人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案3：§8 1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但沒有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．思考相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？2．相關(guān)關(guān)系的分類(1)按變量間的增減性分為相關(guān)和相關(guān)．①正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)的趨勢(shì)；②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)的趨勢(shì)．(2)按變量間是否有線性特征分為相關(guān)和相關(guān)(曲線相關(guān))．①線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是相關(guān)，我們稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)二相關(guān)關(guān)系的刻畫1．散點(diǎn)圖：為了直觀描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖，叫做散點(diǎn)圖．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)我們常用樣本相關(guān)系數(shù)r來確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)的相關(guān)程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)).(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為．①若r>0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；②若r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)；③當(dāng)|r|越接近時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；④當(dāng)|r|越接近時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．題型探究探究一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1.有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計(jì)觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4反思感悟兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法(1)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．(2)利用散點(diǎn)圖：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷．如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．跟蹤訓(xùn)練1.下面變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系；②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系；③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系；④家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)之間的關(guān)系．A．①② B．①③C．②③ D．②④探究二樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例2.(多選)對(duì)兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說法正確的是()A．|r|越大，相關(guān)程度越大B．|r|越小，相關(guān)程度越大C．|r|趨近于0時(shí)，沒有線性相關(guān)關(guān)系D．|r|越接近1時(shí)，線性相關(guān)程度越強(qiáng)反思感悟樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)r的絕對(duì)值越接近0，相關(guān)性越弱．(2)r的絕對(duì)值越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練2.對(duì)變量x，y有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖圖1；對(duì)變量u，v有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)探究三樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用例3.變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，那么x，y之間的相關(guān)系數(shù)r的最接近的值為()A．1B．－0.5C．0D．0.5反思感悟線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度，其絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練3.下面的數(shù)據(jù)是從年齡在40歲到60歲的男子中隨機(jī)抽出的6個(gè)樣本，分別測(cè)定了心臟的功能水平y(tǒng)(滿分100)，以及每天花在看電視上的平均時(shí)間x(小時(shí))．看電視的平均時(shí)間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965(1)求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r；(2)求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x的線性回歸方程，并討論方程是否有意義；(3)估計(jì)平均每天看電視3小時(shí)的男子的心臟功能水平．課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)相關(guān)關(guān)系．(2)散點(diǎn)圖．(3)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)、非線性相關(guān)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分，樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．當(dāng)堂檢測(cè)1.關(guān)于兩個(gè)變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r，有下列說法：①若r>0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；②若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上．其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是()A．甲B．乙C．丙D．丁3.給定y與x是一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則()A．y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)B．y與x線性不相關(guān)C．y與x正線性相關(guān)D．y與x負(fù)線性相關(guān)4.一唱片公司研究預(yù)支出費(fèi)用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機(jī)抽選了10張，得到如下的資料：eq\i\su(i＝1,10,x)i＝28，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝303.4，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝237，則y與x的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值為________．5.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為________．6.若已知eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2是eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2的4倍，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))是eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2的1.5倍，則相關(guān)系數(shù)r的值為________．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1．思考〖答案〗不是．函數(shù)關(guān)系是唯一確定的關(guān)系．2．相關(guān)關(guān)系的分類(1)正負(fù)①增加②減少(2)線性非線性①一條直線②線性知識(shí)點(diǎn)二相關(guān)關(guān)系的刻畫2．樣本相關(guān)系數(shù)(2)－1,1〗①正②負(fù)③1④0題型探究探究一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1.〖解析〗①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的作用，故也正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．〖答案〗C跟蹤訓(xùn)練1.〖解析〗①②是相關(guān)關(guān)系，③④是非相關(guān)關(guān)系．〖答案〗A探究二樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例2.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，|r|越大，相關(guān)程度越大，A正確；對(duì)于B，|r|越小，相關(guān)程度越小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，|r|趨近于0時(shí)，線性相關(guān)關(guān)系越弱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，|r|越接近1時(shí)，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，D正確．綜上，正確的是AD.跟蹤訓(xùn)練2.〖答案〗C〖解析〗由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．探究三樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用例3.〖答案〗C〖解析〗從散點(diǎn)圖中，我們可以看出，x與y沒有線性相關(guān)關(guān)系，因而r的值接近于0.跟蹤訓(xùn)練3.解：n＝6，eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.7167，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋…＋65)≈64.1667，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2＝(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.71672≈19.7668，eq\i\su(i＝1,6,y)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋…＋652)－6×64.16672≈964.8077，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi－6eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.(1)心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x之間的相關(guān)系數(shù)：r＝eq\f(－124.6302,\r(19.7668×964.8077))≈－0.9025.(2)b＝eq\f(－124.6302,19.7668)≈－6.3050，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈87.6005，心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x的線性回歸方程為y＝87.6005－6.3050x.由(1)知y與x之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系，所以這個(gè)方程是有意義的．(3)將x＝3代入線性回歸方程y＝87.6005－6.3050x，可得y≈68.7，即平均每天看電視3小時(shí)，心臟功能水平約為68.7.當(dāng)堂檢測(cè)1.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷：當(dāng)r為正數(shù)時(shí)，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時(shí)，表示兩個(gè)變量x，y負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱．故可知①②③正確．2.〖答案〗D〖解析〗由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，結(jié)合題意可知，丁的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故選D.3.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閨r|＝|－0.690|<0.75，所以y與x的線性相關(guān)性一般，又因?yàn)閞＝－0.690<0，所以y與x負(fù)線性相關(guān)．4.〖答案〗0.3〖解析〗根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(237－10×2.8×7.5,