浙江省臺(tái)州市2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)期中試卷（二）（含答案解析）

數(shù)學(xué)人教版9年級(jí)上冊(cè)期中測(cè)試

（時(shí)間：120分鐘總分：120分）

一、單選題。（每題3分，共36分）

1.如圖，在正方形ABCD中，E為中點(diǎn)，連接BE,延長(zhǎng)E4至點(diǎn)尸，使得〃=￡B,以AF

為邊作正方形AFG8,在《幾何原本》中按此方法找到線段A3的黃金分割點(diǎn)H.現(xiàn)連接

TH并延長(zhǎng)，分別交的，3c于點(diǎn)尸，Q,若：△跳P的面積與V3PQ的面積之差為

6節(jié)-9,則線段AE的長(zhǎng)為（）

2.若關(guān)于x的方程（〃7-1）/+彳+1=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<—B.m>—C.m<—D.—

4444

3.關(guān)于x的方程x?+依=2（左為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）

A.兩個(gè)正根B.兩個(gè)負(fù)根

C.一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D.無(wú)實(shí)數(shù)根

4.已知加，“是函數(shù)%=%與%=x-2x+c圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)A（r,T）在函數(shù)內(nèi)的圖象

上，則以下結(jié)論正確的是（）

A.若0</<相<”<2,則〃<TB.若貝！JT</

C.若0<<2,則D.若0<7〃<r<〃<2,貝！JT<〃

5.如圖，已知二次函數(shù)>=辦2+法+（?的圖象關(guān)于直線x=-l對(duì)稱，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)

和。，0）之間，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

1

A.abc<0

C.4〃—21b+c>0D.a-b<m（am+b）（機(jī)為任意實(shí)數(shù)）

6.如圖，在RtA4CB中，ZACB=90°,C4=2,CB=4.將"CB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到

△ADE,邊BC上的一點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q,連接A。，PD,則AQ+OP的最小值是

（）

A.3乖）B.2幣D.4右

7.如圖，將菱形OACB繞其對(duì)角線的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，再向右平移3個(gè)單位，則兩次

變換后點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（2,4）B.（2,5）C.（5,2）D.（6,2）

8.如圖，在正方形ABC。中，AB=2,M,N分別為邊AD,CD的中點(diǎn)，E為A3邊上一動(dòng)

點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交3C于點(diǎn)尸為防的中點(diǎn)，。為線段肱V

上任意一點(diǎn)，則也長(zhǎng)度的最小值為（）

2

A.正B.C.2V2-2D.6-2

2，

9.如圖，B,C是半徑為6的半圓。上的兩個(gè)點(diǎn)，AD是直徑，BC//AD,若BC的長(zhǎng)度為

g*則圖中陰影部分的面積為（）

10.如圖，。。的直徑與弦。E交于點(diǎn)C,DC=OC.若NDCO=100。，則的度數(shù)為

（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

11.通過(guò)某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相

同，則兩輛汽車經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口時(shí)，至少有一輛車向左轉(zhuǎn)的概率是（）

A』B-C—D-

A.339U，9

12.有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6,現(xiàn)將這枚

骰子先后拋擲兩次，記下拋擲后朝上的面上的點(diǎn)數(shù)，第一次記下的點(diǎn)數(shù)為機(jī)，第二次記

下的點(diǎn)數(shù)為"，則關(guān)于&>的二元一次方程組只有非負(fù)解的概率為（）

[mx+ny=3

A.—B.-C.—D.—

1243636

二、填空題。（每題3分，共12分）

13.小明在一塊畫有RRABC的紙片上（其中ZABC=90。，BC<AB）進(jìn)行了如下操作：第一

步分別以A3、BC為邊向外畫正方形MFU和正方形BCDE；第二步過(guò)點(diǎn)A、B分別作

AC的垂線和AC的平行線，將紙片ABFG一分成②、③、④、⑤四塊，如圖1；第三步

將圖1中的正方形紙片BCDE、AABC紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖

3

若需《則懸的值

2.

14.對(duì)于二次函數(shù)＞=/-4辦+/+1,當(dāng)x?2時(shí)，y隨x的增大而增大、已知此二次函數(shù)的圖

象上有一點(diǎn),則m的取值范圍為.

15.如圖，在及AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.是/ABC的平分線，將3。以。為中

心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.則AE的長(zhǎng)度為.

16.化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，張老師帶來(lái)了Mg（鎂）、A1（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這

四種金屬分別用四個(gè)相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機(jī)選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來(lái)

制取氫氣.（根據(jù)金屬活動(dòng)順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫氣，而Cu不能置換

出氫氣）小明和小紅分別從四種金屬中隨機(jī)選一種金屬進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則二人所選金屬均能

置換出氫氣的概率是.

三、解答題。（共72分）

17.（本題10分）如圖，在中，"=90。，點(diǎn)。在A3邊上，以AD為直徑的。。與

3C相切，切點(diǎn)為點(diǎn)E,連接DE,AE.

4

A

⑴求證：AE平分/BAC；

(2)若0。的直徑為5,AC=4,求BC的長(zhǎng).

18.(本題10分)(1)當(dāng)了=時(shí)，多項(xiàng)式V-6x+12的最小值為

(2)當(dāng)尤=時(shí)，多項(xiàng)式-d+2x-3的最大值為

(3)當(dāng)X、y為何值時(shí)，多項(xiàng)式2/一4孫+6y2-12y+19取最小值？并求出這個(gè)最小值.

19.(本題12分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=加+fcr-2與X軸交于3(4,0),

。(-2,0)兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)A.

備用圖

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為機(jī).過(guò)點(diǎn)尸作x軸的平行線交于

點(diǎn)K,寫出PK長(zhǎng)度的表達(dá)式(用含山的代數(shù)式表示)；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)“，使得NMB4=45。？若存在，求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(本題10分)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給同學(xué)們提供了一個(gè)矩形ABC。(如圖1),其

中AB=2,連接對(duì)角線AC,且4MC=30。，要求各小組以圖形的旋轉(zhuǎn)為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活

動(dòng).以下是部分小組的探究過(guò)程，請(qǐng)你參與活動(dòng)并解答所提出的問(wèn)題：

5

(1)如圖2,“奮勇”小組將△/!￡>(?繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到AAOC,當(dāng)點(diǎn)C落到對(duì)角線AC上時(shí)，

AC與AD交于點(diǎn)孔試猜想線段CC與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)“勤學(xué)”小組在“奮勇”小組的基礎(chǔ)上，取AC的中點(diǎn)E,連接AE,D0試判斷四邊形

"DC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)在八位心繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)DC〃AC時(shí)，求點(diǎn)A與點(diǎn)A之間的距離，請(qǐng)你思

考此問(wèn)題，直接寫出答案.

21.(本題10分)如圖，A3是0。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，連接AC,BC,尸C是。。

的切線，點(diǎn)。是OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)/，交CP于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，已知ZA=20。，求/CEF的度數(shù)；

(2)如圖2,連接OC,AE,當(dāng)AE〃OC時(shí)，AE與。。交于點(diǎn)G,已知AG=6,AB=10,

求EG的長(zhǎng).

22.(本題10分)閱讀材料：

材料1：法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?書達(dá)于1615年在著作《論方程的識(shí)別與訂正》中建立了

方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出一元二次方程ox?+6x+c=0("0,b2-4ac>0)的兩根xi,X2有

b

如下的關(guān)系(韋達(dá)定理)：石+九，中%r；

2=a2=a-

材料2：如果實(shí)數(shù)用、〃滿足療一根_i=o、〃2_〃_]=0,且加則可利用根的定義構(gòu)

造一元二次方程f一九一1=0,然后將陰、〃看作是此方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根去解決相關(guān)問(wèn)

6

題.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題:

（1）若實(shí)數(shù)。，人滿足：a2+3a-5=0,廿+3b-5=0（a=b）貝I」。+6=,ab=；

⑵若加馬是方程f-6x+后+3=0兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿足5㈤=%+6,求左的值；

（3）已知實(shí)數(shù)加、n、/'滿足：m2-4m=7+f,，-〃=*+。，且求

（川+1）（4機(jī)+8+。的取值范圍.

23.（本題10分）我國(guó)大力發(fā)展職業(yè)教育，促進(jìn)勞動(dòng)力就業(yè).某職業(yè)教育培訓(xùn)中心開(kāi)設(shè)：

A（旅游管理）、B（信息技術(shù)）、C（酒店管理）、D（汽車維修）四個(gè)專業(yè)，對(duì)某中學(xué)

有參加培訓(xùn)意向的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須從這四個(gè)專業(yè)中選擇

一個(gè)且只能選擇一個(gè)，該培訓(xùn)中心將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有人；扇統(tǒng)計(jì)圖中A（旅游管理）專業(yè)所對(duì)應(yīng)的圓心角的

度數(shù)為:

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，若該中學(xué)有300名學(xué)生有培訓(xùn)意向，請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)選擇“信息技

術(shù)”專業(yè)意向的學(xué)生有人；

（3）從選擇D（汽車維修）專業(yè)的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人去某汽車維

修店觀摩學(xué)習(xí).請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法求出恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的概率.

7

參考答案

1.C2.A3.C4.D5.C

6.B7.C8.B9.C10.B

11.D12.D

4

9

<m

15.回

17.(1)證明：連接OE,則=

：.ZOEA=ZOAE9

???5c是0。的切線,

：.OE±BC9

=90°,

/.ACIBC,

???OE//AC,

.\ZOEA=ZCAE

.\ZCAE=ZOAE,

平分/3AC；

(2)解：?.?AZ)是。。的直徑,

ZAED=90°=ZC,

由⑴^ZCAE=ZOAE9

??.△ADEAEC,

8

.AEAD

,AC-AE?

/.AE2=ACAD=4x5=20,

AE=2y/5,(負(fù)值舍去)

CE=VAE2-AC2=2,DE=y/AD2-AE2=45,

OE//AC9

.△BEOSABCA,

.BEOE2.5

,BC-AC-V

:.BE=-BC,

8

3

:.CE=-BC=2,

8

BC=—.

3

18.(1)%2-6X+12=X2-6X+9+3=(X-3)2+3

V(x-3)2>0

.?.當(dāng)x=3時(shí),多項(xiàng)式V-6x+12取最小值，且最小值為3;

故答案為：3,3

(2)-X2+2X-3=-(X2-2x+1)-2=-(x-1)2-2

v(x-l)2>0

，當(dāng)x=l時(shí)，多項(xiàng)式-f+2尤-3取最大值，且最大值為-2；

故答案為：1,-2；

(3)2x2-4xy+6y2-12y+19

=2,一2孫+V)+(4/-i2y+9)+10

=2(x-y)2+(2y-3y+10

v(x-y)2>0,(2y-3)2>0

.?.當(dāng)且2y-3=0,即％=y=5時(shí)，多項(xiàng)式2%2_4孫+6/一12y+19取最小值，并且最

9

小值為10.

33

x=2，y=5，最小值是10.

1

a=一,

16。+46-2=04

19.(1)解:由題意得,，解得:

4a-26—2=0

所以拋物線的表達(dá)式為y=32-夫-2；

(2)解：如圖：過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E.

VA(0,-2),3(4,0),

/.tanZABO=tanNBKP=-

2

PK=2PE.

設(shè)直線AB的解析式為>=依-2,將(4,0)代入，得"=

所以直線A3的解析式為y=2.

I2J

所以=g根一2-L/一L”2

424

所以PK=2PE=-1m2+2m.

(3)解：設(shè)對(duì)稱軸交于點(diǎn)/，對(duì)稱軸為尤=1,直線A3的解析式為y=g》-2,

，點(diǎn)小二.

:.BF=-45,

2

①當(dāng)點(diǎn)M在AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN1.AB于點(diǎn)N,

tan/.OBA=—=tanAFMN,ZMBA-45°,

2

10

設(shè)=MN=BN=2x,則〃尸=氐，

:.BF=FN+BN=x+2x=-y[5,解得：=—.

2x2

：.MF=6=3,

2

故點(diǎn)“（I」）；

②當(dāng)點(diǎn)M在A3下方時(shí)，

tanNOBA=—=tanZFMN,Z.MBA=45°,

2

設(shè)FN=x,MN=BN=2x,則〃尸=氐，

3L3L

:.BF=BN-FN=x=-yJ5,解得：x=-V5.

.-.MF=yf5x=—,

2

故點(diǎn)M（l,-9）；

綜上，存在點(diǎn)朋■，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（U）或。，-9）.

20.(1)CC'=AC,

證明：?.?四邊形ABC。是矩形,

11

ZADC=90°,

又：ZDAC=30°,

/.DC=-AC,ZACD=90°-30°=60°,

2

由旋轉(zhuǎn)可得，DC=DC,

AT?CC是等邊三角形，

/.CC'=DC=-AC,

2

/.CC'=AC；

(2)四邊形AEDC是菱形.

理由：由(1)得△DCC是等邊三角形，

ZCDC=6Q°,

由旋轉(zhuǎn)得ZA'=/D4C=30。，ZA7M=/CDC'=60。，ZA'DC'=ZADC=90。，AC=AC',

：.ZA'FD=180°-ZA'-ZADA=90°,

/.AC1AD,

又：AC'=CC'=DC',

：.AF=DF,

?.?ZA7)C=90。，點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，

/.DE=-A!C,

2

XVDC=^AC,AC=AC,DC=DC,

DE=DC',

又?:AC'IAD,

：.FE=FC',

：.AD與EC互相平分，

四邊形AEDC是平行四邊形，

又；AC1AD,

???平行四邊形皿》C'是菱形；

(3)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在AD上方時(shí)，連接A4，，

12

A

'：DC//AC,

：.ZC'DA=ZDAC=30°,

由旋轉(zhuǎn)可得，AD=AD,ZADC^ZADC'^90°,NC'AO=/DAC=30。,

JNAZM=ZADC+ZA'DC=120°,

/.ZDAA'=ZDAA=1(180°-ZADAf)=30°,

,?/C'AD=/ZMC=30°,

/.ZDAA=ZDAC'=30°,

.?.點(diǎn)A,C,H三點(diǎn)共線，

NC'AD=NC'ZM=30。，

C'A=C'O=2,AC'=AC=4,

AA'=AC'+A'C=2+4=6；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C，在線段AZ)下方時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)可得，ZADC=ZA'DC'=90°,AD=AD,

'：DC//AC,

：.ZAED=ZA'DC'=90°,

,/ZDAC=30°,

ZADE=90°—30°=60°,

△的以是等邊三角形，

.*?AAAD=VAC2-DC2=V42-22=2A/3.

13

綜上所述，當(dāng)DC〃AC時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)H之間的距離為6或2右.

21.(1)如圖1,連接0C,

???PC是。。的切線，

/.CO.LPC,即ZOCE=90°,

OA=OC,

：.ZOCA=ZA=20°,

：.ZECF=90°-ZOCA=90°-20°=70°,

DE±AB,

???ZADF=90°,

...ZCFE=ZAFD=900-ZA=70°,

：.ZCEF=180°-ZECF-ZCFE=180°-70°-70°=40°.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作O",AG于點(diǎn)H,

GH=—AG=—x6=3.

22

VOC±PC,AE//OC,

：.AE.LPC,

.?.ZEHO=ZHEC=ZECO=90。，

???四邊形。CEH是矩形,

14

/.EH=OC=-AB=5

29

EG=EH-GH=5-3=2.

22.(1)解：由題意，得a,b是方程％2+3x-5=0的兩個(gè)根，

...a+b=—3,ab——5?

故答案為：-3,-5；

(2)由題意，得：石+/=6,玉%2=%+3,

..九2=6一石，

5|xJ=x2+6=12—石,

當(dāng)再＜。時(shí)，-5%=12-芭，解得：玉=-3,

W=6-石=9,

.**左+3=—3x9=—27,

二?左二一30；

當(dāng)王20時(shí)，5芭=12-芭，解得：?=2,

x2=6—2=4,

.**左+3=2x4=8,

.*?k=5；

綜上：上=一30或后=5；

(3)=J(7+r),

44V