2025高考數學專項復習：馬爾科夫鏈（含答案）

2025高考數學專項復習馬爾科夫鏈含答案

馬爾科關鏈

1.（2024?高三?廣東?開學考試）馬爾科夫鏈因俄國數學家安德烈?馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的

性質，即第4+1次狀態(tài)的概率分布只跟第八次的狀態(tài)有關，與第n—1,4—2,八一3,…次狀態(tài)無關.馬爾

科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金

融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.現有46兩個盒子，各裝有2個黑球和1個紅球，現從

兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行"dCN*）次這樣的操作后，記入盒子中

紅球的個數為X”恰有1個紅球的概率為pn.

⑴求Pl,22的值；

⑵求取的值（用"表示）；

（3）求證：Xn的數學期望Eg為定值.

___________F

2.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處

理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是……

x-2,Xi,x,Xt+i，…，那么乂+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)x”即p(xt+1\--,xt.2,xt.M

=P(Xt+]|Xj

現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元，每

一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結

束賭博游戲:記賭徒的本金為A(AGN*,A〈B)一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止賭博；另一種是賭

徒輸光本金后,賭徒可以向賭場借錢，最多借[元,再次輸光后賭場不再借錢給賭徒.賭博過程如圖的

數軸所示.

0.50.5

A-IAA+1

―I——LW-1——?——I—1L_I————I-------

0K7K/B

0.50.5

當賭徒手中有n元(—AWnWB,neZ)時，最終欠債A元(可以記為該賭徒手中有一人元)概率為P{n),

請回答下列問題：

(1)請直接寫出P(—⑷與P⑻的數值.

(2)證明{9(n)}是一個等差數列，并寫出公差d.

⑶當A=100時,分別計算B=300,3=1500時，P(A)的數值，論述當8持續(xù)增大時，P{A)的統(tǒng)計含

義.

3.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經過從一個

狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由

當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲、乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現

從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行"5eN*）次這樣的操作，記口袋甲中黑球

的個數為X”,恰有1個黑球的概率為外.

（1）求加,22的值；

（2）求為的值（用n表示）；

（3）求證：X"的數學期望Eg為定值.

4.（2024?高三?江西?開學考試）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質：下

一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，即第八+1次狀態(tài)的概率分布只與第八次的狀態(tài)有關，與第八

一1,九一2,，一3,…次的狀態(tài)無關，即P（X—|Xi,X2,…,Xx,X”）=P（X"+i|X?）.已知甲盒中裝有1個

白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復打

次（nCN*）這樣的操作,記此時甲盒中白球的個數為X〃，甲盒中恰有2個白球的概率為M，恰有1個白

球的概率為勾.

⑴求的,仇和&2也?

⑵證明：卜+2鼠一導為等比數列.

（3）求X”的數學期望（用"表示）.

5.在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數不小于某正數的概率的上界，它以俄國數學家安德

雷?馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若￡是只取非負值的隨機變量，則對Va>0,都有P(￡)a)W

四處.某市去年的人均年收入為10萬元,記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入

a

超過100萬元”為事件人,其概率為F(A).則P(A)的最大值為()

A工R22rAnA

■1000,1000,27,9

6.(2024?廣東肇慶?模擬預測)馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基

石,為狀態(tài)空間中經過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性質：

下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲口袋中各裝有1

個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一

口袋，重復進行n(nGN*)次這樣的操作,記口袋甲中黑球的個數為X”,恰有1個黑球的概率為外,則P1

的值是;Xn的數學期望E(XJ是.

7.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石,為狀態(tài)空間中經過從一個

狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當

前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現從

甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復進行n(nCN*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個

數為X”,恰有1個黑球的概率為pn,則P1=；pn=.

8.馬爾科夫鏈是機器學習和人工智能的基石,其數學定義為:假設序列狀態(tài)是…，X—2,Xi,Xt,Xt+i,…，那

么在+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X”即P(X+"…=P(X'+iI.著名的賭

徒模型就應用了馬爾科夫鏈：假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率都為

50%，每局賭贏可以贏得1金幣，賭輸就要輸掉1金幣.賭徒自以為理智地決定,遇到如下兩種情況就會

結束賭博游戲:一是輸光了手中金幣；二是手中金幣達到預期的1000金幣，出現這兩種情況賭徒都會停

止賭博.記賭徒的本金為70金幣，求賭徒輸光所有金幣的概率

9.（2024?廣東茂名?二模）馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，

即第n+1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第n—l,n—2,n—3,???次狀態(tài)是“沒有任何關

系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各

任取一個球交換，重復進行"（nCN*）次操作后，記甲盒子中黑球個數為X”，甲盒中恰有1個黑球的概率

為時,恰有2個黑球的概率為bn.

⑴求Xi的分布列；

（2）求數列｛冊｝的通項公式；

（3）求X”的期望.

_______________5'

10.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經過從一個

狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當

前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲、乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現從

甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復進行n(nGN*)次這樣的操作，記口袋甲中黑球的

個數為X。,恰有1個黑球的概率為外，恰有2個黑球的概率為q”,恰有0個黑球的概率為％.

(1)求召1,。2的值；

(2)根據馬爾科夫鏈的知識知道+b-q“_i+c其中a,b,c6[0,1]為常數，同時p?+qn+

1,請求出p”；

(3)求證：Xn的數學期望E(Xn)為定值.

___________晝

11.(2024.云南.模擬預測)材料一:英國數學家貝葉斯(1701?1763)在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝

葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數、統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻.貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現,它用來

描述兩個條件概率之間的關系.該公式為:設4,4,…，是一組兩兩互斥的事件，4uau…u=

Q,且P(A)>0,i=l,2,…則對任意的事件〉o,有P(A13)==

P⑷P(3I4).1c

二-------------------------------------,i—L2,■■■,n.

EF(A)P(BIA)

k=l

材料二:馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然

語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為:假設我們的序列狀態(tài)是

…，X-2,Xi,X,X+i,…，那么X+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即

尸(X3…，X1,Xi,X)=P(XM\Xt).

請根據以上材料，回答下列問題.

(1)已知德國電車市場中，有10%的車電池性能很好.W公司出口的電動汽車，在德國汽車市場中占比

3%,其中有25%的汽車電池性能很好.現有一名顧客在德國購買一輛電動汽車，已知他購買的汽車不是

W公司的,求該汽車電池性能很好的概率；(結果精確到0.001)

(2)為迅速搶占市場，W公司計劃進行電動汽車推廣活動.活動規(guī)則如下:有11個排成一行的格子，編號

從左至右為0,1,…，10,有一個小球在格子中運動，每次小球有的概率向左移動一格;有j的概率向

右移動一格，規(guī)定小球移動到編號為0或者10的格子時，小球不再移動，一輪游戲結束.若小球最終停在

10號格子，則贏得6百歐元的購車代金券;若小球最終停留在0號格子,則客戶獲得一個紀念品.記舄為

以下事件發(fā)生的概率：小球開始位于第i個格子,且最終停留在第10個格子.一名顧客在一次游戲中，小

球開始位于第5個格子，求他獲得代金券的概率.

r

馬爾科關鏈

1.（2024?高三?廣東?開學考試）馬爾科夫鏈因俄國數學家安德烈?馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的

性質，即第4+1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第n—1,n—2,n—3,…次狀態(tài)無關.馬爾

科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金

融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.現有48兩個盒子，各裝有2個黑球和1個紅球，現從

兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行"dCN*）次這樣的操作后，記A盒子中

紅球的個數為X”,恰有1個紅球的概率為pn.

(1)求Pl,22的值;

⑵求。的值（用勇表示）;

（3）求證：X。的數學期望為定值.

【解析】⑴設第n⑺6N*）次操作后A盒子中恰有2個紅球的概率為電,貝可沒有紅球的概率為1—P”一q的

1；—2

由題意知Pi=

9'曳_或或9

P2=P\------—+Qi--―^+(1-Pi-Qi)-二玩?

(2)因為％=Pn-l-------------------Hqn_i?+(1-Pn-1-Qn-l)*x}=一萬。九T+

所以"一1■=一4（―，）?

又因為a—§=—所以（打一是以一旦為首項，一《為公比的等比數列.

545I5J459

所以"一年=_基X（

55.55__z_.

（3）因為q0二cSPnT十小〃P九t-5P九一1十

55^3^37O

C?'Pn-l+if；(1—Qn-1~Pn-l)—^Pn-1+￡(1—Qn-1-Pn-1)，②?

Qn-Pn

55

所以①一②，得2qn+pn—l=1"(29九_1+。1-111).

o

又因為23+a-1=0,所以2電+-1=0,所以q“=1Pn.

X”的可能取值是0,1,2,

P{Xn=Q)=1-pn-qn=

P(X?=1)=pn,

P(Xn=2)—qn-x~^~-

所以X”的概率分布列為

X”012

「Pn「Pn

PPn

22

所以E（X“）=0x^^+lXp0+2x^^M.

所以X”的數學期望E（X”）為定值1.___________口

2.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處

理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是……

X-2,Xi,Xt,Xt+i，…，那么Xt+i時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X”即P(Xt+J…,

=P(Xt+]|Xj

現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元，每

一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結

束賭博游戲:記賭徒的本金為A(A6N*,A<B)一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止賭博；另一種是賭

徒輸光本金后,賭徒可以向賭場借錢，最多借[元,再次輸光后賭場不再借錢給賭徒.賭博過程如圖的

數軸所示.

0.50.5

A-1AA+1

I1????

022B

0.50.5

當賭徒手中有n元(—A《nWB,neZ)時，最終欠債A元(可以記為該賭徒手中有一人元)概率為F(n),

請回答下列問題：

(1)請直接寫出P(—⑷與P(8)的數值.

(2)證明｛P(n))是一個等差數列，并寫出公差d.

(3)當A=100時，分別計算B=300,B=1500時，P(A)的數值，論述當8持續(xù)增大時，P(A)的統(tǒng)計含

義.

【解析】(1)當n=—A時，賭徒已經欠債一A元，因此F(-A)=1.

當n=B時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P(B)=0;

(2)記”:賭徒有幾元最后輸光的事件，N：賭徒有九元上一場贏的事件，

P(M)=P(N)P(M\N)+P網P(M網,即P(n)=/P(n-1)+-1-F(n+1),

所以F(n)—P(n—1)=P(n+1)—F(n),

所以｛F(n)｝是一個等差數列,

設F(n)—P(n—1)=d,則F(n—1)—P(n—2)=d,-??,P(—A+1)—P(—A)=d,

累加得F(n)一P(—⑷=(n+A)d,故P(B)-P(-A)=(A+B)d,得d;

⑶A=100,由⑵P(n)-P(-A)=(九+A)d=-^44,

A.-TJD

代入九=A可得F(A)-P(-A)=一抵,即P(A)=1-,

A十萬/±~rJD

當8=300時，F(A)=］，當B=1500時，P(A)=工,

2o

當B增大時，P(A)也會增大，即輸光欠債的可能性越大，因此可知久賭無贏家,

即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會100%的概率輸光并負債.

3.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經過從一個：

狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由：

當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲、乙_兩口_袋中_各裝有_1個黑_球和_2個_白球F巫

從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復進行n(nGN*)次這樣的操作，記口袋甲中黑球

的個數為不”恰有1個黑球的概率為外.

⑴求科,02的值;

⑵求取的值(用"表示);

(3)求證：Xn的數學期望EQQ為定值.

【解析】(1)設恰有2個黑球的概率為外,則恰有。個黑球的概率為1—坊一嬴.

由越思知。=-—=了，曳=/為=百，

所以上=——1—PI++方^a—0—3)=玩?

(2)因為Pn=----------Pn-1+9qn-l+ii(1-Pn-1-Qn-1)=~—Pn-l+石,

C/3O3O3C/3C/3O3"°

所以為一仔=-y(Pn-i-y).

又因為a一卷一靠"。，所以3l年)是以一專為首項，得為公比的等比數列.

所以?n③-2/.-2(1尸3

川-人Pn45'I91)產,Pvn45V9'+5,

r5

最C；上2]

(3)因為電=方+qn-i—石外t+①，

口3口355y0

cia

q~Pn—忘了*+(1-Qn-1-Pn-l)—'TTPn-l+~Qn-1~Pn-1)②

n55y0

所以①一②，得2qn-\-pn—l=：(2dl.1+0rl.1一1).

o

又因為23+0一1=0,所以2q0+p”-1=0.所以*=1產.

所以X”的概率分布列為:

Xn012

1l-Pn1-Pn

p1PnPn

94

所以E(X“)=0x(l—外—^^)+lXp“+2x^^=l.

所以Xn的數學期望Eg為定值1.

4.(2024?高三?江西?開學考試)馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質：下

一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，即第九+1次狀態(tài)的概率分布只與第4次的狀態(tài)有關,與第八

—1,八一2,八一3,…次的狀態(tài)無關，即P(Xn+」Xi,X2,■■■,Xn^1,Xn)=P(Xn+1\Xn).已知甲盒中裝有1個

白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復n

次(nCN*)這樣的操作,記此時甲盒中白球的個數為X”，甲盒中恰有2個白球的概率為M，恰有1個白

球的概率為跖：

⑴求而仇和a2,b2.

(2)證明：｛冊+2鼠一￡｝為等比數列.：

d

（3）求X”的數學期望（用n表示）.

【解析】⑴若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率的

__2_,

一

若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率濟=!，

研究第2次交換球時的概率，根據第1次交換球的結果討論如下：

①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為的=日，

此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，

乙盒中的球仍為1白1黑，概率為Q[XX；

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為aiXqx《=《ai；

326

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為得x[=

1

行的；

若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為aixx

1

=可。1,

②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時,對應概率為瓦=[■,

此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，

乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為乩*弓=?瓦

若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為瓦=1■瓦，

OO

綜上，。2=飛"。1++可仇=下~82=+—61=—.

（2）依題意，經過幾次這樣的操作，甲盒中恰有2個白球的概率為anf

恰有1個白球的概率為0,則甲盒中恰有3個白球的概率為1—Q九一⑥，

研究第n+1次交換球時的概率，根據第n次交換球的結果討論如下：

①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為an,

此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，

乙盒中的球仍為1白1黑，概率為xX=4-冊；

326

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為冊*5*4=5廝；

32b

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為廝x?x[=

O/

1

O

若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為a“x磊xJ

O/

_1

②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應概率為bn,

此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為

若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為

OO

③當甲盒中的球為3白，乙盒中的球為2黑時，對應概率為1—Q八一隊，

此時，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，

乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為1一斯一隊，

綜上,=("Q九++'氏+1-an—bn=l—~^-an--|-bn,&n+1=-^-an+-^-bn

JH.I611,,2,2,6_1,1,1

貝U冊+i+2bHi—~T=1—不a---b+~—a+~~b——=-a+~—b——,

52n3n3n3n56n3n5

整理得an+i+2bn+1—■=1(。九+2bn—口)，又的+2仇一］■=白>0,

56、57515

所以數列｛冊+2隊一導是公比為看的等比數列.

⑶由⑵知冊+2也一］■=磊義(,丫，則冊+2第=，+2x(得y1,

515vo7515vo7

隨機變量X九的分布列為

X”123

pbna九1—an—bn

~、/Q?/I\n-l

所以Eg=b“+2冊+3-3-3飆=3-(a“+2Gx=3—記x(不).

5.在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數不小于某正數的概率的上界，它以俄國數學家安德

雷?馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若§是只取非負值的隨機變量，則對Va>0,都有Pga)W

圖2.某市去年的人均年收入為10萬元,記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入

a

超過100萬元”為事件4其概率為「⑷.則P(Z)的最大值為()

A工R-243Q

■1000■1000.27

【答案】B

【解析】記該市去年人均收入為x萬元，從該市任意選取3名市民，年收入超過loo萬元的人數為y.

設從該市任選1名市民，年收入超過100萬元的概率為p,

則根據馬爾可夫不等式可得p=P(X>100)w/^=/^=擊，

???0W”擊，

因為y~B(3,p),

所以P(Z)=F(y=l)=C3P(1—p)2=3p(l—p)2=3p3—6p2+3p,

令于(p)=3P3—6P2+3p,則尸(0)=9P2-12P+3=3(3p—1)(p—1),

，3p-1VO，P-l<0,即r(p)>0,

.?"(p)在［o,卡］上單調遞增.

1\2243243

"(P)max=/(=3XX(1—，即P⑷max

1011000loop,

故選：B

6.(2024?廣東肇慶?模擬預測)馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基：

石,為狀態(tài)空間中經過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶”的性&

下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲口袋中各裝有1

個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一

口袋，重復進行n[n€N*)次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數為X”，恰有1個黑球的概率為pn，則0

的值是;Xn的數學期望E(Xn)是.

92213，

【解析】考慮到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得Pi=^x弓+^x^=/；

OO0Obz

Po,Pl,03,

記X*L取o,1,2,3的概率分別為p2,

推導X。的分布列：

/、44/、44/、1

P(X“=1)^Po+—pi+—p,P(x“=2)=石21+3.+23,P(X“=3)=石a,

yy2yyy

則E(XJ=0-P(X0=0)+1-P(X”=1)+2-P(X“=2)+3-P(X“=3)=加++^-p2+2p3

oo

—1+_^~(仙+2死+303)=1+4--^(^n-l)，

oo

y],

則E(X?)——=y[U(Xn-1)—

故E(X“)—：=[E(XJ—xgy1

給合E(X1)=弓,可知E(X”)=；—|(1)n.

故答案為:

7.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經過從一個

狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當

前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現從

甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行"(九eN*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個

數為X”,恰有1個黑球的概率為坊,則g=；Pn=

【答案】I

_5

【解析】由題意，a=

559

當n>2(nCM)時,p"=叫+祭2居-=。)+鋁X(X==2)

—"^Pn-1+-|-[F(Xn_i=0)+F(Xn-i=2)]=-1-Pn-1+春(1—P九—1)——5TPn-l+"1"，

yoyoyo

敕招行3_1(3\3_53_2

1理付p「T=—gw——了),a—了=§一3="45,

故可知鼠一即是以一名為首項，以一[為公比的等比數列，所以為=言?(一+4-

I5J4595v975

故答案為:W(gy+春

8.馬爾科夫鏈是機器學習和人工智能的基石,其數學定義為:假設序列狀態(tài)是…，X-2,Xi,X*,X*+i,…，那：

么x+i時亥U的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt,即尸(為+"…,XT,XI,XJ=p(x+"不).著名的賭:

徒模型就應用了馬爾科夫鏈：假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲,每一局賭徒賭贏的概率都為：

_________B

50%,每局賭贏可以贏得1金幣，賭輸就要輸掉1金幣.賭徒自以為理智地決定，遇到如下兩種情況就會

結束賭博游戲:一是輸光了手中金幣；二是手中金幣達到預期的1000金幣，出現這兩種情況賭徒都會停

止賭博.記賭徒的本金為70金幣,求賭徒輸光所有金幣的概率.

【答案】需70.93

【解析】設當賭徒手中有幾元(04九41000,nCN)時，最終輸光的概率為P(n),

當n=0時，賭徒已經輸光了，所以P(O)=l,

當n=1000時,賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率為P(1000)=0,

記M■:賭徒有幾元最后輸光的事件，N:賭徒有九元下一次贏的事件，

所以P(M)=P(N)P(M\N)+P?P(M\N),

即P(n)=3P(n—1)+3P(n+1),所以P(n+1)—P(n)=P(n)—P(n—1),

所以｛P(n)｝為等差數列，設P(n)-P(n-l)=d,

由于F(1000)=F(0)+lOOOd=1+1000d=0,所以d=一得行，

所以F(n)=F(0)+nd=l-湍行,

故P(7。)，湍=需

故答案為：黑

9.(2024?廣東茂名?二模)馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質,

即第九+1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第八—1,"—2,八—3,…次狀態(tài)是“沒有任何關

系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各

任取一個球交換,重復進行n(n€N*)次操作后,記甲盒子中黑球個數為Xn，甲盒中恰有1個黑球的概率

為時,恰有2個黑球的概率為bn.

⑴求Xi的分布列；

(2)求數列｛冊｝的通項公式;

⑶求X”的期望.

【解析】(1)(1)由題可知，區(qū)的可能取值為0,1,2.由相互獨立事件概率乘法公式可知:

=0)=—X—=—；p(Xl)=l-x—+—x—=—；p(Xi=2)=2義工=2

kl7339V1=1733339kl7339

故區(qū)的分布列如下表:

X012

252

p

~9~9~9

(2)由全概率公式可知：

P(X“+i=l)

=P(X.=1)?P(X.+i=l|X“=l)+P(X.=2)?P(X.+]=1|X0=2)+P(X.=0))因+1=1區(qū)=0)■

=(yxf+txj)p(x"=1)+信X1)P(X.=2)+(Ix-|-)P(X?=O)：

=-1P(X?=1)+-|P(X?=2)+-1F(X^0),

________&

即：Qn+l-+得b+-^-(1—a—b),

b/OnOnn

、12

所以Qn+i——~,

yo

所以“九+i—=一~""(a九一(")，

又Ql=P(Xi=l)=

y

所以，數列［a.一為以為一色=—當為首項，以一《為公比的等比數列,

I5J5459

所弟》以冊一3百_=_2否?/(_1§_)=_可2

9

即:冊=(+*(_1)”?

(3)由全概率公式可得：

P(X.+i=2)

=F(X?=1)?P(Xn+i=2|Xn=l)+P(X0=2)?P(X0+i=2X=2)+P(X“=0)?P(X“+i=2|X"=0)

=(fXj)-W=l)+|xl)-P(X?=2)+0-F(X?=0),

91

即：b=--a+—5,

n+1ynon

、-3.2(1

所以b=三廉+

n+1oy

所以-—卷+

9

又bi=p(Xi=2)=磊

y

所以仇——+—x(———=—------------—=0,

155V9^9545'

0,

1_1

559

所以E(X”)=a?+26?+0(l-a?-b?)=an+2bn=l.

10.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經過從一個

狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當

前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲、乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現從

甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行n(nGN*)次這樣的操作，記口袋甲中黑球的

個數為X”恰有1個黑球的概率為外，恰有2個黑球的概率為電，恰有0個黑球的概率為

(1)求初,死的值;

(2)根據馬爾科夫鏈的知識知道p”=a?"-：［+b-qn-i+c其中a,b,cG［0,1］為常數，同時pn+qn+

r”=1,請求出外；

(3)求證：Xn的數學期望Eg為定值.

【解析】(1)由題意恰有。個黑球的概率為1-%一q”.

由越思知初=———=qi==

55J

所以m=———x—Pi+7^rqi+7^r(i—a—qi)=寂?

5555550

21

(2)因為pn=L/Pn-1+11Qn-1+-1-1(1-Pn-1-Qn-1)=~—pn-l+京,

O3C3O3C3?。

所以0一,=—［（*，）?

又因為a-工=一三#o,所以，取一是以一名為首項，一《為公比的等比數列.

545I5J459

21

白命V）小32乂（1尸Sy(尸+3

歷以二9）'”一45義（9）5-

Pn545k

比/_2J公

（3）因為嬴=外T+―九一1十丁…山，

(1-Qn-l-Pn-1)=^-(l-Qn-1—Pn-l)②

1一*一P”=[-1Pn-1+

55

e

所以①一②，得2qn+pn—l=白（2藐_1+g_1-1）.

o

又因為2生+。-1=0,所以2q九+p九-1=0.所以戢=

所以Xn的概率分布列為:

X“012

1—Pn

1Pn1-Pn

p2Pn2

所以E(X“)=0x(1_p“—+1xm+2x=1.

所以X”的數學期望E(X”)為定值L

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