人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊課時作業(yè)3：7 3 1 離散型隨機變量的均值練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機變量的均值1．某便利店記錄了100天某商品的日需求量(單位：件)，整理得下表：日需求量n1415161820頻率0.10.20.30.20.2試估計該商品日平均需求量為()A．16B．16.2C．16.6D．16.8〖答案〗D〖解析〗估計該商品日平均需求量為14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故選D.2．(多選)已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則()X4a9P0.50.1bA.a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62〖答案〗ABC〖解析〗由題意和分布列的性質(zhì)得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故ABC正確．3．現(xiàn)有一個項目，對該項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元，1.18萬元，1.17萬元的概率分別為eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為()A．1.18B．3.55C．1.23D．2.38〖答案〗A〖解析〗因為X的所有可能取值為1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1.18)＝eq\f(1,2)，P(X＝1.17)＝eq\f(1,3)，所以X的分布列為X1.21.181.17Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)所以E(X)＝1.2×eq\f(1,6)＋1.18×eq\f(1,2)＋1.17×eq\f(1,3)＝1.18.4．袋中有10個大小相同的小球，其中記為0號的有4個，記為n號的有n個(n＝1,2,3)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標號，則E(X)等于()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,5)D.eq\f(7,5)〖答案〗D〖解析〗由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(7,5).5．一個課外興趣小組共有5名成員，其中3名女性成員，2名男性成員，現(xiàn)從中隨機選取2名成員進行學習匯報，記選出女性成員的人數(shù)為X，則X的均值是()A.eq\f(6,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(4,5)D.eq\f(1,5)〖答案〗A〖解析〗由題意得，X的所有可能的取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5)，故A正確．6．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，則E(X)＝________.〖答案〗2〖解析〗∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.7．離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，則a＝________，b＝________.〖答案〗eq\f(1,10)0〖解析〗易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②由①②，得a＝eq\f(1,10)，b＝0.8．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知E(X)＝8.9，則y的值為________．〖答案〗0.4〖解析〗由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0.2，,y＝0.4.))9．盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池．現(xiàn)無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值．解X的可能取值為1,2,3，則P(X＝1)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,10).所以抽取次數(shù)X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)所以E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).10．春節(jié)期間，小王用私家車送4位朋友到三個旅游景點去游玩，每位朋友在每一個景點下車的概率均為eq\f(1,3)，用ξ表示4位朋友在第三個景點下車的人數(shù)，求：(1)隨機變量ξ的分布列；(2)隨機變量ξ的均值．解(1)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4.則P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·23,34)＝eq\f(32,81)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·22,34)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq\f(8,81)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81).從而ξ的分布列為ξ01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)(2)由(1)得ξ的均值為E(ξ)＝0×eq\f(16,81)＋1×eq\f(32,81)＋2×eq\f(8,27)＋3×eq\f(8,81)＋4×eq\f(1,81)＝eq\f(4,3).11．某船隊若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元．根據(jù)預(yù)測知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是()A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2600元〖答案〗B〖解析〗出海的期望效益E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．12．若X是一個隨機變量，則E(X－E(X))的值為()A．無法確定B．0C．E(X)D．2E(X)〖答案〗B〖解析〗∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.13．若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(ξ)的最大值為()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D．2〖答案〗B〖解析〗由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，得0≤p≤eq\f(1,2)，則E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2)，故選B.14．甲、乙、丙三人參加某次招聘會，甲應(yīng)聘成功的概率為eq\f(4,9)，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為eq\f(t,3)(0<t<3)，且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨立的．若甲、乙、丙三人都應(yīng)聘成功的概率是eq\f(16,81)，則t＝________，設(shè)ξ表示甲、乙兩人中應(yīng)聘成功的人數(shù)，則ξ的均值是________．〖答案〗2eq\f(10,9)〖解析〗依題意，得甲、乙、丙三人都應(yīng)聘成功的概率是eq\f(4,9)×eq\f(t,3)×eq\f(t,3)＝eq\f(16,81)，解得t＝2，所以乙應(yīng)聘成功的概率為eq\f(2,3)，則ξ的所有可能的取值為0,1,2，P(ξ＝2)＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,9)))×eq\f(2,3)＝eq\f(14,27)，P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,27)，則E(ξ)＝2×eq\f(8,27)＋1×eq\f(14,27)＋0×eq\f(5,27)＝eq\f(10,9).15．(多選)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值E(X)>1.75，則p的取值可以為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，X的所有的可能取值為1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，則E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依題意有E(X)>1.75，則p2－3p＋3>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，結(jié)合p的實際意義，可得0<p<eq\f(1,2)，即p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).結(jié)合選項可知AB正確．16．某牛奶店每天以每盒3元的價格從牛奶廠購進若干盒鮮牛奶，然后以每盒5元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的牛奶作為垃圾回收處理．(1)若牛奶店一天購進50盒鮮牛奶，求當天的利潤x(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：盒，n∈N*)的函數(shù)〖解析〗式；(2)牛奶店老板記錄了某100天鮮牛奶的日需求量(單位：盒)，整理得下表：日需求量48495051525354頻數(shù)10201616151310以這100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若牛奶店一天購進50盒鮮牛奶，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列及均值；②若牛奶店計劃一天購進50盒或51盒鮮牛奶，從統(tǒng)計學角度分析，你認為應(yīng)購進50盒還是51盒？請說明理由．解(1)當n<50時，y＝5n－50×3＝5n－150，當n≥50時，y＝50×(5－3)＝100，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n－150，n<50，,100，n≥50))(n∈N*)．(2)①由(1)可知，n＝48時，X＝90，當n＝49時，X＝95，當n≥50時，X＝100.∴X的可能取值為90,95,100.P(X＝90)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)，P(X＝95)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(X＝100)＝eq\f(100－30,100)＝eq\f(7,10).∴X的分布列為X9095100Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(7,10)∴E(X)＝eq\f(1,10)×90＋eq\f(1,5)×95＋eq\f(7,10)×100＝98.②由①知當購進50盒時，E(X)＝98.當購進51盒時，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n－153，n<51，,102，n≥51))(n∈N*)，設(shè)Y表示當天的利潤，∴當n＝4