專題12.15 三角形全等幾何模型（半角模型）（人教版）（學生版） 2024-2025學年八年級數學上冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

專題12.15三角形全等幾何模型（半角模型）第一部分【知識點歸納】【定義】把過等腰三角形頂角的頂點引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型。【特征】（1）大角內部有一個小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的兩邊相等?！绢愋汀咳缦聢D，有三類型半角模型【解題思路】半角模型解題思路是構造旋轉型全等，應用兩次全等（兩次全等判定都是SAS型）解題，具體步驟如下：（1）將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題時通常不一定是說旋轉，因為不能保證旋轉后兩個三角形的邊共線）；（2）證明（1）中構造的三角形與原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通過旋轉方式得到三角形，則沒有這一步）；（3）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通過全等的性質得出線段相等、角度相等，從而解決問題.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】“等邊三角形含半角”模型【例1】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形中，分別是上的點，且．求證：．【變式】（22-23八年級上·河北石家莊·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于E，F．（1）當繞B點旋轉到時（如圖1），試猜想線段之間存在的數量關系為__________．（不需要證明）；（2）當繞B點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明．【題型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】（23-24八年級上·河南漯河·階段練習）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，．（1）求證：．（2）求證：平分．【變式】（23-24八年級上·北京朝陽·階段練習）在中，，點是直線上一點（不與重合），以為一邊在的右側作，使．設．（1）如圖1，如果___________度；（2）如圖2，你認為之間有怎樣的數量關系？并說明理由．（3）當點在直線上移動時，之間又有怎樣的數量關系？請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出你的結論．（B、C、E三點不共線）【題型3】“正方形含半角”模型【例3】如圖，在正方形ABCD中，點P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉45°，得到射線AQ，交直線CD于點Q，過點B作BE⊥AP于點E，交AQ于點F，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數量關系，并證明．【變式】將銳角為45°的直角三角板MPN的一個銳角頂點P與正方形ABCD的頂點A重合，正方形ABCD固定不動，然后將三角板繞著點A旋轉，∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點E、F，連接EF．（1）在三角板旋轉過程中，當∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時，如圖1所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數量關系；（2）在三角板旋轉過程中，當∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長線相交時，如圖2所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數量關系；（3）若正方形的邊長為4，在三角板旋轉過程中，當∠MPN的一邊恰好經過BC邊的中點時，試求線段EF的長．第三部分【拓展延伸】【例1】（22-23八年級上·湖北武漢·開學考試）【基本模型】

如圖，是正方形，，當在邊上，在邊上時，如圖1，、與之間的數量關系為__________．【模型運用】當點在的延長線上，在的延長線上時，如圖2，請你探究、與之間的數量關系，并證明你的結論：__________．【拓展延伸】如圖3，已知，，在線段上，在線段上，，請你直接寫出、與之間的數量關系．【例2】（2024七年級下·全國·專題練習）已知四邊形中，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于E，F．（1）當繞B點旋轉到時（如圖1），求證：．（2）當繞B點旋轉到F時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，線段又有怎