小廣

場(chǎng)中央。處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子04安置于柱子頂端4處的噴水向外噴水，水流在

各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過(guò)04的任一平面上拋物線路徑如圖1所示.為使水流形狀

較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距。4的水平距離為1米時(shí)到達(dá)最大高度，此時(shí)離地面2.25米.

(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求

出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍)；

(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒(méi)有被水淋到，此

時(shí)他離花形柱子。4的距離為d米，則d的取值范圍是；

(3)在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值稱為這兩個(gè)圖形的距

離.為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45。角，如圖3所示，

光線交匯點(diǎn)P在花形柱子的正上方，其中光線8P所在的直線解析式為y=-x+4,求光線與拋物線水流

之間的距離.

題型08圖形問(wèn)題

【例8】(2022?福建南平?統(tǒng)考一模)如圖，某中學(xué)把五育并舉與減負(fù)延時(shí)服務(wù)相結(jié)合，勞動(dòng)課準(zhǔn)備在校園里

利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個(gè)矩形茶園力BCD,讓學(xué)生在茶園里體驗(yàn)種茶活動(dòng).現(xiàn)已知校圍墻

長(zhǎng)25米，籬笆40米長(zhǎng)(籬笆用完)，設(shè)48長(zhǎng)x米，矩形茶園4BCD的面積為S平方米.

25m---------------->

MADN

茶園

B

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；

(2)當(dāng)矩形茶園ABC。的面積為200平方米時(shí)，求48的長(zhǎng).

【變式8-1](2022.北京海淀.人大附中?？寄M預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出問(wèn)題：如圖1,有一張長(zhǎng)4dm,

寬3dm的長(zhǎng)方形紙板，在紙板的四個(gè)角裁去四個(gè)相同的小正方形，然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒

子，問(wèn)小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，盒子的體積最大.

下面是探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xdm,體積為ydm3,根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式得到y(tǒng)和x的關(guān)系式為

(2)確定自變量％的取值范圍是；

(3)列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.

113153795

x/dm1

848284884

y/dm31.32.22.73.02.82.51.50.9

(說(shuō)明：表格中相關(guān)數(shù)值均精確到0.1)

(4)為觀察y與久之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系(圖2),以久為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并用

平滑的曲線連接它們；

(5)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：要使得長(zhǎng)方體盒子的體積最大，小正方形的邊長(zhǎng)約為dm.(精

確到0.1)

【變式8-2](2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))為了增加校園綠化，學(xué)校計(jì)劃建造一塊邊長(zhǎng)為40m的正方形花

壇種植“兩花一草”，如圖，取四邊中點(diǎn)，構(gòu)成正方形EFGH(甲區(qū)域)，在四個(gè)角落構(gòu)造4個(gè)全等的矩形(已

區(qū)域)，甲、乙兩區(qū)域種植不同花卉，剩余區(qū)域種植草坪.

(1)經(jīng)了解，甲區(qū)域建造費(fèi)用為50元/n?,乙區(qū)城建造費(fèi)用為80元/n?,草坪建造費(fèi)用為10元/n?,設(shè)每個(gè)

矩形的面積為Km2,建造總費(fèi)用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)建造總費(fèi)用為74880元時(shí)，矩形區(qū)城的長(zhǎng)和寬分別為多少米？

(3)甲區(qū)域建造費(fèi)用調(diào)整為40元/m2,乙區(qū)域建造費(fèi)用調(diào)整為。元/m2(。為10的倍數(shù))，草坪建造單價(jià)不變，

最后建造總費(fèi)用為55000元，求。的最小值.

【變式8-3](2023?新疆?二模)如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣力B在x軸

上，且2B=8dm,外輪廓線是拋物線的一部分，對(duì)稱軸為y軸，高度。C=8dm.現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切

割：

(1)求拋物線解析式；

(2)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣48上且面積最大，求此正方形的面積；

(3)若切割成矩形，要求邊在底部邊緣4B上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng).

【變式8-4](2023?安徽六安?校聯(lián)考一模)如圖，在邊長(zhǎng)2為的正方形力BCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含

B,C兩點(diǎn))，將A4BP沿直線4P翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，在CD上有一點(diǎn)M,使得將△CMP沿直線MP翻折后，

點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)尸處，直線PE交CD于點(diǎn)N,連接M4NA.

(1)求證：ACMP-ABPA.

⑵求ACNP的周長(zhǎng).

(3)求線段AM長(zhǎng)度的最小值.

題型09圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

[例9](2023?吉林松原?校聯(lián)考二模)如圖，在△ABC中，NACB=90。,8c=9cm,4B=15cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)

4出發(fā)，以4cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).以P4為一邊作"PQ=90。，另一邊PQ與射線AC相交于

點(diǎn)Q,以4PMQ為邊作平行四邊形力PMQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),平行四邊形力PMQ與A/IBC重疊部分圖

形的面積為y(cm2).

⑴當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，4Q的長(zhǎng)為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊8C上時(shí)，求工的值；

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

【變式9-1](2023?吉林松原?校聯(lián)考三模)如圖所示，在等腰直角三角形力BC中，ABAC=90°,AC=8cm,

AD1BC于點(diǎn)。，點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿A—C方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P

作PQII4B交BC于點(diǎn)。，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM,且“QM=90。(點(diǎn)C位于PQ異側(cè))，

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為尤(s),APQM與△4DC重疊部分的面積為y

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M落在力B上時(shí)，x=；

⑵求點(diǎn)M落在力。上時(shí)尤的值；

(3)若M點(diǎn)在下方時(shí)，求重疊部分面積y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式.

【變式9-2](2023?吉林松原?校聯(lián)考三模)如圖，在矩形力BCD中，AB=4,AD=3cm,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)出

發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線-BC-CD運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AC向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P,。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)4P,PQ.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(t>0),

△P4Q的面積為S(cm2).

cC

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，Ns；

(2)求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)CP=CQ時(shí)，直接寫(xiě)出r的值.

【變式9-3](2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校?？既?在ANBC中，乙4=90°,AB=8cm,AC=6cm,

點(diǎn)M,點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)4出發(fā)，點(diǎn)M沿邊4B以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)4出發(fā)，沿邊4C以3cm/s的速

度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，(點(diǎn)M不與2,8重合，點(diǎn)N不與4,C重合)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs.

(1)求證：AAMNFABC；

(2)當(dāng)尤為何值時(shí)，以MN為直徑的。。與直線BC相切？

(3)把AAMN沿直線MN折疊得到AMNP,若AMNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y,試求y關(guān)于久的函數(shù)表

達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

題型10二次函數(shù)綜合問(wèn)題

類型一線段、周長(zhǎng)問(wèn)題

【例10](2022?廣東深圳?坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a(x+—4a經(jīng)

過(guò)點(diǎn)￡>(-2,3),與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找到一點(diǎn)E,使得ABCE的周長(zhǎng)最小，求出這個(gè)最小值；

(3)連接4C,在第一象限的拋物線上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)尸到x軸的距離和點(diǎn)P到直線力C的距離相等，求點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

【變式10T】(2023?廣東湛江??？家荒?拋物線丫=口久2+法+2與無(wú)軸交于點(diǎn)4(-3,0),18(1,0),與y軸交

于點(diǎn)C.

(1)

(2)求拋物線的解析式

(3)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)使的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和AMBC的周長(zhǎng)

(4)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PQIIBC交拋物線于點(diǎn)°,在拋物線上是否存在點(diǎn)0,使8、C、P、

。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式10-2](2023?廣東潮州?一模)如圖，直線y=-2x+3交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,拋物線y=-/+

bx+c經(jīng)過(guò)4,C兩點(diǎn)，且4(-1,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PH1BC于H,求PH+2HB的最大值.

(3)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB,把線段MB沿著直線BC翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)獷恰好落在拋物線

上，求M點(diǎn)坐標(biāo).

【變式10-3】(2022?湖北恩施?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線丫=：0+/1)2+卜.點(diǎn)4(一1,2)在拋物線的

對(duì)稱軸上，B(0，)是拋物線與y軸的交點(diǎn)，。為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C.

(1)直接寫(xiě)出伍k的值；

(2)如圖，若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,爪)，點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線QK與拋物線對(duì)稱軸垂直，垂足為點(diǎn)K.探求。K+

KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖，連接AD,AC,若NZMC=60。，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

類型二面積周長(zhǎng)問(wèn)題

【例n】(2023?廣東深圳?校考模擬預(yù)測(cè))如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=—1/+人》+。與

x軸交于4,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,其中。4=2,6-c=-4.

(1)求B,C的坐標(biāo);

(2)如圖②，點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接OD,BC,BD,0D交BC于點(diǎn)E,當(dāng)愛(ài)理的值最大時(shí)，

求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)及愛(ài)莊的最大值.

S&OBE

【變式n-l](2022?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)和點(diǎn)4(4,0),

它的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)B.C,D兩點(diǎn)在對(duì)稱軸上(點(diǎn)C在。的上方)，且關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，直線。D交拋物線于

點(diǎn)E,連接。C,CE.

(1)(2)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(1),若AOCE的面積為求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖(2),若NOEC=90。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【變式1卜2】(2022?福建南平?統(tǒng)考一模)已知拋物線y=/-2ax+a?+2a-3,直線〃y=K+a.

(1)記拋物線的頂點(diǎn)為N(p,q),求q關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)直線I與拋物線相交于點(diǎn)4,B,在點(diǎn)4B之間的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P.求AP4B的面積的最大值.

類型三角度問(wèn)題

【例12】(2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測(cè))己知拋物線力:丫=一|/+6%+(；與)7軸的交點(diǎn)為。(0,2),與其軸的

交點(diǎn)分別為4(3,0)、B(點(diǎn)力在點(diǎn)B右側(cè)).

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)將拋物線沿x軸向左平移山(巾＞0)個(gè)單位，所得的拋物線與無(wú)軸的左交點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,若

乙NMO=ACA