初中七年級下冊數(shù)學(xué)講義第14講-等邊三角形(上體館)46RJ404N4NDR

PAGE111/11學(xué)員姓名：學(xué)科教師：年級：輔導(dǎo)科目：授課日期××年××月××日時(shí)間A/B/C/D/E/F段主題第14講——等邊三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解等邊三角形是特殊的等腰三角形，是軸對稱性圖形；2．掌握等邊三角形的性質(zhì)，能夠較熟練地利用“等邊對等角”及有關(guān)特征解決相關(guān)問題；3．等邊三角形每一個(gè)內(nèi)角都是教學(xué)內(nèi)容你來分一分一個(gè)等邊三角形，如何分成兩個(gè)完全一樣的三角形呢？你有幾種分法呢？通過這些分法，你能發(fā)現(xiàn)等邊三角形的什么性質(zhì)呢？你來畫一畫一個(gè)圓規(guī)，一把直尺，你能作出一個(gè)等邊三角形嗎？你來總結(jié)規(guī)律1.等邊三角形性質(zhì)有哪些？2.等邊三角形的判定：參考答案：問題三：1、（1）具備等腰三角形的所有性質(zhì)（2）等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都等于60°2、（1）三條邊相等的三角形是等邊三角形（2）三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形（3）有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形知識點(diǎn)一：利用等邊三角形性質(zhì)找出全等三角形例題1：如圖，A、B、C三點(diǎn)在一直線上，分別以AB、BC為邊在AC同側(cè)作等邊ΔABD和等邊ΔBCE，聯(lián)結(jié)AE，CD,試說明AE=CD的理由。教法指導(dǎo)：利用等邊三角形性質(zhì)，找出相等線段以及相等角，從而證明三角形全等。參考答案：為等邊三角形，，同理為等邊三角形,，即試一試：1.如圖，在同一直線上作等邊ΔABD和等邊ΔBCE中，聯(lián)結(jié)AE，CD,把△BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、B、C不在一條直線上時(shí)，求證：AE=CD.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都為等邊三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD.2.如圖，在同一直線上作等邊ΔABD和等邊ΔBCE中，聯(lián)結(jié)AE，CD,把△BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使E落在邊BD上，求證：AE=CD.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都為等邊三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD.3.如圖，在同一直線上作等邊ΔABD和等邊ΔBCE中，聯(lián)結(jié)AE，CD,把△BCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使C落在邊AB上，求證：AE=CD.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都為等邊三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD.4．如下圖，A、B、C三點(diǎn)在一直線上，分別以AB、BC為邊在AC同側(cè)作等邊ΔABD和等邊ΔBCE，聯(lián)結(jié)AE，CD，MN，判定△MBN的形狀以及MN和AC的位置關(guān)系.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都為等邊三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，又∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴∠DBN=60°=∠ABM，又∵AB=DB，∴ΔABM≌ΔDBN，∴BM=BN，又∵∠DBN=60°，∴△MBN為等邊三角形，∴∠BMN=60°=∠MBN，∴MN∥AC.知識點(diǎn)二、利用等邊三角形性質(zhì)判定另外三角形為等邊三角形例題2：如圖，在△ABC中，已知AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，且BD=CE，∠FDE=∠B．（1）求證△BFD≌△CDE．（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△DEF是等邊三角形嗎？試說明理由．教法指導(dǎo)：利用等邊三角形性質(zhì)找出等量關(guān)系，再對照等邊三角形判定方法判定三角形為等邊。參考答案：（1）記，．因?yàn)椋ㄍ饨切再|(zhì)），即．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等式性質(zhì)）．因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ冗厡Φ冉牵凇骱汀髦校浴鳌铡鳎ˋAS），（2）因?yàn)椤鳌铡鳎裕ㄈ热切蔚膶?yīng)邊相等）．因?yàn)椤魇堑冗吶切危ㄒ阎?，所以（等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60°）．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（等量代換）．所以△是等邊三角形（等邊三角形判定定理）．試一試：已知△ABC為等邊三角形，其中D、E、F分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，判定△DEF的形狀.參考答案：證明，為等邊三角形知識點(diǎn)三、利用等邊三角形性質(zhì)求角度例題3：如圖，D為等邊ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，DB=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，求∠BED的度.聯(lián)結(jié)DC聯(lián)結(jié)DC，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC,又∵DB=DA，BE=AB，∴△ACD≌△BCD，∴∠ACD=∠BCD=30°，又∵BE=AB=BC，∠DBE=∠DBC，∴ΔEBD≌ΔCBD，∴∠BED=∠BCD=30°試一試：1．如圖，已知△ABC中，AB=AC，分別以AB、AC為邊作等邊△ABE、等邊△ACD，且∠DAE=∠BCD，求∠BAC的度數(shù)．參考答案：∠BAC=20°1．如圖，在等邊△ABC邊AC上取一點(diǎn)D，使BD=CE，∠ABD=∠ACE，

求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠CAB=60°，AB=AC，又∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠CAB=60°，∴△ADE是等邊三角形.2．如圖，在等邊ΔABC的AC、BC邊上各取一點(diǎn)E、F，使AE=CF，AF與BE交于點(diǎn)O，求∠BOF的度數(shù).解：∵△ABC解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF，∴∠ABE=∠CAF，∴∠BOF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°.3．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，CE∥AB，且CE＝AD，（1）△DBE是什么特殊三角形，請說明理由．（2）如果點(diǎn)D在邊AC的中點(diǎn)處，那么線段BC與DE有怎樣的位置關(guān)系，請說明理由．參考答案：1、ΔABD≌ΔACE（SAS）即可；2、∠BOF=60°，證明ΔABE≌ΔACF（SAS）3、（1）△是等邊三角形．說理如下：記，，因?yàn)椤魇堑冗吶切危ㄒ阎?，所以（等邊三角形的三邊都相等），（等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于）．因?yàn)椋ㄒ阎裕▋芍本€平行，內(nèi)錯角相等）．所以（等量代換）在△和△中，所以△≌△（SAS），得（全等三角形的對應(yīng)角相等），（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又因?yàn)樗约此浴魇堑冗吶切危ǖ冗吶切闻卸ǎ?）線段與的位置關(guān)系是：說理如下：因?yàn)?，所以（等腰三角形的三線合一）因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗裕ǖ妊切蔚娜€合一）1、等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等；三個(gè)內(nèi)角均為60°2、等邊三角形的判定：（1）三條邊相等的三角形是等邊三角形（2）三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形（3）有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形3、等邊三角形與全等三角形綜合如圖，ΔABC和ΔDEC均為等邊三角形，∠EAB=40°，∠ACE=25°，求∠BDC的度數(shù)1.解：∵ΔABC和ΔDEC均為等邊三角形，∴∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，AC=BC，CE=CD，∴∠ACE=∠DCB=25°，∠CAE=∠BAC=∠EAB=20°，∴△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE=20°，∴∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=180°-20°-25°=135°.2．如圖，D是等邊ΔABC的邊AB上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊ΔCDE，聯(lián)結(jié)AE，求證：AE∥BC.2.證明：∵△ABC、△CDE為等邊三角形，∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠B=60°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE∥BC.3．如圖，在△ABC三邊作三個(gè)等邊三角形△ACD、△ABE、△BCF．證明：AE=D