專題13.7 等邊三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題13.7等邊三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】等邊三角形定義

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【要點(diǎn)提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．【知識(shí)點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.【知識(shí)點(diǎn)三】等邊三角形的判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識(shí)點(diǎn)四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【要點(diǎn)提示】這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用等邊三角形性質(zhì)求值與證明【例1】（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖所示，是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使．（1）求的度數(shù)？（2）用尺規(guī)作圖的方法，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)、基本作圖和等腰三角形的性質(zhì)．全等和等腰三角形都是證明線段相等的常用方法．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法進(jìn)行求作；（3）根據(jù)等腰三角形的三線合一進(jìn)行證明．（1）解：是等邊三角形，，又，為的外角，；（2）如圖所示：（3）證明：是等邊三角形，是中點(diǎn)，，又，，，又，．【變式1】（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，是等邊的邊上的中線，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交的延長(zhǎng)線于E，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到，，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．解：是等邊三角形，是邊上的中線，，，由作法可知，，，是的外角，，，故選：A．【變式2】（2023·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖，等邊三角形和等邊三角形的邊長(zhǎng)都是，點(diǎn)，，在同一條直線上，點(diǎn)在線段上，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了軸對(duì)稱——最短路線問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，連接，證明，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的最小值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，∵和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，∴的最小值為，故答案為：．【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明【例2】（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)等邊三角形，見解析【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)可求得，在中，由直角三角形的性質(zhì)可證得，則可證得結(jié)論；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得，且，可證明為等邊三角形．（1）證明：連接，∵，∴，是的垂直平分線，，，，在中，，；（2）解：是等邊三角形，理由如下：連接．垂直平分，∴，，，，∴，，是等邊三角形．【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，，，則是（

）A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，判斷的形狀即可．解：∵，，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，故選：D．【變式2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，，，點(diǎn)在邊上，連接．給出下列四種說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，一定為等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，一定為等邊三角形；③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定為等邊三角形；④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，一定為等腰三角形．其中正確的說(shuō)法是．（填序號(hào)）【答案】①②④【分析】本題主要考查了直角三角形的兩銳角互余，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，由，，得．①當(dāng)時(shí)，由“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”可判定為等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，由，得，進(jìn)而即可判定；③當(dāng)是等腰三角形，且為頂角時(shí)，不是等邊三角形；④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，得為等邊三角形，進(jìn)而得，即可判斷為等腰三角形．從而即可得解．解：∵，，∴．①當(dāng)時(shí)，由“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”可判定為等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，，∴，∴為等邊三角形；③當(dāng)是等腰三角形，且為頂角時(shí)，不是等邊三角形；④當(dāng)是等腰三角形時(shí)，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴為等腰三角形．綜上，正確的說(shuō)法是①②④．故答案為：①②④．【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關(guān)系求值與證明【例3】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在等邊中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，若，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)．理由見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)可證明；（2）先證明垂直平分，再由三線合一得，求出，然后根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得．解：（1）∵為等邊三角形，∴．又∵，∴．（2）．證明如下：∵，∴垂直平分．∵，∴平分，∴．∵，∴．∵，∴，∴在中，．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，是高，，，則的長(zhǎng)是（

）A．12 B．8 C．6 D．【答案】C【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩銳角互余得出，，再根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)得出，，最后再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出答案．解：∵在中，，，∴，∵是高，∴，∴，∴，∴，∴，故選：C．【變式2】（22-23八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，，以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)再分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)有下列說(shuō)法：①線段是的平分線；②；③點(diǎn)到邊的距離與的長(zhǎng)相等；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③④【分析】由由基本作圖可知：是的平分線，即可得出①正確，由角平分線的定義以及三角形外角的定義以及性質(zhì)可得出，可得出②正確，由角平分線的性質(zhì)定理可得出③正確，由含角的直角三角形性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)三角形的面積公式即可得出④正確．解：由基本作圖可知：是的平分線，故①正確，∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，故②正確，∵點(diǎn)D在的角平分線上，∴點(diǎn)到邊的距離與的長(zhǎng)相等，故③正確；∵∴，，∵，∴，故④正確，∴結(jié)論①②③④都正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義以及作圖，角平分線的性質(zhì)定理，和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義以及性質(zhì)等知識(shí)，掌握這次定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求值與證明【例4】（22-23八年級(jí)上·廣東湛江·期中）已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）求證：是等邊三角形．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析．【分析】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的代表性．（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出，證即可；（2）根據(jù)全等求出，進(jìn)而求出的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；（3）求出，根據(jù)證，推出，求出即可．（1）證明：、都是等邊三角形，，，，，，在和中，，．（2）解：，，等邊三角形，，，，（3）證明：，，，，又點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，，又，，，，是等邊三角形．【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)A，D，再以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與弧交于點(diǎn)B，連接、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意得，則可得是等邊三角形，則，進(jìn)而可得，則可得．本題主要考查這了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．解：由題意得，是等邊三角形，，，，，．故選：B【變式2】（22-23八年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，，是內(nèi)的兩點(diǎn)，平分，．（1）°；（2）若，，則的長(zhǎng)為cm．【答案】3016【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)與交于，的延長(zhǎng)線交于，證為等邊三角形得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，然后再中由三角形的內(nèi)角和定理可得出的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，則，在中根據(jù)得，由此可得，，由此可得的長(zhǎng)．解：（1）設(shè)與交于，的延長(zhǎng)線交于，如圖所示：為等邊三角形，，在中，，平分，，，為直角三角形，，，故答案為：30．（2）為等邊三角形，，，，，在中，，，，，．故答案為：16．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．解：（1）證明：在與中，，所以；（2）解：因?yàn)?，，所以，，所以是等邊三角形．所以．【?】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】12【分析】過(guò)點(diǎn)作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，在中，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值為12，故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查垂線段最短、等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．2、拓展延伸【例1】（22-23八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，且．（1）當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有__________（填“>”“<”或“=”）；（2）如圖2，若點(diǎn)E為上任意一點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)的長(zhǎng)為2或6【分析】（1）根據(jù)三線合一定理和三角形外角的性質(zhì)證明即可得到答案；（2）過(guò)作交于，先證明是等邊三角形，再證明即可得到答案；（3）分在的延長(zhǎng)線和在的延長(zhǎng)線上兩種情況討論求解即可．解：（1）解：∵三角形是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴平分，，，又，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，過(guò)作交于，∵是等邊三角形，，∴，即．∴是等邊三角形．，，，，，，在和中，，，，；（3）解：∵三角形是等邊三角形，，如圖所示：當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交直線于，，，，，，，，，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，同理可以求得，，，故的長(zhǎng)為2或6．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【例2】（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）在等腰中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，平分交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，在上取點(diǎn)，使，連接．求證：是等邊三角形；（3）如圖3，當(dāng)，且時(shí)，求證：．【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換證明結(jié)論；（2）在上截取，連接，證