2020-2021學年河北省石家莊市二中高一下學期期中數學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年河北省石家莊市二中高一下學期期中數學試題一、單選題1．已知復數，i為虛數單位，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求解模以及其共軛復數，相加即可.【詳解】因為，所以.故選：D.【點睛】考查復數模長的求解、共軛復數的求解.2．下列命題正確的是（）A．單位向量都相等B．零向量沒有方向C．設表示“向東走”，表示“向西走”，則表示“向西走”D．若與共線，與共線，則與共線【答案】C【分析】根據平面向量的定義與性質，判斷選項中的命題是否正確即可.【詳解】A.單位向量的模長相等，但是方向不一定相同，所以A錯誤；B.根據零向量的定義可知零向量的方向為任意方向，所以B錯誤；C.根據相反向量的定義知與是相反向量，根據向量加法法則可得，表示“向西走，所以C正確；D.若與共線，與共線，則與不一定共線，比如為零向量，所以D錯誤.故選：C.3．下列說法正確的是（）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺C．過空間內三點，有且只有一個平面D．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面【答案】D【分析】對于A，利用正棱錐的定義判斷即可；對于B，利用棱臺的定義判斷；對于C，舉反例判斷；對于D，由棱錐的定義判斷【詳解】解：對于A，因為正棱錐必須滿足兩個條件：一是底面是正多邊，另一個是頂點在底面上的投影是底面正多邊形的中心，所以A錯誤；對于B，當平面與棱錐的底面平行時，棱錐底面和截面之間的部分才是棱臺，所以B錯誤；對于C，若空間中的三點在一條直線上，則過這三點有無數個平面，所以C錯誤，對于D，因為在四面體中，任取一個面后，剩下三個面都是有一個公共頂點的三角形，所以四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面，所以D正確.故選：D.4．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】利用余弦定理計算可得；【詳解】解：．把代入余弦定理求得，即，因此，從而，為等邊三角形．故選：．5．如圖，正方形的邊長為1，它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】根據斜二測畫法求解.【詳解】直觀圖如圖所示：由圖知：原圖形的周長為,故選：C6．設為虛數單位，，則復數z的虛部為（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】結合復數的除法運算，求得復數z，進而可求得其虛部.【詳解】因為，所以，所以復數z的虛部為，故選：B.7．在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西， B．北偏西，C．北偏東， D．北偏東，【答案】A【分析】作出示意圖，計算出船的航行速度以及船的行駛方向與正北方向間的夾角，由此可得出結論.【詳解】如圖，船從點出發(fā)，沿方向行駛才能垂直到達對岸，，，則，則，因為為銳角，故，故船以的速度，以北偏西的方向行駛，才能垂直到達對岸.故選：A.8．已知棱長均相等的四面體的外接球的半徑為，則這個四面體的棱長為（）A． B． C． D．4【答案】D【分析】將棱長均相等的四面體放正方體中，設正方體的棱長為，根據，求出，求出正方體的面對角線即可求解.【詳解】由題意可知為正四面體，將此正四面體放在正方體中，如圖：設正方體的棱長為，，解得，所以四面體的棱長為.故選：D9．飛機的線和山項在同一個鉛垂平面內，已知飛機的高度為海拔，速度為，飛行員先看到山頂的俯角為，經過后又看到山頂的俯角為，則山頂的海拔高度為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出，再在中利用正弦定理求出，進而在中求出，即可求出結果.【詳解】如圖，，∴在中，，所以，過作于，∴山頂的海拔高度為故選：D.10．2020中國國際防銹、防腐蝕技術及材料展覽會于9月15日至9月19日在國家會展中心（上海）隆重舉行，推動了國內防銹，防腐蝕材料的技術升級．如圖為某沿海城市海邊的一個石頭雕塑，該雕塑是由一個體積為m的圓柱形石料雕刻而成，其上方是一個半徑為m的球，下方是一個正四棱錐．雕刻時，先讓球與圓柱的上底面相切并使體積達到最大，再讓正四棱錐的體積達到最大，不計損耗．為測試某新型涂料防止海水侵蝕的效果，現需在該雕塑表面涂一層涂料，則需要在雕塑表面涂刷涂料的面積約為（）A．m B．90mC．150m D．180m【答案】D【分析】首先根據已知求出圓柱形石料的底面圓的半徑，然后利用圓柱形石料的體積及球的半徑求出四棱錐的高，最后求組合體的表面積即可．【詳解】設圓柱的底面圓的半徑為，高為，則由題意知，又圓柱的體積為324，所以，所以．雕刻時先讓球與圓柱的上底面相切并使體積達到最大，再讓正四棱錐的體積達到最大可知，正四棱錐的底面是半徑為3的圓的內接正方形，且正四棱錐的高，則正四棱錐的底面邊長，所以該雕塑的表面積所以需要在雕塑表面涂刷涂料的面積約為180．故選：D【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是根據雕刻的要求得到球、正四棱錐、圓柱之間的關系，從而建立代數關系．二、多選題11．已知復數（i為虛數單位）在復平面內對應的點為，復數z滿足，下列結論正確的是（）A．點的坐標為B．復數的共軛復數對應的點與點關于虛軸對稱C．復數z對應的點Z在一條直線上D．與z對應的點z間的距離有最小值【答案】ACD【分析】根據復數對應的坐標，判斷A選項的正確性.根據互為共軛復數的兩個復數坐標的對稱關系，判斷B選項的正確性.設出，利用，結合復數模的運算進行化簡，由此判斷出點的軌跡，由此判讀C選項的正確性.結合C選項的分析，判斷D選項的正確性.【詳解】復數在復平面內對應的點為，A正確；復數的共軛復數對應的點與點關于實軸對稱，B錯誤；設，代入，得，即，整理得，；即Z點在直線上，C正確；易知點到直線的垂線段的長度即為、Z之間距離的最小值，故D正確.故選：ACD12．點在所在的平面內，則以下說法正確的有（）A．已知平面向量、、滿足，且，則是等邊三角形B．若，則點為的垂心C．若，則點為的外心D．若，則點為的內心【答案】AC【分析】直接利用向量的線性運算及向量的數量積，三角形的內心、外心，重心，垂心的應用，向量垂直的充要條件，單位向量的應用判斷、、、的結論．【詳解】解：選項A，平面向量、、滿足，且，，，即，，，的夾角為，同理、的夾角也為，是等邊三角形，故A正確；選項B，向量，分別表示在邊和上的單位向量，設為和，則它們的差是向量，則當，即時，點在的平分線上，同理由，知點在的平分線上，故為的內心而不一定是垂心，故B錯誤；選項C，是以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，而是該平行四邊形的另一條對角線，表示對角線垂直，從而這個平行四邊形是菱形，即，同理有，于是為的外心，故C正確；選項D，由得，，即，，同理可證，，，，，即點是的垂心而不一定時內心，故D錯誤．故選：AC．【點睛】本題考查的知識要點：向量的線性運算，三角形的內心、外心，重心，垂心的應用，向量垂直的充要條件，單位向量，主要考查學生的運算能力和數學思維能力．（1）重心：三角形三條中線的交點；與向量相關的性質：①是的重心；②三點坐標為、、，則重心坐標為；③點是的重心，則；④若，則點經過的重心；⑤若，則點經過的重心；三、填空題13．設復數為虛數單位），若為純虛數，則的值為____．【答案】1【詳解】因為為純虛數，所以14．向量，，，若，則的值是________.【答案】【分析】求出向量的坐標，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數的值.【詳解】由已知可得，因為，故，解得.故答案為：.15．若一個三棱臺的上、下底面的面積分別是和，體積為，則該三棱臺的高為________.【答案】.【分析】由臺體體積公式即可得出.【詳解】設三棱臺高為h，則由臺體體積公式可得：.故答案為：16．在中，，，，在邊上(不與端點重合).延長到，使得.若(為常數)，則的長度是___________.【答案】【分析】根據題設條件可設（），結合與A、B、D三點共線，可求得，再根據勾股定理求出，然后根據余弦定理即可求解.【詳解】∵C、D、P三點共線，∴可設（），∵，∴，即，若且，則A、B、D三點共線，∴，即，∵，∴，，∵，，，，∴，設，，則，，∴根據余弦定理可得，，∵，∴，解得或（舍去），∴的長度為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題考查了平面向量知識的應用、余弦定理的應用以及求解運算能力，解答本題的關鍵是設出（）．四、解答題17．如圖所示，正方體的棱長為，過頂點、、截下一個三棱錐.（1）求剩余部分的體積；（2）求三棱錐底面上的高（即點到面的距離）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正方體的體積減去三棱錐的體積可得結果；（2）計算出的面積，利用等體積法可計算得出三棱錐底面上的高.【詳解】（1）三棱錐的體積為，故剩余部分的體積為；（2）易得，故的面積為，設三棱錐底面上的高為，則，解得，因此，三棱錐底面上的高為.18．已知向量.（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【分析】（1）先求出，然后由化簡可求出，再利用兩向量的夾角公式可求得結果；（2）由，得，化簡后可求出的值.【詳解】解：（1）由，得，由，得，，所以，設向量與夾角為，則；（2）因為，所以，即，所以，解得.19．在中，、、分別為角、、所對的邊，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡可得的值，結合角的取值范圍可求得角的大??；（2）利用余弦定理可得出關于的二次方程，由此可解得的值.【詳解】（1），所以，，，則，故，，故；（2）由余弦定理可得，即，，故.20．如圖，D、E分別是的邊BC的三等分點，設，.（1）用分別表示；（2）若，求△ABC的面積.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據向量的線性運算法則，化簡得到，，即可求解；（2）由和，集合向量的數量積的運算公式，求得，得到以，結合面積公式，即可求解.【詳解】（1）根據向量的線性運算法則，可得，.（2）由，因為，可得,即，又由，解得，所以，所以的面積.【點睛】平面向量的數量積的運算策略：1、定義法：建立一個平面基底，結合向量的線性運算法則表示出向量，利用向量的數量積的定義，即可求解；2，坐標運算法：先建立適當的平面直角坐標系，寫出向量的應用坐標，結合坐標運算的公式，即可求解，可起到化繁為簡的妙用．21．在中，分別為角的對邊，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據正弦定理即可解決.（2）利用正弦定理表示出，再根據是銳角三角形求出角C的范圍即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理得：，，，，整理可得：，，，，又，；（2）為銳角三角形，，，即，解得：；由正弦定理可得：，，，則，，即的取值范圍為.22．如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點，之間的距