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認(rèn)證主體：李**（實名認(rèn)證）

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PAGE1第24講數(shù)列的概念（9類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第19題,15分由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等比數(shù)列前n項和裂項相消法求前n項和2023年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和寫出等比數(shù)列的通項公式2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項公式的基本量計算利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項2022年天津卷，第18題,15分等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算錯位相減法求和分組(并項)法求和2021年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列前n項和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題2020年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和等比數(shù)列通項公式的基本量計算分組(并項)法求和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分【備考策略】1.理解、掌握數(shù)列的概念2.能掌握數(shù)列的通項公式與遞推公式3.具備數(shù)形類比遞推的思想意識，會借助函數(shù)求解數(shù)列的最值與單調(diào)性4.會解數(shù)列中的規(guī)律問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項公式與求和問題。知識講解知識點一．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念1.數(shù)列：按照確定的順序排列的一列數(shù)2.數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)3.通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an4.遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式5.數(shù)列{an}的前n項和：把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即知識點二.數(shù)列的分類1.項數(shù)：（1）有窮數(shù)列：項數(shù)有限（2）無窮數(shù)列：項數(shù)無限2.項與項間的大小關(guān)系：（1）遞增數(shù)列：an＋1>an（2）遞減數(shù)列：an＋1<an（3）常數(shù)列：an＋1＝an（4）擺動數(shù)列：從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列（其中n∈N*）知識點三.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．知識點四.數(shù)列常用的結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則a2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則an≥an?1an≥an+1(n≥2，n∈N*)；若an最小，則知識點五.數(shù)列的兩種常用表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．考點一、數(shù)列的周期性1.（·湖南·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=0，aA．0 B．?C．3 D．3【答案】B【分析】計算出an的前四項的值，可得出an+3=【詳解】因為數(shù)列an滿足a1=0，aa3=a2?由上可知，對任意的n∈N+，an+3故選：B.2.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，an>0,a1A．2 B．1 C．3 D．5【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式得出an+3=a【詳解】由an+12+an+2即(an+3?an)(a故選：A.1.（2024·河北·模擬預(yù)測）已知首項為2的數(shù)列an滿足4an+1?5an+1an?2A．40 B．41 C．42 D．43【答案】B【分析】通過計算得到an為一個周期為4的數(shù)列，從而計算出S【詳解】由題意得a1=2，4a同理4a3?54a4?54a5?5故an為一個周期為4的數(shù)列，且a故S40=10a故n的最小值為41.故選：B2.（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列an中，a1=2A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】C【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.【詳解】由a1a3a4a5a6a7a8??則{a所以a2024故選：C3.（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進行，當(dāng)甲報出1，乙報出2后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】列舉出部分?jǐn)?shù)字觀察其周期即可得解.【詳解】報出的數(shù)字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6?，除了首項以外是個周期為6的周期數(shù)列.去掉首項后的新數(shù)列第一項為2，因為2023=337×6+1，所以原數(shù)列第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為2.故選：A.4.（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=4，a2=3A．14 B．34 C．3 【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式代入檢驗可知數(shù)列an【詳解】因為a1=4，a2令n=2，可得a3=a2a令n=4，可得a5=a4a令n=6，可得a7=a6a可知數(shù)列an所以a1000故選：A.考點二、數(shù)列的單調(diào)性1.（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an=A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>1【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用遞增數(shù)列滿足an+1【詳解】因為an=由an+1?an=1?k(n+1)n故選：B.2.（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列an的通項公式為an=A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．?2,+∞【答案】A【分析】由遞增數(shù)列定義可得an+1【詳解】由題意可得an+1?a即b>?2n?1，又n≥1，?2n?1≤?3，故b∈?3,+故選：A.1.（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列{an}，定義dn=an+1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.【詳解】{an}為遞增數(shù)列時，有d{dn}為遞增數(shù)列時，不一定有d所以“{an}故選：D.2.（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an=n?aa∈R，則“A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)a≤1時an=n?a≥0，則所以an+1?an=n+1?a?當(dāng)a=54時an=n?所以當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列，a可以大于1所以“a≤1”是an故選：B3.（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an+2=3an+1?2an，a1【答案】?【分析】根據(jù)an+2=3an+1?2an可得a【詳解】因為an+2=3a又因為an單調(diào)遞增，所以a所以數(shù)列an+1?an是以所以an+1所以2?λ·2n?1則λ的取值范圍為?∞故答案為：?∞4.（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，a1=(1)記bn=a(2)記Sn為an的前n項和，若Sn【答案】(1)證明見詳解(2)?2,+【分析】（1）根據(jù)遞推公式結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明；（2）由（1）可得an=n+1【詳解】（1）因為2an+1=則b1=a所以數(shù)列bn是以首項為12，公比為（2）由（1）可知：bn=a所以S=n可知Sn若Sn+12n所以實數(shù)λ的取值范圍為?2,+∞考點三、數(shù)列的最值1.（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列an中，a1=?9，a5=?1A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差d=a則其通項公式為：an注意到a1且由T5<0可知由TiTi?1由于a1故數(shù)列Tn中的正項只有有限項：T2=63故數(shù)列Tn中存在最大項，且最大項為T故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.2.（·遼寧·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=33,【答案】21【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以ann=33n【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+33．從而a設(shè)f（n）=33n+n?1則f（n）在(33，+∞)上是單調(diào)遞增，在因為n∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時f（n）有最小值．又因為a55=所以ann故答案為21【點睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．1.（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）在遞增數(shù)列an中，a1=π6，sinanA．12 B．32 C．?1【答案】C【分析】由題意依次確定數(shù)列的前9項的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，即可得答案.【詳解】由題意在遞增數(shù)列an中，a1=則cosan+1=則a2=π3+2k又cosa3=sina結(jié)合題意取a3同理cosa4=sina結(jié)合題意取a4同理cosa5=sina結(jié)合題意取a5同理cosa6=sina結(jié)合題意取a6=2π3+4π，同理可得故an前9項和的最小值+=59可得sinS故選：C2.（24-25高三上·山西大同·期末）等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，a1=1，且A．12 B．49 C．16【答案】D【分析】先根據(jù)等差中項及等比數(shù)列得通項求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出Sn，判斷出數(shù)列S【詳解】設(shè)公比為q，由4a1,2又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列，所以得4a1所以Sn令bn則bn+1所以數(shù)列2n所以當(dāng)n=1時，Sn故選：D.3.（2024·山東濟南·二模）已知an是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，an前n項和為Sn，若Sn=2024A．63 B．64 C．71 D．72【答案】C【分析】因為Sn=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時an也取得最大值，an需滿足前m(m=n?1)項是首相為1，公差為1的等差數(shù)列，通過計算am的前63項和與Sn=2024【詳解】因為Sn=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時an也取得最大值，an需滿足各項盡可能取到最小值，又因為an是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以a1=1，a2=2，a3=3當(dāng)m=63時，T63當(dāng)m=64時，T64又因為2024?2016=8<63，所以n的最大值為63，此時a1=1，a2故選：C.4.（2024·天津和平·二模）已知數(shù)列an滿足12a1+122a2+?+12nan=nn∈【答案】2n【分析】當(dāng)n=1時求出a1，當(dāng)n≥2時，12a1+122a【詳解】因為12當(dāng)n=1時，12a1當(dāng)n≥2時，12兩式相減得12nan=1經(jīng)檢驗當(dāng)n=1時an=2因為an=2所以Rn=65當(dāng)且僅當(dāng)2n=64所以數(shù)列Rn的最大項為第3故答案為：2n；3考點四、an與S1.（2024·山東濟南·三模）若數(shù)列an的前n項和Sn=n(n+1)A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)an與S【詳解】a6故選：C.2.（2024·貴州遵義·二模）已知數(shù)列an的前n項和Sn=A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用an=S【詳解】依題意，a1=S所以a1故選：D1.（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列an的前n項和為Sn=3?2A．1681 B．21181 C．827【答案】B【分析】由Sn,an的關(guān)系可得【詳解】因為Sn=3?2an，所以，兩式相減得，an=2an?1?2因為S1=3?2a所以數(shù)列{an}則S5故選：B．2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，an+1=Sn【答案】n?【分析】根據(jù)已知式子應(yīng)用an+1【詳解】因為an+1=Sn又因為a1=2,則因此數(shù)列Sn則Sn所以Sn故答案為：n·23.（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前n項和S【答案】a【分析】當(dāng)n≥2時，由已知的等式可得Sn?1=n?12n?3a【詳解】由于數(shù)列an中，a1=13所以當(dāng)n≥2時，Sn?1兩式相減可得：an所以n?12n?3n?12n?3所以2n?3a所以an所以a=1a1因此an故答案為：a4.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn=【答案】a【分析】利用數(shù)列的前n項和Sn與a【詳解】S當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，an所以數(shù)列an的通項公式為a故答案為：an考點五、累加法求通項公式1.（2024·重慶·三模）已知數(shù)列an的前n項和為SA．276 B．272 C．268 D．266【答案】A【分析】令n=1得S2=1，當(dāng)n≥2時，結(jié)合題干作差得Sn+1【詳解】∵a1=當(dāng)n=1時，S1+S當(dāng)n≥2時，Sn?1+S∴S故選：A2.（2024·河北保定·三模）設(shè)bn是公差為3的等差數(shù)列，且bn=an+1A．21 B．25 C．27 D．31【答案】D【分析】由bn=an+1+【詳解】由bn=an+1+從而a21故選：D1.（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列an中，a1=1，aA．43 B．46 C．37 D．36【答案】C【分析】由遞推公式an+1=an+2n?1用累加法公式a【詳解】法一：由題得an=a所以a7法二：由題a1=1，所以a7故選：C.2.（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an=an?1A．Sn=nn+1 B．Sn=【答案】B【分析】由疊加法求出數(shù)列an通項公式，再代入bn=1a【詳解】由an=an?1+nn≥2得a2=a疊加得an=a1+2+3+4+由題可知a1=1也適合上式，故所以bn=1an則數(shù)列bn前n項的和Sn=b1+b2故選：B.3.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=3,a2=15，且an+2A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可證數(shù)列an+1?an是等差數(shù)列，進而利用累加法求出通項【詳解】由an+2?2aa2?a則an+1?an=12+a4?a故當(dāng)n≥2時，an則當(dāng)n≥2時，an=4n2?1，又a∵1∴4034∴=2017×1?又2016<2017×1?14049故選：A.4.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=n2+3n，若首項為1A．10122023 B．20252024 C．20232024【答案】D【分析】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，做差法計算數(shù)列an的通項公式，代入1bn+1【詳解】解：∵Sn=當(dāng)n=1時，a1=4，符合所以數(shù)列an的通項公式為a∵1bn+1即1b1b……1bn?1b即bn設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則故選：D考點六、累乘法求通項公式1.（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an對任意k∈N*滿足aA．21012 B．21013 C．22024【答案】A【分析】由ak?ak+1=【詳解】解：由ak?a所以ak+2所以a2024a2022?又因為a1?①②兩式相乘，得a1故選：A．2.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an+1an=A．28 B．220 C．225【答案】C【分析】根據(jù)題意，由累乘法代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，得a2a1=1由累乘法，得a2即a8又a1=1，所以故選：C．1.（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前nA．12n?12n+1 B．3n?22n+1 C．2?【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，得Sn?1=n?1【詳解】由于數(shù)列an中，a1=13∴當(dāng)n≥2時，Sn?1兩式相減可得：a∴2n+1a所以an因此an故選：A.2.（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列an中，an>0，a1=1A．414 B．15 C．223 【答案】B【分析】依題意對an+12+a【詳解】因為an+12+an2a所以a1132=因為an>0，所以故選：B.3.（2024·四川瀘州·三模）已知Sn是數(shù)列an的前n項和，a1=1，n【答案】n+1【分析】借助an與S【詳解】當(dāng)n≥2時，n?1an=n+1S則Sn?S則有anan?1=2n+1則an當(dāng)n=1時，a1=1，符合上式，故故答案為：n+1?4.（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，【答案】an=n【分析】利用條件，再寫一式，兩式相減，可得an+1an【詳解】∵nan+1=2(∴當(dāng)n≥2時，(n?1)an=2(①-②得：nan+1?(n?1)∴an+1∴an=a∴an=n故答案為：an=n考點七、數(shù)列恒成立1.（24-25高三上·全國·單元測試）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意的n≥2，都有n+1A．14,+∞C．?15,+【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及an與Sn之間的關(guān)系，利用等差數(shù)列的前【詳解】由n+1nS又an為等差數(shù)列，則S故5an2所以Δ=4a1即1?54m+1≤0，解得所以m的取值范圍是?1故選：C．2.（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,A．λ>0 B．λ>?12 C．λ>?1 【答案】D【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得an+1?an為等比數(shù)列，即可結(jié)合累加法求解an=2【詳解】由an+2+2an3所以數(shù)列an+1?a則an進而數(shù)列an是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，可得S不等式2+λS即2n設(shè)bn=n當(dāng)n≥1時，bn+1?b所以bn所以2+λ>12，解得故選：D．1.（23-24高三上·四川雅安·期中）已知數(shù)列an滿足0<a1<1，an+1=6A．0,5 B．0,5 C．0,10 D．0,15【答案】C【分析】根據(jù)0<a1<1求得t≥0；根據(jù)an<5求得t≤10；在結(jié)合當(dāng)t∈【詳解】因為an>0，所以an+1因為0<a1<1，所以t≥0整理得t<15?a因為an<5，所以當(dāng)t∈0,10時，由a得?an2故t的取值范圍是0,10.故選：C【點睛】本題主要考查的是數(shù)列與不等式結(jié)合的問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可求得t的取值范圍，再根據(jù)t取這個范圍時，不等式成立來確定t的范圍.比較數(shù)列的大?。ɑ蚯髷?shù)列的單調(diào)性）時，可考慮差比較法來進行求解.2.（2023高三·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列an滿足a1=A．0.5 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】由遞推關(guān)系變形可得an+1?an=【詳解】依題意得a1=1若m>2，則an+1得a2?a1≥m?2于是有an?a當(dāng)n≥2?a因此數(shù)列an中將存在大于2的項，這與a所以m>2不符合題意．若m=2，則an+1?a由a1=1又an+1?2=12a而a1?2<0，于是an綜合以上可知實數(shù)m的最大值為2，故選：C3.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，2an+1=3SnA．?3,2 B．?3,2 C．?3,2 D．?3,2【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出Sn，再按n為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得t【詳解】由2an+1=3Sn，得an=整理得Sn=?2Sn?1+1，即S于是S1?13=23因此Sn?13=23當(dāng)n為奇數(shù)時，1+2n3?t<2當(dāng)n=1時，(3?31+2當(dāng)n為偶數(shù)時，1?2n3?t<2n，即所以實數(shù)t的取值范圍為?3,2.故選：B4.（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，且an+1A．1 B．32 C．76【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列an+1的通項，再利用等比數(shù)列前n項和公式求出【詳解】數(shù)列an中，a1=1，an+1=Sn即an+1=2an+1因此數(shù)列an+1(n≥2)是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，a則b1=1a1+1=而T1=b1=12故選：C【點睛】思路點睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用Sn+1?Sn=a考點八、遞推數(shù)列問題1.（2025·廣東·一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)an為斐波那契數(shù)列，a1=1,a2=1,an=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用給定條件結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造an【詳解】由題知n是log2故log2取指數(shù)得1+5同除2n得，1+故151+5根據(jù)an是遞增數(shù)列可以得到a于是原不等式轉(zhuǎn)化為an而a5=5,a故選：A2.（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足an+1A．a(chǎn)3a4和a5a6 B．a(chǎn)4a5和a6【答案】D【分析】由an+1=Sna【詳解】依題意，由an+1=Sna當(dāng)n=1時，a2Sn對于A，a3=a1+1，a則a3a4=2a2a1,3a1對于B，a7=a5+1=因為數(shù)列每一項都不為0，a1<0且不為負(fù)整數(shù)，a4a5對于C，a10=a則a5a6=3a3a1,5a1對于D，a12=a2+5=6當(dāng)3a1為負(fù)整數(shù)時，a6故選：D.1.（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3x?13x+1，數(shù)列anA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)奇偶性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知的條件推得數(shù)列的周期，從而計算的出結(jié)果；【詳解】由題意可知：fx的定義域為R且fx+f?x可知fx為定義在R上的奇函數(shù)，且f因為y=3x在R上單調(diào)遞增，可知fx綜上所述：fx在R因為fa2+f可得a3+a由an+3=ann∈且2024=3×674+2，所以i=12024故選：B.2.（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）數(shù)列{an}共有9項，且a1=1?，A．28個 B．36個 C．45個 D．56個【答案】A【分析】根據(jù)題目該數(shù)列相鄰兩項之差dn=2或?2，因為a1=1?，a9=9已確定，所以只需先判斷a1到a9相鄰兩項之差有幾個2和幾個?2【詳解】設(shè)an+1?an=dn可設(shè)d1，…，d8中有a個2和b個則a9=a1+即d1，…，d8中有6個2和2個?2，因此這樣的數(shù)列{a故選：A3.（2024·天津·模擬預(yù)測）數(shù)列an各項均為實數(shù)，對任意n∈N?滿足an+3=A．a(chǎn)1=1，c=1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1=1，c=0 D．a(chǎn)【答案】B【分析】根據(jù)定義列方程組，判斷a2【詳解】由題知，an又an+3=an，所以對于A，若a1=1，c=1，則a2a若a2=0，則a2又a3由周期性可知，當(dāng)a1=1,a對于B，若a1=2，c=2，則4?a又a22?即a3對于C，若a1=1，c=0，則解得a2=a對于D，若a1=2，c=0，則解得a2=a故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題關(guān)鍵在于根據(jù)定義列方程組，判斷a24.（2024·四川樂山·三模）峨眉山是一個著名的旅游和朝圣地，以其壯麗的自然風(fēng)光和宗教文化遺址而聞名．其中“九十九道拐”景點約有2000級臺階，某游客一次上1個或2個臺階，設(shè)爬上第n個臺階的方法數(shù)為an①a5=8；②3an+1=an?1其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④．【分析】依題意得出an+2=an+【詳解】根據(jù)一次上1個臺階或2個臺階，爬上第n個臺階的方法數(shù)為an可得an+2=an+所以a3=3，a4=5，因為33an+1=由①有a6=13，a7=21，則顯然不滿足a1+a因為a1a2a32=an?1累加可得a1所以i=12000ai故答案為：①②④考點九、數(shù)列中的規(guī)律1.（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房A只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房，…，以此類推，用an表示蜜蜂爬到n號蜂房的方法數(shù)，則aA．10 B．55 C．89 D．99【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列{an}【詳解】依題意，an=an?1+an?2（n∈N?所以a3=3,a故選：C2.（24-25高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓(xùn)練（不能傳給自己），由丙開始傳，經(jīng)過5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．10種 C．11種 D．12種【答案】B【分析】設(shè)在第n(n≥2)次傳球后有a【詳解】設(shè)在第n(n≥2)在前n次傳球中，每次傳球都有2種可能，故在前n次傳球中共有2n故在第n次傳球后，球不在丙手中的情況有2n只有在這些情況時，在第n+1次傳球后，球才會被傳回給丙，即an+1=2n?a5故選：B1.（2024·四川·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個二階等差數(shù)列的前4項為1,4,8,13，則該數(shù)列的第18項為（

）A．188 B．208 C．229 D．251【答案】A【分析】記該二階等差數(shù)列為an，bn=an+1【詳解】記該二階等差數(shù)列為an，且該數(shù)列滿足a1=1,由題意可知，數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b所以等差數(shù)列bn的公差為d=b2所以b1=a所以a18故選：A2.（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（

）A．366 B．422 C．450 D．600【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列an的偶數(shù)項的通項公式為a【詳解】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項為2,8,18,32,50,?，可得該數(shù)列an的偶數(shù)項的通項公式為a所以此數(shù)列an的第30項為a故選：C.3.（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（TowerofHanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著n個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為Hn，例如：H(1)=1，H(2)=3A．H(3)=5 B．H(n)為等差數(shù)列C．H(n)+1為等比數(shù)列 D．H【答案】C【分析】由題意可得H(3)=7，判斷A；歸納得到Hn=2【詳解】由題意知若有1個圓盤，則需移動一次：若有2個圓盤，則移動情況為：A→C,A→B,C→B，需移動3次；若有3個圓盤，則移動情況如下：A→B,A→C,B→C,A→B,C→A,C→B,A→B，共7次，故H(3)=7，A錯誤；由此可知若有n個圓盤，設(shè)至少移動an次，則a所以an+1=2an?1+1故an=2則H(n)不為等差數(shù)列，B錯誤；又Hn=2n?1，則HH7故選：C4.（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關(guān)系為a2+b2=c2（其中a≤bA．145 B．181 C．221 D．265【答案】C【分析】由給定的勾股弦數(shù)組序列中，an=2n+1n∈N?，c?b=1，得a2=【詳解】因為a2+b在給定的勾股弦數(shù)組序列中，c?b=1，所以a2易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項公式為an所以an故“弦”的通項公式為cn=2n所以第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于2×10故選：C．1．（2024·天津·二模）已知數(shù)列an為不單調(diào)的等比數(shù)列，a2=14,aA．34 B．78 C．98【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念求公比及通項公式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最大項即可.【詳解】由題意可知q2=a又an為不單調(diào)的等比數(shù)列，所以q=?12故bn若要求bn的最大項，需n為偶數(shù)，則b根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)n=2時，b2=9故選：C2．（23-24高三上·天津和平·期末）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，aA．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【分析】利用an=Sn?Sn?1【詳解】由an=1整理得Sn又a1=1故數(shù)列Sn+3是以所以Sn+3=6×所以S4故選：C.3．（23-24高三上·天津·期中）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，已知a1=1且A．9 B．27 C．81 D．101【答案】B【分析】n≥2時，an=2S【詳解】n=1時，a2n≥2時，an作差得an+1?a所以數(shù)列an所以a4故選：B.4．（22-23高三上·湖南婁底·期末）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a3A．157 B．C．114 D．【答案】B【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和通項公式求出首項與公差，求出等差數(shù)列an的通項公式，代入a【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為因為a3所以a3=3，所以則3d=a所以a3所以等差數(shù)列an的通項公式為：a所以an當(dāng)且僅當(dāng)n=56n?n=2所以當(dāng)n=7或n=8時取最大值為77故選：B.5．（22-23高三上·天津靜?！るA段練習(xí)）設(shè)命題P：已知定義在(0,+∞)的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f'x=xlnx?x，存在k∈R，使得A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，分別求出k的取值范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，?x1,x2令g(x)=f(x)?kx，即有g(shù)(x1)≥g(所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上遞增，故g'令?(x)=f'(x)=xlnx?x當(dāng)0<x<1時，?'(x)<0，當(dāng)x>1時，即?(x)在(0,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，?(x)于是命題P為真：k≤?1，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則?n∈N?故2n+3>k在n屬于正整數(shù)集上恒成立，于是有k<5，因此命題Q為真：k<5，顯然當(dāng)k≤?1時，k<5成立，反之當(dāng)k<5時，k≤?1不一定成立，則Q是P的必要不充分條件，B正確.故選：B6．（21-22高三上·天津河西·期中）已知數(shù)列an中，a1=?1，an=2an?1+3，則通項公式【答案】2n?3【分析】設(shè)實數(shù)λ滿足an+λ=2(an?1+λ)【詳解】設(shè)實數(shù)λ滿足an+λ=2(an?1+λ)?an=2an?1+λ，則λ=3，所以an+3=2(故答案為：2n?31．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列an滿足a1+2A．53 B．85 C．127【答案】D【分析】利用遞推關(guān)系求出an【詳解】當(dāng)n=1時，a當(dāng)n≥2a1a1兩式相減可得：nan=2又n=1時，a1=2，所以a所以an=3,n=12n,n所以bn設(shè)數(shù)列anT=3故選：D.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知Sn為正項數(shù)列an的前n項和．若Sn+2aA．7 B．15 C．8 D．16【答案】B【分析】本題可通過題中的一般項an與前n項和Sn的關(guān)系式，利用公式an+1=Sn+1?Sn【詳解】因為Sn所以2an+1=因為an>0，所以an所以數(shù)列an所以an+1=a所以S5=a所以an=2故選：B．3．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】用n+1去換an+2+a【詳解】由題意得an+2=an+1?兩式相加可得an+3=?an又a1=2，a2所以數(shù)列an的前2024項和S故選：A.4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且an+1=A．4n?13C．4n?1 【答案】A【分析】根據(jù)an,Sn關(guān)系求出【詳解】因為an+1=Sn+1，所以當(dāng)因為數(shù)列an是等比數(shù)列，所以a由a2=S1+1=所以an=2n?1所以數(shù)列an2的前n項和為故選：A．5．（23-24高三上·天津西青·期末）已知an是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，2A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C【分析】當(dāng)n≥2時，2Sn?1=an?2，兩式相減可得an+1an=3【詳解】當(dāng)n≥2時，2兩式相減可得：2Sn?2Sn因為an是等比數(shù)列，所以a又令n=1時，2a1=a所以an是以a1=2所以a4故選：C.6．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）著名的“全錯位排列”問題（也稱“裝錯信封問題”是指“將n個不同的元素