人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案3：§8 3　列聯(lián)表與獨立性檢驗

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗學習目標1.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用．知識梳理知識點一分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用表示．知識點二2×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的．2．定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表．知識點三獨立性檢驗1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．思考獨立性檢驗與反證法的思想類似，那么獨立性檢驗是反證法嗎？題型探究探究一等高堆積條形圖的應用例1.研究人員選取170名青年男女大學生，對他們進行一種心理測驗．發(fā)現(xiàn)60名女生對該心理測驗中的最后一個題目的反應是：作肯定的有18名，否定的有42名.110名男生在相同的題目上作肯定的有22名，否定的有88名．試判斷性別與態(tài)度之間是否有關系．反思感悟等高堆積條形圖的優(yōu)劣點(1)優(yōu)點：較直觀地展示了eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的差異性．(2)劣點：不能給出推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率．跟蹤訓練1.為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別陽性數(shù)陰性數(shù)總計鉛中毒病人29736對照組92837總計383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關系？探究二由χ2進行獨立性檢驗命題角度1有關“相關的檢驗”例2.在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中，有175人禿頂．根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷男性病人的禿頂與患心臟病是否有關系？反思感悟用χ2進行“相關的檢驗”步驟(1)零假設：即先假設兩變量間沒關系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．跟蹤訓練2.某礦石粉廠當生產(chǎn)一種礦石粉時，在數(shù)天內(nèi)即有部分工人患職業(yè)性皮膚炎，在生產(chǎn)季節(jié)開始，隨機抽取75名車間工人穿上新防護服，其余仍穿原用的防護服，生產(chǎn)進行一個月后，檢查兩組工人的皮膚炎患病人數(shù)如下：陽性例數(shù)陰性例數(shù)合計新防護服57075舊防護服101828合計1588103問這種新防護服對預防工人患職業(yè)性皮膚炎是否有效？并說明你的理由．命題角度2有關“無關的檢驗”例3.為了研究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關，某同學調(diào)查了361名高一在校生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關？反思感悟獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．跟蹤訓練3.考察棉花種子處理情況跟生病之間的關系得到下表數(shù)據(jù)：種子種子合計處理未處理得病32101133不得病61213274合計93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出()A．種子是否經(jīng)過處理跟生病有關B．種子是否經(jīng)過處理跟生病無關C．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病D．以上都是錯誤的課堂小結(jié)1．知識清單：(1)分類變量．(2)2×2列聯(lián)表．(3)等高堆積條形圖．(4)獨立性檢驗，χ2公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：對獨立性檢驗的原理不理解，導致不會用χ2分析問題．隨堂自測1．已知變量X和Y的列聯(lián)表如下，則()YXy1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X與Y的關系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X與Y的關系越強C．(ad－bc)2越大，說明X與Y的關系越強D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y的關系越強2．想要檢驗是否參加體育運動是不是與性別有關，應該檢驗()A．男性喜歡參加體育運動B．女性不喜歡參加體育運動C．喜歡參加體育運動與性別有關D．喜歡參加體育運動與性別無關3．在2×2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則χ2的值變?yōu)樵瓉淼腳_______倍．4．下列說法正確的是________．(填序號)①對事件A與B的檢驗無關，即兩個事件互不影響；②事件A與B關系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判斷事件A與B是否相關的唯一數(shù)據(jù)；④若判定兩事件A與B有關，則A發(fā)生B一定發(fā)生．5．為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科合計男131023女72027合計203050已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025，根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝eq\f(50×(13×20－10×7)2,23×27×20×30)≈4.844.則有__________的把握認為選修文科與性別有關．6．在2×2列聯(lián)表中，兩個比值eq\f(a,a＋b)與________相差越大，兩個分類變量有關系的可能性越大.7．某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識梳理知識點一分類變量實數(shù)知識點二2×2列聯(lián)表1．交叉分類頻數(shù)知識點三獨立性檢驗1．是否獨立2．eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))思考〖答案〗不是．因為反證法不會出錯，而獨立性檢驗依據(jù)的是小概率事件幾乎不發(fā)生．題型探究例1.解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)建立如下列聯(lián)表：肯定否定總計女生184260男生2288110總計40130170相應的等高條形圖如圖所示．比較來看，女生中肯定的人數(shù)比要高于男生中肯定的人數(shù)比，因此可以在某種程度上認為性別與態(tài)度之間有關．跟蹤訓練1.解：等高條形圖如圖所示：其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關系．例2.解：提出假設H0：男性病人的禿頂與患心臟病沒有關系．根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：患心臟病未患心臟病合計禿頂214175389不禿頂4515971048合計6657721437根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得χ2＝eq\f(1437×(214×597－175×451)2,389×1048×665×772)≈16.373.因為當H0成立時，χ2≥10.828的概率約為0.001，而這里χ2≈16.373>10.828，所以有99.9%的把握認為，男性病人的禿頂與患心臟病有關系．跟蹤訓練2.解：提出假設H0：新防護服對預防皮膚炎沒有明顯效果．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得χ2＝eq\f(103×(5×18－70×10)2,75×28×15×88)≈13.826.因為H0成立時，χ2≥10.828的概率約為0.001，而這里χ2≈13.826>10.828，所以我們有99.9%的把握說新防護服比舊防護服對預防工人患職業(yè)性皮膚炎有效．例3.解：問題是判斷學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關．列出2×2列聯(lián)表如下：理文總計有興趣13873211無興趣9852150總計236125361由公式得K2的觀測值k＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈1.871×10－4.因為1.871×10－4<2.706，故可以認為學生選報文、理科與對外語的興趣無關．跟蹤訓練3.〖答案〗B〖解析〗由χ2＝eq\f(407×(32×213－61×101)2,93×314×133×274)≈0.164<2.706＝x0.1，即沒有把握認為種子是否經(jīng)過處理跟生病有關．當堂檢測1．〖答案〗C〖解析〗χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d)，若(ad－bc)2越大，則χ2越大，說明X與Y的關系越強．2．〖答案〗D〖解析〗獨立性檢驗假設有反證法的意味，應假設兩類變量(而非變量屬性)無關，這時的χ2應該很小，如果χ2很大，則可以否定假設，如果χ2很小，則不能夠肯定或者否定假設．3．〖解析〗由公式χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))中所有值變?yōu)樵瓉淼?倍，得(χ2)′＝eq\f(2n(2a·2d－2b·2c)2,(2a＋2b)(2c＋2d)(2a＋2c)(2b＋2d))＝2χ2，故χ2也變?yōu)樵瓉淼?倍．〖答案〗24．〖解析〗對于①，事件A與B的檢驗無關，只是說兩事件的相關性較小，并不一定兩事件互不影響，故①錯．②是正確的．對于③，判斷A與B是否相關的方式很多，可以用列聯(lián)表，也可以借助于概率運算，故③錯．對于④，兩事件A與B有關，說明兩者同時發(fā)生的可能性相對來說較大，但并不是A發(fā)生B一定發(fā)生，故④錯．〖答案〗②5．〖答案〗95%6．〖解析〗根據(jù)2×2列聯(lián)表可知，比值eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)