2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章空間幾何體1.2.3空間幾何體的直觀圖學(xué)案新人教A版必修2

PAGE1.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解“斜二測(cè)畫(huà)法”的概念并駕馭斜二測(cè)畫(huà)法的步驟．(重點(diǎn))2．會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出一些簡(jiǎn)潔平面圖形和立體圖形的直觀圖．(難點(diǎn))3．強(qiáng)化三視圖、直觀圖、原空間幾何體形態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換．(易錯(cuò)、易混點(diǎn))通過(guò)學(xué)習(xí)空間幾何體直觀圖的畫(huà)法，培育直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．斜二測(cè)畫(huà)法我們常用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形及水平放置的平面多邊形的直觀圖．斜二測(cè)畫(huà)法是一種特別的平行投影畫(huà)法．2．平面圖形直觀圖的畫(huà)法及要求思索：相等的角在直觀圖中還相等嗎？[提示]不肯定．例如正方形的直觀圖為平行四邊形．3．空間幾何體直觀圖的畫(huà)法(1)與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z′軸；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變．(4)成圖：去掉協(xié)助線，將被遮擋的部分改為虛線．思索：空間幾何體的直觀圖唯一嗎？[提示]不唯一．作直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，畫(huà)出的直觀圖也不同．1．長(zhǎng)方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個(gè)()A.①② B．①②③C.②⑤ D．③④⑤C[由斜二測(cè)畫(huà)法知，平行線依舊平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．]2．梯形的直觀圖是()A.梯形 B．矩形C.三角形 D．隨意四邊形A[斜二測(cè)畫(huà)法中平行性保持不變，故梯形的直觀圖仍是梯形．]3．水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．eq\f(5,2)[依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知，△ABC為直角三角形，且AC＝3，BC＝2B′C′＝4.∴AB＝eq\r(32＋42)＝5.故AB邊上的中線的長(zhǎng)度為eq\f(5,2).]平面圖形的直觀圖【例1】(1)如圖所示，一個(gè)水平放置的正方形ABCD，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖A′B′C′D′中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為_(kāi)_______．eq\f(\r(2),2)[正方形的直觀圖A′B′C′D′如圖：因?yàn)镺′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).](2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出圖中五邊形ABCDE的直觀圖．[解]畫(huà)法：①在下圖①中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H.②在圖②中畫(huà)相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.③在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過(guò)G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD；④連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去協(xié)助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③).①②③畫(huà)平面圖形的直觀圖的技巧：(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)．(2)畫(huà)平面圖形的直觀圖，首先畫(huà)與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．畫(huà)水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫(huà)相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過(guò)點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖②.(3)擦去協(xié)助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.畫(huà)空間幾何體的直觀圖【例2】已知某幾何體的三視圖如圖，請(qǐng)畫(huà)出它的直觀圖(單位：cm).[解]畫(huà)法：(1)如圖①，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段OB＝8cm，在y軸上取線段OA′＝2cm，以O(shè)B和OA′為鄰邊作平行四邊形OBB′(3)在z軸上取線段OC＝4cm，過(guò)C分別作x軸、y軸的平行線，并在平行線上分別截取CD＝4cm，CC′＝2cm.以CD和CC′為鄰邊作平行四邊形CDD(4)成圖．連接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉協(xié)助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到該幾何體的直觀圖(如圖②).畫(huà)空間幾何體時(shí)，首先依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則畫(huà)出幾何體的底面直觀圖，然后依據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，畫(huà)出幾何體的各側(cè)面，所以畫(huà)空間多面體的步驟可簡(jiǎn)潔總結(jié)為：eq\x(畫(huà)軸)→eq\x(畫(huà)底面)→eq\x(畫(huà)側(cè)棱)→eq\x(成圖)eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm，3cm，2cm的長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′[解]畫(huà)法：(1)畫(huà)軸．如圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)畫(huà)底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長(zhǎng)的線段AA′，BB′，CC′，DD′(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉協(xié)助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖．直觀圖的還原與計(jì)算[探究問(wèn)題]1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，能否推斷△ABC的形態(tài)？[提示]依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知：∠ACB＝90°，故△ABC為直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實(shí)際長(zhǎng)度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是哪個(gè)？[提示]由直觀圖可知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，所以斜邊AC最長(zhǎng)．【例3】(1)如圖①，Rt△O′A′B′是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O′B′＝eq\r(2)，則這個(gè)平面圖形的面積是()A.1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)①②(2)如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫(huà)出原四邊形，并求原圖形的面積．思路探究：逆用斜二測(cè)畫(huà)法，還原圖形．先定點(diǎn)，再連線得原圖形，求面積．(1)C[由題圖知，△OAB為直角三角形．∵O′B′＝eq\r(2)，∴A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2.∴在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2).選C.](2)解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.在過(guò)點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1在過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖).由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長(zhǎng)度為AD＝2.所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.1．本例(2)中的條件改為如圖所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原圖形的面積．[解]如圖①，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖②，是一個(gè)直角梯形．①②在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原圖形的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).2．本例(1)若改為“已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”，應(yīng)如何求？[解]由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3．本例(1)中直觀圖中△O′A′B′的面積與原圖形面積之比是多少？[解]由(1)中直觀圖可得S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，原圖形面積為S△OAB＝2eq\r(2).所以eq\f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．2．直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．1．斜二測(cè)畫(huà)法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可依據(jù)它們之間的可逆關(guān)系找尋它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．2．在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖時(shí)，平行線段仍舊平行，所畫(huà)平行線段之比仍舊等于它的真實(shí)長(zhǎng)度之比，但所畫(huà)夾角大小不肯定是其真實(shí)夾角大?。?．平面多邊形與其直觀圖面積的關(guān)系一個(gè)平面多邊形的面積為S原，斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為S直．則S直＝eq\f(\r(2),4)S原(S原＝2eq\r(2)S直).1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.原來(lái)相交的仍相交 B．原來(lái)垂直的仍垂直C.原來(lái)平行的仍平行 D．原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)B[由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B.]2．利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，ABCDC[正方形的直觀圖應(yīng)是一個(gè)內(nèi)角為45°的平行四邊形，且相鄰的兩邊之比為2∶1，故選C.]3．如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．10[由直觀圖可知，原圖形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為10.]4．畫(huà)出水平