人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案2：§8 2　一元線性回歸模型及其應用

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.2一元線性回歸模型及其應用學習目標1.結(jié)合實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測．知識梳理知識點一一元線性回歸模型稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))為Y關于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為或，x稱為或，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；e是與之間的隨機誤差，如果e＝，那么Y與x之間的關系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述．知識點二最小二乘法將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝.思考1經(jīng)驗回歸方程一定過成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點嗎？思考2點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在經(jīng)驗回歸直線上嗎？知識點三殘差與殘差分析1．殘差對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為，減去稱為殘差．2．殘差分析是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．知識點四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系．2．殘差平方和法殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)來比較兩個模型的擬合效果，R2越，模型擬合效果越好，R2越，模型擬合效果越差．思考利用經(jīng)驗回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實值嗎？題型探究探究一求經(jīng)驗回歸方程例1.某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額Y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x24568Y3040605070(1)畫出散點圖；(2)求經(jīng)驗回歸直線方程．反思感悟求經(jīng)驗回歸方程可分如下四步來完成(1)列：列表表示xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(2)算：計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代：代入公式計算，的值．(4)寫：寫出經(jīng)驗回歸方程．跟蹤訓練1.假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用Y(萬元)，有如下資料：使用年限x23456維修費用Y2.23.85.56.57.0由散點圖(圖略)知Y與x是線性相關的，試求(1)經(jīng)驗回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的eq\o(a,\s\up6(^))；(2)估計使用年限為10年時，維修費用為多少？探究二線性回歸分析例2.一臺機器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某種機械零件有一些會有缺陷，據(jù)統(tǒng)計顯示，每小時生產(chǎn)的有缺陷的零件數(shù)隨機器的運轉(zhuǎn)速度而變化．下表為抽樣試驗的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128生產(chǎn)的有缺陷的零件數(shù)y(件/小時)11985(1)判斷y與x是否具有線性相關關系；(2)如果有，求出y對x的經(jīng)驗回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x；(3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個，則機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在什么范圍內(nèi)？反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)殘差平方和法：殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好．(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．跟蹤訓練2.寒假中，某同學為組織一次愛心捐款，于2020年2月1日在網(wǎng)上給網(wǎng)友發(fā)了張?zhí)樱⑻栒倬W(wǎng)友轉(zhuǎn)發(fā)，下表是發(fā)帖后一段時間的收到帖子的人數(shù)統(tǒng)計天數(shù)x1234567人數(shù)y711212466115325(1)作出散點圖，并猜測x與y之間的關系；(2)建立x與y的關系，預報回歸模型；(3)如果此人打算在2020年2月12日(即帖子傳播時間共10天)進行募捐活動，根據(jù)上述回歸模型，估計可去多少人．探究三非線性回歸例3.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重Y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重Y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立Y對x的經(jīng)驗回歸方程；(2)如果體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為82kg的在校男生的體重是否正常？反思感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓練3.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124Y1612521試建立Y與x之間的經(jīng)驗回歸方程．課堂小結(jié)1．知識清單：(1)一元線性回歸模型．(2)最小二乘法、經(jīng)驗回歸方程的求法．(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關關系，盲目求解經(jīng)驗回歸方程致誤．當堂檢測1．對于指數(shù)曲線y＝aebx方程，令u＝lny，c＝lna經(jīng)過非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為()A．u＝c＋bx B．u＝b＋cxC．y＝b＋cx D．y＝c＋bx2．指數(shù)曲線y＝aebx的圖像可以是()3．x，y的取值如下表：x0.20.61.01.21.41.61.82.02.2y0.040.3611.41.92.53.23.984.82則x、y之間的關系可以選用函數(shù)________進行擬合．4．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5試預測加工10個零件需要多少時間？5．某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日溫差x(℃)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616(1)若選取的是3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性經(jīng)驗回歸方程；(2)若由線性經(jīng)驗回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性經(jīng)驗回歸方程是可靠的，試問(1)中所得的線性經(jīng)驗回歸方程是否可靠？▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識梳理知識點一一元線性回歸模型因變量響應變量自變量解釋變量abYbx＋a0知識點二最小二乘法eq\x\to(y)－eq\x\to(x)思考1〖答案〗不一定．思考2〖答案〗在．知識點三殘差與殘差分析1．殘差觀測值預測值觀測值預測值2．殘差分析殘差殘差知識點四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)3．R2法大小思考〖答案〗不一定，他只是真實值的一個預測估計值．題型探究探究一求經(jīng)驗回歸方程例1.解：(1)散點圖如圖．(2)列出下表，并用科學計算器進行有關計算．序號xyx2xy1230460244016160356025300465036300587064560合計252501451380于是可得：x＝5，y＝50.＝－＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的經(jīng)驗回歸直線方程是＝6.5x＋17.5.跟蹤訓練1.解：(1)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5，探究二線性回歸分析例2.解：(1)由表中數(shù)據(jù)代入相關系數(shù)公式得：r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r((\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)(\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2)))≈0.995，因為r＞0.95，接近于1，所以y與x之間具有線性相關關系．(2)設y與x之間的線性回歸模型為：y＝bx＋a＋ε，由表中數(shù)據(jù)利用科學計算器得a，b的估計值分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)≈0.7286，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8575，所以y對x的經(jīng)驗回歸直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7286x－0.8575.(3)由題意知y≤10，即0.7286x－0.8575≤10，解得x≤14.9019≈15.即要使有缺陷的零件最多有10個，轉(zhuǎn)速應不超過15轉(zhuǎn)/秒．跟蹤訓練2.解：(1)散點圖略．從散點圖可以看出x與y不具有線性相關關系，同時可發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一個指數(shù)函數(shù)曲線y＝kemx的周圍，其中k、m是參數(shù)．(2)對y＝kemx兩邊取對數(shù)，把指數(shù)關系變成線性關系．令z＝lny，則變換后的樣本點分布在直線z＝bx＋a(a＝lnk，b＝m)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立x與y之間的非線性經(jīng)驗回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為天數(shù)x1234567人數(shù)y1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得經(jīng)驗回歸直線方程為z＝0.620x＋1.133，∴y＝e0.620x＋1.133.(3)截止到2013年2月12日，x＝10，此時y＝e0.620×10＋∴估計可去1530人.探究三非線性回歸例3.解：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，如圖所示．由圖可以看出，樣本點分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的附近，其中c1，c2為待定參數(shù)．于是令z＝lny，得到x與z的數(shù)據(jù)如下表：x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01作出散點圖如圖所示．由表中數(shù)據(jù)可得z對x的經(jīng)驗回歸直線方程＝0.693＋0.020x，則＝e0.693＋0.020x.故Y對x的經(jīng)驗回歸方程為＝e0.693＋0.020x.(2)當x＝175時，預測平均體重為＝e0.693＋0.020×175≈66.22.因為66.22×1.2≈79.46＜82，所以這個男生偏胖．跟蹤訓練3.解：由數(shù)值表可作散點圖如下：根據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關系，設y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點圖如下：由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關關系，列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510