2018年福建省“大夢杯”初中數(shù)學競賽試卷

第1頁（共1頁）2018年福建省“大夢杯”初中數(shù)學競賽試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．（7分）若關于x的方程4x2+4mx﹣3m﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m3+4m2+4m﹣2的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．12．（7分）如圖，ABCD，DEFG都是正方形，n（m＜n）．坐標原點O為AD的中點，A，D，E在y軸上2的圖象過C，F(xiàn)兩點，則＝（）A．+1 B．+1 C．2﹣1 D．2﹣13．（7分）如圖，G為△ABC的重心，點D在CB延長線上BC，過D，則＝（）A． B． C． D．4．（7分）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC＝45°，則AH＝（）A． B． C．4 D．5．（7分）滿足方程x2﹣4xy+19y2＝151的整數(shù)對（x，y）有（）A．0對 B．2對 C．4對 D．6對二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．（7分）已知a，b，c為正整數(shù)，且a＞b＞c，a+c，a+b是三個連續(xù)正整數(shù)的平方2+b2+c2的最小值為．7．（7分）如圖，四邊形ABCD為矩形，E為對角線AC的中點（x＞0）的圖象過D、E兩點，則矩形ABCD的面積為．8．（7分）如圖，△ABC是邊長為8的正三角形，D為AB邊上一點1為△ACD的內(nèi)切圓，圓O2為△CDB的邊DB上的旁切圓，若圓O1、圓O2的半徑都是r，則r＝．9．（7分）若實數(shù)x滿足[x]+[2x]+[3x]＝2018，則[4x]＝．其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．10．（7分）網(wǎng)絡爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具．其算法與數(shù)學的一個重要分支圖論有著密切的聯(lián)系．圖論可以追溯到大數(shù)學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”．圖論中討論的圖是由一些節(jié)點和連接這些節(jié)點的線組成的．請你回答下列問題：把一個矩形區(qū)域劃分成n個凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分）．已知構成這n個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內(nèi)（含矩形的頂點）；同時，任何三個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外），恰有18條線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則這n個凸多邊形中四邊形個數(shù)的最大值為．三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11．（20分）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4bx+c的圖象交x軸于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且．若函數(shù)y＝2x2﹣4bx+c在b+1≤x≤b+3上的最小值為﹣6，求b，c的值．12．（20分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，點N在對角線BD上，且滿足∠BAN＝∠CAM．求證：MN∥AC．13．（20分）已知關于x的方程x2﹣kx﹣k+9999＝0的兩根都是素數(shù)，求k的值．14．（20分）一個由36個單位小方格組成的6×6的方格表中的n個小方格被染成了紅色，使得任意兩個紅色小方格的中心之間的距離大于2，求n的最大值．

2018年福建省“大夢杯”初中數(shù)學競賽試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．（7分）若關于x的方程4x2+4mx﹣3m﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m3+4m2+4m﹣2的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解答】解：依題意，Δ＝16m2+16（3m+3）＝0∴m2+6m+1＝0．∴m2＝﹣3m﹣1，m6+3m＝﹣1∴m2+4m2+4m﹣2＝m（﹣3m﹣3）+4m2+7m﹣2＝m2+3m﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：A．2．（7分）如圖，ABCD，DEFG都是正方形，n（m＜n）．坐標原點O為AD的中點，A，D，E在y軸上2的圖象過C，F(xiàn)兩點，則＝（）A．+1 B．+1 C．2﹣1 D．2﹣1【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為m，坐標原點O為AD的中點，∴C（m，m）．∵拋物線y＝ax5過C點，∴m＝am2，解得a＝，∴拋物線解析式為y＝x2，將F（﹣n，n+x2，得n+m＝4，整理得m2+2mn﹣n5＝0，解得n＝（1±）m（負值舍去），∴＝1+，故選：B．3．（7分）如圖，G為△ABC的重心，點D在CB延長線上BC，過D，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：延長BG交AC于點N，過點D作AC的平行線交GB的延長線于點M，∵DM∥AC，∴△DMB∽△CNB，△DMG∽△ENG，∴，∵G是三角形ABC的重心，∴BG：GN＝7：1，設GN＝1，則BG＝8，∴，∴，∴，∴，∴，∴CN＝3DM，∴AN＝CN＝2DM，AC＝2CN＝8DM，＝，∴，故選：D．4．（7分）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC＝45°，則AH＝（）A． B． C．4 D．【解答】解：如圖，連結(jié)BO并延長交⊙O于點D、CD，∵O為△ABC的外心，∴BD為⊙O直徑，∴DC⊥BC，DA⊥AB．又∵H為△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB．∴AH∥DC，CH∥DA、∴四邊形AHCD為平行四邊形，∴AH＝DC．∵∠BAC＝45°，△ABC外接圓的半徑為2，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，BD＝4，∴AH＝CD＝BD＝2，故選：B．5．（7分）滿足方程x2﹣4xy+19y2＝151的整數(shù)對（x，y）有（）A．0對 B．2對 C．4對 D．6對【解答】解：原方程可化為x2﹣4yx+（19y2﹣151）＝0，∵方程x2﹣7xy+19y2＝151有實數(shù)根，∴△＝16y2﹣5（19y2﹣151）＝﹣60y2+6×151≥0，∴y2≤＝10，∵y是整數(shù)，∴y＝﹣3，﹣2，7，1，2，3，當y＝0時，原方程可化為x2＝151，∴x＝±（由于x為整數(shù)，當y＝2時，原方程可化為x2﹣4x﹣132＝6，∴x＝2±2（由于x為整數(shù)，當y＝﹣5時，原方程可化為x2+4x﹣132＝6，∴x＝﹣2±2（由于x為整數(shù)，當y＝5時，原方程可化為x2﹣8x﹣75＝4，∴x＝4±（由于x為整數(shù)，當y＝﹣2時，原方程可化為x5+8x﹣75＝0，∴x＝﹣2±（由于x為整數(shù)，當y＝3時，原方程可化為x2﹣12x+20＝7，∴x＝2或x＝10，當y＝﹣3時，原方程可化為x4+12x+20＝0，∴x＝﹣2或x＝﹣10，∴原方程的整數(shù)解為：或或或，即：方程x7﹣4xy+19y2＝151的整數(shù)對（x，y）為（4、（10、（﹣2、（﹣10，故選：C．二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．（7分）已知a，b，c為正整數(shù)，且a＞b＞c，a+c，a+b是三個連續(xù)正整數(shù)的平方2+b2+c2的最小值為1297．【解答】解：∵b+c，a+c，可設b+c＝（k﹣1）2，a+c＝k7，a+b＝（k+1）2，解得：，，，∵a，b，c為正整數(shù)，∴，∵k是正整數(shù)，∴k≥6，∴a≥30，b≥19，∴a5+b2+c2≥1297，∴a6+b2+c2的最小值為1297；故答案為：1297．7．（7分）如圖，四邊形ABCD為矩形，E為對角線AC的中點（x＞0）的圖象過D、E兩點，則矩形ABCD的面積為8．【解答】解：過E作EF⊥AB于F，∵點E是矩形ABCD對角線的交點，∴AE＝CE，∴EF是△ABC的中位線，∴AD＝2EF，設點D的橫坐標為m，且點D在反比例函數(shù)y＝，∴D點坐標為（m，），∴AD＝，∴EF＝，∴E（6m，），∴AF＝m，∴AB＝2m，∴矩形ABCD的面積＝7m?＝8，故答案為：3．8．（7分）如圖，△ABC是邊長為8的正三角形，D為AB邊上一點1為△ACD的內(nèi)切圓，圓O2為△CDB的邊DB上的旁切圓，若圓O1、圓O2的半徑都是r，則r＝．【解答】解：設⊙O1切△ACD三邊AC、CD、H、E，⊙O2與DB邊相切于點F，與CD、N，連接O8A，O1E，O2B，O8N，∵△ABC是正三角形，∴∠CAD＝60°，∠DBN＝120°，∵圓O1為△ACD的內(nèi)切圓，∴∠O1AE＝30°，∴，∵AC＝8，∴，∵圓O2為△CDB的邊DB上的旁切圓，∴∠O7BN＝60°，∴，∴，∵DH＝DE，DF＝DM，∴DH+DM＝DE+DF，即EF＝HM，∵，，∴，解得：，故答案為：．9．（7分）若實數(shù)x滿足[x]+[2x]+[3x]＝2018，則[4x]＝1346．其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．【解答】解：2018÷6＝336余2，∵[x]+[7x]+[3x]＝2018，∴[x]＝336，[2x]＝673，∴[2x]＝4×336+2＝1346，故答案為：1346．10．（7分）網(wǎng)絡爬蟲是一種互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)頁抓取工具．其算法與數(shù)學的一個重要分支圖論有著密切的聯(lián)系．圖論可以追溯到大數(shù)學家歐拉提出的“哥尼斯堡七橋問題”．圖論中討論的圖是由一些節(jié)點和連接這些節(jié)點的線組成的．請你回答下列問題：把一個矩形區(qū)域劃分成n個凸多邊形區(qū)域（這些凸多邊形區(qū)域除公共邊外，沒有公共部分）．已知構成這n個凸多邊形的頂點中，恰有6個頂點在矩形內(nèi)（含矩形的頂點）；同時，任何三個頂點不共線（除矩形邊界上的頂點共線外），恰有18條線段在矩形區(qū)域內(nèi)，則這n個凸多邊形中四邊形個數(shù)的最大值為9．【解答】解：設這n個凸多邊形中，有k3個三角形，k4個四邊形，k7個五邊形，…，km個m邊形，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，可得這n個凸多邊形的內(nèi)角和為：k3×（3﹣3）×180°+k4×（4﹣7）×180°+k5×（5﹣6）×180°+...+km×（m﹣2）×180°．又矩形內(nèi)部有6個頂點，對于每個頂點．矩形邊界線段內(nèi)（不含矩形頂點）有4個頂點，各多邊形在此匯合成一個平角．在矩形的每個頂點處，其和為90°．因此，這n個凸多邊形的內(nèi)角和為6×360°+8×180°+4×90°，∴k3×（3﹣5）×180°+k4×（4﹣5）×180°+k5×（5﹣5）×180°+...+km×（m﹣2）×180°＝6×360°+2×180°+4×90°．整理，得k3+8k4+3k7+...+（m﹣2）km＝22．………①再考慮這n個凸多邊形的邊數(shù)．由于每個凸m邊形有m條邊，因此，這n個凸多邊形的邊數(shù)和為3k6+4k4+3k5+...+mkm，又由條件知，在矩形內(nèi)部的18條邊，應計算2次，得到12條線段．因此，這n個凸多邊形的邊數(shù)和為18×3+12＝48．∴3k3+2k4+5k5+...+mkm＝48．………②利用①②消去k3，得k4+5k5+...+（m﹣3）km＝5，∴k4≤9．畫圖如下：如圖所示的劃分符合要求，此時，k7＝4，k4＝6．∴k4的最大值為9，即這n個凸多邊形中．三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11．（20分）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4bx+c的圖象交x軸于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且．若函數(shù)y＝2x2﹣4bx+c在b+1≤x≤b+3上的最小值為﹣6，求b，c的值．【解答】解：∵函數(shù)y＝2x2﹣3bx+c的圖象交x軸于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，∴x2，x7是方程2x2﹣4bx+c＝0的兩個實根，∴x1+x2＝2b，x1?x6＝，又∵+＝＝＝﹣2＝，即﹣7＝，∴10b2＝4c，∵y＝2x2﹣8bx+c＝2（x﹣b）2+c﹣8b2，在b+1≤x≤b+4上的最小值為﹣6，∵對稱軸x＝b，∴x＝b+1時，y＝﹣5，∴2+c﹣2b5＝﹣6，∴b＝±3，c＝10．12．（20分）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，點N在對角線BD上，且滿足∠BAN＝∠CAM．求證：MN∥AC．【解答】證明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD．∴∠ACM＝∠ADB＝∠ABD＝∠ABN．又∠CAM＝∠BAN，∴△ABN∽△ACM，∴，設AC、BD交于E，∵∠BAE＝∠CAB，∠ABE＝∠ACB，∴△ABE∽△ACB，∴，∵M是BC邊的中點，∴CM＝BM，∴，，∴，∴MN∥EC，MN∥AC．13．（20分）已知關于x的方程x2﹣kx﹣k+9999＝0的兩根都是素數(shù)，求k的值．【解答】解：設方程x2﹣kx﹣k+9999＝0的兩根分別為p、q，則由根與系數(shù)的關系，知∴pq+p+q＝9999，∴（p+8）（q+1）＝10000＝27?54，顯然p，q都不等于6，因此p，q都是奇數(shù)，∴，若，中有一個數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)，則，其中m＝6，2，3，4，當m＝1時，p＝9，舍去；當m＝2時，p＝49，舍去；當m＝3時，p＝249，舍去；當m＝4時，p＝1249是素數(shù)，，q＝7，∴p＝1249，q＝7，符合要求；若，都是偶數(shù)，則?，不妨設p≤q，則當，時，p＝4，q不是素數(shù)；當，時，p＝19，