一線三角一線三直角

...wd......wd......wd...-------------一線三角三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如以以下圖：等角的頂點在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認真做題，細細體會。例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點，∠EDF=60°CADBEF〔1〕求證：△CADBEF〔2〕當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE。變式：如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個動點，點在邊上，且．ABCDE(1)求證：△ABCDE(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3)當(dāng)點是的中點時，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由．例2：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點，∠EDF=∠B，CDEABFCDEABF變式：：如圖，在△ABC中，，，點D在邊AB上，，點E在邊BC上．又點F在邊AC上，且．(1)求證：△FCE∽△EBD；(2)當(dāng)點D在線段AB上運動時，是否有可能使．如果有可能，那么求出BD的長．如果不可能請說明理由．AABCDEF例3：如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點P為BC邊上一動點〔不與點B、C重合〕，過點P作射線PM交AC于點M，使∠APM=∠B；ABPCM〔1〕求證：△ABPABPCM〔2〕設(shè)BP=x，CM=y．求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．〔3〕當(dāng)△APM為等腰三角形時，求PB的長．變式：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P點，然后將這個角繞P點轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E。〔1〕求證△BPD∽△CEP〔2〕是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形假設(shè)存在，求出BD的長；假設(shè)不存在，說明理由。CCPEABD-------------壓軸題突破---一線三角例1：在中，，，點、分別在射線、上〔點不與點、點重合〕，且保持.①假設(shè)點在線段上〔如圖〕，且，求線段的長；ABC②假設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABC1.與等腰三角形底角相等的角的頂點不僅在線段上還可以運動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r，依然沿用剛剛的方法便可破解此類問題。2.此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變〞。動點在線段上時，通過哪兩個三角形相似求解，當(dāng)動點在線段的延長線上時，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。變式：正方形的邊長為〔如圖〕，點、分別在直線、上〔點不與點、點重合〕，且保持.當(dāng)時，寫出線段的長〔不需要計算過程，請直接寫出結(jié)果〕.AABCD例2：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長．〔2〕如果點P在AD邊上移動〔點P與點A、D不重合〕，且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么①當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時，寫出AP的長〔不必寫出解題過程〕．CCDABP第一問因為是等腰三角形，且滿足∠BPC＝∠A,很容易找到一線三角模型，尋找相似，列比例等式，求出AP的長。第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：在等腰三角形中，，是的中點，是上的動點〔不與、重合〕，連結(jié)，過點作射線，使，射線交射線于點，交射線于點.〔1〕求證：∽；〔2〕設(shè).①用含的代數(shù)式表示；②求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.例3：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點E是AB的中點．〔1〕如圖，P為BC上的一點，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；〔2〕如果點P在BC邊上移動〔點P與點B、C不重合〕，且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么①當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)時，求BP的長．EDEDCBA〔備用圖〕EDCBAP〔圖〕1.第〔2〕小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。2.第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．點M為邊BC的中點，以M為頂點作∠EMF=∠B，射線ME交邊AB于點E，射線MF交邊CD于點F，連結(jié)EF．〔1〕指出圖中所有與△BEM相似的三角形，并加以證明；〔2〕設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；AABCDMEF-------------壓軸題突破---一線三直角三直角相似可以看著是“一線三等角〞中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進展轉(zhuǎn)化。例1、：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．〔1〕當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；〔2〕設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；〔3〕當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．ABABCDPABCD〔備用圖〕此題重點在于：過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．(構(gòu)造一線三角，出現(xiàn)相似三角形，進展求解)變式：如圖1，，，，點是射線上的一個動點〔點與點不重合〕，點是線段上的一個動點〔點與點、不重合〕，聯(lián)結(jié)，過點作的垂線，交射線于點，聯(lián)結(jié)．設(shè)，．〔1〕當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；〔2〕在〔1〕的條件下，取線段的中點，聯(lián)結(jié)，假設(shè)，求的長；〔3〕如果動點、在運動時，始終滿足條件，那么請?zhí)骄浚旱闹荛L是否隨著動點、的運動而發(fā)生變化請說明理由．圖1圖2例2、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90度，P是腰BC上一個動點〔不含點B、C〕，作PQAP交CD于點Q〔圖1〕求BC的長與梯形ABCD的面積；當(dāng)PQ=DQ時，求BP的長；〔圖2〕設(shè)BP=x，CQ=y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域。第3問添加了輔助線MN，得到一線三角基本模型，得到解題突破口，出現(xiàn)相似，順利得到答案。變式：如圖，在中，，，，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，交射線AC于點F．〔1〕求AC和BC的長；〔2分〕〔2〕當(dāng)∥時，求的長；〔5分〕〔3〕聯(lián)結(jié)，當(dāng)和相似時，求的長．〔7分〕AACFEDBACB〔備用圖〕ACB〔備用圖〕例3、如圖，在中，，，點為中點，點為邊上一動點，點為射線上一動點，且.〔1〕當(dāng)時，聯(lián)結(jié),求的余切值；〔2〕當(dāng)點在線段上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；〔3〕聯(lián)結(jié)，假設(shè)為等腰三角形，求的長.CAB備用圖2CAB備用圖2CAB備用圖1DABFECC1.第2問添加輔助線EH，得到三直角型相似，得到結(jié)果；2.第3問等腰三角形的分類討論，要注意嚴格按照三種情況進展討論，在解答過程中，要時刻牢記等腰三角形三線合一這一性質(zhì)。變式：在梯形ABCD中,AD∥BC，.〔如圖1〕