2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：方程與不等式

中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)之方程與不等式

知識(shí)梳理

1.一元二次方程的一般形式

ax?+bx+c=O（a,b,c是常數(shù)，a*0）.在解一元二次方程時(shí)，應(yīng)按方程的特點(diǎn)選擇方法，主要方法包括：①直

接開(kāi)平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.一元二次方程的求根公式是：X=b+加3?4ac>0）.

2a

（注意符號(hào)問(wèn)題）

2.解分式方程的基本思想

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有兩種：①去分母法；②換元法.

3.根的判別式

一元二次方程ax2+5%+c=0（a豐0）的根的判別式為A=b24ac.

當(dāng)△>（）時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即

v—b+〃24acy—b血4ac.

X1-2a，2z—2a，

當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根久=X=立；

122a'

當(dāng)A<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

4.一元二次方程兩根之間的關(guān)系

若一元二次方程a/+bx+c=0（aK0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為久2,則x+%=￡%%=￡,（注意兩根的和是2

12a12aa

的相反數(shù)）.以。久1,%2為根的一元二次方程是X?（%1+X2）x+%1%2=0.

5.不等式的解法

解一元一次不等式和解一元一次方程類(lèi)似.不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不

等號(hào)的方向必須改變.

6.一元一次不等式組的解集

由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況見(jiàn)下表:

不等式組（a<b）圖示解集口訣

{x>b此一x>b大大取大

ab

{x<bx<a小小取小

ab

x>aa<x<b大小、小大中間找

ab

——

(x<h0小小、大大找不到

ai

典型例題

例1

不等式3x-5N5x-ll的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）.

A.OB.lC.2D.3

解析解不等式3X-5N5X-11,得爛3,則其正整數(shù)的解有1,2,3,所以正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為3個(gè)，選D.

例2

若匡9|(y少=0,則x+y的值為().

x3

A.-1或-7B.-7C.-1D.7

解析因?yàn)橛?|(y平=0,

x3

所以x+3#)且9|(y4)2=0,

所以xr-3且9|(y4)2=0.

又因?yàn)?|(y4)2=0且|第29|>0,(y4)2之0,

所以|%29|=0且(y4)2=0,

所以x=±3,y=-4.

因?yàn)閤#3,

所以x=3,

所以x+y=3+(-4)=-1.

故選C.

例3

某電器商家，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)電視機(jī)、洗衣機(jī)、冰箱總數(shù)為40臺(tái)，而現(xiàn)在商家打算總共用12萬(wàn)元，各種家電價(jià)格

如下表所示.

家電種類(lèi)進(jìn)價(jià)/(元/臺(tái))售價(jià)/(元/臺(tái))

冰箱50005480

洗衣機(jī)20002280

電視機(jī)25002600

(1)若總共用的資金不超過(guò)12萬(wàn)，買(mǎi)進(jìn)的洗衣機(jī)和冰箱數(shù)量相同，電視機(jī)不超過(guò)洗衣機(jī)數(shù)量的三倍，請(qǐng)問(wèn)商家

有幾種購(gòu)買(mǎi)方式？

(2)針對(duì)上述3種電器，商家推出“滿(mǎn)1000元送50元家電消費(fèi)券一張，多買(mǎi)多送”，在(1)的條件下，若三種電

器都售完，商家預(yù)計(jì)最多送出多少?gòu)埾M(fèi)券？

解析(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)冰箱的數(shù)量是x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)洗衣機(jī)的數(shù)量是x臺(tái)，電視機(jī)的數(shù)量為(40-2x)臺(tái)，根據(jù)總共用的資

金不超過(guò)12萬(wàn)和電視機(jī)不超過(guò)洗衣機(jī)數(shù)量的三倍列不等式組，即

[40-2工43工

(5000J-+2000.r+2500(40-21X120000

解得：8WxW10.

因?yàn)閤是整數(shù)，

所以x可以為8,9,10.

有三種方案如下.

方案一：冰箱8臺(tái)，洗衣機(jī)8臺(tái)，電視機(jī)24臺(tái).

方案二：冰箱9臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)，電視機(jī)22臺(tái).

方案三：冰箱10臺(tái)，洗衣機(jī)10臺(tái)，電視機(jī)20臺(tái).

(2)題中要求最多送出的消費(fèi)券，滿(mǎn)1000元送50元消費(fèi)券，多買(mǎi)多送，所以要根據(jù)售價(jià)總額來(lái)求出最大售

價(jià)，即可求出最多消費(fèi)券.設(shè)售價(jià)總額為y元，

由題意得,y=5480x+2280x+2600(40-2x)=2560x+104000

所以當(dāng)x=10時(shí),y最大=2560x10+104000=129600,

故送出的消費(fèi)券的張數(shù)為：129600+1000=129.6^30(張).

則商家預(yù)計(jì)最多送出消費(fèi)券130張.

例4

某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，22天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，33天完成，需付1500

54

00元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2?天完成，需付160000元,現(xiàn)在工程由一隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪

7

個(gè)隊(duì)承包費(fèi)最少？

解析設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x,y,z天完成，

I[+工=立

Ix912X=4

-+i=—；解得ly=6.

9z15”_《八

xx20

再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付U,V,W元，

—（a+v）=80000

5u=45500

is（v+w）=15000,解得v=29500,

型（cos+a）=16000w_10500

7

因?yàn)楸?duì)不能在一周內(nèi)完成，

所以丙隊(duì)舍去.

因?yàn)榧钻?duì)單獨(dú)承包的費(fèi)用：445500X4=182000）（元）；

乙隊(duì)單獨(dú)承包的費(fèi)用：29500X6=177000（元）.

又因?yàn)?77000<182000,

所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少.

雙基訓(xùn)練

1.若x=6是關(guān)于x的方程3x+4m-30=0的解，則m的值為（）.

A.0B.lC.2D.3

2.一元一次方程33=0解為().

26

A.OB.-1C.1D.2

3.已知代數(shù)式迎*代數(shù)式2%2的和為5,則x的值為（）?

555

A.4B.5C.6D.7

4.解方程工^1^=3時(shí)，去分母后，正確的結(jié)果是（）.

32

A.4x-l-15x+3=18B.4x-2-15x-3=18

C.4x-2-15x-9=18D.4x-2-l5x+9=18

5.一件商品的原價(jià)是100元，經(jīng)過(guò)兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元，如果每次提價(jià)的百分率都是x,根據(jù)題意，下

面列出的方程正確的是（）.

A.100(l+x)=121B.100(l-x)=121

C.100(1+%)2=121D.100(1%)2=121

6.方程5工+5=0的根為().

45+遙8上近C.延金D.-^

222

7.已知m,n是關(guān)于x的一元二次方程Y+7nK+n=0的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足工+2=3,則m的值為(

mn

).

A.-1B.2或一1理C.1D1

333

8.方程才6久+5=0的兩個(gè)根分別為.Xi,X2，則4+4的值為().

4X2

A瑟B26C36D.g

5_55_Q5

9,已知：:2產(chǎn)方程組幾；］；的解，則m和n的值分別為().

A.1,4B.4,1C.2.-1D.-2,1

10.一元二次方程x25欠+4=0根的情況為（）.

A.有一個(gè)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)根D.無(wú)解

11.已知實(shí)數(shù)a#,且滿(mǎn)足((a+I/=3—3(a+1),(fe+I)2=3-3(6+1),則包+區(qū)的值為().

ab

A.23B.-23C.-2D.-13

12.用配方法解方程4必—12x—1=0,配方后的方程為().

4(2%—3)2=0B.(2尤+3)2=0

C.(2x-3)2=10D,(2%+3)2=10

13.若關(guān)于x的一元二次方程k/—9%+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為().

A.k#0B.k〈紅

8

C.k邦且k〈紅D.k〉紅

88

14.已知3-8)(X+3)的值為0,則x的值為().

1%1-3

A.+3B.-3C.8D.-3或8

15.畢業(yè)班同學(xué)合影拍照，已知沖一張底片需要0.8元，洗一張相片需要0.35元，在每位同學(xué)得到一張照片,

共用一張底片的前提下，平均每人分?jǐn)偟腻X(qián)不超過(guò)0.5元，那么參加合影的同學(xué)人數(shù)為().

A.至多6人B.至少6人C.至多5人D.至少5人

f5x—1>3(x+1)

16.不等式組11-73的解集是().

-%—1<7--%

I22

A.x>2B.x<4

C.x<2或x>4D.2<x<4

17.關(guān)于x的分式方程」--&=1無(wú)解，則n的取值范圍為.

x+lx2-l

18.不等式2+也>%+弟的解是

36

19.當(dāng)k取何值時(shí),((k+I)%2-4kx+3=0分別有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解？

20.某公司做電飯鍋促銷(xiāo)活動(dòng)，按照進(jìn)價(jià)提高35%,然后“打九折，外送30元”的廣告，每個(gè)電飯鍋?zhàn)詈笕匀猾@

利200元，則每臺(tái)電飯鍋進(jìn)價(jià)是多少元?

能力提升

21.設(shè)二元一次方程4x+3y-12=0,5x+3y-18=0,x+y+k=0有公共解，則k的值是().

A.-3B.-2C.-1D.0

22.方程工工上=￡二去分母后的結(jié)果為（）.

%2x3x3x3

A.x23x4=0B.x25%2=0

C.X23x2=0D.x25x4=0

23.如圖所示，已知拋物線yi=%24%和直線=2%.我們約定：當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為

yi,y2,若.yi豐力,取yi,丫2中的較大值記為N；若yi=丫2,記"=%=y-i-

下列判斷:①當(dāng)x>2時(shí),N=yz；

②當(dāng)x<0時(shí),x值越大,N值越大；

③使得N大于4的x值不存在；

④若N=2,則x=l.其中正確的判斷有().

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

2

24.關(guān)于方程ax（3al）x2（a1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根Xi送2且有久i%1%2%2=1a,則a的

值為（）.

A.1B.-1C.1或-1D.2

25.已知方程2久3/c=5(%k)1的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍為.

3

26.已知5短+2b-54y3a-b-3=9是二元一次方程，那么a+3b=_.

vv—9

{3久5y=11則3(x+y)-(3x-5y)的值是,.

28.解不等式方程組：管-24-

29.某物體從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用時(shí)間為7s,其運(yùn)動(dòng)速度V(m/s)關(guān)于時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.某學(xué)習(xí)小組

經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：該物體前進(jìn)3s運(yùn)動(dòng)的路程在數(shù)值上等于矩形AODB的面積.由物理學(xué)知識(shí)還可知：該物體前t(3<tW

7)s運(yùn)動(dòng)路程在數(shù)值上等于矩形AODB的面積與梯形BDNM的面積之和.

根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)3<t<7時(shí)，用含t的式子表示V.

(2)分別求物體在0StW3和3<t<7時(shí)，運(yùn)動(dòng)路程S(m)關(guān)于時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式;

并求該物體從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)中總路程的工時(shí)所用的時(shí)間.

10

30.某食品加工廠準(zhǔn)備研制加工兩種口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.現(xiàn)在主要原料有

可可粉410克，核桃粉520克.計(jì)劃利用兩種主要原料，研制加工上述兩種口味的巧克力共50塊.加工一塊原味核

桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一塊益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克.加工一塊原味

核桃巧克力的成本是1.2元，加工一塊益智核桃巧克力的成本是2元.設(shè)這次研制加工的原味巧克力x塊.

(1)求該工廠加工這兩種口味的巧克力有哪幾種方案？

(2)設(shè)加工兩種巧克力的總成本為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明哪種加工方案使成本最低.總成本最低

是多少元？

拓展資源

31.已知關(guān)于x,y的方程組二\&：其中-3SaWl,給出下面結(jié)論：

①I(mǎi)：二+1是方程組的解；②當(dāng)a=-2時(shí)，x,y的值互為相反數(shù)；③當(dāng)a=-l時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4-a

的解;④若爛1,則均《4.其中正確的是().

A.①②B.②③C.②③④D.①③④

32.已知關(guān)于x的方程kx2+(1-/c)x-1=0,下列說(shuō)法正確的是().

A.當(dāng)k=0時(shí)，方程無(wú)解

B.當(dāng)k=l時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解

C.當(dāng)k=-11時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解

D.當(dāng)k70時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解

0

33.若關(guān)于t的不等式組二*字1恰有三個(gè)整數(shù)解,則關(guān)于x的一次函數(shù)y—a的圖像與反比例函數(shù)y

=包±1的圖像的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

X

34.若x,y,z為整數(shù)，且滿(mǎn)足不等式「言；：.則x的最小值為,

35.解方程組:鬲:翡=。

1-5DCCDC6-10CCAAC11-16ACCCBD

17.-6<n<218.%<^

_5_

19.k>"必或k<3_VZ320.約為1070元

88

21-24BABC225.k<工26.827.16

2

r%=4

28%=2

29.(1)V=2t-4;⑵S=/叱N'T，丫所用時(shí)間為6秒

30.(1)有三種方案.方案一：原味核桃巧克力18塊，益智核桃巧克力32塊；

方案二：原味核桃巧克力19塊，益智核桃巧克力31塊；

方案三：原味核桃巧克力20塊，益智核桃巧克力30塊.

⑵當(dāng)原味核桃巧克力20塊，益智核桃巧克力30塊時(shí)，總成本最低為84元.

〃解方程組[六40