2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：拓展之基本不等式（學(xué)生版+解析）

第06講：拓展一：基本不等式

目錄

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二湊配法...........................................3

法

方

三分離法...........................................4

法

方

四

法

方

五

法常數(shù)代換的代換.............................

方

六“1”18

法

七

方消元法...........................................6

對鉤函數(shù).........................................6

1、基本不等式(一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱)

①如果a>0,b>0,J茄〈竺當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

2

②其中J拓叫做正數(shù)。，b的幾何平均數(shù)；手叫做正數(shù)。，b的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個(gè)重要的不等式

①a2+b222abSGR)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

②abW(，)2(a,b^R)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知》,y是正數(shù)，如果積型等于定值尸，那么當(dāng)且僅當(dāng)％=V時(shí)，和x+y有最小

值2介；

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=丁時(shí)，積沖有最大值

文

彳；

4、對鉤函數(shù)：

b

對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：f(x)=ax+-Ca>0,b>0)

x

的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.

b?？紝︺^函

/(%)=〃%+—(a>0,b>0)f(x)=x+—(〃>0)

函數(shù).X數(shù)X

定義域(-8,0)(0,+0O)定義域(-00,0)(0,+8)

值域(-GO,-2A/^F][2y[ab,+co)值域(-oo,-2]v1[2,+oo)

奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)

/（%）=〃%+一在f（%）=X在（—CO,,

單調(diào)性X單調(diào)性

'（P，+8）上單（、7,+8）上單調(diào)遞增；在

VaVci（-右,0）,（0,右）單調(diào)遞減

調(diào)遞增；在（―J40）,

Va

（o單調(diào)遞減

Va

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧—湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低

于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.

2%-^y<i(%>o)

③除：例：x2+l

XH----

X

④1的代入：例：已知?！?3〉0,。+八=1,求工+工的最小值.

ab

解析：l+l=(l+l)(a+/?)=2+-+->4.

ababab

⑤整體解：例：已知Q,。是正數(shù)，且ab=Q+b+3,求〃+/?的最小值.

解析：?a+h+3,即：(a+b)2—(a+b)—3N0,解得

a+b>6{a+b<-2舍去).

基本不等式高頻考點(diǎn)方法

方法一：直接法

典型例題

例題L（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）當(dāng)無片0時(shí)，尤2的最小值為（）

A.—B.1C.2D.2^/2

例題2.（2024上?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末）若正數(shù)尤，y滿足孫=100,貝Ijx+y的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖南長沙?高一?？计谀┤魓>0,則x+工的最小值為（）

X

r~3

A.—2B.-2A/2C.——D.2

2.（2024上?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末）己知a>0力>0,。+萬=3,則漏的最大值為.

方法二：湊配法

典型例題

4

例題L（2024下?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知。>0/>0,貝必+26+—的最小

a+2b+l

值為（）

A.6B.5C.4D.3

（上.黑龍江哈爾濱.高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)0,則…占的（）

例題2.20242

A.最小值為1B.最大值為1C.最小值為-1D.最大值為-1

Q

例題3.（2024上?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=4x+0,1,收）的最小值為

（）

A.6B.8C.10D.12

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知無>1,則x+不二的最小值為__________

22x-l

Q

2.（2024上?福建莆田?高一莆田一中?？计谀┮阎獂>2,則x+一^的最小值為____.

x-2

3.（2024上?福建寧德,高一統(tǒng)考期末）Vxe（2,+co）,了+―二〉山?+3機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)加

x-2

的取值范圍是.

方法三：分離法

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)"#=虹23應(yīng)2

的最大值是（）

八卜4/+1

753

A.2B.一C.一D.

444

例題2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=『+*+3（x>2）的最小值為

%—2

練透核心考點(diǎn)

1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

）丫2q

2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃力=」=—（尤<0）的最大值為.

方法四：換元法

典型例題

A.9B.10C.12D.13

例題2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，＞0,匕＞0,

若a+2Z?=l,貝|（）

A.a+b＞-B.a+b＜\

2

C.乃的最大值為1:D.4?+；1的最小值為8

4ab

例題3.（2024下?全國?高一專題練習(xí)）如圖所示，在.SBC中，點(diǎn)。為5C邊上一點(diǎn)，且

BD=2DC，過點(diǎn)。的直線所與直線A5相交于￡點(diǎn)，與直線AC相交于尸點(diǎn)（E,F交

兩點(diǎn)不重合）.若AD="iA5+九AC，貝!J加〃二,若45=九43，AF=juAC,貝1JX+〃的

最小值為.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)盯

,滿足％+2y=l,則()

A.xy<-B.+C.y+2x>9xyD.x2+y2<1

8

2.（多選M2024上?云南昭通?高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若根＞0,〃＞0,且m+2幾=1,

則（）

A.mn<—B.y[m+>A/2

8

"9

C.D.m2+4/<—

mn2

41

3.（2024上?江西?高一校聯(lián)考期末）若存在正實(shí)數(shù)演V滿足一+—=1,且使不等式

y%

T＜丁—有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是——

方法六：消元法

典型例題

例題1.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）已知x>0,>>0,2x+y=D，貝l|2x+y

的最小值為（）

A.8B.4C.8及D.472

41

例題2.（2024上?四川眉山?高一統(tǒng)考期末）已知。>0,b>0,且〃+4=勿?，則一+二；的

ab-A

最小值為.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)X,〉滿足沖=1,則/+2丁的最小值為（）

A.1B.72C.2D.2&

2.（2023上?廣東東莞?高一統(tǒng)考期末）若x>0、J>0,且,+y=l,則上的最大值

XX

為.

方法七：對鉤函數(shù)

典型例題

例題1.（2022上,全國?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)y=x+」（無22）的最小值為（）

X

57

A.2B.-C.3D.-

22

例題2.（2023上?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式％2—以+44。對任意工?1,司恒成

立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

13

A.a>5B.a>4C.a>4D.a>——

3

例題5.（2023上?山東?高一校聯(lián)考期中）若五3；使得不等式f+分+2>0成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

練透核心考點(diǎn)

1.(2023上?海南?？?高一海南華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí))若函數(shù)/(幻=廠+2工+4在

X+1

xe[O,+⑼是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(3,2]B.[0,1]

C.(—0,1]D.[1,2]

2.(2023上?四川宜賓?高一校考階段練習(xí))已知函數(shù)打燈=|則，若存在根>">0,使得

〃祖)=/(")=?，當(dāng)，叩,3]時(shí)，求利+〃的最小值為.

3.(2024上?山東日照?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=(log/-2)(log2X-l).

⑴求不等式〃x)<0的解集；

⑵若存在xe[4,16],使得不等式/(x)Nmlog2X成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

第06講：拓展一：基本不等式

目錄

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二湊配法...........................................3

法

方

三分離法...........................................4

法

方

四

換元法...........................................

法

方4

五

法常數(shù)代換的代換.............................

方

六“1”18

法

七

方消元法...........................................6

對鉤函數(shù).........................................6

1、基本不等式(一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱)

①如果a>0,b>0,J茄〈竺當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

2

②其中J拓叫做正數(shù)。，b的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)。，b的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個(gè)重要的不等式

①/+廿22"人SGR)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

②abW(，)2(a,b^R)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正數(shù)，如果積型等于定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=V時(shí)，和x+y有最小

值2介；

②已知》,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=丁時(shí)，積取有最大值

文

彳；

4、對鉤函數(shù)：

b

對鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：f(x)=ax+-Qa>0,b>0)

x

的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.

b?？紝︺^函

/(%)=〃%+—(a>0,b>0)/(%)=%+—(〃>0)

函數(shù).X數(shù)X

定義域(-8,0)(0,+0O)定義域(-8,0)(0,+8)

值域(-OO,-2A/O^][2A/^K,+OO)值域(-^,-2]l.[2,+a>)

奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)

/（%）=or+—在f（%）=X在（—co,—^/^）,

單調(diào)性X單調(diào)性

（一00,、（P，+8）上單（、份,+00）上單調(diào)遞增；在

VaY〃

（-7^,0）,（O,JZ）單調(diào)遞減

調(diào)遞增；在（―J4o）,

Va

（o,j2）單調(diào)遞減

Ya

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧—湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低

于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.

①湊：湊項(xiàng)，例：％H-------—x—QH------------l~aN2+Q=3(%>a)；

x-ax-a

湊系數(shù)，例:

②拆：例:C-4+4…2+——

x—2x—2x-2x—3

2x

—<1(%>0)

③除：例：%2+1

XH----

X

④1的代入：例：已知。>0涉〉O,a+Z?=l,求工+工的最小值.

ab

解析：1+-=（1+1）（?+/2）=2+-+->4.

ababab

⑤整體解：例：已知是正數(shù)，且勿?=。+/?+3,求〃+6的最小值.

解析：ab<^-^-a+b+3,即:（a+b）2—（&+b）—3N0,解得

a+b>6{a+b<-2舍去）.

基本不等式高頻考點(diǎn)方法

方法一：直接法

典型例題

例題1.（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）當(dāng)xwO時(shí)，尤2+士的最小值為（）

X

A.；B.1C.2D.2立

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由xwO,可得d>o,則爐+二22、/二=2,

X\X

當(dāng)且僅當(dāng)尤2=5時(shí)，即尤=±1時(shí)，等號成立，故*+5的最小值為2.

故選：C.

例題2.（2024上?陜西商洛,高一統(tǒng)考期末）若正數(shù)x,，滿足孫=100,則無+>的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式求出最值.

【詳解】由題意得x+y22而=20,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)，等號成立，

故x+y的最小值是20.

故選：B

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖南長沙?高一校考期末）若x>0,則x+工的最小值為（）

L3

A.—2B.-2A/2C.——D.2

【答案】D

【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】若x>0,則%+工22、口=2,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)尤=',即X=1時(shí)取等號，

X

所以x+—的最小值為2.

x

故選：D.

2.(2024上?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末)已知Q>0力>0,Q+人=3,則岫的最大值為

【答案】49

4

【分析】由基本不等式求積的最大值.

【詳解】a>0,b>0,a+b=3,

由基本不等式可知=(,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=：3時(shí)等號成立，即功的最大值為Q1.

24

9

故答案為：—

4

方法二：湊配法

典型例題

4

例題1.(2024下?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知。＞0,〃＞。，貝!JQ+20+—丁〕的最小

a+2b+l

值為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】由于a＞0,b＞。，所以a+2Z;+l＞。，

44I4

由〃+2Z?H---------=(Q+2/?+1)H-----------1＞2.(a+2/7+1)x----------1=3,

a+2b+l')Q+28+1Va+2b+\

4

（當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=l時(shí)取等號），可得。+2〃+一丁工的最小值為3,

故選：D.

例題2.（2024上?黑龍江哈爾濱?高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)x>l,則2-x-一、的（）

x-1

A.最小值為1B.最大值為1C.最小值為-1D.最大值為-1

【答案】D

【分析】由基本不等式得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?—x^-=1+1—無一一—=1-（x-l）+—41_2）（尤=

X~1X~1X~1\X~1

當(dāng)且僅當(dāng)一\=即尤=2時(shí)取等號；

X-Y

故最大值為-1，

故選：D.

g

例題3.（2024上?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃X）=4_￥+—1，xw（T,+oo）的最小值為

（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

Q

【分析】將函數(shù)解析式變形為/（X）=4（X+1）+A^-4,利用基本不等式可求得該函數(shù)的最

小值.

gg

【詳解】因?yàn)閯tx+l>0,則〃刈=4.*+々=4（%+1）+合一4

人"II人i-L

>2^4（x+l）--1j-4=12-4=8,

，9

當(dāng)且僅當(dāng)<4（'+1）"］石時(shí)，即當(dāng)元=；時(shí)，等號成立，

x>-l2

9

故函數(shù)“力=4彳+京工,xe（—l,+oo）的最小值為8.

故選：B.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知x>:,則X+不二的最小值為__________

22x-l

【答案】—+^2

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于％>7，所以

22

1111

所以％+=x--------1-------------1—

2x—l22x-l2

當(dāng)且僅當(dāng)x-L=—^，彳=立土1時(shí)等號成立,

22x-l2

所以x+，的最小值為［+也.

2x-l2

故答案為：—+A/2

,9

2.(2024上?福建莆田?圖一莆田一中?？计谀?已知x>2,則x+—^的最小值為____.

x-2

【答案】8

【分析】利用基本不等式求最值可得答案.

【詳解】尤>2時(shí)x-2>0,

QQIO-

貝ijx+——=x-2+——+222、(無一2"——+2=8，

x—2%—2yx—2

9

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2='即x=5時(shí)等號成立.

無一2

故答案為：8.

3.(2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末)Vxe(2,+w),彳+，>蘇+3”恒成立，則實(shí)數(shù)相

x-2

的取值范圍是.

【答案】(-4#

【分析】利用基本不等式求出x+—124,從而得到4>.2+3切，求出答案.

x-2

【詳解】V%e(2,+co),x+—!—=(x-2)+^—+2>2J(x-2)-^—+2=4,

%-2x—2vx—2

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2=」，即x=3時(shí)，等號成立，

x-2

i^4>m2+3m-解得

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-4,1).

故答案為：(-4,1)

方法三：分離法

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃乂）=婦色匠士D的最大值是（）

八）一4x2+l

-53

C.一D.

44

【答案】C

【分析】化簡函數(shù)“-=中+，,9

6-+84+1l+,z2。1，結(jié)合基本不等式，即可求

16廠+8+—

尤

解.

,、J(x2+1)(16%-+1)(x2+l)16X2+1)h6x4+17x2+T

【詳解】由題意，函數(shù)/x=上一-4———「J/八」

4丁+17V16X4+8X2+1

=1119x2--11i9一

“16/+8Y+1J16/+8+4

又由16/+二28,當(dāng)且僅當(dāng)16尤2=二，即*=±1時(shí)等號成立，

X2X22

9<2595

所以十京FF所以「京…M

X\X

即函數(shù)”力的最大值是:

故選：C.

例題2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=2（x>2）的最小值為,

【答案】11

9

【分析】將函數(shù)化為y=x-2+\+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.

x-2

，、辛Qj,I（%—2）?+5（冗一2）+9_9_-r-yr八

［詳角牛］由丁=-----------------=x-2d---------F5,X%-2>0,

%—2x—2

所以y22j（x-2>—？―+5=11,當(dāng)且僅當(dāng)兀一2=—^,即x=5時(shí)等號成立，

Vx-2x-2

所以原函數(shù)的最小值為11.

故答案為：11

練透核心考點(diǎn)

1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)f（x）=x2~^+3（x.0）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

【分析】由基本不等式求解，

%2+3

【詳解】f（x）=-^=（%+1）+-1--7（X.O）.

因?yàn)閤..0,所以^+1+—..279=6,（當(dāng)且僅當(dāng)x+l=3,即x=2時(shí)，等號成立）.

x+1

故/（X）最小值為-1,

故選：A

2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)=2/丁+3（X<0）的最大值為.

【答案】\-2限I-2娓+\

【分析】首先化簡可得?。?2廠+X+3=2X+3+1=_（_2X+3）+1,由T>。則可以利用

XX—X

基本不等式求最值即可.

【詳解】因?yàn)閄V。，貝!）一犬>。，

所以/（%）=〃=2%+—+1=—（-2%+—）+1

XX-X

當(dāng)且僅當(dāng)-2x=2，即犬=一逅時(shí)等號成立,

-x2

所以〃元）的最大值為1-26.

故答案為：1-2#.

方法四：換元法

典型例題

例題L（2023?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)y==—（x>2）的最小值為

x-2

【答案】7

【分析】換元轉(zhuǎn)化成基本不等式的形式，利用積為定值即可求和的最小值.

【詳解】令L2=/,”0；貝IJ

+x—5（/+2）2+/+2—5/'2+5/+11_

--------=-——---------=--------=才+—+527

x-2ttt

（當(dāng)且僅當(dāng)r=1,即x=3時(shí)，等號成立），

故函數(shù),x?2,+8）的最小值為7

故答案為：7

例題2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值

(1)y二(x>0)；

x2+2x+6

(2)y=(x>1).

x-1

【答案】（1）3；（2）10.

【分析】（1）化簡整理可得y,+x+l…雪1,利用基本不等式，即可求得最小值.

XX

9

（2）令，=%-整理可得y=/+=+4,利用基本不等式，即可求得最小值.

t

【詳解】(1)y=x2+X+l=x+-+l

XX

x>0,.\x+—>2A/X--=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=即時(shí)取等號)

xvxx

...>=三￡±1(入〉0)的最小值為3；

x

(2)令￡=%-1。>0),則％=T+1,

/+2%+6a+l)2+2(Z+l)+6*+4/+99⑺

y=---------=-——-----——-——=--------=r+-+4>2jr-+44=10

x-1ttt\t

當(dāng)且僅當(dāng)/='Q即片3時(shí)取等號

t

-y的最小值為10

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?江西南昌?高一南昌二中?？茧A段練習(xí)）求函數(shù)〉=立詈3">-1）的最小

值.

【答案】9.

【分析】令f=x+l,則上正tlGD士絲=/+壯+5,利用基本不等式計(jì)算可得;

tt

【詳解】因?yàn)?>-!,所以％+1>。，令，=X+1,所以/>0,

_(r-l)2+7(r-l)+10_?+5r+444

所以y===t+-+5>2jt--+5=9>

當(dāng)且僅當(dāng)1=2,即x=l時(shí)等號成立;

所以函數(shù)y=*q；l°(x>-1)的最小值為9.

2.(2023?全國?高一專題練習(xí))求下列函數(shù)的最小值

+X+1,八、

(1)y=-------(x>0)；

x

尤2+5,小

(2)

x2+2x+6.

(3)

【答案】(1)3；(2)-；(3)10.

2

【分析】對分式函數(shù)利用分離常數(shù)法構(gòu)造基本不等式(對勾函數(shù))的結(jié)構(gòu)，或利用基本不等

式(1,、2)或利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

X2+X+1_l1、嗔

【詳解】(1)1-=x+t+]_3

x>0,：.x+->2,xx-=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=L即x=l時(shí)取"=")

xVxx

即y=>+x+l(x>0)的最小值為3；

X

(2)令/=，尤?+4(△2),貝1」y=1+；(/22)在［2,+00)是單增，

.,.當(dāng)t=2時(shí)，y取最小值y1nhi=2+；=:；

即y的最小值為g

(3)令/=無一1(/>0),則y=『+2x+6(x>i)可化為:

x-1

9I~9

y=t-\—1-4>2Jzx—+4=10

當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)取〃=〃

即y的最小值為10

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1廣一正二定三相等""一正"就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)"二定〃就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則

必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3廣三相等"是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定

值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

方法五：常數(shù)代換“1”的代換

典型例題

31

例題1.（2024上?浙江杭州?高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期末）已知尤>0,，>0,且—+—=1,

xy

X

則2x+y+—的最小值為（）

y

A.9B.10C.12D.13

【答案】D

【分析】借助基本不等式中"1〃的妙用即可得.

［詳解］2x+y+-=（-+^-］（2x+y}+-=6+l+^+—+-

yyjyxyy

3y43尤>7上。13y3尤

=/H------1------->/+21------------=13,

xy'xy

當(dāng)且僅當(dāng)空=空，即x=y=4時(shí)，等號成立.

九y

故選：D.

例題2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知。>0,匕>。，

若a+2Z?=l,貝|（）

A.a+b>—B.a+b<\

2

C.必的最大值為1:D.7［1的最小值為8

4ab

【答案】ABD

【分析】對于AB：根據(jù)題意消去〃，結(jié)合b的取值范圍分析求解；對于C：根據(jù)基本不等式

運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)〃1〃的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳角軍】因?yàn)閍>0,〃>0,a+2b=\,則Q=1—2Z?>0,可得人6［。，］）,

對于選項(xiàng)AB：因?yàn)閍+b=l-2Z?+〃=l—b,

所以“+a+b<\,故AB正確；

因?yàn)?=1（26）4嚀11

對于選項(xiàng)c：

8

當(dāng)且僅當(dāng)“=2八時(shí),等號成立,

所以M的最大值為:，故C錯(cuò)誤;

O

對于選項(xiàng)D：因?yàn)?+工=（。+26/2+工］=4+絲+q24+2）竺?@=8,

ab\ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)4絲b=：a,即。=28=1:時(shí)，等號成立，

ab2

21

所以—的最小值為8,故D正確；

ab

故選：ABD.

例題3.（2024下?全國,高一專題練習(xí)）如圖所示，在一ABC中，點(diǎn)。為8C邊上一點(diǎn)，且

BD=2DC，過點(diǎn)。的直線所與直線A3相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于廠點(diǎn)（E,尸交

兩點(diǎn)不重合）.若AD=〃?AB+〃AC，貝！]，^AE=AAB,AF=〃AC,貝i]X+〃的

最小值為.

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算，以AB,AC為基底，表示出A。，和已知等式比較，即可得機(jī),〃

12

的值，求得利”的值;結(jié)合已知用AE,A尸表示A。，結(jié)合三點(diǎn)共線可得7T+丁=1（4〃>0）,

將4+〃化為（幾+〃）:+曰，展開后利用基本不等式，即可求得彳+〃的最小值.

2

【詳解】在△45。中，AD^AB+BD^BD=2DC，則=

r\r\

i^AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^AC-AB^

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC,

3333

122

故根=一,〃=—,，mn=—

339

12

yiAD=-AB+-AC,而AE=4A