專(zhuān)題13.1 軸對(duì)稱(chēng)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（人教版）

專(zhuān)題13.1軸對(duì)稱(chēng)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】軸對(duì)稱(chēng)圖形

軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，該直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱(chēng)軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

【知識(shí)點(diǎn)二】軸對(duì)稱(chēng)1.軸對(duì)稱(chēng)定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)（或說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)），這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng).【知識(shí)點(diǎn)三】軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)1.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【知識(shí)點(diǎn)四】線段的垂直平分線定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．【要點(diǎn)提示】線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見(jiàn)線段的垂直平分線，畫(huà)出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別【例1】（23-24八年級(jí)上·江西宜春·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)分別在，上，．

（1）判斷該圖形是否是軸對(duì)稱(chēng)圖形（填“是”或“否”）；（2）求證：．【答案】(1)是(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，證明得到，證明，即可得到答案；（2）由（1）得，即可得到答案．解：（1）如圖，連接，

在和中，，，，在和中，，，該圖形沿直線折疊后能夠完全重合，該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故答案為：是；（2）證明：由（1）得，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．【變式1】下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形，B選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形．故選：B．【變式2】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是．【答案】直角梯形【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸；根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形概念進(jìn)行分析即可；解：線段、角、圓、等腰三角形和正方形都能找到一條(或多條)直線，使圖形沿一條直線折疊直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；直角梯形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是直角梯形，故答案為：直角梯形．【題型2】成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的識(shí)別與判斷【例2】（23-24八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，與的交點(diǎn)在直線上．（1）圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)______，的對(duì)應(yīng)邊是______；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解答即可．（2）本題根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)推出，從而得出，最后根據(jù)即可解題．（1）解：由題意可得：圖中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)邊是，故答案為：，．（2）解：，，，．【變式1】（2024·廣西·中考真題）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱(chēng)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查成軸對(duì)稱(chēng)的定義，掌握成軸對(duì)稱(chēng)的定義是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線叫作對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．根據(jù)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可．解：A．圖案不成軸對(duì)稱(chēng)，故不符合題意；B．圖案成軸對(duì)稱(chēng)，故符合題意；C．圖案不成軸對(duì)稱(chēng)，故不符合題意；D．圖案不成軸對(duì)稱(chēng)，故不符合題意；故你：B．【變式2】（21-22八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【答案】5【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；解：∵△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，∴S△CEF=S△BEF，∴陰影部分的面積=S△ABC=×10=5，故答案為：5；【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形；掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型3】由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)特征求值【例3】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，O為內(nèi)部一點(diǎn)，，P、R為O分別以直線、為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（1）請(qǐng)指出當(dāng)是什么角度時(shí)，會(huì)使得的長(zhǎng)度等于7？并完整說(shuō)明的長(zhǎng)度為何在此時(shí)等于7的理由．（2）承（1）小題，請(qǐng)判斷當(dāng)不是你指出的角度時(shí)，的長(zhǎng)度小于7還是大于7？并完整說(shuō)明你判斷的理由．【答案】(1)時(shí)，．證明見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)度小于7，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，（1）連接、，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，然后判斷出點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)共線時(shí)，再根據(jù)平角的定義求解；（2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．解：（1）如圖，時(shí)，，證明如下：連接、，∵P、R為O分別以直線、為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，，∵，，∴點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)共線，∴；（2）的長(zhǎng)度小于7，理由如下：當(dāng)，則點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)不在同一直線上，∴，∵，∴，即的長(zhǎng)度小于7．【變式1】（23-24八年級(jí)上·河北承德·期末）如圖，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在線段上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上．若，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)，線段和差的計(jì)算，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，線段和差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形即可求解．解：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在線段上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，，，，，，，∵，∴，故選：D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)得到，則由平角的定義可得，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，則可得∠CDB的度數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題可求解．解：∵∴，∴,∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴，∴．故答案為：.【題型4】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值【例4】（23-24八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在內(nèi)．

（1）如圖①，點(diǎn)P關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是G、H，連接．①若，則是什么特殊三角形？為什么？②若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若，A、B分別是射線上的點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，在上有一動(dòng)點(diǎn)E，試求的最小值．【答案】(1)①是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析(2)的最小值為5．【分析】（1）①由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，．根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得出是等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，，G、O、H在同一直線上，由此可得與的數(shù)量關(guān)系；（2）過(guò)Q作的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，連接，則的最小值為，由已知條件可得，易得，，由此可得是等邊三角形，即可得的長(zhǎng)，即的最小值．解：（1）①是等邊三角形，∵點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為G，∴，，同理，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形．②，當(dāng)時(shí)，，∴G、O、H在同一直線上，．∵，∴；（2）過(guò)Q作的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，連接，

∴最小值為．∵，，∴．∵，，∴，∴，∴．∵點(diǎn)Q與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，即的最小值為5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)--最短路線問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24八年級(jí)上·山東日照·期中）已知，點(diǎn)P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最小值時(shí)，，則與的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證，，然后證明，利用四邊形內(nèi)角和可得答案．解：作P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD交于N、M．此時(shí)周長(zhǎng)有最小值；∵P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，∴OB垂直平分垂直平分PD，∴∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，在四邊形中，可得：，∴，∴，即，故選：D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】【分析】本題考查利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，全等三角形的性質(zhì)和判定，能夠利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和的最小值轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)求解是關(guān)鍵．在上截取，連接，，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及最短路徑結(jié)合面積法即可得出答案．解：如圖，在上截取，連接，，

是的平分線，在與中點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，連接，與交于點(diǎn)，連接，此時(shí)，是動(dòng)點(diǎn)，也是動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與垂直時(shí)，最小，即最小．此時(shí)，由面積法得．故答案為：．【題型5】折疊問(wèn)題【例5】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖1，點(diǎn)M，N分別在長(zhǎng)方形紙條的邊和上，將長(zhǎng)方形紙條沿折疊得到圖2，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，折疊后與相交于點(diǎn)E．（1）若，求的度數(shù)；（2）設(shè)，．①請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示β；②當(dāng)α的值為_(kāi)________時(shí)，是等邊三角形；當(dāng)α的值為_(kāi)_____時(shí)，是直角三角形．【答案】(1)(2)①②，是等邊三角形；時(shí)，是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)題意，得長(zhǎng)方形紙條，折疊性質(zhì)，得，，結(jié)合，利用平行線的性質(zhì)求的度數(shù)即可；（2）①根據(jù)(1)得，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得即，解答即可．②根據(jù)是等邊三角形，得到，結(jié)合，解得；當(dāng)是直角三角形時(shí)，．解：（1）∵將長(zhǎng)方形紙條進(jìn)行折疊，∴，，∴∴，∵，∴．（2）①根據(jù)(1)得，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得即，故．②解：根據(jù)是等邊三角形，得到，又，解得；當(dāng)是直角三角形時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊性質(zhì)，平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，使點(diǎn)C，D落在邊上的點(diǎn)，處，折痕為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而由折疊的性質(zhì)得到，再由平角的定義得到，由此利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．解：∵四邊形中，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選B．【變式2】（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期末）折紙是一門(mén)古老而有趣的藝術(shù)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學(xué)公理”．如圖，小明在課余時(shí)間把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊，，則°．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，平角的定義解答即可．本題考查了折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，平角的定義，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，故；由長(zhǎng)方形紙片，∴，∴，故答案為：70．【題型6】線段垂直平分線的性質(zhì)【例6】（23-24七年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，垂直平分，垂足為點(diǎn)．（1）請(qǐng)說(shuō)明：；（2）若的面積為4，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)8【分析】（1）先利用角平分線的定義可得，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用等量代換可得，即可解答；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，然后利用證明，再利用證明，從而可得，即可解答．本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：（1）平分，，垂直平分，，，；（2）垂直平分，，，在和中，，，，，在和中，，，，的面積為4，的面積的面積，的面積為8．【變式1】（2024·吉林·三模）如圖，在中，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是尺規(guī)作角平分線和垂直平分線，熟知角平分線的作法和垂直平分線性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到是的角平分線，垂直平分，進(jìn)而求解即可．解：由作圖知，是的角平分線，∴，故A不符合題意；由作圖知垂直平分，∴，，故C，D不符合題意；無(wú)法證明，故B符合題意，故選：B．【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東青島·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，連接，，，則的度數(shù)是．【答案】85【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出的度數(shù)．解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，故答案為：85．【題型7】線段垂直平分線的判定【例7】（23-24七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，N，直線，交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；（2）已知，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解．解：（1）證明：連接、，垂直平分，垂直平分，，，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；（2）解：垂直平分，垂直平分，，，，，，在中，，，，即，，在四邊形中，，【變式1】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形是一個(gè)箏形，其中，，點(diǎn)O為對(duì)角線、的交點(diǎn)，在探究箏形性質(zhì)時(shí)，我們得到以下結(jié)論：①圖中有三對(duì)全等三角形．②互相平分．③．其中錯(cuò)誤的結(jié)論有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】本題題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，三角形的面積．根據(jù)可證明，從而得到，可證明，；再由線段垂直平分線的判定定理可得垂直平分；再由三角形的面積公式可得，即可．解：∵，，，∴，∴，∵，∴，，∴圖中有三對(duì)全等三角形，故①正確；∵，，∴垂直平分，根據(jù)題中的條件無(wú)法得到平分，故②錯(cuò)誤；∵，∴，故③錯(cuò)誤；故選：C【變式2】（2024·四川廣元·中考真題）點(diǎn)F是正五邊形邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為．

【答案】/18度【分析】連接，，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證，得到，進(jìn)而得到是的垂直平分線，即，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．解：連接，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴是的垂直平分線，∴，∵在正五邊形中，，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圖，與相交于點(diǎn)，連接．以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與，相交于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了作圖﹣?zhàn)鹘瞧椒志€，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．利用基本作圖得到，平分，，接著證明得到，然后利用求解．解：由作法得，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【例2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若，求證：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：（1）由中點(diǎn)，得到，由，得到，即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而推出垂直平分，即可得證．解：（1）證明：為的中點(diǎn)，．

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