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文檔簡介
第11講第二章直線和圓的方程章末總結(jié)
一、思維導(dǎo)圖
直
線
方
直
程
線
與
之
方
間
程
的
轉(zhuǎn)
化
直
線
與
圓
的
方
程
圓
的
方
程
圓的一般
方程
二、題型精講
題型01直線的傾斜角和斜率
【典例1】(2023春?上海黃浦?高二上海市敬業(yè)中學(xué)??计谥校┲本€(/+1卜-2沖+1=0的傾斜角的取值范
圍是()
八兀1「兀兀]r7t3兀]「八7i'i「3兀、
A.0,-B.C.D.0,-u—,7i
4」142」L44JL4jL4)
【典例2】(2023秋?安徽六安,高二六安一中??计谀┮阎本€區(qū)-卜"1=0和以N(3,2)為
端點的線段相交,則實數(shù)上的取值范圍為()
173
A.——<k<-B.-2<k<-
223
1、32
C.k<——或左〉一D.k<-2^k>-
223
【典例3】(2023?全國?高三專題練習(xí))直線無+獷。5。-5=。的傾斜角"的取值范圍是.
【變式1](2023?全國?高三專題練習(xí))若過點P(T,0)的直線與以點A(l,2),8(-2,6)為端點的線段相交,
則直線的傾斜角取值范圍為()
712兀兀兀2萬、TC27r
A.B.C.,7rDU
4JT7TJ-吟
,-g)且總與線段
【變式2](2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知點A(2,l)、B(-2,2),若直線/過點
有交點,求直線/的斜率上的取值范圍.
題型02直線方程
【典例1](2023秋?高二課時練習(xí))過點尸(2,4)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為.
【典例2】(2023秋?廣西防城港?高二統(tǒng)考期末)已知直線4:2x+y-2=O,4與x軸,V軸的交點分別為
直線4經(jīng)過A點且傾斜角為
4
⑴求直線4的一般方程;
(2)求線段的中垂線方程.
【典例3】(2023?全國?高三對口高考)過點P(2,l)作直線/分別交x,V的正半軸于A,8兩點.
⑴求AABO面積的最小值及相應(yīng)的直線/的方程;
(2)當(dāng)|04|+|0回取最小值時,求直線/的方程;
⑶當(dāng)|;4戶封取最小值時,求直線/的方程.
【變式1](2023秋?廣東廣州?高二??计谀┻^點(2,-1),傾斜角是直線4x-3y+4=0的傾斜角的一半的
直線方程為.
【變式2](2023?全國?高三專題練習(xí))若過點尸CM)且互相垂直的兩條直線4分別與x軸、V軸交于A、B
兩點,則中點M的軌跡方程為.
【變式31](2023春?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學(xué)??计谀┮阎?(2,5)在直線/上.
⑴求直線/的方程;
(2)若直線“頃斜角是直線/傾斜角的2倍,且與/的交點在V軸上,求直線乙的方程.
【變式4](2023?江蘇,高二假期作業(yè))已知AABC的三個頂點分別為A(0,4),3(-2,6),C(-8,0).
⑴求邊AC和AB所在直線的方程;
⑵求AC邊上的中線3。所在直線的方程.
題型03兩直線的平行與垂直
【典例1】(2023秋?河南平頂山■高二統(tǒng)考期末)已知〃zeR,“直線4:3+>=0與:9x+my-〃/-l=0平
行"是“祖=與"的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【典例2】(2023秋,四川涼山?高二寧南中學(xué)??计谀┮阎?>0,b>0,直線乙:(。-1)尤+y-l=0,4:
21
x+2外+1=0,且/J/,,則的最小值為()
ab
A.2B.4C.8D.9
【典例3】(2023春?浙江溫州?高二??茧A段練習(xí))=1"是"直線4:(m-4卜+沖+1=0與直線3
mx+(〃z+2)y-2=0互相垂直”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【變式1](2023?全國?高三專題練習(xí))已知直線/:x+(a-l)y+2=0,l2-.y/3bx+y-0,且/[,4,則Y+b?
的最小值為()
A.1B.|C.3D.U
42216
【變式2](2023?上海?高二專題練習(xí))已知直線「:(%+3)x+5y=5-3%,6:2x+O+6)y=8,若/他,則
"1的值是.
題型04兩直線的交點與距離問題
【典例1】(2023春?重慶沙坪壩?高一重慶八中??计谀?已知直線/:2x+y+l=0,直線加過點(0,1)且
與直線/垂直.
⑴求直線優(yōu)的方程;
(2)直線〃與直線/關(guān)于V軸對稱,求直線/,加,"所圍成的三角形的面積.
【典例2】(2023?高二課時練習(xí))已知點4(1,3),3(5,-2),點尸在x軸上使|轉(zhuǎn)卜忸刈最大,求點P的坐標(biāo).
【典例3】(2023?高三課時練習(xí))已知點A(0,-1),8(—5,1),0(7,2),且荏〃覺,BCYAB.
⑴求直線CD的方程;
(2)求點C的坐標(biāo),并求四邊形ABCD的面積.
【變式1](2023秋?高二課時練習(xí))求過直線/1:y=X+]和/2:3x-y=0的交點并且與原點距離為1的
直線/的方程.
【變式2](2023秋?青海西寧?高二校聯(lián)考期末)已知AABC的三個頂點分別為A(0,-2)、3(4,-3)、C(3,l).求:
⑴邊AC上的中線所在直線4的方程;
(2)AABC的面積.
【變式3](2023春?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期末)已知點A(2,l),8(1,-2),點尸在x軸上,則
1241Tp叫的取值范圍是.
題型05直線中的對稱問題
【典例1】(2023秋?吉林白城?高二校考期末)點P(2,0)關(guān)于直線/:x+y+l=0的對稱點Q的坐標(biāo)為()
A.(-1,-3)B.(TT)C.(4,1)D.(2,3)
【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))^ABC的頂點A(4,3),AC邊上的中線所在的直線為4x+13y-10=0,
NA5c的平分線所在直線方程為尤+2y-5=0,求AC邊所在直線的方程()
A.2x-3y+l=0B.x-8y+20=0
C.3%—5y+3=0D.%—y+l=0
【典例3】(2023?上海?高二專題練習(xí))一束光從光源C。,2)射出,經(jīng)x軸反射后(反射點為M),射到線
段丁=一彳+友*?3,5]上?/處.
⑴若“(3,0)1=7,求光從C出發(fā),到達(dá)點N時所走過的路程;
⑵若6=8,求反射光的斜率的取值范圍;
⑶若求光從C出發(fā),到達(dá)點N時所走過的最短路程.
【典例4】(2023秋?江西吉安?高二吉安三中??计谀┮阎本€/:3x-y+3=0,求:
⑴點P(4,5)關(guān)于/的對稱點;
(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線/對稱的直線方程;
⑶直線/關(guān)于(1,2)的對稱直線.
【變式1](2023春?上海楊浦?高一上海市楊浦高級中學(xué)??计谀?設(shè)直線]"-2y-2=。與4關(guān)于直線
/:2x-y-4=0對稱,則直線人的方程是()
A.11元+2y—22=0B.llx+y+22=0
C.5x+y—11=0D.10x+y-22=Q
【變式2](2023?高二課時練習(xí))已知A(3,1),B(1,2),若—ACB的平分線在y=x+l上,求AC所
在的直線方程.
【變式3](2023?全國,高三專題練習(xí))已知直線/:2x-3y+l=0,點4-L-2).求:
⑴點A關(guān)于直線I的對稱點A的坐標(biāo);
(2)直線加:3元-2y-6=0關(guān)于直線I對稱的直線m'的方程;
⑶直線/關(guān)于點A(-l,-2)對稱的直線的方程.
【變式4](2023?全國?高三專題練習(xí))直線x+3y-l=。關(guān)于直線尤->+1=0對稱的直線方程是
題型06圓的方程
【典例1】(2023春?河南開封?高二統(tǒng)考期末)已知圓心為C的圓經(jīng)過A(0,3),3(1,2)兩點,且圓心C在直
線/:x+y=0上.
⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵求與直線AB平行且與圓C相切的直線方程.
【典例2】(2023?江蘇?高二假期作業(yè))求經(jīng)過點尸(U)和坐標(biāo)原點,并且圓心在直線2x+3y+l=0上的圓
的方程.
7
【典例3】(2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知直線/過點(3,2)且與直線y=+l垂直,圓C的圓
心在直線/上,且過A(6,0),8(1,5)兩點.
⑴求直線/的方程;
⑵求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【變式1](2023秋?新疆昌吉?高二??计谀┮阎獔AC的圓心在直線2x—y—7=0上,且圓C與y軸交于
兩點40,-4),B(0,-2),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()
A.(X—2)2+(j—3)2=5B.(X—2)2+(y+3)2=5
C.(x+2)2+(y+3)2=5D.(%+2尸+(,-3)2=5
【變式2](2023春?安徽?高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知直線/過點P(-L2),且/與X。軸分別交于點A,8,△。鉆
為等腰直角三角形.
⑴求/的方程;
(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點,點A在x軸負(fù)半軸,求過O,A,P三點的圓的一般方程.
【變式3](2023春?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知圓C的圓心在直線>=-1+5上,且
圓C過點(2,6),(5,3).
⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓C與圓C關(guān)于直線x+2y-2=0對稱,求圓C'的標(biāo)準(zhǔn)方程.
題型07切線和切線長問題
【典例1】(2023秋?云南曲靖?高三??计谀┮阎本€/經(jīng)過點P(L3),且/與圓V+y2=10相切,則/的
方程為()
A.x+3y-10=0B.%-3丁+8=0C.3x+y-6=0D.2x+3y-ll=0
【典例2】(2023春?北京東城?高三北京市第十一中學(xué)??茧A段練習(xí))已知圓。:公+丫2一2》=0,過直線
/:y=x+2上的動點M作圓C的切線,切點為N,則的最小值是()
A.2點B.2C.—D.近
22
【典例3](2023?全國?高三專題練習(xí))已知M(x,y)為圓C:/+y2-4丈-14y+45=0上任意一點,且點。(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值.
(2)求二的最大值和最小值.
(3)求丁一%的最大值和最小值.
【變式1](2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)??寄M預(yù)測)已知圓O:x2+y2=4,“(%,%)為圓。上
位于第一象限的一點,過點M作圓。的切線/.當(dāng)/的橫縱截距相等時,/的方程為()
A.x+y-2>/2=0B.x+y—旦0
2
C.x+y-4^/^=0D.x-y-2y=0
【變式2](2023春?上海楊浦?高二??计谥校┮阎獔A心在x軸上的圓C經(jīng)過兩點4(1,0)、8(3,2).
⑴求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵求過點“5,4)且與此圓相切的直線/的一般式方程.
【變式3](2023秋?廣東清遠(yuǎn)?高二統(tǒng)考期末)已知“5。的頂點分別為4(-1,7),3(-4,-2)。3,-1).
⑴求AABC外接圓的方程;
(2)設(shè)P是直線/:4尤-3y-25=0上一動點,過點P作廿RC外接圓的一條切線,切點為。,求歸。|最小值及
點尸的坐標(biāo).
題型08弦長問題
【典例1](2023秋?天津紅橋?高三統(tǒng)考期末)若直線/:m-y=4被圓C:x2+y2-2y-8=0截得的弦長為4,
則m的值為()
A.±2B.±4C.±^2D.±2-72
【典例2】(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知直線4:尤-3>+1=0,直線4過點。,0)且與直線4相互垂直,圓
C:x2+y2-4x-2y-3=0,若直線4與圓C交于跖N兩點,則|肱Vk.
【典例3】(2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知直線/:>=丘+3,圓川:/+丁+瓜=0,2(3,0),直線/和圓”
交于A,8兩點.
⑴當(dāng)AB的中點為段1時,求圓加的方程;
⑵已知圓河的方程與(1)中所求圓M的方程相同,若斜率存在且不為0的直線乙過點Q,乙與圓加交于E,
/兩點,N為x軸正半軸上一點,ZONE=ZONF,|AB|=V14,且直線/與線段MN相交,求直線/的斜率.
【變式1](2023?全國?高三專題練習(xí))以點打2,3)為圓心,3為半徑的圓與直線
/:(2m+1)尤+0+1)>—7〃7-4=0相交于4,B兩點,貝!||AB|的取值范圍為.
【變式2](2023春?河北邯鄲?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)若直線/:辦-y+2-。=0(aeR)與圓
(7:(彳-3)2+"-1)2=9相交于48兩點,當(dāng)|AB|取得最小值時,直線/的斜率為.
【變式3](2023春?上海浦東新?高二統(tǒng)考期中)已知圓C:£+y2=25,點尸(3,4).
⑴求過點P的圓C的切線I的方程;
(2)若直線機過點P且被圓C截得的弦長為8,求直線m的方程.
【變式4](2023春?河南安陽?高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知圓C過A(l,0),B(0,l)兩點且圓心C在直
線x+y-4=0上.
⑴求圓C的方程;
⑵已知直線/:>=履-1被圓C截得的弦長為警,求實數(shù)上的值.
題型09三角形面積問題
【典例1】(2023秋?高一單元測試)已知圓C:(x-2y+y2=1,M是y軸上的動點,MA,分別與圓C
相切于A、B兩點,
⑴如果點M的坐標(biāo)為(0,1),求直線K4、的方程;
⑵求AACB面積的最大值.
【典例2】(2023春?江西?高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知圓C:x2+y2=4,P為圓C上任意一點,。(-4,0)
⑴求尸。中點M的軌跡方程.
⑵若經(jīng)過。的直線/與M的軌跡相交于AB,在下列條件中選一個,求AABO的面積.
條件①:直線AB斜率為。;②原點。到直線AB的距離為靖.
【典例3】(2023春?上海閔行?高二??茧A段練習(xí))已知直線4:2x-y-l=O和4:x-y+2=。的交點為2,
求:
⑴以點尸為圓心,且與直線3x+4y+l=。相交所得弦長為12的圓的方程;
g
(2)直線/過點(1,2),且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為求直線/的方程.
【變式1](2023春?上海楊浦?高一上海市楊浦高級中學(xué)校考期末)已知直線/:依-y+2+左=0,(LeR).
⑴若直線不經(jīng)過第四象限,求人的取值范圍;
⑵若直線/交X軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于8,AAOB的面積為S(。為坐標(biāo)原點),求S的最小值和此時
直線I的方程.
【變式2](2023春?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓E經(jīng)過4(2,3),B(3,2),C(4,3)三點,且交直線
7:3x+4y-18=0于M,N兩點.
⑴求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵求ACWN的面積.
題型10圓與圓的位置關(guān)系
【典例1】(2023秋?高二課時練習(xí))當(dāng)。為何值時,兩圓/+/_2辦+4了+/_5=0和
尤-++2x—2ay+—3=0.
(1)外切;
(2)相交;
(3)外離.
【典例2】(2023秋?河北石家莊?高二石家莊二十三中??计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,曲線y=/-6x+l
與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.
⑴求圓C的方程;
(2)若圓C與圓O:(x-4『+(y_3)2=4相交于A、3兩點,求AB弦長.
【變式1](2023春?上海黃浦?高二上海市大同中學(xué)校考期中)已知圓/經(jīng)過4(-1,0)、磯L-2)、C(3,0),圓
N:/+y2_?+2ay+a2=0.
(1)求圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓M與圓N相切,求。的值.
【變式2](2023?高二課時練習(xí))己知圓G:尤2-2,nx+/+4y+根°-5=0與圓C?:
x2+2x+y2-2my+m2-3=0,當(dāng)相為何值時,
(1)兩圓外切;
⑵兩圓內(nèi)含.
題型11兩圓公共線方程和公共弦長
22222
【典例1】(2023秋?湖南張家界?高二統(tǒng)考期末)已知兩圓Cl:x+y-4y=0,C2:(x-2)+y=m(m>0).
⑴機取何值時兩圓外切?
⑵當(dāng)〃z=2時,求兩圓的公共弦所在直線/的方程和公共弦的長.
22
【典例2】(2023?高二課時練習(xí))已知圓G:/+/=10與圓c?:x+y+2x+2y-14=0.
⑴求證:圓G與圓C?相交;
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程;
⑶求經(jīng)過兩圓交點,且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.
【典例3】(2023,全國?高三專題練習(xí))已知圓C:f+(y-3)2=8和動圓尸:。-4+丫2=8交于A,B兩點.
(1)若直線A3過原點,求。;
⑵若直線A3交x軸于Q,當(dāng)△PQC面積最小時,求|A3|.
【變式1](2023秋?重慶渝北?高二重慶市兩江育才中學(xué)校??计谀┘褐獔AG過點(石』)、(1,-1),且圓心
在直線、=1,圓C2:+y?—4x+2y=。.
⑴求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求圓G與圓c2的公共弦所在的直線方程及公共弦長.
【變式2](2023春?甘肅蘭州,高二??奸_學(xué)考試)已知兩圓C/:x2+y2-2x-6y~1=0,C?:x2+y2-10%
-12y+45=0.
⑴求證:圓C/和圓C2相交;
(2)求圓G和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長.
【變式3](2023秋?江西吉安?高二江西省泰和中學(xué)??计谀┮阎獔AC|:/+y2-2x+10y-24=0和
C2:+2x+2y—8=0相交于A8兩點.
⑴求直線A3的方程,
⑵求弦長|AB|
【變式4](2023春?四川達(dá)州,高二校考期中)已知兩圓/+的一10x-10加0,丁+/+6為一2尸40=0.
求:(1)它們的公共弦A3所在直線的方程;
(2)公共弦長.
題型12與圓有關(guān)的最值問題
【典例1](2023秋,廣西河池?高二統(tǒng)考期末)已知圓G:(x+3)2+(y-2)2=8與圓C2關(guān)于直線4x-2y+l=()
對稱.
(1)求圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵直線3x+4y+〃7-5=0與圓C2相交于M,N兩點,且AMCZN的外接圓的圓心在內(nèi)部,求加的取值
范圍.
【典例2】(2023春?江蘇南通?高三海安高級中學(xué)??茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系無Oy中,過點P(0,l)且
22
互相垂直的兩條直線分別與橢圓「亍+5=1交于點AB,與圓/:(》-2)2+(丁-1)2=1交于點。,。.
(1)若CD=應(yīng),求A3的斜率;
⑵記CO中點為E,求AABE面積的取值范圍.
【典例3](2023秋?福建福州,高二福建省福州第一中學(xué)??计谀?已知圓C:(x-2)2+9=25.
⑴設(shè)點過點M作直線/與圓C交于A,8兩點,若|AB|=8,求直線/的方程;
(2)設(shè)P是直線x-"8=0上一點,過P作圓C的切線PE,PF,切點分別為E,F,求|尸中即的最小直
【變式1](2023春?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓C:/+y2=16,直線/:(2+k)x+(l+A)y+Z=0.
⑴證明:直線/和圓C恒有兩個交點;
(2)若直線/和圓C交于A8兩點,求|AB|的最小值及此時直線/的方程.
【變式2](2023?全國?高三專題練習(xí))己知圓。:(%-7)2+"+1)2=50,4(2,4),若斜率為-1的直線/與圓C
相交于不同的兩點求R0.麗的取值范圍.
題型13軌跡方程
【典例1】(2023春?河南南陽?高二鎮(zhèn)平縣第一高級中學(xué)??茧A段練習(xí))已知圓C:(X-3)2+/=4.
⑴求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑;
(2)設(shè)直線/:x=/ny+2(m6R)
①求證:直線/與圓C恒相交;
②若直線/與圓C交于A,8兩點,弦A3的中點為求點M的軌跡方程,并說明它是什么曲線.
【典例2】(2023春?上海靜安?高二??计谥?己知圓的方程為爐+V=9,過點P(4,2)作直線/交圓于A、
B兩點.
⑴當(dāng)直線/的斜率為1時,求弦的長;
(2)當(dāng)直線/的斜率變化時,求動弦A8的中點Q的軌跡方程.
【典例3】(2023春?上海閔行?高二校考階段練習(xí))已知圓C:x2+(y-l)2=5,直線/:〃氏一.
⑴判斷直線/與圓C的位置關(guān)系;
⑵設(shè)直線/與圓C相交于A,3兩點,且|AB|=舊,求直線/的方程;
⑶設(shè)直線/與圓C相交于A,8兩點,求弦A3中點的軌跡方程.
【變式1](2023?全國?高三專題練習(xí))已知圓C:x2+y2-4y+3=0.過原點的動直線/與圓C相交于不同的
兩點AB,求線段AB的中點M的軌跡方程.
【變式2】(2023春?湖北?高二宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中)已知圓C:/+y2+2x_4y+3=0.
⑴若直線/過點(-2,0)且被圓C截得的弦長為2,求直線/的方程;
⑵從圓C外一點尸向圓C引一條切線,切點為O為坐標(biāo)原點,滿足歸“卜|PO|,求點尸的軌跡方程.
題型14圓的對稱問題
【典例1】(2023秋?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末)若圓C:x2+y2+〃g4y=0被直線2x+y+2=0平分,則圓
C的半徑為.
【典例2】(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知圓J+/+2—=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對稱圖形,則6=
;a的取值范圍是.
【典例3](2023秋?高二課時練習(xí))求圓/+/+4*-12?+39=0關(guān)于直線3x-4y-5=0的對稱圓方程.
【變式1](2023春?廣東汕尾?高二陸豐市龍山中學(xué)??茧A段練習(xí))若直線2x+y-2=0為圓(x-ay+V=1的
一條對稱軸,則。=.
【變式2](2023秋,四川涼山?高二統(tǒng)考期末)圓/+丁一21-2'+1=0關(guān)于直線尤+>-1=0對稱的圓的標(biāo)
準(zhǔn)方程為.
三、數(shù)學(xué)思想
01函數(shù)與方程的思想
【典例1】(2例3?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知直線/:znx-y+m+l=0O10)與圓C:x23+y2-4x+2y+4=0,
過直線/上的任意一點P向圓C引切線,設(shè)切點為AB,若線段AB長度的最小值為百,則實數(shù)加的值是()
121277
A.——B.—C.—D.一一
5555
【典例2】(2023?陜西西安?陜西師大附中??寄M預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中,圓
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