2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：直線和圓的方程（原卷版）

第11講第二章直線和圓的方程章末總結(jié)

一、思維導(dǎo)圖

直

線

方

直

程

線

與

之

方

間

程

的

轉(zhuǎn)

化

直

線

與

圓

的

方

程

圓

的

方

程

圓的一般

方程

二、題型精講

題型01直線的傾斜角和斜率

【典例1】（2023春?上海黃浦?高二上海市敬業(yè)中學(xué)校考期中）直線（/+1卜-2沖+1=0的傾斜角的取值范

圍是（）

八兀1「兀兀］r7t3兀］「八7i'i「3兀、

A.0,-B.C.D.0,-u—,7i

4」142」L44JL4jL4）

【典例2】（2023秋?安徽六安,高二六安一中?？计谀┮阎本€區(qū)-卜"1=0和以N（3,2）為

端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

173

A.——<k<-B.-2<k<-

223

1、32

C.k<——或左〉一D.k<-2^k>-

223

【典例3】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線無(wú)+獷。5。-5=。的傾斜角"的取值范圍是.

【變式1］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)P（T,0）的直線與以點(diǎn)A（l,2）,8（-2,6）為端點(diǎn)的線段相交,

則直線的傾斜角取值范圍為（)

712兀兀兀2萬(wàn)、TC27r

A.B.C.,7rDU

4JT7TJ-吟

，-g）且總與線段

【變式2］（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)A（2,l）、B（-2,2）,若直線/過(guò)點(diǎn)

有交點(diǎn)，求直線/的斜率上的取值范圍.

題型02直線方程

【典例1］（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)尸（2,4）且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為.

【典例2】（2023秋?廣西防城港?高二統(tǒng)考期末）已知直線4：2x+y-2=O,4與x軸，V軸的交點(diǎn)分別為

直線4經(jīng)過(guò)A點(diǎn)且傾斜角為

4

⑴求直線4的一般方程；

（2）求線段的中垂線方程.

【典例3】（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)P（2,l）作直線/分別交x,V的正半軸于A,8兩點(diǎn).

⑴求AABO面積的最小值及相應(yīng)的直線/的方程;

（2）當(dāng)|04|+|0回取最小值時(shí)，求直線/的方程；

⑶當(dāng)|；4戶封取最小值時(shí)，求直線/的方程.

【變式1］（2023秋?廣東廣州?高二?？计谀┻^(guò)點(diǎn)（2,-1）,傾斜角是直線4x-3y+4=0的傾斜角的一半的

直線方程為.

【變式2］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)尸CM）且互相垂直的兩條直線4分別與x軸、V軸交于A、B

兩點(diǎn)，則中點(diǎn)M的軌跡方程為.

【變式31］（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶南開(kāi)中學(xué)校考期末）已知3（2,5）在直線/上.

⑴求直線/的方程；

（2）若直線“頃斜角是直線/傾斜角的2倍，且與/的交點(diǎn)在V軸上，求直線乙的方程.

【變式4］（2023?江蘇,高二假期作業(yè)）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0,4）,3（-2,6）,C（-8,0）.

⑴求邊AC和AB所在直線的方程；

⑵求AC邊上的中線3。所在直線的方程.

題型03兩直線的平行與垂直

【典例1】（2023秋?河南平頂山■高二統(tǒng)考期末）已知〃zeR,“直線4：3+>=0與：9x+my-〃/-l=0平

行"是“祖=與"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【典例2】（2023秋,四川涼山?高二寧南中學(xué)?？计谀┮阎?>0,b>0,直線乙：（。-1）尤+y-l=0,4：

21

x+2外+1=0,且/J/,,則的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.9

【典例3】（2023春?浙江溫州?高二?？茧A段練習(xí)）=1"是"直線4：（m-4卜+沖+1=0與直線3

mx+（〃z+2）y-2=0互相垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知直線/：x+(a-l)y+2=0,l2-.y/3bx+y-0,且/[，4，則Y+b?

的最小值為()

A.1B.|C.3D.U

42216

【變式2](2023?上海?高二專題練習(xí))已知直線「：(％+3)x+5y=5-3%,6：2x+O+6)y=8,若/他，則

"1的值是.

題型04兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題

【典例1】(2023春?重慶沙坪壩?高一重慶八中?？计谀?已知直線/：2x+y+l=0,直線加過(guò)點(diǎn)(0,1)且

與直線/垂直.

⑴求直線優(yōu)的方程；

(2)直線〃與直線/關(guān)于V軸對(duì)稱，求直線/,加，"所圍成的三角形的面積.

【典例2】(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)4(1,3),3(5,-2),點(diǎn)尸在x軸上使|轉(zhuǎn)卜忸刈最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【典例3】(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)A(0,-1),8(—5,1),0(7,2),且荏〃覺(jué)，BCYAB.

⑴求直線CD的方程；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求四邊形ABCD的面積.

【變式1］（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）求過(guò)直線/1：y=X+］和/2：3x-y=0的交點(diǎn)并且與原點(diǎn)距離為1的

直線/的方程.

【變式2］（2023秋?青海西寧?高二校聯(lián)考期末）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0,-2）、3（4,-3）、C（3,l）.求:

⑴邊AC上的中線所在直線4的方程；

（2）AABC的面積.

【變式3］（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶八中?？计谀┮阎c(diǎn)A（2,l）,8（1,-2）,點(diǎn)尸在x軸上，則

1241Tp叫的取值范圍是.

題型05直線中的對(duì)稱問(wèn)題

【典例1】（2023秋?吉林白城?高二?？计谀c(diǎn)P（2,0）關(guān)于直線/:x+y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）

A.（-1,-3）B.（TT）C.（4,1）D.（2,3）

【典例2】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）^ABC的頂點(diǎn)A（4,3）,AC邊上的中線所在的直線為4x+13y-10=0,

NA5c的平分線所在直線方程為尤+2y-5=0,求AC邊所在直線的方程（）

A.2x-3y+l=0B.x-8y+20=0

C.3%—5y+3=0D.%—y+l=0

【典例3】（2023?上海?高二專題練習(xí)）一束光從光源C。,2）射出，經(jīng)x軸反射后（反射點(diǎn)為M）,射到線

段丁=一彳+友*?3,5］上?/處.

⑴若“（3,0）1=7,求光從C出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)所走過(guò)的路程；

⑵若6=8,求反射光的斜率的取值范圍；

⑶若求光從C出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)所走過(guò)的最短路程.

【典例4】（2023秋?江西吉安?高二吉安三中?？计谀┮阎本€/：3x-y+3=0,求:

⑴點(diǎn)P(4,5)關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)；

(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線/對(duì)稱的直線方程;

⑶直線/關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線.

【變式1](2023春?上海楊浦?高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考期末)設(shè)直線]"-2y-2=。與4關(guān)于直線

/:2x-y-4=0對(duì)稱，則直線人的方程是()

A.11元+2y—22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y—11=0D.10x+y-22=Q

【變式2](2023?高二課時(shí)練習(xí))已知A(3,1),B(1,2),若—ACB的平分線在y=x+l上，求AC所

在的直線方程.

【變式3](2023?全國(guó),高三專題練習(xí))已知直線/：2x-3y+l=0,點(diǎn)4-L-2).求:

⑴點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)直線加：3元-2y-6=0關(guān)于直線I對(duì)稱的直線m'的方程；

⑶直線/關(guān)于點(diǎn)A(-l,-2)對(duì)稱的直線的方程.

【變式4](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))直線x+3y-l=。關(guān)于直線尤->+1=0對(duì)稱的直線方程是

題型06圓的方程

【典例1】（2023春?河南開(kāi)封?高二統(tǒng)考期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)A（0,3）,3（1,2）兩點(diǎn)，且圓心C在直

線/:x+y=0上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求與直線AB平行且與圓C相切的直線方程.

【典例2】（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（U）和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x+3y+l=0上的圓

的方程.

7

【典例3】（2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線/過(guò)點(diǎn)（3,2）且與直線y=+l垂直，圓C的圓

心在直線/上，且過(guò)A（6,0）,8（1,5）兩點(diǎn).

⑴求直線/的方程；

⑵求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【變式1］（2023秋?新疆昌吉?高二校考期末）已知圓C的圓心在直線2x—y—7=0上，且圓C與y軸交于

兩點(diǎn)40,-4）,B（0,-2）,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.（X—2）2+（j—3）2=5B.（X—2）2+（y+3）2=5

C.（x+2）2+（y+3）2=5D.（%+2尸+（,-3）2=5

【變式2］（2023春?安徽?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線/過(guò)點(diǎn)P（-L2）,且/與X。軸分別交于點(diǎn)A,8,△。鉆

為等腰直角三角形.

⑴求/的方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，求過(guò)O,A,P三點(diǎn)的圓的一般方程.

【變式3］（2023春?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C的圓心在直線>=-1+5上，且

圓C過(guò)點(diǎn)（2,6）,（5,3）.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓C與圓C關(guān)于直線x+2y-2=0對(duì)稱，求圓C'的標(biāo)準(zhǔn)方程.

題型07切線和切線長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1】（2023秋?云南曲靖?高三?？计谀┮阎本€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（L3）,且/與圓V+y2=10相切，則/的

方程為（）

A.x+3y-10=0B.%-3丁+8=0C.3x+y-6=0D.2x+3y-ll=0

【典例2】（2023春?北京東城?高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓。:公+丫2一2》=0,過(guò)直線

/:y=x+2上的動(dòng)點(diǎn)M作圓C的切線，切點(diǎn)為N,則的最小值是（）

A.2點(diǎn)B.2C.—D.近

22

【典例3］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知M（x,y）為圓C：/+y2-4丈-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)。（-2,3）.

（1）求|MQ|的最大值和最小值.

（2）求二的最大值和最小值.

（3）求丁一%的最大值和最小值.

【變式1］（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓O：x2+y2=4,“（％,%）為圓。上

位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓。的切線/.當(dāng)/的橫縱截距相等時(shí)，/的方程為（）

A.x+y-2>/2=0B.x+y—旦0

2

C.x+y-4^/^=0D.x-y-2y=0

【變式2］（2023春?上海楊浦?高二校考期中）已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4（1,0）、8（3,2）.

⑴求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求過(guò)點(diǎn)“5,4）且與此圓相切的直線/的一般式方程.

【變式3］（2023秋?廣東清遠(yuǎn)?高二統(tǒng)考期末）已知“5。的頂點(diǎn)分別為4（-1,7）,3（-4,-2）。3,-1）.

⑴求AABC外接圓的方程；

（2）設(shè)P是直線/：4尤-3y-25=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作廿RC外接圓的一條切線，切點(diǎn)為。，求歸。|最小值及

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

題型08弦長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1］（2023秋?天津紅橋?高三統(tǒng)考期末）若直線/：m-y=4被圓C:x2+y2-2y-8=0截得的弦長(zhǎng)為4,

則m的值為（）

A.±2B.±4C.±^2D.±2-72

【典例2】（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線4：尤-3>+1=0,直線4過(guò)點(diǎn)。,0）且與直線4相互垂直，圓

C:x2+y2-4x-2y-3=0,若直線4與圓C交于跖N兩點(diǎn)，則|肱Vk.

【典例3】（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線/：>=丘+3,圓川：/+丁+瓜=0,2（3,0）,直線/和圓”

交于A,8兩點(diǎn).

⑴當(dāng)AB的中點(diǎn)為段1時(shí),求圓加的方程;

⑵已知圓河的方程與（1）中所求圓M的方程相同，若斜率存在且不為0的直線乙過(guò)點(diǎn)Q,乙與圓加交于E,

/兩點(diǎn)，N為x軸正半軸上一點(diǎn)，ZONE=ZONF,|AB|=V14,且直線/與線段MN相交，求直線/的斜率.

【變式1］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）以點(diǎn)打2,3）為圓心，3為半徑的圓與直線

/:（2m+1）尤+0+1）＞—7〃7-4=0相交于4,B兩點(diǎn)，貝！||AB|的取值范圍為.

【變式2］（2023春?河北邯鄲?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若直線/:辦-y+2-。=0（aeR）與圓

（7:（彳-3）2+"-1）2=9相交于48兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|取得最小值時(shí)，直線/的斜率為.

【變式3］（2023春?上海浦東新?高二統(tǒng)考期中）已知圓C:￡+y2=25,點(diǎn)尸（3,4）.

⑴求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線I的方程；

（2）若直線機(jī)過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)為8,求直線m的方程.

【變式4］（2023春?河南安陽(yáng)?高二安陽(yáng)一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C過(guò)A（l,0）,B（0,l）兩點(diǎn)且圓心C在直

線x+y-4=0上.

⑴求圓C的方程；

⑵已知直線/：＞=履-1被圓C截得的弦長(zhǎng)為警，求實(shí)數(shù)上的值.

題型09三角形面積問(wèn)題

【典例1】（2023秋?高一單元測(cè)試）已知圓C:（x-2y+y2=1,M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，MA,分別與圓C

相切于A、B兩點(diǎn)，

⑴如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,1）,求直線K4、的方程；

⑵求AACB面積的最大值.

【典例2】（2023春?江西?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C：x2+y2=4,P為圓C上任意一點(diǎn)，。（-4,0）

⑴求尸。中點(diǎn)M的軌跡方程.

⑵若經(jīng)過(guò)。的直線/與M的軌跡相交于AB,在下列條件中選一個(gè)，求AABO的面積.

條件①：直線AB斜率為。；②原點(diǎn)。到直線AB的距離為靖.

【典例3】（2023春?上海閔行?高二?？茧A段練習(xí)）已知直線4：2x-y-l=O和4：x-y+2=。的交點(diǎn)為2,

求：

⑴以點(diǎn)尸為圓心，且與直線3x+4y+l=。相交所得弦長(zhǎng)為12的圓的方程；

g

（2）直線/過(guò)點(diǎn)（1,2）,且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為求直線/的方程.

【變式1］（2023春?上海楊浦?高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎本€/:依-y+2+左=0,（LeR）.

⑴若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求人的取值范圍；

⑵若直線/交X軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于8,AAOB的面積為S（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值和此時(shí)

直線I的方程.

【變式2］（2023春?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓E經(jīng)過(guò)4（2,3）,B（3,2）,C（4,3）三點(diǎn)，且交直線

7:3x+4y-18=0于M,N兩點(diǎn).

⑴求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求ACWN的面積.

題型10圓與圓的位置關(guān)系

【典例1】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)。為何值時(shí)，兩圓/+/_2辦+4了+/_5=0和

尤-++2x—2ay+—3=0.

（1）外切;

（2）相交;

（3）外離.

【典例2】（2023秋?河北石家莊?高二石家莊二十三中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，曲線y=/-6x+l

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.

⑴求圓C的方程；

（2）若圓C與圓O:（x-4『+（y_3）2=4相交于A、3兩點(diǎn)，求AB弦長(zhǎng).

【變式1］（2023春?上海黃浦?高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎獔A/經(jīng)過(guò)4（-1,0）、磯L-2）、C（3,0）,圓

N:/+y2_?+2ay+a2=0.

(1)求圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若圓M與圓N相切，求。的值.

【變式2](2023?高二課時(shí)練習(xí))己知圓G：尤2-2,nx+/+4y+根°-5=0與圓C?：

x2+2x+y2-2my+m2-3=0,當(dāng)相為何值時(shí)，

(1)兩圓外切；

⑵兩圓內(nèi)含.

題型11兩圓公共線方程和公共弦長(zhǎng)

22222

【典例1】(2023秋?湖南張家界?高二統(tǒng)考期末)已知兩圓Cl:x+y-4y=0,C2:(x-2)+y=m(m>0).

⑴機(jī)取何值時(shí)兩圓外切？

⑵當(dāng)〃z=2時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線/的方程和公共弦的長(zhǎng).

22

【典例2】(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知圓G：/+/=10與圓c?：x+y+2x+2y-14=0.

⑴求證：圓G與圓C?相交；

(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；

⑶求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.

【典例3】(2023,全國(guó)?高三專題練習(xí))已知圓C:f+(y-3)2=8和動(dòng)圓尸:。-4+丫2=8交于A,B兩點(diǎn).

(1)若直線A3過(guò)原點(diǎn)，求。；

⑵若直線A3交x軸于Q,當(dāng)△PQC面積最小時(shí)，求|A3|.

【變式1］（2023秋?重慶渝北?高二重慶市兩江育才中學(xué)校?？计谀┘褐獔AG過(guò)點(diǎn)（石』）、（1,-1），且圓心

在直線、=1,圓C2:+y?—4x+2y=。.

⑴求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求圓G與圓c2的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).

【變式2］（2023春?甘肅蘭州,高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知兩圓C/：x2+y2-2x-6y~1=0,C?：x2+y2-10%

-12y+45=0.

⑴求證：圓C/和圓C2相交；

（2）求圓G和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng).

【變式3］（2023秋?江西吉安?高二江西省泰和中學(xué)校考期末）已知圓C|：/+y2-2x+10y-24=0和

C2：+2x+2y—8=0相交于A8兩點(diǎn).

⑴求直線A3的方程，

⑵求弦長(zhǎng)|AB|

【變式4］（2023春?四川達(dá)州,高二?？计谥校┮阎獌蓤A/+的一10x-10加0,丁+/+6為一2尸40=0.

求：（1）它們的公共弦A3所在直線的方程；

(2)公共弦長(zhǎng).

題型12與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

【典例1](2023秋,廣西河池?高二統(tǒng)考期末)已知圓G：(x+3)2+(y-2)2=8與圓C2關(guān)于直線4x-2y+l=()

對(duì)稱.

(1)求圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線3x+4y+〃7-5=0與圓C2相交于M,N兩點(diǎn)，且AMCZN的外接圓的圓心在內(nèi)部，求加的取值

范圍.

【典例2】(2023春?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，過(guò)點(diǎn)P(0,l)且

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互相垂直的兩條直線分別與橢圓「亍+5=1交于點(diǎn)AB，與圓/：(》-2)2+(丁-1)2=1交于點(diǎn)。,。.

(1)若CD=應(yīng)，求A3的斜率；

⑵記CO中點(diǎn)為E,求AABE面積的取值范圍.

【典例3](2023秋?福建福州,高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀?已知圓C:(x-2)2+9=25.

⑴設(shè)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作直線/與圓C交于A,8兩點(diǎn)，若|AB|=8,求直線/的方程；

(2)設(shè)P是直線x-"8=0上一點(diǎn)，過(guò)P作圓C的切線PE,PF,切點(diǎn)分別為E,F,求|尸中即的最小直

【變式1](2023春?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓C:/+y2=16,直線/:(2+k)x+(l+A)y+Z=0.

⑴證明：直線/和圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)若直線/和圓C交于A8兩點(diǎn)，求|AB|的最小值及此時(shí)直線/的方程.

【變式2](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知圓。：(％-7)2+"+1)2=50,4(2,4),若斜率為-1的直線/與圓C

相交于不同的兩點(diǎn)求R0.麗的取值范圍.

題型13軌跡方程

【典例1】(2023春?河南南陽(yáng)?高二鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知圓C：(X-3)2+/=4.

⑴求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；

(2)設(shè)直線/：x=/ny+2(m6R)

①求證：直線/與圓C恒相交；

②若直線/與圓C交于A,8兩點(diǎn)，弦A3的中點(diǎn)為求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線.

【典例2】(2023春?上海靜安?高二?？计谥?己知圓的方程為爐+V=9,過(guò)點(diǎn)P(4,2)作直線/交圓于A、

B兩點(diǎn).

⑴當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，求弦的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)直線/的斜率變化時(shí)，求動(dòng)弦A8的中點(diǎn)Q的軌跡方程.

【典例3】(2023春?上海閔行?高二?？茧A段練習(xí))已知圓C:x2+(y-l)2=5,直線/：〃氏一.

⑴判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；

⑵設(shè)直線/與圓C相交于A,3兩點(diǎn)，且|AB|=舊，求直線/的方程;

⑶設(shè)直線/與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，求弦A3中點(diǎn)的軌跡方程.

【變式1]（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2-4y+3=0.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線/與圓C相交于不同的

兩點(diǎn)AB,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【變式2】（2023春?湖北?高二宜昌市三峽高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓C:/+y2+2x_4y+3=0.

⑴若直線/過(guò)點(diǎn)（-2,0）且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2,求直線/的方程；

⑵從圓C外一點(diǎn)尸向圓C引一條切線，切點(diǎn)為O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足歸“卜|PO|,求點(diǎn)尸的軌跡方程.

題型14圓的對(duì)稱問(wèn)題

【典例1】（2023秋?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末）若圓C:x2+y2+〃g4y=0被直線2x+y+2=0平分，則圓

C的半徑為.

【典例2】（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知圓J+/+2—=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對(duì)稱圖形,則6=

;a的取值范圍是.

【典例3]（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）求圓/+/+4*-12?+39=0關(guān)于直線3x-4y-5=0的對(duì)稱圓方程.

【變式1]（2023春?廣東汕尾?高二陸豐市龍山中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線2x+y-2=0為圓（x-ay+V=1的

一條對(duì)稱軸，則。=.

【變式2］（2023秋,四川涼山?高二統(tǒng)考期末）圓/+丁一21-2'+1=0關(guān)于直線尤+>-1=0對(duì)稱的圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程為.

三、數(shù)學(xué)思想

01函數(shù)與方程的思想

【典例1】（2例3?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線/：znx-y+m+l=0O10）與圓C:x23+y2-4x+2y+4=0,

過(guò)直線/上的任意一點(diǎn)P向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)為AB,若線段AB長(zhǎng)度的最小值為百，則實(shí)數(shù)加的值是（）

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A.——B.—C.—D.一一

5555

【典例2】（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓