江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.某運動員在一次訓(xùn)練中共射擊6次，射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，7，7，9，9，10.則下列說法正確的是（）A、成績的極差為-4 B．成績的第50百分位數(shù)等于成績的平均數(shù)C．成績的中位數(shù)為7和9 D．若增加一個成績8，則成績的方差不變2.已知集合，若，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.3.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點數(shù)分別為m，n.設(shè)平面向量，則向量不能作為平面內(nèi)的一組基底的概率為（）A. B. C. D.4.若，則的值為（）A. B. C. D.5.已知x，y為正實數(shù)，則可成為“”的充要條件的是（）A. B. C. D.6.位于如皋市定慧寺內(nèi)的觀音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七層、八角彩繪的外觀．觀音塔除去塔尖部分可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個除去塔尖的觀音塔模型，塔底寬20cm，塔頂寬10cm，側(cè)面面積為，據(jù)此計算該觀音塔模型體積為（）．A.31500 B.30000 C.10500 D.100007.已知動點在拋物線上，定點.圓上兩個動點A，B滿足，則的最小值為（）A.7 B.6 C.5 D.48.已知函數(shù)的定義域為，對內(nèi)的任意兩個不相等的數(shù)，都有且.若實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（）A. B. C.20 D.19二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.10.隨機事件A，B滿足，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.事件與相互獨立 C. D.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于A，B兩點（其中點A在軸上方），連接.現(xiàn)將平面沿軸向上折疊，使得面面，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)直線的傾斜角為時，B.當(dāng)直線的傾斜角為時，三棱錐的外接球的表面積為C.三棱錐的體積最大值為 D.當(dāng)折疊后的周長為時，直線的斜率為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的長度l（單位：cm）服從正態(tài)分布，按長度l分為5級：為一級，為二級，為三級，為四級，為廢品.將一級與二級產(chǎn)品稱為優(yōu)品.對該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進行隨機抽查，每次抽取1個，則抽到優(yōu)品的概率______（精確到0.1）.若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率為______.附：，14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且的平行線OQ與的角平分線交于，則橢圓的離心率為______.四、解答題（本大題共5小題，共計77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點在邊AC上且，.（1）求證：；（2）若，求的最大值.16.（本小題滿分15分）為調(diào)查某地區(qū)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中錯題訂正整理情況與考試成績的關(guān)系．首先對該地區(qū)所有高中學(xué)生錯題訂正整理情況進行分值評價，給出得分；再組織考試.從這些學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績作為樣本，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個樣本錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，計算得.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷考試成績和錯題訂正整理情況得分的相關(guān)程度；（2）已知20個樣本中有8個樣本的考試成績低于樣本平均數(shù).利用頻率估計概率，從該地區(qū)所有高中學(xué)生中隨機抽取4個學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，記抽到考試成績低于的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù).17.（本小題滿分15分）在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，P，M分別為線段AD，CD的中點，，平面平面BCD.（1）求證：；（2）若AC與平面BCP所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分17分）已知雙曲線過點，其漸近線方程為.圓過點，與軸交于E，F(xiàn).記直線EA與雙曲線的另一個交點為，直線FA與雙曲線的另一個交點為.（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）求證：直線AE和直線AF斜率之積為定值；（3）判斷直線PQ與圓的位置關(guān)系，并說明理由.

2024-2025學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B【解析】，極差為錯．第50百分位數(shù)，平均數(shù)B對.2.【答案】A【解析】，則，或，則，選A.3.【答案】A【解析】不能作為基底，則，即，選A.4.【答案】C【解析】，選C.5.【答案】D【解析】錯．，В錯.，C錯，選D.6.【答案】C【解析】每個側(cè)面面積，側(cè)面的高，則側(cè)棱長，正四棱臺的高，選C.7.【答案】D【解析】，則為AB中點，，則（其中為到準線的距離），選D.8.【答案】B【解析】，令和原式比較都有在上單調(diào)遞增，選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.【答案】AC【解析】在單調(diào)遞減，A對.在單調(diào)遞增，B錯．在單調(diào)遞減，C對.在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，D錯，選AC.10.【答案】ABC【解析】與一定互斥，A對獨立，B對.對.錯11.【答案】ABD【解析】方法一：對于A，當(dāng)傾斜角為時，方程為此時位于橢圓短軸的一個端點，，又平面平面平面正確.（圖中綠色為平面折疊后的面）對于B，當(dāng)1傾斜角為時，為等邊三角形，邊長為2，外接圓半徑外接圓半徑三棱錐外接球半徑為，B正確.對于C，設(shè)直線AB方程為平面面錯.對于D，如圖建系，翻折前原先，翻折后，由①②，聯(lián)立①②正確，選ABD.方法二：當(dāng)?shù)膬A斜角為時，，此時，又面面面對.外接圓圓心到距離，外接圓半徑，，圓心到距離外接球半徑B對.令，則到距離，C錯.對于D，同法一三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【解析】.13.【答案】0.2；0.36【解析】優(yōu)品滿足（第一空）（第二空）14.【答案】【解析】延長OQ與交于，則為中點，而QPN為等腰三角形，，即又四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解析】方法一：由正弦定理：得.（2），又所以BD為的角平分線，設(shè)則又在中，由余弦定理得，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”號成立，.方法二：（1）即.（2）設(shè)，在中，①，在中，②，由①②得，，下同法一方法三：（2），兩邊同時平方得即，所以，所以，下同法一.16.【解析】（1），接近考試成績和錯題訂正整理情況得分高度相關(guān).（2）考試成績低于樣本平均數(shù)的概率記為，則x01234p17.【解析】（1）證明：取BD中點，連接AQ為正三角形，，為BD中點，，面ABD，面面BCD，面面上面BCD，又面，面ABD又面（2）方法一：由（1）可知面ABD，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，設(shè)，則，記平面BCP的一個法向量為令，則與平面BCP所成角余弦值為正弦值為.或又.設(shè)面BPM的一個法向量為設(shè)面BMD的一個法向量為取由圖可知二面角的平面為銳角，二面角的余弦值為.方法二：由（1）面BCD過作，則，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)所以，設(shè)平面BCP的法向量為，令得與平面BCP所成角余弦值為，與平面BCP所成角正弦值為.，或又因為平面BDM的法向量設(shè)平面BMP的法向量為，令得，下同法一方法三：由（1）可知面ABD得，所以面ACD，面面ACD，與平面BCP所成角為，設(shè)，，又為AD的中點，在中，，或，又.過作交BD于，過作于，連接PF，為二面角的平面角.因為，所以.由圖可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為.18.【解析】方法一：（1），切點在處的切線方程為（2）①當(dāng)時，左邊右邊，不等式顯然成立.②當(dāng)時，令當(dāng)時，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上：的取值范圍為.方法二：（1），令，則，即：.（2）令恒成立，在上遞增.①若，即對在單調(diào)遞減，與矛盾，無解，舍去.②若，即，在上遞增故.③若即：時，使得，即：即：，故綜上．方法三：（2）①當(dāng)時，恒